集合-高中數(shù)學(xué)

集合

考綱導(dǎo)讀

（-）集合的含義與表示

1.了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系.

2.能用自然語言、圖形語言、集合語，言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。

（二）集合間的基本關(guān)系

1.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.

2.在具體情境中，了解全集與空集的含義.

（三）集合的基本運(yùn)算

1.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集。

2.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.

3.能使用韋恩圖（Venn）表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算。

根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2009年高考的命題情況，我們可以預(yù)測(cè)2010年集合部分在

選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點(diǎn)有以下兩個(gè)方面：一是集合的運(yùn)算、集合的

有關(guān)述語和符號(hào)、集合的簡(jiǎn)單應(yīng)用等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；

二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識(shí)為載體，以集合的語言和符號(hào)為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡(jiǎn)

易邏輯知識(shí)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).

第1課時(shí)集合的概念

基礎(chǔ)過關(guān)

一、集合

1.集合是一個(gè)不能定義的原始概念，描述性定義為：某些指定的對(duì)象就成為一個(gè)

集合，簡(jiǎn)稱.集合中的每一個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的.

2.集合中的元素屬性具有：

(1)確定性；(2)；(3).

3.集合的表示法常用的有、和韋恩圖法三種，有限集常

用,無限集常用,圖示法常用于表示集合之間的相互關(guān)系.

二、元素與集合的關(guān)系

4.元素與集合是屬于和的從屬關(guān)系，若a是集合A的元素，記作,

若a不是集合B的元素，記作.但是要注意元素與集合是相對(duì)而言的.

三、集合與集合的關(guān)系

5.集合與集合的關(guān)系用符號(hào)表示.

6.子集：若集合A中都是集合B的元素，就說集合A包含于集合B(或集合B

包含集合A),記作.

7.相等：若集合A中都是集合B的元素，同時(shí)集合B中都是集合

A的元素，就說集合A等于集合B,記作.

8.真子集：如果就說集合A是集合B的真子集，記作.

9.若集合A含有n個(gè)元素，則A的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空

真子集有個(gè).

10.空集°是一個(gè)特殊而又重要的集合，它不含任何元素，0是任何集合的，

0是任何非空集合的，解題時(shí)不可忽視。.

典型例題

例1.已知集合4=(xeNI一日一WN},試求集合A的所有子集.

解：由題意可知6-x是8的正約數(shù)，所以6—尤可以是1,2,4,8；相應(yīng)的x為

2,4,5,即A={2,4,5卜

.???的所有子集為血{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}.

變式訓(xùn)練1.若a,b€R,集合{i,“+6,a}=求b-a的值.

解：由{1,0+Z>,a}=[o,2,b|可知a#0，則只能a+b=O,則有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系:

a+b=0

a+b=O

b

--a①或.h=a②

a

b=\噎

a

a=-1

由①得5,，符合題意；②無解.所以b-a=2.

b=l

例2.設(shè)集合U={2,3,Y+2a_3},A={\2a-1\,2),C"={5},求實(shí)數(shù)a的值.

解：此時(shí)只可能。2+2。-3=5,易得。=2或一4。

當(dāng)a=2時(shí)，A={2,3}符合題意。

當(dāng)a=-4時(shí)，A={9,3}不符合題意，舍去。

故a=2。

變式訓(xùn)練2：(1)P={x|x2-2x-3=0}>S={x|ax+2=0},S=P,求a取值？

(2)A={-2WxW5},B={x[m+lWxW2m-1},B±A,求m。

解：(l)a=O,S=0,0=P成立a^O,S*0,由S^P,P={3,-1}

22

得3a+2=0,a=——或-a+2=0,a=2；；.a值為0或一一或2.

33

(2)B=0,HPm+l>2m-l,m<2；.0UA成立.

m+l<2m-1

BK0,由題意得\-2<m+\得2WmW3；廠“蹴

5>2m-1

或2WmW3即mW3為取值范圍.

注：（1）特殊集合0作用，常易漏掉

例3.已知集合人=收|0?2-2*+3=0,meR）.

（1）若A是空集，求m的取值范圍；

（2）若A中只有一個(gè)元素，求m的值；

(3)若A中至多只有一個(gè)元素，求m的取值范圍.

解：集合A是方程mx2-2x+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集.

(1)VA是空集，...方程mx2-2x+3=0無解.

A=4-12m<0,即m>l.

3

(2)；A中只有一個(gè)元素，

二方程mx2-2x+3=0只有一個(gè)解.

若m=0,方程為-2x+3=0,只有一解x=3;

2

若m#0,則A=0,即4T2m=0,m=J..

3

m=0或m=_L.

3

(3)A中至多只有一個(gè)元素包含A中只有一個(gè)元素和A是空集兩種含義，根據(jù)(1)、(2)的

結(jié)果，得m=0或m2L

3

變式訓(xùn)練3.(1)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}且1GA,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N,求a,b的值.

解：(1)由題意知：

a+2=l或(a+l)2=l或a2+3a+3=l,

.?.a=T或-2或0,根據(jù)元素的互異性排除-1,-2,.?.a=0即為所求.

1

=-

(2)由題意如，卜=2“或K==Ja=O或卜=0或4

[b=b2[b=2a[fe=lp=01

=-

2

根據(jù)元素的互異性得卜=°或即為所求.

標(biāo)=1

b=-

2

例4.若集合A={2,4,/—2〃~—4+7},B={1,a+1,礦―2Q+2,—(。-―3Q—8)、

2

/+/+3〃+7},且AGB72,5},試求實(shí)數(shù)〃的值.

解：?.?AGB={2,5},???2￡人且5￡人，

則〃-2a2-a+1=5=(a—2)(a—1)(a+1)=0,

/.a=-1或a=l或a=2.

當(dāng)a=-l時(shí)，B={1,0,5,2,4),與AAB={2,5}矛盾，Aa^-1..

當(dāng)a=l時(shí)，B={1,2,1,5,12),與集合中元素互異性矛盾，.?.aWL

當(dāng)a=2時(shí),B={1,3,2,5,25},滿足AAB={2,5}.故所求a的值為2.

變式訓(xùn)練4.已知集合A={a,a+d,a+2d},B={a,aq,aq*1}，其中aWO,若A=B,求

q的值

解：：A=B

\a+d=aqa+d=aq2

...⑴[a+2d="/或（n）a+2d=aq

由（I）得q=l,由（ID得q=l或q=-5.

當(dāng)q=l時(shí)，B中的元素與集合元素的互異性矛盾,

1

歸納小結(jié)

1.本節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法，對(duì)集合的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)給定的集合，

確定集合的元素，并真正認(rèn)識(shí)集合中元素的屬性，特別要注意代表元素的形式，不要將點(diǎn)集

和數(shù)集混淆.

2.利用相等集合的定義解題時(shí)，特別要注意集合中元素的互異性，對(duì)計(jì)算的結(jié)果要加以檢

驗(yàn).

3.注意空集中的特殊性，在解題時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮到集合為空集的可能性.

4.要注意數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，如化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法

在解題中的應(yīng)用.

第2課時(shí)集合的運(yùn)算

基礎(chǔ)過關(guān)

一、集合的運(yùn)算

1.交集：由的元素組成的集合，叫做集合A與B的交集，記作ACB,即ACB

2.并集：由的元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，記作AUB,即AUB

3.補(bǔ)集：集合A是集合S的子集，由的元素組成的集合，叫做S中子集A的

補(bǔ)集，記作C.sA,即CsA=.

二、集合的常用運(yùn)算性質(zhì)

1.ACA=,AO0=,AOB=A,AUA=,

AU0=,AUB=BUA

2.AoCuA—,A<JCJJA=,C（C^A）=.

3.Cy(AoB)=,

Cy(Ac8)=,

4.AUB=A=

ACB=A=_________

典型例題

例L設(shè)全集U=R,M={加1方程加/-1-1=0有實(shí)數(shù)根},N={〃l方程

x~-x+〃=0

有實(shí)數(shù)根},求(CuM)cN.

解：當(dāng)加=0時(shí)，x=-l,即OEM；

當(dāng)mW0時(shí)，△=1+4m>0,B[Jm>——，且機(jī)w0/.m>——，

44

*?-C(；M={mImv——j*

而對(duì)于N,△=1-4〃20,即〃4；,

.?.(CuM)nN={xlx<_；)

變式訓(xùn)練1.已知集合A={x|-1^l,xeN，B=k"-2rf?<0},

(1)當(dāng)m=3時(shí)，求Ac(C*)；

(2)若AnB={xl-l<x<4},求實(shí)數(shù)m的值.

解：打621,得'-5W0.，1VxW5,={元I-1<x<5}.

(1)當(dāng)m=3時(shí),B={xl-l<x<3},則C理={xlxW-l或％23},

/.Ac(C*)={尤I3<x<5}.

(2)VA={xl-l<x<5},AAS={xl-l<x<4},AW42-2X4-m=0,解得m=8.

此時(shí)B={xl-2<x<4},符合題意，故實(shí)數(shù)m的值為8.

例2.已知A={x\a<x<a+3},8={1|X<-1或］>5}.

(1)若anB=0,求Q的取值范圍；

(2)若AUB=8,求Q的取值范圍.

a之一1

解：(1)4。8=0,???《，解之得一1(。<2.

a+3<5

(2)A\JB=ByAB.，〃+3<-1或a〉5,。<-4或。>5

???若A。8=0,則。的取值范圍是［—1,2］；若=8，則。的取值范圍是

(-00,-4)U(5,4-00).

變式訓(xùn)練2：設(shè)集合A={xlx2-3x+2=0},B={xlx2+2(a+i)x+(a2—5)=0}.

(1)若AAB={2},求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若AUB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若1)=匕AH(G；B)=A.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:由x2-3x+2=0得x=l或x=2,故集合A={1,2}.

(1)VAnB={2},/.2eB,代入B中的方程，

得a'+4a+3=0,.*.a=-l或a=-3;

當(dāng)a=-l時(shí)，B={xl/-4=0}={-2,2},滿足條件；

當(dāng)a=-3時(shí)，B={尤|_4*+4=0}={2},滿足條件；

綜上，a的值為T或-3.

(2)對(duì)于集合B,

△=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).

VAUB=A,AB^A,

①當(dāng)AVO,即a<-3時(shí)，B=0,滿足條件；

②當(dāng)A=0,即a=-3時(shí)，B={2},,滿足條件；

③當(dāng)△>(),即a>-3時(shí)，B=A={1,2}.才能滿足條件，

則由根叮系數(shù)的關(guān)系得

5

l+2=-2(a+l)Cl——

即＜2,矛盾；

1x2=/—5

G=7

綜上，a的取值范圍是aW-3.

(3)VAA(CyB)=A,:.A三5B,.*.AnB=0;

①若B=0,則A<0na<-3適合；

②若B￥0,則a=-3時(shí)，B={2},A「B={2},不合題意;

a>-3,此時(shí)需1史B且2eB,將2代入B的方程得a=-l或a=-3(舍去)；

將1代入B的方程得a2+2a-2=0=>a=-l±73.

.?.aWT且a#-3且a#T±G.

綜上，a的取值范圍是aV-3或-3Va<-l-6或或T<a<T+方或a>

-1+V3.

例3.已知集合A={xI/+(2++1=0,xeR},B={xeRIx>0}，試問是否存在實(shí)數(shù)

a,使得ACB=0?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解:方法一假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件AAB=0則有

(1)當(dāng)AW0時(shí)，由ACB=0,B={xeRlx>0}.知集合A中的元素為非正數(shù)，

設(shè)方程x?+(2+a)x+l=0的兩根為X,.x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系，得

△=(2+4-420

■x,+x2=-(2+a)<0,解彳版20;

=1>0

(2)當(dāng)A=0時(shí),則有△=(2+a)2-4V0,解得-4VaV0.

綜上(1),(2),知存在滿足條件AnB=0的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是(-4,+8).

方法二假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件ACB#。，則方程/+(2+a)x+l=0的兩實(shí)數(shù)根xi,xz至少

有一個(gè)為正，

因?yàn)閤-X2=l>0,所以兩根x“X2均為正數(shù).

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得卜=(2+4-420，解得產(chǎn)°或"WT即

xt+x2=-(2+a)>0[a<-2

又?集合{ala4-4}的補(bǔ)集為{“I”>-4},

，存在滿足條件AAB=0的實(shí)數(shù)a,其取值范圍是(-4,+8).

變式訓(xùn)練3.設(shè)集合A={(x,y)|y=2x-l,xSN*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,xGN*},問是否存在

非零整數(shù)a,使ADBW0?若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)ADB#。，則方程組

y_2_|

v-有正整數(shù)解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+l=0.

y=ax^-ax+a

由△》(),有(a+2)2—4a(a+1)20,解?得一友友.因a為非零整數(shù),Aa=±l,

3——3

當(dāng)a=T時(shí)，代入(*),解得x=0或x=T,

而xCN*.故arT.當(dāng)a=l時(shí),代入(*),

解得x=l或x=2,符合題意.故存在a=l,使得AABW0,

此時(shí)ACB={(1,1),(2,3)).

例4.已知A={x|x2—2ax+(4a—3)=0,xGR},又B={xIx2—2行ax+a2+a+2=0,

xGR},是否存在實(shí)數(shù)a,使得AUB=0?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由.

解：l<a<2即實(shí)數(shù)”(1,2)時(shí)，A(jB=0.

變式訓(xùn)練4.設(shè)集合A為函數(shù)y=]n(—x2—2x+8)的定義域，集合6為函數(shù)y=x+—L的

X+1

值域，集合C為不等式(ax-L)(x+4)?0的解集.(1)求APIB；(2)若C=gA,求”的

a

取值范圍.

解：⑴解得A=(-4,2),B=(-oo,-3]U[l,+oo)o所以。>8=(-4,—3]U[L2)

(2)a的范圍為---<a<0

2

歸納小結(jié)

1.在解決有關(guān)集合運(yùn)算題目時(shí)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題目中符號(hào)語言的含義，善于轉(zhuǎn)化為文字

語言.

2.集合的運(yùn)算可以用韋恩圖幫助思考，實(shí)數(shù)集合的交、并運(yùn)算可在數(shù)軸上表示，注意在運(yùn)

算中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

3.對(duì)于給出集合是否為空集，集合中的元素個(gè)數(shù)是否確定，都是常見的討論點(diǎn)，解題時(shí)要

有分類討論的意識(shí).

集合單元測(cè)試題

一、選擇題

1.設(shè)全集U=R,A={x€NUWxWlO},B={x6R|/+x—6=0},則下圖中陰影表示的集合

為()

A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}

2.當(dāng)xeR,下列四個(gè)集合中是空集的是()

A.{x|X2-3X+2=0}B.{XIx2<x}

C.{x|X2-2X+3=0}C.{xIsinx+cosx=[}

3.設(shè)集合4={5,log2(a+3)},集合8={a,b},若AnB={2},則AUB等于()

A.{1,2,5}B.{-1,2,5}

C.{2,5,7}D.{-7,2,5}

4.設(shè)集合A=b，|y=J》2-i卜B={xly=J7二1},貝ij下列關(guān)系中正確的是()

A.A=BB.A^BC.BQAD.4cB=[1,+OO)

5.設(shè)M,P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集為M-P={x|xeM且xep},則M-(M-P)等于

()

A.PB.Mp|PC.MUPD.M

6.已知4={#2_2》一3<0},B={x\x<a\,若A",則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(―1,4-oo)B.[3,4-oo)C.(3,4-oo)D.(—00,3]

7.集合M={xIx=sin?,nGZ},N={xlx=cos?,n￡Z},MCN=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{0}D.0

8.已知集合M={xlx=-+-,ksZ},N={xIx=-+-,keZ},則()

2442

n

A.M=NB.M*N

u

C.M*ND.McN=6

9.設(shè)全集U={xllWx<9,x￡N},則滿足{1,3,5,7,8}c。,8={1,3,5,7}的所有集合B

的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.4個(gè)

C.5個(gè)D.8個(gè)

10.已知集合乂={,，y)|y—9-x2},N={(x,y)Iy=x+b},且MCN=0,則實(shí)數(shù)b應(yīng)

滿足的條件是

()

A.Ib|>36B.0<b<42

C.-3WbW如D.b>3拉或b<-3

二、填空題

11.設(shè)集合A={x|—3WxW2},8={》|2%—1(；1<2女+1},且71衛(wèi)6,則實(shí)數(shù)上的取值范

圍是.

12.設(shè)全集U=R,A={XI2JU-2)<l},5={xly=ln(l-x)},

則右圖中陰影部分表示的集合為.

13.已知集合人={1,2,3,4},那么A的真子集的個(gè)數(shù)

是_______________.

14.若集合s='y|y=1,xeR卜T={yIy=log(x+l),x>-l}，則SAT等于.

15.滿足{0,1,2聲Ag{0,l,2,3,4,5}的集合A的個(gè)數(shù)是個(gè).

11

16.已知集合尸={xl5?x<3},函數(shù)/(x)=log2(?！?x+2)的定義域?yàn)镼.

12

(1)若PnQ=',]),PUQ=(—2,3],則實(shí)數(shù)a的值為；

(2)若PDQ=。，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(x)—的定義域集合是A,函數(shù)g(x)=lg[x2-(2a+l)x+a2+a]的定

x-2

義域集合是B

(1)求集合A、B

(2)若AUB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.設(shè)U=H,集合A={xlx?+3x+2=。},5=Ix24-(m+l)x+m-0|；

若(CuA)nB=。，求機(jī)的值.

19.設(shè)集合A={x|l/3242-*44},B=[r|x2-3mx+2m'-w-1<o}.

(1)當(dāng)xeZ時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)：

(2)若B=。，求m的取值范圍；

(3)若A=求m的取值范圍.

20.對(duì)于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)"，若"f(x))=x,則稱x為

f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即A=""(x)=x},

⑴求證：A-B

(2)若/(%)=加一1(。￡氏%￡/?),一且4=8。(|),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

單元測(cè)試參考答案

一、選擇題

1.答案：A

2.答案：C

3.答案：A

4.提示：A={yly20},5={xlx21或xW—1}.答案：D

5.答案：B

6.答案：B

7.由絲與空的終邊位置知M={-3，0,丑},N={-1,0,1},故選C.

3222

8.C

9.D

10.D

11.提示：2k-l<2k+l,答案：一

2

12.答案：A=(0,2),B=(—oo,l),圖中陰影部分表示的集合為4口68=[1,2),

13.答案：15

14.答案：{ylyN—1}

15.答案：7

3

16.答案：a=一一：ae(-oo,-4]

2

17.解：(1)A={xlx或2}......

B="Ix<a或x>4+1}..........

_a>—1

(2)由人1]13=8得人(313,因此4..........

a+