高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (十)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（10）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，共15.0分）

1.如圖，正方體4BCO-&BiCiDi中，而=2兩，點(diǎn)M在側(cè)面44/iB

內(nèi).若5M1CP,則點(diǎn)M的軌跡為（）

A.線段

B.圓弧

C.拋物線一部分

D.橢圓一部分

2.如圖，正方體4BCD-4B1GD1的棱長為1,E,尸分別是棱CC1的中點(diǎn)，過點(diǎn)E,尸的平

面分別與棱BBi，OD1交于點(diǎn)G,H,給出以下四個(gè)命題:

①平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為45。；

②四邊形EGFH的面積的最小值為1；

③四棱錐G-EGFH的體積為定值［；

④點(diǎn)&到平面EGFH的距離的最大值為半

其中正確命題的序號為

A.②③B,①④C.①③④D.②③④

3.如圖，在三棱柱48C—44G中，J■底面48C,。,笈分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F在

棱CG上，4B=BC=C4=CF=2M4=3,則下列說法正確的是（）

A.設(shè)平面與平面3EG的交線為/,則直線G?與/相交

B.在棱4cl上存在點(diǎn)N,使得三棱錐N-4。尸的體積為旦

1

c.在棱4%上存在點(diǎn)P,使得

D.設(shè)點(diǎn)M在上，當(dāng)硼f=l時(shí)，平面平面/。歹

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

4.在棱長為2的正方體4BC。一公當(dāng)口劣中，點(diǎn)P是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是底面從B1GD1上的動

點(diǎn)，且4PLD1Q,則下列說法正確的有（）

A.DP與0Q所成角的最大值為:

B.四面體A8PQ的體積不變

C.A441Q的面積有最小值管

D.平面CiPQ截正方體所得截面面積不變

5.如圖，矩形ABC。，M為BC的中點(diǎn)，將回A8M沿直線AM翻折成回4aM,連接8“，N為的

中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CNJ.4B]

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若力B=BM,則力M1B]D

D.若==L當(dāng)三棱錐/-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐見-4Mo的外接球的表面積是

47r

6..在直三棱柱/SC-46c中，/-ABC=90°,AB=BC=2,AAr=2,

M是3c的中點(diǎn)，N是&G的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BiN上，點(diǎn)。在線段AM

2

上，且=S是4cl與4傳的交點(diǎn)，若PS〃面Bp4M,則

A.PS"B[Q

B.P為B]N的中點(diǎn)

C.AC1PS

2

D.三棱錐P-BiAM的體積為§

7.如圖，在邊長為2的正方形4BCD中，點(diǎn)例是邊CD的中點(diǎn)，將△4DM沿AM翻折到△PAM,

連結(jié)P8,PC,在A4DM翻折到APAM的過程中，下列說法正確的是()

A.四棱錐P—4BCM的體積的最大值為公

5

B.當(dāng)面P4M,平面ABCM時(shí)，二面角P-AB-C的正切值為立

4

C.存在某一翻折位置，使得AM1PB

D.棱PB的中點(diǎn)為N,則CW的長為定值

8.如圖，在正方體4BC0-41B1GD1中，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動

()

A.直線BDi_L平面46。

B.三棱錐P—aGD的體積為定值

C.異面直線AP與41D所成角的取值范圍是[45。,90。]

D.直線C】P與平面4G。所成角的正弦值的最大值為當(dāng)

9.正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2,側(cè)面與底面所成二面角的大小為60。，下列結(jié)論正確的是

()

A.直線PA與BC、PA與CD所成的角相等

B.側(cè)棱與底面所成角的正切值為必

3

C.該四棱錐的體積為46

D.該四棱錐的外接球的表面積為等

10.如圖，正方體ABCD-力道也1。1的棱長為1,線段B15上有兩個(gè)動點(diǎn)E,F,

且EF=1,則下列說法中正確的是（）

A.存在點(diǎn)E,F使得4E〃BF

B.異面直線EF與GO所成的角為60°

C.三棱錐B-HEF的體積為定值立

12

D.4到平面AE尸的距離為當(dāng)

11.在直三棱柱4BC-4B1G中，乙48c=90。，AB=BC=2,AA1=2,例是

BC的中點(diǎn)，N是41cl的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段/N上，點(diǎn)。在線段4M上，

且4Q=|4M,S是AC1與A］。的交點(diǎn)，若PS〃面貝ij（）

A.PS///。

B.P為的中點(diǎn)

C.AC工PS

D.三棱錐尸一8MM的體積為|

12.已知邊長為2的菱形ABC。中，AABC=現(xiàn)沿著BO將菱形折起，使得4C=遮，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.AC1BD

B.二面角4-BD-C的大小為W

C.點(diǎn)A到平面BCD的距離為|

D.直線AZ）與平面BCD所成角的正切值為百

13.如圖，在三棱錐S-ABC中,SA，平面ABC,SA=AB=2,以AB為直徑的圓O經(jīng)過點(diǎn)C,乙40c=

60。，則下列結(jié)論正確的是

A.平面SAC1平面SBC

B.三棱錐0-SBC的體積為立

2

C.二面角S-OC—B的正切值為一延

3

D.三棱錐S-ABC外接球的表面積為8兀

三、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

14.點(diǎn)尸在正方體ABCD-4iBiCiDi的面對角線Be】上運(yùn)動，則下列四個(gè)命題：

①三棱錐4-QPC的體積不變；

②41P〃平面

③DP1BQ;

④平面PDBi1平面力

其中正確的命題序號是（寫出所有正確命題的序號）.

15.如圖，A8CO是邊長為2的正方形，點(diǎn)E,尸分別為邊BC,8的中點(diǎn)，將ZL4BE,AECF,分

別沿AE,EF,E4折起，使B,C,。三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,則下列命題正確的是

①4P1EF

②點(diǎn)尸在平面AEF內(nèi)的射影為ZL4EF的垂心

③二面角A-EF-P的余弦值為:

④若四面體P-AEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是247r

16.已知正四面體P-力BC的棱長為2,動平面PQR交線段BC,4C（含端點(diǎn)）于點(diǎn)Q,R,且平面PQR1

平面ABC,設(shè)平面PQR和平面PA8所成二面角的平面角為。，則cos8的最大值為.

17.如圖，正方體4BC。一公當(dāng)口劣的棱長為1,線段劣劣上有兩個(gè)動點(diǎn)E,F,且￡尸=?，現(xiàn)有

如下四個(gè)結(jié)論：

---------A

①4c1BE；

②平面EFC〃平面4BD；

③異面直線AE,8尸所成的角為定值；

④三棱錐力-BEF的體積為定值.

其中正確結(jié)論的序號是.

18.如圖，在平行四邊形ABC。中，4B4D=60°,=24。=2,E為邊AB的中點(diǎn)，將團(tuán)力DE沿

直線DE翻折成回&DE,設(shè)M為線段為C的中點(diǎn).則在回4DE翻折過程中，給出如下結(jié)論：

B

①當(dāng)必不在平面ABCD內(nèi)時(shí)MB〃平面4DE；

②存在某個(gè)位置，使得CEL4C；

③線段BM的長是定值；

④當(dāng)三棱錐C-4DE體積最大時(shí)，其外接球的表面積為等.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.（請將所有正確結(jié)論的序號都填上）

19.在平面四邊形4BC。中，AB=CD=1,BC=V2,AD=2,AABC=90°,將△4BC沿AC折

成三棱錐，三棱錐8—4CD的體積最大值為，當(dāng)三棱錐B—4CD的體積最大時(shí)此三棱錐外

接球的體積為.

20.如圖，在平行四邊形A8CO中，NB4C=60°,AB=2AD=2,E為邊A3的中點(diǎn)，將團(tuán)4DE沿

直線OE翻折成回&DE,設(shè)M為線段&C的中點(diǎn).則在團(tuán)4DE翻折過程中，給出如下結(jié)論：

①當(dāng)&不在平面ABCD內(nèi)時(shí)，MB〃平面4DE；

②存在某個(gè)位置，使得DE14C；

③線段BM的長是定值；

④當(dāng)三棱錐C-aDE體積最大時(shí)，其外接球的表面積為等.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.（請將所有正確結(jié)論的序號都填上）

21.如圖是一正方體的表面展開圖.B、N、。都是所在棱的中點(diǎn).則在原正方體中，①M(fèi)N與C。異

面;②MN〃平面PQC;③平面MPQ1平面CQN;④EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是

：；⑤二面角M-BQ-E的余弦值為芻其中真命題的序號是一

22.棱長為1的正方體ABCO-4181cl5中，E,F,G分別是4B,BC,8iG的中點(diǎn).

①P點(diǎn)在直線BG上運(yùn)動時(shí)，三棱錐4一D/C體積不變；

②Q點(diǎn)在直線EF上運(yùn)動時(shí)，直線GQ始終與平面/MiGC平行；

③平面B/D1平面AC/；

④三棱錐。-EFG的體積為|.

其中真命題的編號是.(寫出所有正確命題的編號)

四、解答題(本大題共8小題，共96.0分)

23.如圖，已知正方體力BCD中，E,F,G,H分別是為劣，D?,(?他和A8的中點(diǎn).

(1)求證：EG〃平面AiBG；

(2)求證：E,F,G,〃四點(diǎn)共面.

24.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA1底面48C,NBAC=90。.點(diǎn)。，E,N分別為棱PA,PC,BC

的中點(diǎn)，M是線段A。的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

(I)求證：MN〃平面8￡>E；

(II)求二面角C-EM-N的正弦值；

(IH)已知點(diǎn)”在棱PA上，且直線N”與直線BE所成角的余弦值為求線段AH的長.

25.如圖所示的多面體A8CQP中，PA=PB=BC=CA=2,4APB=60°,平面P4B1平面ABC,

CQ1平面ABC.

(1)求證：平面4BQ1平面PQC；

⑵若二面角2—PQ—8的大小為60。，求CQ的長.

26.在ABC中，乙4=60。，以BC為邊在平面ABC內(nèi)作如圖所示的等邊△BCD,E為BC邊上

一點(diǎn)，且EC=2BE,尸為線段AC上的點(diǎn)，現(xiàn)沿8尸將AABF折起，使力達(dá)位置4',且4點(diǎn)在平

面BC。射影恰為E點(diǎn).

(1)求證：DFJLA'B；

(2)求二面角B-A'D-C的平面角的余弦值.

27.如圖，四棱錐P-4BCD中，側(cè)面PA。為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=|AD,

(1)證明：直線CE〃平面PAB；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCO所成角為15',求二面角M-AB-D的余弦值.

28.如圖，在三棱柱4BC-41B1G中，四邊形ABBiAi為正方形，且AC=A4=4/C4B="人4=

60

A

(I)求證：平面平面4B814；

(口)求點(diǎn)A到平面4/iC的距離.

29.已知△48C中，AB1BC,BC=12,AB=24,分別取邊A8,AC的中點(diǎn)。，E,將團(tuán)AOE沿

QE折起到△&DE的位置，設(shè)點(diǎn)M為棱4D的中點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，棱BC上的點(diǎn)N滿足BN=

3NC.

(1)求證：A/N〃平面4EC；

(2)試探究AADE在折起的過程中，是否存在一個(gè)位置，使得三棱錐N-PCE的體積為18,若存

在，求出二面角Ai-DE-C的大小，若不存在，請說明理由.

30.如圖，等腰直角三角形ABC所在的平面與半圓弧48所在的平面垂直，ACLAB,P是弧AB上

一點(diǎn)，且"2B=30°.

(1)證明：平面BCP1平面ACP；

(2)若。是弧AP上異于A,P的一個(gè)動點(diǎn)，且4B=4,當(dāng)三棱錐C-4PQ體積最大時(shí)，求點(diǎn)4

到平面PCQ的距離.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題主要考查的知識點(diǎn)有直線與直線，平面與平面的位置關(guān)系，線面垂直的性質(zhì)與判定，深入考查

了邏輯推理能力，屬于難題.

通過分析幾何體中的線面關(guān)系找到過久與CP垂直的平面DiFNBi，則當(dāng)M在線段B]N上時(shí)符合條件,

即可得到點(diǎn)例的軌跡為線段.

解：如圖，取AO和AB靠近A的三等分點(diǎn)尸和M連接名尸，F(xiàn)N,DR,DP,AC,&G，

設(shè)OP交于H,

則tan/POA=|=tanz尸Oi。，所以NP￡M=4F/\D,所以/PDA+NDIFD=90°,即Z\F1DP,

又D1FJ.CD,DPCCD=D,所以D#1平面PCD所以QF1CP;

因?yàn)锽i。1_L4iCi，所以Bi。1_L平面AiACCi，1CP,

因?yàn)椤?DBiA=Di，

而FN〃BD//B\D\,所以F,N,B1,刑四點(diǎn)共面,

所以CP_L平面D/NBi，

所以〃的軌跡是平面么FNBi與平面4遇8當(dāng)?shù)慕痪€/N,

即點(diǎn)M的軌跡為線段.

故選：A.

2.答案：D

解析：

本題考查棱錐的體積、空間中的距離及直線與平面所成角，屬于較難題.

根據(jù)正方體的特征及棱錐的體積計(jì)算、空間中的距離及直線與平面所成角逐項(xiàng)計(jì)算驗(yàn)證即可.

解：對于①，平面EGFH與平面ABCD所成的最大角為NDiBD,不為45。，故①錯(cuò)誤；

對于②，由迎WGHW百，可得菱形EGFH的面積的最小值為1,故②正確；

對于③，四棱錐6-后6尸”的體積為1/=2%1_注尸=2%―6尸(；1=2乂9乂：乂：=3，故③正確;

對于④，設(shè)BG=x,XG[0,1]>VB^EFG=^E-BrFG=|X|X1X(1-X)X1(0<X<1),

設(shè)Bl到平面EGFH的距離為d,可得/LEFG=idxixV2x/—倒,

/_IT_t_1

所以而彳=再不=成百z其中"一辦

當(dāng)x=0即t=l時(shí)，〃取得最大值號,故④正確.

3.答案：D

解析：

本題主要考查空間幾何體及其體積公式、線線、線面、面面的位置關(guān)系，考查了邏輯思維能力與空

間想象能力，屬于較難題.

根據(jù)線面平行的性質(zhì)判定A,利用棱錐的體積計(jì)算判定8,由線面垂直的判定與性質(zhì)判定C,由面面

垂直的判定定理判定。即可.

解：在A中，連接CE,交A。于點(diǎn)O,則。為AABC重心，

連接OF,由己知得。尸〃5口，OFu平面AO凡EC】C平面AOF,

EQ〃平面ADF,EQu平面BEG，平面ADFn平面BEG=I，

則EG〃2,故A錯(cuò)；

在8中，若存在點(diǎn)N在41Q上，則以ZTDF=PDTFN，

當(dāng)N與Cl重合時(shí)，AAFN面積最小，

力fFN取最小值為工x2xlx2x3=立，故8錯(cuò)；

3226

在C中，過G作C1G〃FA交Aa于點(diǎn)G,

若在42上存在點(diǎn)P,使得GPJL4F，則GPLGG,

又GP_LGA],C]GnGA1—G,C】G、GA^u平面AiGG1，

QP_L平面&QGi，

???4GU平面4GG1，二GPi&G，矛盾，故c錯(cuò).

在力中，當(dāng)BM=1時(shí)，由題意得△CBM三△?￡■￡),則4BCM+NCDF=90°,

???CMLDF,

又「力。1平面CGBiB,CMu平面CQBiB,二401CM,

又DFHAD=D,DF,ADu平面ADF,CM_L平面ADF,

???CMu平面CAM,.?.平面CAM1平面ADF,故D正確.

故選。.

4.答案：BCD

解析:

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查四面體體積，平面與多面體截面積等有關(guān)知

識，屬于較難題，解題時(shí)取AB中點(diǎn)W,必當(dāng)中點(diǎn)S,可先根據(jù)4PJ.D1Q,確定。位置就在。iS上,

然后根據(jù)體積，面積等公式逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可.

解：如圖，

取A8中點(diǎn)W,&Bi中點(diǎn)S,連接WS,DV/,CiS,

在正方形ABC。中，易得4PJLDW,又APlDDi，

DWCiDD]=D,DW,DD\C平面DWSDi>

所以AP_L平面。IrS01，

因?yàn)辄c(diǎn)。是底面&BlGDl上的動點(diǎn)，且APIDiQ,

故點(diǎn)。在。1S上運(yùn)動，D、S〃DW,

所以O(shè)P與。iQ所成角就是OP與。W所成的角，即乙ODP,

易得。。=V,02=警，

直角三角形DOP不是等腰直角三角形，故A錯(cuò)誤；

由于三角形ABP面積固定，。在上底面，Q到面ABP距離為2不變，故四面體ABPQ體積不變，B

正確；

因?yàn)?。點(diǎn)在QS上，過4向5S作垂線，垂足為H,即是符合條件的。點(diǎn)，

△44Q的面積有最小值就是△441〃的面積，

和上底面垂直，N4&H是直角，

所以面積為T/UIX4H=，X2X^=^,C正確；

平面D/Q就是過點(diǎn)P與。1S確定的平面，不因。變化而變化，故平面截正方體的截面面積不會改變，

。正確，

故選BCD.

5.答案：BD

解析：

本題主要考查了立體幾何中的翻折問題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及立體幾何中的垂直性質(zhì)定

理，余弦定理，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.

對于A取的中點(diǎn)為E,連接CE交MQ于點(diǎn)F,則NE〃/,NF//MBr,^CNLABr,則EN1CN,

從而判斷A,對于8,由判斷A的圖以及余弦定理可判斷以對于C由線面垂直的性質(zhì)定理即可判

斷；對于。根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面BiAM1平面4WD時(shí)，三棱錐當(dāng)―AMD的體積最大，取4。的

中點(diǎn)為E,連接。民再由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷.

解：對于A,取AO的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)凡如圖1,

51

圖1

則NE//4B1，NF//MB1,

如果CN14B「則ENJ.CN,

由于AB1JLM%,則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn),

故這是不可能的，故不正確：

對于8,如圖1,由NNEC=NMABI，

且NE=EC,

即"EC,NE,EC都為定值，

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對于C,如圖2,

圖2

取AM中點(diǎn)為O,TAB=BM,即=則

若AM1B^D,由于8]0nB、D-

且u平面00B「

AM_L平面0081,ODu平面ODB1,

ODLAM,則AD=MD,

由于40HMD,故4MlBi。不成立，故不正確；

對于D,根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面/AML平面AMZ）時(shí)，

三棱錐當(dāng)-力MD的體積最大，取AO的中點(diǎn)為E,

連接0E,BiE,ME,如圖2,

?■?AB=BM=1,貝ijABi=BiM=1,

且4811B1M,平面8送"CI平面AMO=

又;BiO±AM,B]0u平面&AM,

Bi。1平面AMD,-:OEu平面AMD,

Bi。1OE,

則AM=V2,ByO=^AM=

0E=\DM=\AM=^,

從而吟廊否=】'

易知E4=ED=EM=1,

.??力。的中點(diǎn)E就是三棱錐&-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故￡＞正確.

故選BD.

6.答案：ACD

解析：

此題以直三棱柱為載體，考查線面平行的性質(zhì)，線面垂直的判斷及性質(zhì)，三棱錐體積的計(jì)算，屬于

中檔題；解題時(shí)首先熟知直三棱柱中的線面關(guān)系，4通過輔助線為PS找一個(gè)平面，利用線面平行的

性質(zhì)，得到線線平行；B.通過證明RtElPNS。Rt國Q8B],得到對應(yīng)邊的關(guān)系，即可求解；C.通過證

明AC1面BBiNG,由線面垂直得到線線垂直；。.利用等積法求解即可.

解析：

解：對于選項(xiàng)A：連接NS交AC于G點(diǎn)，連接8G,

則由4B=BC,AQ=^AM,可得BG必過點(diǎn)Q,

且8Q=.BG,因?yàn)镻Su面BB]NG,

PS〃面AMB1，面力MB1n面8&NG=B1Q,所以PS〃&Q,A正確;

對于選項(xiàng)B：?:PS//B[Q,：.乙NPS=乙NBiQ=乙B1QB,

PNNS1

???Rt0PNS-Rt@QBBi，?,?—=—=T,

15QDD-^L

即PN=：BQ=，|BG=：BiN,P為靠近N的三等分點(diǎn)，8錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C：-AC1NG,AC1BG,

且NGu面BB、NG,BGu而BB、NG,

NGnBG=G,

■-AC上面BB/G,又PSu面BB、NG

ACIPS,C正確；

對于選項(xiàng)￡＞：?.?且=BQ,ABB/Q是矩形，

"181M=%-ABiM==]'2，葭2，1=],D正確.

故選ACD.

7.答案：ABD

解析：

本題考查棱錐的體積計(jì)算，線面垂直的判定，二面角，幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查邏輯推理能力和空

間想象能力，屬于較難題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線線，線面，面面的位置關(guān)系及棱錐的體積公式判斷選項(xiàng)可得結(jié)論.

解：

對于A,當(dāng)面P,LU，平面ABCM時(shí)，點(diǎn)尸到平面A8CM的距離最大，

而梯形ABCM的面積不變，故此時(shí)四棱錐P-ABCM的體積的最大，

在RtZxAPM中，AP=2,PM=1,易知四棱錐P-4BCM的高h(yuǎn)=辿，S=

5ABCMN=3>

；?四棱錐P-ABCM的體積的最大值為乙x3x^=壁，故A正確；

355

對于B,?.?面P.AA/_L平面ABCM,過點(diǎn)尸作P。1AM,POu平面PAM,

平面P4Mn平面ABCM=AM,

???P。J?平面A8CM,再過點(diǎn)。作。E14B,連接PE,則易知PEJ.4B,

???NPE。為二面角P-AB-C的平面角，

在RtAPOE中，P0=—，又40=越，0E=l，

tanNPE。=—=4^=—,故8正確；

0E-4

5

對于C,?.?在A4DM翻折到△P4M的過程中，P01AM,

若4MJ.PB,POCPB=P,PO、PBc5FffiPOB,

則平面尸。8,。8u平面PO2,二AM1.。8,

而事實(shí)上，AM與08不垂直（可證得OB=AB,則AB不可能為直角三角形斜邊），故矛盾，

不存在某一翻折位置，使得AMJLPB,故C錯(cuò)誤；

對于Q,取PA的中點(diǎn)F,連接MF,FN,?:F,N分別是PA,PB的中點(diǎn)，

:.FN裳AB，又MC野AB，：.FN“MC,故四邊形FNCM是平行四邊形，

...CN=MF'而在Rta.APM中，MF=Vl2+I2=V2，故CN的長為定值或，故。正確.

故選ABD.

8.答案：ABD

解析:

【試題解析】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，異面直線成角，線面角等

基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

在A中，首先證明B￡)i14G，同理可得&D由判定定理得結(jié)論；在3中，〃平面兒?！?，

三棱錐P-AiG。的體積為定值；在C中，當(dāng)P與&重合時(shí)，直線A尸與&D成角為爭當(dāng)P為BiC的

中點(diǎn)時(shí)，直線AP與&￡＞成角為全直線4P與&。所成角的取值范圍是［60。,90。］,故C不正確；在。

中，由點(diǎn)p到平面4G。的距離求線面角.

解：在A中，連接B/1，由正方體可得AG18m1，且BB1_L平面&B1C1D1，

又&Gu平面AiBiGDi，貝IJ8B1J.&G，

且BB】nBi%=%,BB］、Bi。1u平面BD1B］,

所以4G1平面BD$i，又BO】u平面BDiBi，

故AiG^BDi；同理，連接易證得&O1BD1，

又公。CAiG=&,月也1u平面&G。，則BO1，平面4口。，故A正確；

在5中,?:B［C“A［D,BiCC平面&CDu平面4。。，???&C〃平面4為。,

??.P到平面4G。的距離是定值，.?.三棱錐P—4GD的體積為定值，故B正確；

在C中，rBiC〃&D,.?.直線AP與所成角，即為直線AP與BiC所成角，

當(dāng)P與名重合時(shí)，△4PC為等邊三角形，AAPC=60°,則直線AP與乙。成角為半

當(dāng)尸為BiC的中點(diǎn)時(shí)，由AABiC為等邊三角形，則4P1B1C,則直線AP與成角為:，

???直線AP與&D所成角的取值范圍是［；,自，故C錯(cuò)誤；

在。中，設(shè)點(diǎn)P到平面&GD的距離為力，設(shè)正方體棱長為1,由力「ACM=%)-AQBi，

得工xixlxlxl=-=-x—x(V2)2X/l,h=—,

32634v73

???直線qp與平面所成角的正弦值為白，

當(dāng)點(diǎn)P為8傳的中點(diǎn)時(shí)，GP最短，

直線C1P與平面所成角的正弦值最大，為彳，故。正確.

故選：ABD.

9.答案：AD

解析：

本題考查正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征及異面直線所成夾角及線面所成夾角與四棱錐的體積公式以及四棱錐

外接球的表面積，屬于較難題.

對于A,直線PA與所成角為4P4。，PA與8所成的角為NPAB,從而直線PA與BC、PA與

C。所成的角相等；

對于8,由PO_L平面ABC。，“力。是側(cè)棱與底面所成角，推導(dǎo)出側(cè)棱與底面所成角的正切值為它；

對于C,直接由四棱錐的體積公式求解；

對于。，設(shè)該四棱錐的外接球半徑為七則R2=(a—R)2+(或)2,解得R=嘉，由此能求出該四

棱錐的外接球的表面積.

解：連結(jié)AC,BD,交于點(diǎn)。，連結(jié)P0,取AO中點(diǎn)E,連結(jié)OE、PE,

對于A,因?yàn)锽C〃4D,AB//CD

所以直線尸4與BC所成角為NP4D,PA與CD所成的角為“48,

???PA=PB=PD,AB=AD,

???/.PAD=乙PAB,

，直線PA與3C、PA與。。所成的角相等，故A正確：

對于B,?.?PO_L平面A8CD,

ZP4。是側(cè)棱與底面所成角，

???正四棱錐P-ABC。中，底面邊長為2,側(cè)面與底面所成二面角的大小為60。,

???OA=^AC=1V22+22=V2,/PE。=60",OE=1,PE=2,PO=V22-l2=V3)

???側(cè)棱與底面所成角的正切值為tan/PAO=黑=當(dāng)，故B錯(cuò)誤:

對于C,該四棱錐的體積為U=|xs正方形ABCDXPO

=Lx2x2xV5=延，故C錯(cuò)誤：

33

對于Q,設(shè)該四棱錐的外接球半徑為R,

則R2=（遮—R）2+（女）2,解得R=品，

.?.該四棱錐的外接球的表面積為S=4TTR2=等，故。正確.

故選：AD.

10.答案：BCD

解析：

本題以正方體為載體，考查了空間中的平行關(guān)系、空間角、距離和體積問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思

想，是中檔偏難題.

由異面直線的判定判斷A；異面直線EF與所成的角即為當(dāng)名與的。所成的角，據(jù)此可判斷8；

由V：噸惟8-AEFVJ捌M-8EF可計(jì)算體積,判斷C;將4到平面AEF的距離轉(zhuǎn)化為必到平面4為以

的距離，利用等體積法可求距離，判斷D

解：如圖所示，AB與Bi。1為異面直線，故AE與BF也為異面直線，A錯(cuò)誤；

異面直線所與6。所成的角即為名名與所成的角，即當(dāng)外與力為所成的角，連接A/,ABr,易

得三角形力為。1是正三角形，乙4當(dāng)劣=60。，即異面直線EF與GD所成的角為60。，故8正確；

連結(jié)BO交AC于O,則AO為三棱錐A-BEF的高，AO=—，

2

易知：BBi1EF,貝USABEF=gEF.BBI=3X1x1=%

所以卜I椅=憶拗t-A-BEF=：*1X曰=照>為定值，故C正確；

久到平面4E尸的距離即4到平面4BQ的距離，SA.BM=梟/=爭

設(shè)義到平面AEF的距離為h,由「嶗博人ABAI'm.4用以得，xShABiDix/i=ixSAX1B1D1x

AZ],

即工x畫xh=LxLxlxlxl，解得九=更，故。正確.

32323

故選BCD.

11.答案：ACD

解析：

此題以直三棱柱為載體，考查線面平行的性質(zhì)，線面垂直的判斷及性質(zhì)，三棱錐體積的計(jì)算，屬于

中檔題；解題時(shí)首先熟知直三棱柱中的線面關(guān)系，4通過輔助線為PS找一個(gè)平面，利用線面平行的

性質(zhì)，得到線線平行；B.通過證明RtElPNSsRt團(tuán)QB%,得到對應(yīng)邊的關(guān)系，即可求解；C.通過證

明4。_1面8/％6,由線面垂直得到線線垂直；。.利用等積法求解即可.

解析：

解：對于選項(xiàng)A：連接NS交AC于G點(diǎn)，連接8G,

則由4B=BC,4Q=|AM,可得BG必過點(diǎn)Q,

S.BQ=-BG,&^JPS

PS〃面4MBi，面4MBic面BB[NG=BiQ,所以PS〃勺Q,A正確;

對于選項(xiàng)B：?:PS"B\Q,：.Z.NPS=KNBiQ=乙B1QB,

PNNS1

???Rt團(tuán)PNSsRt國QBB],：?示=￡=;,

BQDDiZ

即PN=1BQ=，|BG=：BiN,P為靠近N的三等分點(diǎn)，B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C：■：AC1NG,AC1BG,

且NGu面BB]NG,BGu面BB[NG,

NGCBG=G,

???AC1面B&NG,又PSu而BB[NG

ACVPS,C正確；

對于選項(xiàng)。：TBIP'BQ,且BJ=BQ,???BBIPQ是矩形,

1i2_

^P-ABiM~~=3''2=3,。正確?

故選ACD.

12.答案：ABC

解析：解析：

本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成角、二面角和空間中的距離，屬于較難題.

根據(jù)直線與平面所成的角，及點(diǎn)到平面的距離，二面角的定義逐項(xiàng)分析，即可得出正確結(jié)論.

解：取80的中點(diǎn)0,連接A。，0C,

?.?菱形ABCD的邊長為2,/.BAD=60°,

.??△4B0,ABCD為正三角形,

則40J.B0,0C1BD,且40nC0=0,AO,C。u平面AOC,

則BC_L平面AOC,又4Cu平面AOC,所以BD1AC,故A正確；

易知乙40C是二面角A-BD-C的平面角，

?.?菱形ABC。是邊長為2,

???AO=OC=V3,

vAC=V3，

???△40C為正三角形，則乙40c=全故B正確；

在三角形AOC,過A作4EJ.0C,交OC于E,

由BD_L平面AOC,AEu平面AOC,

則BD1.AE,

又BDC0C=0,BD、OCc￥ffiBCD,

則4E_L平面BCD,

易知三角形AOC為等邊三角形，A0=痘,

則4E=V^x3=三，即點(diǎn)A到平面BCD的距離為j故C正確；

由AE1平面BCD,可得乙4DE為直線AD與平面BCD所成角，

3

則?/Anr2：兀則cosN.4DE=、/l-(3)2=3,所以1a?，故D

sniZ.4DE=-j^=|=-V4V71

T

錯(cuò)誤，

故選ABC.

13.答案：ACD

解析：

本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，二面角，錐體的體積公式，球的表面積公式，屬于較

難題.

得出8cl平面SAC即可分析4選項(xiàng)，運(yùn)用三棱錐的等積法即可分析8選項(xiàng)，計(jì)算二面角S-0C-4

的正切值即可分析C選項(xiàng)，得出三棱錐S-4BC外接球球心為S8的中點(diǎn)即可分析。選項(xiàng).

解：由題意，???SAJ_平面ABC,BCu平面ABC,：.SA1BC,

???點(diǎn)C在以4B為直徑的圓。上，???BC14C,

又=4SA,4Cu平面SAC,.1BC1■平面SAC,

又BCu平面ABC,.?.平面SAC1平面SBC,故A正確；

在△ABC中，48=2且A8為圓。的直徑，二。8=OC=1,

v乙40C=60°,4BOC=120°,

???SKOBC=|xlxlxsinl20°=*

yO-SBC=^S-OBC=,X2Xf故B錯(cuò)認(rèn)；

取0c的中點(diǎn)為M,連接SM,AM,

在A/IOC中，^AOC=60°,OA=OC,；.△40C為等邊三角形，

OCLAM,OC=AC=OA=1,

SO=SC=V5.OCISM,

???二面角S-OC-A為乙SWA,可知AM=立，tan/SMa=《=竽，

2T

???二面角S-OC-A和二面角S-OC-B互為補(bǔ)角，???二面角S-OC-B的正切值為一延,故C正確；

3

取SB的中點(diǎn)為E,連接。E,

???△SAB為直角三角形，:ES=EA=EB,

又。為AB的中點(diǎn)，二。E//S4?.?S4_L平面ABC,.?.?！?gt;_1平面48(7,

可知0為AABC的外心，；.EA=EB=EC,：.EA=EB=EC=ES,即E為三棱錐S-ABC外接球

球心，

故三棱錐S-ABC外接球半徑為[S8=[X、22+22=魚,表面積為SITTX(V^)'=?TT,故。

正確；

故選ACD.

14.答案：①②④

解析：

【試題解析】

本題考查三棱錐體積求法中的等體積法及線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想.

根據(jù)相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.

解：如圖所示：

對于①，容易證明4DJ/BG，乂AD】u平面AZ\C,BC1《平面力D】C,

從而Bq〃平面4D]C,

故2cl上任意一點(diǎn)到平面ZAC的距離均相等，

所以以P為頂點(diǎn)，平面4。傳為底面的三棱錐體積不變，即三棱錐P-4DiC的體積不變，

乂%-5PC=%-皿c，

則三棱錐4-DiPC的體積不變；正確；

對于②，連接&B,41c式圖略），容易證明41c"/AC且相等，由于①知：AD\〃BC\,

所以由面面平行的判定定理得：面B&Ci〃面4C5,從而由面面平行的性質(zhì)可得②正確；

對于③由于DCJ?平面BCC1&,

所以DC1BC],

若。P1BG，又DCCDP=D,則BCi_L平面。CP,

BCr1PC,則尸為中點(diǎn)，與P為動點(diǎn)矛盾；錯(cuò)誤；

對于④，連接QB[（圖略），由OB】J.4C且1AD】，ACnADr=A,可得Da1面ACD「從而由

面面垂直的判定知：④正確.

故答案為①②④.

15.答案：①②③

解析：

本題考查空間中線面垂直的判定和性質(zhì)，二面角的求解，球的表面積公式，考查空間想象能力與思

維能力，屬于中檔題.

由直線與平面垂直的判定與性質(zhì)判斷①與②；求解二面角的余弦值判斷③；通過補(bǔ)形法求出四面體

P-4E尸的外接球的表面積判斷④.

解：對于①，APA.PF,AP1PE,?：PEnPF=P,PE,PFu平面PEF,二AP1平面尸EF,

「￡7;'<=平面「￡凡.?.4。，9尸，故①正確；

對于②，設(shè)尸在底面AEF上的射影為。，則P01底面AEF,七尸日由面人我扛二/^,七尸，

由①知，PA1EF,連接A0并延長，交EF于G,

■■■POQPA=P,PO,PAu平面PAO,EF_L平面PA。，4Gu平面PAO,則4G1EF,

同理可證E0L4F,FOLAE,即點(diǎn)P在平面AE尸內(nèi)的射影為△AEF的垂心，故②正確；

對于③，由B知，AG1EF,■■-AE=AF,「.G為￡戶的中點(diǎn)，

連接PG,又PE=PF,PG1EF,

則4PG4為二面角4-EF-P的平面角.

在等腰直角三角形PE尸中，由PE=PF=L得PG=^，則4G=這，

22

^.Rt^APG'V,有COSNPGA=某=（故③正確；

對于④，二三棱錐P-AEF的三條側(cè)棱PA、PE、PF兩兩互相垂直，且24=2,PE=PF=1.

把該三棱錐補(bǔ)形為長方體，則其對角線長為J22+12+僅=后，

則其外接球的表面積S=4TTX（彳）2=6兀，故④錯(cuò)誤.

故答案為①②③.

16.答案：迎

3

解析：

本題主要考查了二面角，面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，直線與平面所成的角，屬于中檔題.

設(shè)尸點(diǎn)在平面ABC中的射影為O,在平面ABC內(nèi)作。H1QR,交AB于H,根據(jù)題意可得，0H與

面PAB所成的角a與角。互余，再由最大角定理可得“與面PAB所成的角a恰好與二面角P-AB-C

的平面角相等時(shí)最大，求出Sina的最大值，即可得cos8的最大值.

解：設(shè)尸點(diǎn)在平面A8C中的射影為0,

則PO1平面ABC,

因?yàn)槠矫鍼QR1平面ABC,平面PQRD平面力BC=QR,

所以P。1QR,

在平面ABC內(nèi)作OH1QR,交AB于H,

因?yàn)槠矫鍼QR1平面ABC,平面PQRD平面ABC=QR,

所以O(shè)H_L面PQR,

所以?！迸c面248所成的角a與角?；ビ?，

即cos。=sina,

由最大角定理知，當(dāng)0月與面PAB所成的角a恰好與二面角P-AB-C的平面角相等時(shí)最大，

此時(shí)OH_L4B,

連接尸"，則a=NPH。，

因?yàn)檎拿骟wP-4BC的棱長為2,

所以PH=V3，P0=—，

3

2n「

所以.P0T2^2

切以sina=—=十=—,

PHV33

即cos。=sina=—.

3

故答案為出.

3

17.答案：①②④

解析：

本小題主要考查線線、面面的位置關(guān)系，考查錐體體積計(jì)算，屬于中檔題.

通過證明AC1平面BDD1/即可證得①成立，通過證明平面4BD〃平面&CD1可證得②成立，作

異面直線AE,BF所成的角N4EG,由此判斷異面直線AE,8尸所成的角是否為定值，可判斷③，利

用錐體體積公式計(jì)算出三棱錐4-BEF的體積，即可證得④成立.

解：①設(shè)AC與BO相交與G.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知AC1BD,AC1BBr,

、

而BOnBB1=B,BDBB]u平面

所以4c，平面BODiB],

BEu平面BDDiBi，

所以AC1BE.故①正確.

②根據(jù)正方體的性質(zhì)可知為B〃5C,ArBU平面&CD1，

。傳＜=平面當(dāng)。。1，所以〃平面BiCD「

同理可證BD〃平面B1CD1，而4BCBD=B,4$、BDu平面

所以平面4/D〃平面BiCDi，也即平面EFC〃平面&BD.故②正確.

③由于正方體的邊長為1,所以8。=8也=伍BG=當(dāng),而七昨爭

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知EF〃BG,所以四邊形8GEF是平行四邊形，

所以BF〃GE,所以4AEG是異面直線4E,B尸所成的角，

因?yàn)锳C1平面BDQBi，EGu平面8皿%所以4C_LEG,

所以tan乙4EG=*,其中AG為定值，GE長度不固定，

GE

所以乙4EG不是定值，所以③錯(cuò)誤.

④由①可知力C_L平面8。。近1，

所以以-BEF=[XSABEFx/lG=|x(|x^xl)x^=★為定值,所以④正確.

故答案為①②④.

18.答案：①③④

解析:

本題考查了球的表面積、線面平行的判定、線面垂直的判定和面面垂直的性質(zhì)，屬于較難題.

取乙。的中點(diǎn)