高中數(shù)學(xué)-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

【課標(biāo)分析】2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在圓錐曲線部分內(nèi)容要求是：了解橢圓

的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；經(jīng)歷從具體情境中抽象出

橢圓定義的過程；掌握橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

【教材分析】《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用"曲線和方程"理論解決具體的

二次曲線的又一實(shí)例，也是圓錐曲線這一章的一節(jié)入門課。從知識上說，它是對前面所學(xué)的

運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的

基礎(chǔ)；從方法上說，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基

礎(chǔ)。因此，這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)。另外，對橢圓定義與方程的研

究，將曲線與方程對應(yīng)起來，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想。而這種思想，將

貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【學(xué)情分析】高二的學(xué)生思維活躍勇于探索，初步具備了用舊知識解決新問題的能力。但

由于普通中學(xué)的學(xué)生基礎(chǔ)較差，思維能力較弱，導(dǎo)致自信心較弱，因此克服困難的勇氣和毅

力也較弱。而且對應(yīng)用“坐標(biāo)法”和“數(shù)形結(jié)合思想方法”只是初步了解，對“坐標(biāo)法”解

決問題掌握不夠，對“數(shù)形結(jié)合思想方法”理解不夠透徹，從研究圓到研究橢圓，跨度較大，

學(xué)生思維上存在障礙，同時(shí)在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，學(xué)生對根式方程的化簡有一定的難度，而

這些在目前初中代數(shù)中都沒有詳細(xì)介紹，初中代數(shù)不能完全滿足學(xué)習(xí)本節(jié)的需要。因此，在

教學(xué)過程中教師必須進(jìn)行細(xì)致的啟發(fā)和引導(dǎo)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分發(fā)揮其主觀能

動(dòng)性，才能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。

2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程。

3.掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

【教學(xué)重點(diǎn)】1.掌握橢圓的定義。2.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

【教學(xué)難點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

【教學(xué)方法】講授法、探究法、實(shí)驗(yàn)法

【教學(xué)準(zhǔn)備】教學(xué)課件、A4紙、錐形瓶、細(xì)繩。

【教學(xué)過程】

教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

教師操作錐形瓶，引導(dǎo)學(xué)生

,一、動(dòng)手操作，感知橢圓

展示切割圓錐得學(xué)生前后四在動(dòng)手操

【實(shí)踐】小組合作，利用手中的細(xì)繩、鉛到圓錐曲線的過人小組利用作的過程

筆等工具嘗試在白紙上畫出橢圓。程，讓學(xué)生舉出生手中的細(xì)繩中，發(fā)散思

活中的實(shí)例。提在白紙上嘗維。畫出線

問：怎樣畫橢圓。試畫橢圓。段、橢圓等

圖形

學(xué)生動(dòng)手操作形學(xué)生同桌之培養(yǎng)學(xué)生

成橢圓軌跡后，及間討論，類比歸納推理

二、類比歸納，定義橢囪

時(shí)提問，抓住不變圓的定義嘗能力和數(shù)

【討論】量。類比圓的定試歸納橢圓學(xué)抽象核

1、在畫橢圓的過程中，有哪些定點(diǎn)？哪義，引導(dǎo)學(xué)生歸納的定義。心素養(yǎng)

些量是不變的？橢圓的定義。此處

預(yù)設(shè)學(xué)生歸納出

2、請你類比圓的定義（平面內(nèi)到定點(diǎn)的距

“到兩定點(diǎn)的距

離等于常數(shù)（大于零）的點(diǎn)的軌跡）歸納離等于常數(shù)的點(diǎn)

出橢圓的定義。的軌跡叫做橢

圓”，給予學(xué)生充

分肯定，繼續(xù)類比

圓的定義中常數(shù)

大于零的限制條

件，拋出橢圓定義

中的常數(shù)是否有

限制條件？進(jìn)一

步完善定義

三、折紙連線，理斛橢圓

教師設(shè)置圓紙片學(xué)生在預(yù)習(xí)動(dòng)手操作

道具，作為預(yù)習(xí)作的過程中，積圓紙片，有

【操作】Stepl:找到紙片的圓心,記作F2；

業(yè)提前布置給學(xué)極動(dòng)手，發(fā)現(xiàn)利于激發(fā)

Step2:在圓F2內(nèi)部取一定點(diǎn)F1生。教師利用幾何軌跡。在觀察學(xué)生學(xué)習(xí)

（與點(diǎn)F2不重合）；畫板展示動(dòng)點(diǎn)M軌跡的過程的興趣，滲

的軌跡，規(guī)范學(xué)生中，意識到變透橢圓上

Step3:在圓周上任取一點(diǎn)N,將點(diǎn)動(dòng)手操作所形成中不變。的點(diǎn)所具

的軌跡有的性質(zhì)，

N與圓心F2相連，得半徑F2N；

為進(jìn)一步

Step4:折疊圓形紙片，使點(diǎn)N與理解橢圓

的定義做

點(diǎn)F1重合,將折痕與半徑F2N的交點(diǎn)記作

好腳手架。

M；

Step5:重復(fù)過程Step3至Step4,

得到若干交點(diǎn)，并用平滑曲線依次連接交

點(diǎn)。

【問題】用平滑曲線依次連接交點(diǎn)，會得

到什么圖形？請說明理由。

四、思維碰撞，推導(dǎo)方程

首先類比圓的標(biāo)學(xué)生會有兩引導(dǎo)學(xué)生

【探究】1、建立平面直角坐標(biāo)系：準(zhǔn)方程的形成過種不同的建發(fā)散思維，

程，總結(jié)生成曲線系方式：一是發(fā)現(xiàn)建系

2、設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M(x,y)：的標(biāo)準(zhǔn)方程的一以某一焦點(diǎn)的多樣性。

般步驟：建系，設(shè)為原點(diǎn)，一是培養(yǎng)學(xué)生

3、設(shè)橢圓的焦距|FlF2|=2c,橢點(diǎn)，列式，化簡，以FlF2的中數(shù)學(xué)建模

圓上任意一點(diǎn)與Fl,F2的距離的和等于常證明。點(diǎn)為原點(diǎn)建的意識。

數(shù)2a,(其中a>c>0).根據(jù)橢圓的定義寫經(jīng)過建系，設(shè)點(diǎn)，立直角坐標(biāo)激發(fā)學(xué)生

出等量關(guān)系；列式后得到此方系。教師以簡思維，鼓勵(lì)

程，處理本問題的潔，對稱，關(guān)學(xué)生多角

4、根據(jù)等量關(guān)系列出方程并化過程是本節(jié)課的鍵點(diǎn)在軸上度，多層次

簡：重點(diǎn)和難點(diǎn)，是培等標(biāo)準(zhǔn)予以思考解決

養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算指導(dǎo).方案。

素養(yǎng)的重要抓手，設(shè)置一人爬

必須充分引導(dǎo)思黑板，其它同

考學(xué)思考化簡

在此處預(yù)設(shè)5種寫在學(xué)案上，

解決方案：直接平在爬黑板的

方法，移項(xiàng)平方同學(xué)書寫的

法，分子有理化基礎(chǔ)上，全班

法，等差中項(xiàng)法和共同完善該

平方差法以呼應(yīng)生的化簡過

學(xué)生可能生成的程。然后鼓勵(lì)

解決方案?；喭陮W(xué)生積極展

成之后，形成焦點(diǎn)示自己的想

在X軸上的橢圓的法，互相交

標(biāo)準(zhǔn)方程。流，分享想

法，在交流展

示的過程中

碰撞思維，形

成“火花”。

五、教形結(jié)合,理解方程

【發(fā)現(xiàn)】1、從圖中找出長度為

/22找學(xué)生回答培養(yǎng)學(xué)生

a,c,7a—c的線段：在形成焦點(diǎn)在X軸

上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)化簡復(fù)雜

方程過程中，教師數(shù)學(xué)式和

1H會引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)解決復(fù)雜

數(shù)學(xué)問題

Q少忠a2-c2=b2

的勇氣。

在逐步化

簡方程的

過程中感

受數(shù)學(xué)的

對稱美和

簡潔美。

2、嘗試寫上裝點(diǎn)在y軸上的橢圓

標(biāo)準(zhǔn)方程：

在學(xué)生順利生成啟發(fā)學(xué)生用

d%

焦點(diǎn)在X軸上的橢已知表示未

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，知，將未知轉(zhuǎn)

引導(dǎo)學(xué)生類比焦化為已知。

點(diǎn)在X軸上的橢圓

V〃、

的標(biāo)準(zhǔn)方程形成

焦點(diǎn)在y軸上的

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

3、對比兩種二6同標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓

異同點(diǎn)：通過簡單的表格學(xué)生口答幫助學(xué)生

總結(jié)整理更好的把

握兩種方

程的結(jié)構(gòu)

特點(diǎn)，使學(xué)

生的知識

體系更加

條理完整。

六、學(xué)以致用，建立模型

【例1】已知折紙實(shí)驗(yàn)中的圓形紙片的半

徑為10cm,定點(diǎn)Fl,F2的距離為8cm,

教師展示PPT學(xué)生展示自培養(yǎng)數(shù)學(xué)

求實(shí)驗(yàn)中動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。己的解題過建模意識

程

【例2】由我國自主研發(fā)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航

系統(tǒng)，共有36顆非靜止軌道衛(wèi)星在軌運(yùn)行。教師口述，為播放學(xué)生口答焦引導(dǎo)學(xué)生

已知非靜止軌道衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球視頻做鋪墊點(diǎn)坐標(biāo)感受科技

發(fā)展與數(shù)

的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，若其中一顆衛(wèi)學(xué)知識緊

22密相關(guān)，再

借助北斗

星的軌道方程為,求

10000-8000-導(dǎo)航系統(tǒng)

橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。相關(guān)視頻，

激發(fā)學(xué)生

努力學(xué)習(xí)、

報(bào)效祖國

的情懷。

七、學(xué)有所思，感悟收獲

引導(dǎo)學(xué)生

本節(jié)課，你學(xué)到了哪些知識、思想和方法？梳理新知，

還有什么收獲？感悟收獲

入、鞏固新知，分層作業(yè)

基礎(chǔ)性作業(yè)：課本P42練習(xí)A第2題；

分層作業(yè)，

發(fā)展性作業(yè)：課本P42練習(xí)B第1、2題；

深化所學(xué)

探究性作業(yè)：1.嘗試用不同的方法畫橢圓；

2.探求推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的

不同方法。

【教學(xué)反思】

一、追本溯源，加強(qiáng)幾何直觀。

作為圓錐曲線的起始課，我借助演示錐形瓶，將切割圓錐的歷史事件直觀化，接著尋找

生活中的橢圓，繼續(xù)增強(qiáng)學(xué)生對橢圓的直觀認(rèn)識，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

二、發(fā)散思維，尋找變中不變。

本節(jié)課嘗試在開放條件下畫一個(gè)橢圓，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)點(diǎn)的變化中發(fā)現(xiàn)不變量，類比圓的

定義歸納橢圓的定義。然后利用幾何畫板再現(xiàn)課前折紙實(shí)驗(yàn)，深化學(xué)生對橢圓的定義的理解，

使學(xué)生體會一一動(dòng)是理解解析幾何問題的出發(fā)點(diǎn)，不動(dòng)是解決解析幾何問題的落腳點(diǎn)。

三、多法歸一，感受數(shù)學(xué)之美。

本節(jié)課利用坐標(biāo)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，重點(diǎn)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。在課堂上讓學(xué)

生板演，投影展示學(xué)生的不同處理方法，雖然絕大部分學(xué)生不能獨(dú)立完成方程的化簡，但需

要通過落實(shí)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)化簡過程中的困難與障礙，給予學(xué)生試錯(cuò)的機(jī)會，在交流合作中實(shí)

現(xiàn)思維的碰撞，培養(yǎng)學(xué)生化簡復(fù)雜數(shù)學(xué)式和解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的勇氣。在逐步化簡方程的過

程中感受數(shù)學(xué)的對稱美和簡潔美。這也是本節(jié)課的特色。

四、德育滲透，培養(yǎng)應(yīng)用意識。

例1將折紙實(shí)驗(yàn)賦予數(shù)據(jù)，前后呼應(yīng)，建立數(shù)學(xué)模型，落實(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2以北

斗導(dǎo)航系統(tǒng)為背景，旨在引導(dǎo)學(xué)生感受科技發(fā)展與數(shù)學(xué)知識緊密相關(guān)，再借助北斗導(dǎo)航系統(tǒng)

相關(guān)視頻，激發(fā)學(xué)生努力學(xué)習(xí)、報(bào)效祖國的情懷。但是由于本人第一次上大型公開課，比較

緊張，時(shí)間把握不準(zhǔn)確，沒有將例2展示出來，直接播放視頻，缺少鋪墊，略顯突兀。

學(xué)情分析

高二的學(xué)生思維活躍勇于探索，初步具備了用舊知識解決新問題的能力。但

由于普通中學(xué)的學(xué)生基礎(chǔ)較差，思維能力較弱，導(dǎo)致自信心較弱，因此克服困難

的勇氣和毅力也較弱。而且對應(yīng)用“坐標(biāo)法”和“數(shù)形結(jié)合思想方法”只是初步

了解，對“坐標(biāo)法”解決問題掌握不夠，對“數(shù)形結(jié)合思想方法”理解不夠透徹，

從研究圓到研究橢圓，跨度較大，學(xué)生思維上存在障礙，同時(shí)在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

時(shí)，學(xué)生對根式方程的化簡有一定的難度，而這些在目前初中代數(shù)中都沒有詳細(xì)

介紹，初中代數(shù)不能完全滿足學(xué)習(xí)本節(jié)的需要。因此，在教學(xué)過程中教師必須進(jìn)

行細(xì)致的啟發(fā)和引導(dǎo)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，才能

達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的。

效果分析

1.能夠引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中，發(fā)散思維。畫出線段、橢圓等圖形

2.能夠培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

3.動(dòng)手操作圓紙片，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，滲透橢圓上的點(diǎn)所具有的性質(zhì)，為進(jìn)一步

理解橢圓的定義做好腳手架。

4.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，發(fā)現(xiàn)建系的多樣性。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識。激發(fā)學(xué)生思維，鼓勵(lì)

學(xué)生多角度，多層次思考解決方案。

5.培養(yǎng)學(xué)生化簡復(fù)雜數(shù)學(xué)式和解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的勇氣。在逐步化簡方程的過程中感受數(shù)學(xué)

的對稱美和簡潔美。

6.幫助學(xué)生更好的把握兩種方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使學(xué)生的知識體系更加條理完整。

7.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識

8.引導(dǎo)學(xué)生感受科技發(fā)展與數(shù)學(xué)知識緊密相關(guān)，再借助北斗導(dǎo)航系統(tǒng)相關(guān)視頻，激發(fā)學(xué)生努

力學(xué)習(xí)、報(bào)效祖國的情懷。

9.引導(dǎo)學(xué)生梳理新知，感悟收獲

10.分層作業(yè)，深化所學(xué)

教材分析

《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用"曲線和方程"理論解決具體的二次曲

線的又一實(shí)例，也是圓錐曲線這一章的一節(jié)入門課。從知識上說，它是對前面所

學(xué)的運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究

橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上說，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲

線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。因此，這節(jié)課有承前啟