高中數(shù)學(xué)：高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)：高一下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)必修二

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1、皿

定義：有兩個(gè)面互相平行，期各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五雌或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母，如五棱柱

ABODE—ABCDE

幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)

棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

2、棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，臺(tái)各面都是有頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍

成的幾

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示:用各頂點(diǎn)字母，如五蟆2-/女。萬(wàn)月

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面

相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

定義：用一評(píng)行于棱錐底面的平面去栽棱推，截面和底面之間的部分

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母,如四棱臺(tái)ABCD—ABC?！?/p>

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐

的頂點(diǎn)

定義：以矩形的一^在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何

體

幾何特征：①底面是全等的國(guó)；②母線(xiàn)與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)

面展開(kāi)圖―

5園推

定義：以直自轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線(xiàn)交于圓堆的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是Y扇形.

定義：用一評(píng)行于圓錐底面的平面去截回推,截面和底面之間的部分

幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是

Y弓形。

球體

定義：以半國(guó)的直徑所在直淺為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距囂于半徑。

※空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征:面（側(cè)面、比面、下底面）、棱、頂點(diǎn)、軸

1.2空間幾何體的三視圖和直觀(guān)圖

1、中心投影與平行投影

中心投影：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

2三視圖

正視圖：從前往后

側(cè)視圖：從左往右

耐圖：從上往下

畫(huà)三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3、直觀(guān)圖：斜二測(cè)畫(huà)法

斜二測(cè)畫(huà)法的步曝:

(1).平行于坐標(biāo)軸的我依然平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；

(3).畫(huà)法要寫(xiě)好。

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步腺:(1)畫(huà)軸(2)畫(huà)底面(3)畫(huà)側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng)，h為高，分為斜高(I為母愛(ài))

s=1

S=w在gWS目由g=2Q7?六一^“uS國(guó)惜"友二獷/

Sw5￡ts=,(c：+c""S24r加=(r+RM

S后注表=2仃(，+/)S云展點(diǎn)=仃(，+/)S-^=^(r2+rl+Rl+R2)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

%=ShV^=Sh=nr1h%=3；：/電=

%=!(S'+7??+S)以噎*=；($+^?+5)〃=?萬(wàn)(產(chǎn)+木+火：)〃

4配

(4)球體的表面積和陽(yáng)公式：V畢=3";$"=4萬(wàn)女

第二章點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直淺、平面之間的彳謂關(guān)系

①平面：公理1:如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在Y平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)在此平面

內(nèi)。

公理2:過(guò)不在一條直關(guān)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一必共點(diǎn)，那么它們有且只

只有一條過(guò)改點(diǎn)的公共直線(xiàn)

②線(xiàn)關(guān)關(guān)系:1空間的兩條直統(tǒng)有如下三種關(guān)系：

相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一轉(zhuǎn)共點(diǎn)；

平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線(xiàn):不同在任何f平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。

公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條儂互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)

allb1=>&//c

clib

強(qiáng)謂：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都

公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的礴

③發(fā)面位置關(guān)系

(1)直比在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線(xiàn)與平面相交——有且只有一^M點(diǎn)

(3)直線(xiàn)在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直我與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用aa來(lái)表示G

4、面面關(guān)系

平行一沒(méi)有公共點(diǎn)；aiip

相55~~W一條較直送。anp=b

2.2直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)

1、線(xiàn)面平行判定

定理:平面夕1條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該靛與此平面平行,符號(hào)

：

作用：直線(xiàn)與平面的判短理

2、面面平行

定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另T面平行，則這兩個(gè)平面平行,

作用：證畫(huà)面平行

2.3直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、線(xiàn)面垂直

定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。

作用：證線(xiàn)面垂直

淺面角：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角。

樁解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：(1)斜關(guān)上一點(diǎn)到面的垂關(guān)；

(2)過(guò)斜統(tǒng)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂發(fā)。

2.00垂直

(1)定理：f平面過(guò)另一個(gè)平面的裁，則這兩個(gè)平面垂直。

作用：證面面垂直

(2)二面角：從一條直式出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線(xiàn)

叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

(3)二面角的平面角：以二面角的樓上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直

于棱的兩條射關(guān)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角。

(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如

果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

(5)求二面角的左去

①定義法：在棱_b齷有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平

面角

②垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面兩個(gè)面的交線(xiàn)所

成的角為二面角的平面角

2、垂直關(guān)系的性質(zhì)定理

①線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。

②面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的

交線(xiàn)的直關(guān)垂直于另一個(gè)平面。

第三章直線(xiàn)與方程

3.1直線(xiàn)的傾斜角與斜率

(1)直線(xiàn)的豳角

定義：x軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的陶角。特別地，當(dāng)直線(xiàn)與

X軸平行或重合時(shí)我們規(guī)定它的傾斜角為。度。因此，傾斜角的取值范圍是0°<a

<180°

(2)直線(xiàn)的斜率

①定義：傾斜角不是90。的直線(xiàn),它的陶角的正切口撤這條直線(xiàn)的斜率。直關(guān)的

斜率常用k表示。即—tana。斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度。

當(dāng)ae上,90。)時(shí)，上20；當(dāng)ae(90;1$01時(shí)，上<0；當(dāng)a=90?時(shí)，k不

k=——(Xj*x,)

②過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式：x：-網(wǎng)

:Q)當(dāng)X：=%時(shí)，公郎姬取,,鶴角為90°;

(2)k與Pl、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)頗角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐

標(biāo)直接求得；

(4)求直線(xiàn)的喇角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

3.2直線(xiàn)的方程

①點(diǎn)斜式：丁-乂藤斜率k,且過(guò)點(diǎn)&，N)

注意:當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0°時(shí)，k=0,直發(fā)的方程是y=yl。

當(dāng)直我的斜率為90。時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表

示,但因I上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于xl，所以它的方程是x=xl。

②斜截式：y=kx+b，直輟率為k,直線(xiàn)在y軸上的截距為b

y-y._x-x.

③兩點(diǎn)式：斗至一=（工f，片f）直線(xiàn)兩點(diǎn)（4N）,上，力）

￡+J=i

④?。b

其中直茂7與x軸交于點(diǎn)3°）,與）’軸交于點(diǎn)（°力）,即/與x軸、軸的截距分別為

Jb一

?—^，:以+功+c=°（A,B不全為0）

注意：在各式的適用范圍2特殊的方程如:

包于x軸的葭：＞=＞（b為常數(shù)）；笛于y專(zhuān)由的陵：x=a（a為

常數(shù)）；

（5）直發(fā)系方程:即具有臬一崩性質(zhì)的直線(xiàn)

（一）平行直關(guān)系

平行于已知直線(xiàn)4x+&y+C0=0（4,線(xiàn)是不全為0的常數(shù)）的直線(xiàn)系：

4x+4）y+C=0（C為常數(shù)）

（二）過(guò)定點(diǎn)的直比系

（i）斜率為k的直線(xiàn)系：＞一％=Mx—x。），直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（x。，%）；

（ii）過(guò)兩條直線(xiàn)4：4'+用＞+。1=°,4：4x+B：y+g=°的交點(diǎn)的直線(xiàn)系

方程為

（4X+3U+G）+%（4X+3J+G）=O（2為參數(shù)），其中直發(fā)乙不在直線(xiàn)系中。

（6）兩直線(xiàn)平行與垂直

當(dāng)4：y=\x+4,4：y=勺工+么時(shí),

4〃4o（=右，4.z±/2ok1k2=-i

注意：利用斜率判斷直線(xiàn)的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

3.3直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與睡公式

1、兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)

L:Ax+B,y+C,=0＜：Wx+5j+G=。相交

J-4.X+B,v+C,=0

交自標(biāo)即成組3"B”C,"0的一螟

方程組無(wú)解o/1/4；方程組有無(wú)數(shù)解o,1與4重合

2、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)題三，））用乙心）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

貝ijI■物=他R+OeJ

3、點(diǎn)到直式距離公式：一點(diǎn)尸（X。，％）到直線(xiàn)4/+為+°=°的距離

㈤+與0+＜?|

J2

4、兩平行直線(xiàn)距離公式

在『直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解。

第四章圓與方程

4.1圓的方程

1、國(guó)的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心,走

長(zhǎng)為圓的半徑。

2、園的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（X-成+、一次",圓心3。），半徑為r.

（2）—+。+為+型+5=°

當(dāng)小+F-4尸＞0時(shí)，方程表示國(guó)，此時(shí)圓心為G'W,半徑為

2

當(dāng)獷+￡-4尸=0時(shí)，表示一點(diǎn)；當(dāng)獷+爐-4尸＜0時(shí)，方程不表示任

何圖形。

（3）求國(guó)方程的方法：

采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)國(guó)需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用國(guó)的

標(biāo)物程，

需求出a,b,r;若利用一^75^,需要求出D,E,F;

另夕陵注意多利用國(guó)的幾何性質(zhì)：如弦的中垂發(fā)必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定國(guó)心的位

置。

4.2直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判

斷：

(1)設(shè)直式/：&+3+C=°,圓C：G-ay+?-b)2=，2,圓心Qd6)到I的距

pda+Bb+C|

高為"-J笛+B：，則有d>ro/與C相離；d=ro/與C相切；

d<r<=>/與C相交

(2)設(shè)直線(xiàn)八加+毋'+C=0，圓C:(x-0-+U-4=L，先粉^聯(lián)立消元，得

到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為△，則有

△<uo/、c汨隙.A=Ucx>/^)CWJ；△AUo/tC.相父

注：如果國(guó)心的位國(guó)在原點(diǎn)，可使用公式十"。="去解直淺與因相切的問(wèn)

題，其中3>/。J表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r?表示半徑。

(3)過(guò)園上一點(diǎn)的切發(fā)方程：

①?lài)?guó)x2+y2=r2,園上一點(diǎn)為(xO,yO),則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為“。干"。='

②園(x-a)2+(y-b)2=r2,園上一點(diǎn)％(xO,yO)，則過(guò)此點(diǎn)的切殘方程為儀0e)僅-

a)+(yO-b)(y-b)=r2

2、園與圓的位置關(guān)系:通過(guò)兩國(guó)半徑的和(差)，與園心距(d)之間的大小比

較定。

設(shè)國(guó)生：5_aj-+(y_bj=r?，j：(X