高中數(shù)學(xué)直線與圓講義

第七講直線和圓

一、直線的方程

1.直線的傾斜角與斜率

⑴直線的傾斜角

①定義：當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線/向上方向之間所成的角a叫做直線/

的傾斜角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.

②傾斜角的范圍為［0°,180°）.

例1.直線xcose+J5y—2=0的傾斜角的范圍是

例2.過點(diǎn)尸（一5^,1）,。（0,時(shí)的直線的傾斜角的范圍a杏］,那么加值的范圍是

⑵直線的斜率

①定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母〃表示，即仁tana,傾斜角是

90°的直線斜率不存在.

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

經(jīng)過兩點(diǎn)必），PKxz,㈤（其中必xz）的直線的斜率公式為依%一%

例1.兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的條件.

例2.實(shí)數(shù)滿足3x-2y-5=0（1<x<3）,則上的最大值、最小值分別為

X

例3.已知m屬于R,直線I:mx-（m2+1）y=4m.求直線I斜率的取值范圍

例4.直線加壯"y—1=0同時(shí)過第一.三.四象限的條件是：（）

A./77/7>OB./77/7<OC.rri>Q,/7<0D.欣0,水0

2.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式尸外二〃（X-Xo）不含直線產(chǎn)Xo

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y—x_x—不

兩點(diǎn)式不含直線產(chǎn)?。ū?X2）和直線y=yi（yi,㈤

必一%出一玉

截距式4+2=1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

ab

Ax+By+C=O(A2+B2一

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

0)

例1.經(jīng)過點(diǎn)（2,1）且方向向量為工=（一1,、回）的直線的點(diǎn)斜式方程是

例2.若曲線曠=。|l|與y=x+a（a>0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則。的取值范圍是

3.幾種特殊直線的方程

⑴過點(diǎn)戶（a,份垂直于x軸的直線方程為x=a;過戶（a,份垂直于y軸的直線方程為y=b.

（2）已知直線的縱截距為b,可設(shè)其方程為y=kx+b.

（3）已知直線的橫截距為a,可設(shè)其方程為x=my+a.

（4）過原點(diǎn)且斜率是4的直線方程為y=kx.

例1.下列四個(gè)命題中的真命題是（）

A.經(jīng)過定點(diǎn)8（xo,%）的直線都可以用方程"一妙二〃（x-xo）表示

B.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A（必，必）、Pi（xz,力）的直線都可以用方程（y—必）,（xz—%）=（x—必）（外一必）

表示

XV

C.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程一+上=1表示

ab

D.經(jīng)過定點(diǎn)4（0,6）的直線都可以用方程看公表示

例2.設(shè)力、8是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)戶的橫坐標(biāo)為2且|〃|=|陽若直線外的方程為丫一六1=0,則直線外的方程

是（）

A.x^-y—5-0B.2x—y—1=0C.2y—x—4=0D.2x+y-7=0

例3.過點(diǎn)（1,2）且與圓x2+y2=1相切的直線方程為

二.直線的性質(zhì)

1.過定點(diǎn)

1.方程為丫=卜*+上必過定點(diǎn)（0,b）

2.方程為y=k（x+a），必過定點(diǎn)"a,0）

3.當(dāng)斜率左存在時(shí)，常設(shè)其方程為y=Ar（x-Xo）+yo，直線過點(diǎn)（%,%）,當(dāng)斜率A不存在時(shí)，則其方程為x=x0

例1.直線（〃?+2）x-（2機(jī)-l）y-（3加-4）=0,不管，〃怎樣變化恒過點(diǎn)

三.兩條直線位置關(guān)系

若直線4：4A+8y+C=0（4,8不全為0）,直線A:4A+8L■G=0（4,8不全為0）,則

1./|〃/2=48-48=0且4&-4c豐0.

2./1_LA\By^—0o

3./,與A重合o4笈-48=0且46-4C=0（或8c=0）.

1.兩條直線平行與垂直的判定

（1）兩條直線平行

對(duì)于兩條不重合的直線/,,h,其斜率分別為由，kz,則有/,〃/?=年43特別地，當(dāng)直線h、/z的斜率都不存在時(shí)，

八與/2的關(guān)系為平行.

⑵兩條直線垂直

如果兩條直線/“/z的斜率存在，分別設(shè)為4,ki,則/」/zO&X左=-1

例1.設(shè)直線4:x+my+6=0和4：(m-2)x+3y+2加=0,當(dāng)m=時(shí)4//12；當(dāng)加=時(shí)《±12；

當(dāng)m時(shí)4與4相交；當(dāng)/%=時(shí)4與4重合

例2.已知直線/的方程為3x+4y-12=0,則與/平行，且過點(diǎn)(一1,3)的直線方程是

例3.兩條直線ax+y-4=0與x—y—2=0相交于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

例4.已知點(diǎn)q(X],y)是直線/"(x,y)=0上一點(diǎn)，P,(x2,y2)是直線/外一點(diǎn)，則方程

f(x,y)+/(X1,y)+f(x2,y2)=0所表示的直線與I的關(guān)系是

2.三種距離

(1)兩點(diǎn)間的距離

平面上的兩點(diǎn)A(M,yi),Pi(%2,㈤間的距離公式|-X2+Cy—)~

特別地，原點(diǎn)0(0,0)與任一點(diǎn)夕(x,。的距離|華|=Y2+,2

(2)點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)Po(xQ,yo)到直線/:Av+MCO的距離片IBy。+UI

⑶兩條平行線的距離

兩條平行線Ax+MG=O與而+MGR間的距離?—GI

y/A2+B-

例1求點(diǎn)P=(-1,2)到直線3x=2的距離。

例2已知點(diǎn)A(1,3),B(3,1),0(-1,0),求三角形ABC的面積。

例3求兩平行線4：2x+3y—8=0,l2：2x+3y—10=0,求人與的距離?

3.直線系

(1)與直線/A+MUO平行的直線系方程Ax+冊(cè)，=030；

(2)與直線垂直的直線系方程為Bx-Ay^C=0

⑶過兩直線。：句/〃尸5=0,/2：金盧如^所0的交點(diǎn)的直線系方程為4x+8p+G+/(4/8六&)=0.

4.對(duì)稱問題

1.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個(gè)方面：①兩點(diǎn)連線與已知

直線斜率乘積等于7,②兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.

例1.求點(diǎn)A(1,3)關(guān)于直線I:x+2y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo).

2.直線關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的問題

直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題，可轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的問題，這里需要注意到的是兩對(duì)稱直線是平行的.我

們往往利用平行直線系去求解.

例2.求直線2x+11y+16=0關(guān)于點(diǎn)P(0,1)對(duì)稱的直線方程.

例3.已知點(diǎn)M(a,份與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于)，軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=O對(duì)稱，則點(diǎn)

Q的坐標(biāo)為

例4.已知直線6與4的夾角平分線為y=x,若4的方程為ax+by+c=0(ab>0),那么乙的方程是

例5.點(diǎn)A(4,5)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為B(—2,7),則/的方程是

例6.已知一束光線通過點(diǎn)A(-3,5),經(jīng)直線/:3x—4y+4=0反射。如果反射光線通過點(diǎn)B(2,15),則反

射光線所在直線的方程是

例7.已知AABC頂點(diǎn)A(3,-1),AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y—59=0,NB的平分線所在的方程為x

一4y+10=0,求BC邊所在的直線方程

例8.直線2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A(4,-1)、B(3,4)的距離之差最大，則P的坐標(biāo)是

例9.已知Aex軸，Be/:y=x,C(2,1),周長的最小值為

四.圓的方程及性質(zhì)

一.定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尸a)>(尸6尸=尸其中圓心為(a,6),半徑為r;廠--——

(DEyy/D2+E2-4F

.一J2

(2)圓的一般方程為乂2+/+。戶％■后0,圓心坐標(biāo),半徑為.方程表示圓的充要條件是

6心AF>Q

⑶圓的參數(shù)方程：卜：覺'cosg2為參數(shù))，其中圓心為(。功)，半徑為「。圓的參數(shù)方程的主要

Iy—u?Ysinu

應(yīng)用是三語換元：x2+y2=r2-x=rcos6,y=rsin。；x2+y2<t

—>x=rcos3,y=rsin6(0<r<〃)。

例1.圓C與圓(X-1)2+丁=1關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，則圓C的方程為

例2.圓心在直線2x-y=3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

例3.已知P(—1,6)是圓卜：'。差勺(。為參數(shù)，04。<2萬)上的點(diǎn)，則圓的普通方程為_________,P

(y—rsinv

點(diǎn)對(duì)應(yīng)的，值為,過P點(diǎn)的圓的切線方程是

例4.如果直線/將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么/的斜率的取值范圍是_

例5.方程x?+y2—x+y+k=0表示一■個(gè)圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

例6.若M={(x,y)|卜：料sg(。為參數(shù)，0<。<乃)},N={(x,y)|y=x+8},若MCN力則b

Iy—Dsinu

的取值范圍是

例7.已知圓心為點(diǎn)(2,-3),一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好落在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是()

A.%2+/-4x+6y+8=0Bx2+/-4x+6j-8=0

Cx2+y2-4x-6y=0Dx2+y2-4x+6j=0

例8.與直線x+y-2=0和曲線/+/一12%-12,+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

是.

例9.(上海卷)圓/+/一2%一1=()關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程是()

A.(x+3>+(y—2)2=gB.(x—3尸+。+2尸=g

C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2

五.點(diǎn)與圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系

1點(diǎn)(M),R)與圓(xa)2+(廣6)2=/的位置關(guān)系：

(1)當(dāng)(AO-S)2+(yO-A)2>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；

(2)當(dāng)(G-a)2+(0-6)2=。時(shí)，點(diǎn)在圓上;

(3)當(dāng)(xO-a)2+(jO-￡>)2<r2時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；

2若圓（片方），（尸6）2=/與*軸相切，則|引二廠；若圓（尸a），（廣6）2二/與p軸相切，則|a|二廠.

3.若圓x^-y^Dx^Ey^F^O關(guān)于x軸對(duì)稱，則F=0;

若圓x+y+D^-E^Q關(guān)于v軸對(duì)稱，則氏0;

若圓>+/+，/全尸0關(guān)于片x軸對(duì)稱，則分￡

4.點(diǎn)以xo,㈤與圓/+丁+。吠￡>+萬0的位置關(guān)系：

"在圓內(nèi)Qxo^-y^+Dxo+Eyo+F<.0;

"在圓上=/+辦+〃￥（）+Eyo+F=0；

"在圓夕卜=xo+y^+Dxo+國）+F>0.

例1.點(diǎn)P（5a+1,12a）在圓（x—1）2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是

1.直線與圓的位置關(guān)系判斷方法

⑴幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為&圓半徑為〃，若直線與圓相離，則Q>r;若直線與圓相切，則*r;若

直線與圓相交，則"O.

⑵代數(shù)法：將直線與圓的方程聯(lián)立，若D>0,則直線與圓相交若D=0,則直線與圓相切

若DVO,則直線與圓相離.

例1.圓2/+2/=1與直線xsine+y-l=0（eeR,6?H、+Qr,左ez）的位置關(guān)系為____

例2.若直線依+處一3=0與圓/+；/+4*-1=0切于點(diǎn)p（_l,2）,則的值____

例3.直線x+2y=0被曲線V+y2—6x—2y—15=0所截得的弦長等于

例4一束光線從點(diǎn)A（—1,1）出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:（x-2）2+（y-3）2=1上的最短路程是

z2

例5已知例（a,/?）（出?工0）是圓。：X?+）'=r內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以M為中點(diǎn)的弦所在直線〃?和直線I:ax+by=r,

則

A.mHI,且/與圓相交B./_L/n,且/與圓相交

C.mill,且/與圓相離D./1m,且/與圓相離

例6.已知圓C：X2+（y-1）2=5,直線L：mx-y+l—〃2=0。①求證：對(duì)/nwR,直線L與圓C總有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)；②設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|A@=J萬，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長及最短

時(shí)的直線方程.

2.兩圓的位置關(guān)系

(1)設(shè)兩圓半徑分別為凡NQr),圓心距為d

若兩圓相外離，則公切線條數(shù)為4：

若兩圓相外切，則*8r,公切線條數(shù)為3；

若兩圓相交，則華r,公切線條數(shù)為2;

若兩圓內(nèi)切，則片長乙公切線條數(shù)為1;

若兩圓內(nèi)含，則"</?~/?,公切線條數(shù)為0.

(2)設(shè)兩圓G:x+y+a)&E^Fy-G,G:V+V+NA+EHQR,若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在的