期末考試模擬（八）-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊

高一上學(xué)期期末考試模擬(A)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/(>)=Jlog；(x+3)+~^的定義域為()

A.(—oo,—3)B.[—3,—2)

C.(-3,-2)U(-2,+oo)D.(-3,-2)

2.已知a、beR,且則下列不等式恒成立的是()

11

-<22

A.QB.Ina>InbC.a>bD.X>X

b-

3.“a=k不，keZ”是“3sin2a-2sin2a=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》一章給出計算弧田面積所用

的公式為：弧田面積=,(弦x矢+矢x矢).其中弧田由圓弧和其所對弦圍成，公式中的“弦”

2

指的是圓弧所對弦長，矢等于半徑長與圓心到弦的距離之差.如圖，現(xiàn)有圓心角為生的弧

3

田，其弦與半徑構(gòu)成的三角形面積為46，按照上述公式計算，所得弧田面積是()

A.4G+2B.4夜+3C.2G+4D.2夜+4

5.設(shè)a,人為正實數(shù)，b,,亞a,a3+4a=2b2,則log“b=()

A.1B.&C.-D.2

2

6.已知函數(shù)/(x)是定義在A上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增.若實數(shù)。滿足

/(iog2a)+/(logja)?2f(2),則a的取值范圍是()

7.已知函數(shù)7(%)=Asin(d>x+(p)(A>0，。>0,|勿<1)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于

函數(shù)/(x)的說法正確的是()

A.圖象關(guān)于點(_?,0)對稱B.最小正周期為工

2

C.圖象關(guān)于直線x=工對稱D.在區(qū)間［工，生］上單調(diào)遞增

6

8.己知函數(shù)/(x)=9一及*'2,則方程f(x)+/(2-x)=4的所有解的和為()

［(x-2),x>2

A.0B.1C.2D.3

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.函數(shù)/(x)=Acos(0x+e)(A>O,。>0,|夕|<§的部分圖象如圖所示，則/(x)=(

)

17C

A.-C0S(2^X+y)B.—cos(2^rx+—)

26

C.——sin(2^rx+-)D.—sin(24x----)

23

2r一(i

10.函數(shù)/'(%)=二;在區(qū)間(b,+8)上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是()

X+1

A.a>-2B.h>-IC.心-1D.a<-2

11.設(shè)a>0,b>Q,。+2b=1,則()

A."的最大值為工B./+4/?2的最小值為工

82

工△的最小值為

C.8D.2。+心的最小值為久歷

ab

12.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(l+x)=/(l-x),當(dāng)(凝k1時，f{x)=x,關(guān)于

函數(shù)g(x)=|/(x)|+/(|x|),下列說法正確的是()

A.g(x)為偶函數(shù)

B.g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增

C.g(x)在［2016,2020］上恰有三個零點

D.g(x)的最大值為2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某商標(biāo)圖案(如圖所示)是在一個蘋果圖案中，以曲線段為分界線，裁去一部分圖

形制作而成的.如果該分界線是一段半徑為A的圓弧，且A,3兩點間的距離為|A8|=GR,

那么分界線的長度為

14.若函數(shù)〃x）=>小“在（1,3）上遞減，則函數(shù)y=log〃，-2x）增區(qū)間.

15.已知奇函數(shù)/（x）=sin（<wx+e）（<y>0,|夕|<9,函數(shù)/（x）圖象的相鄰兩對稱軸的距離

為券，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為—.

16.爬山是一種簡單有趣的野外運動，有益于身體健康，但要注意安全，準(zhǔn)備好必需物品，

控制好速度，現(xiàn)有甲、乙兩人相約爬山，若甲上山的速度為匕，下山（原路返回）的速度為

V2（V1*V2）,乙上下山的速度都是g（匕+馬）（兩人途中不停歇），則甲、乙兩人上下山所用

時間之比為：；甲、乙兩人上下山所用時間之和最少的是—.

四、解答題：本題共6小題，第17題10分，第18—22題，每題12分，共70分。解答應(yīng)

寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.己知wA={”/（X）=/〃（x2+/x+f）,xeR},q:teB-{t\2a-\<t<a+\].

（I）求集合A；

（2）若。是q的必要不充分條件，求。的取值范圍.

18.己知函數(shù)/（x）=G-l,^（x）=—+1.

（1）求函數(shù)g（x）的值域；

（2）求滿足方程/（X）-g（x）=0的x的值.

19.已知函數(shù)f(x)=5^sin(2018^--x)sin(~+-^)-cos2x+1

(1)求函數(shù)f(x)的對稱中心；

(2)若對于任意的都有1/3-機|,,1恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(x)=/g(2+x)+/g(2-x).

(1)求函數(shù)/(%)的定義域并判斷函數(shù)/(x)的奇偶性；

(2)記函數(shù)g(x)=10〃*>+3x,求函數(shù)g(x)的值域；

(3)若不等式/(x)>，"有解，求實數(shù)，〃的取值范圍.

21.某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一小區(qū)內(nèi)建造一個矩形口袋公園MCD,公園由三個相同的

矩形休閑區(qū)(如圖空白部分所示)和公園人行道組成(如圖陰影部分所示).已知口袋公園

ABCD占地面積為900平方米，人行道的寬均為2米.

(1)若設(shè)口袋公園的長45=x米，試求休閑區(qū)所占地總面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的

解析式；

(2)要使休閑區(qū)占地總面積最大，則口袋公園A8CD的長和寬如何設(shè)計？

22.已知y=f(x)是y=2'的反函數(shù).

(1)若在區(qū)間U，2］上存在/使得方程_/.(叫；-4天))=2成立，求實數(shù)a的取值范圍；

1Q

(2)設(shè)。>0,若對VEE'Q］,函數(shù)g(x)=/S%+l)-/(%)在區(qū)間［［,1+1］上的最大值與

最小值的差不超過1,求b的取值范圍.

高一上學(xué)期期末考試模擬(八)答案

1.解：函數(shù)/(x)=/logi(x+3)+'^中,

x+3>0x>-3

令，x+3,,1,解得―，-2,即—3vxv—2,所以/⑺的定義域為(一3,-2).

1+2。0工。一2

故選：D.

2.解：當(dāng)a=l,。=一1時,顯然,但A不成立，

當(dāng)0>a>。時B顯然不成立，

當(dāng)a=l,。=一1時，。顯然不成立，

由于》=2、單調(diào)遞增，由a>b可得2a>2”,。成立.

故選：D.

3解:由3sin2a-2sin2a=0,

3

得二sin2a-sin2a=0,

2

故3sinacosa-sin2a=0,BPsina(3cosa-sina)=0,

故sina=0或tana=3,當(dāng)。=1<萬，kwZ時，sina=0,

SS(3sin2a-2sin2a=0,充分性成立，

反之由tana=3不能得到&=1<%，kGZ,故必要性不成立,

故々=1<乃，kwZ"是“3sin2a-2sin2a=0”的充分不必要條件，

故選：A.

4.解：由題意，ZAOB=—,貝i」NCOA=工，

33

Ar-AB

可得把=2—=也,解得：AB=2芯OC,

OCOC

又因為弦與半徑構(gòu)成的三角形面積為4G=gA8xOC=；x2GoCxOC,

解得OC=2,

所以A8=4>/L

所以弧田面積=4(46x2+2x2)=48+2.

2

故選：A.

2

5.解：a,人為正實數(shù)，/??\[la,+4a=2bf

則/+4?,4",即(。一2)2“0,解得a=2,

33

則如2=8+8,即。=2&,.-.log<i*=log2(2>/2)=log222=-,故選：C.

6.解：是定義域為R上的偶函數(shù)，

不等式/(log,a)+/(log,a)?2/(2),等價為2/(log2a)?2f(2),

2

叩了(log?a),J(2),貝IJ/(Ilog/1),J(2),

?.?在區(qū)間[0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，.」log?aI,,2,即-2領(lǐng)Jog,,2,

解得1鼬4,故選：D.

4

7.解：由函數(shù)/(幻的圖象可得4=2,/(0)=1,

所以sine=；,結(jié)合圖象可得夕=2+2k;r,ksZ,又|如《，可得夕=看，

JT

所以/(x)=2sin(d?x4■—),

6

又/(——)-0，所以2sin(69xL^+工)=0,所以+'=2]，解得3=2,所以

12126126

jr

.f\x)=2sin(^--,

6

對于選項A,當(dāng)》=-工時，2x4--=--,故選項A不正確；

362

對于選項5,函數(shù)/(x)的最小正周期7=等=%，故選項B不正確；

對于選項C,當(dāng)x=C時，2x+-=-,故選項C正確；

662

對于選項力，當(dāng)xe仁，爭時，2》+看嗚，y]>函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，所以選項。不

正確.

故選：C.

8.解：當(dāng)x<0時，f(.2-x)=xi,此時方程/(x)+/(2-x)=4可化為2-|X|+|XF=4,該

方程的小于零的解為x=-2；

當(dāng)(翳/2時，f(2-x)=2-\2-x\=x,方程/(x)+/(2—x)=4可化為2-|x|+x=4,該

方程無解；

當(dāng)x>2時，f(2-x)=2-\2-x\=4-x,方程/(x)+f(2-x)=4可化為(x-2)?+4-x=4,

該方程的大于2的解為x=4,

故方程/(x)+/(2-x)=4的所有解得和為-2+4=2.

故選：C.

9.解：根據(jù)函數(shù),f(x)=Acos((yx+°)(A>0,。>0,|9|<巳)的部分圖象，

可得Aj;吟

:.s=21?

再根據(jù)五點法作圖可得2萬、工+夕=工，「?9=工，

626

1兀

j(x)=—cos(2^x+—),

26

故選：BD.

10.解：根據(jù)題意，￡&)=紅衛(wèi)~=區(qū)*止之曳=2--,

8x+1x+1x+1

可以由函數(shù)y=-3的圖象向左平移一個單位，向上平移2個單位得到,

X

若函數(shù)￡6)=生亙在區(qū)間(4+8)上單調(diào)遞增，必有-(2+a)<0且62-1,

x+1

解可得：a>-2且62-1,

故選：AC.

11.解：對于A,l=a+2b>2&而，得ab4』，當(dāng)且a工，b」時取等號，故A正確；

824

對于5,…吟當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?，T取等號，故B正

確；

對于C,1^=d3)Q+2b)=5但二巨>9,當(dāng)且僅當(dāng)@%=」寸取等號，故C錯

ababab3

誤；

對于Q,2。+型于2728+2b=2a，當(dāng)且僅當(dāng)aV，bh機寸取等號，故。正確.

故選：A8D

12.解：易知函數(shù)g(x)的定義域為R,且

g(~%)=\f-(x+)J-記書-Jf)x+|

所以g(x)為偶函數(shù)，故A正確，

因為f(l+x)=f(l-x),所以/(X)的圖象關(guān)于直線X=1對稱，又/(X)是奇函數(shù)，所以/(X)

是周期為4的函數(shù)，其部分圖象如下圖所示：

2f(x),xe\4k,2+4k]

所以當(dāng)x.O時g(x)=keN,當(dāng)xe(1,2)時，g(x)=2/(x),g(x)單

O,xe(2+44,4+4k]

調(diào)遞減，故3錯誤,

g(x)在［2016,2020］上零點的個數(shù)等價于g(x)在［0,4］上零點的個數(shù)，而g(x)在［0,4］±

有無數(shù)個零點，故C錯誤，

當(dāng)X..0時，易知g(x)的最大值為2,由偶函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)x<0時，g(x)的最大值也

為2,所以g(x)在整個定義域上的最大值為2,故。正確，

故選：AD.

13.解：設(shè)圓弧4B所對圓的圓心為O.

v|AB|=V3/?,NAO3=120。，.,.分界線的長度為二xR=翌.故答案為：—.

333

14.解：函數(shù)y=Y-2x+l的對稱軸方程為x=l,該函數(shù)在(1,3)上單調(diào)遞增，

而函數(shù)f(x)=a在(1,3)上遞減，可得0<a<1.

由％2―2工>0,得XVO或X>2,則函數(shù)y=loga(f—2x)的定義域為(一8,0)(2,+00),

又y=/—2x在上為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)y=log,*2-2x)增區(qū)

間是(-℃),0).

故答案為：(-oo,0).

15.解：由題意知，奇函數(shù)/(尤)的圖象過坐標(biāo)原點，/(0)=0,即sine=O.

又因為故°=0.

又因為函數(shù)/(x)=sins的圖象的相鄰兩對稱軸的距離為則g=](T為函數(shù)/(x)的最

小正周期)，

2萬

T=2兀,co=—=2,所以函數(shù)/(x)=sin2x.

令2k4+三強也x2k,Tr+—,kGZ,

22

解得：k乃+三會+k^-+—](keZ),

44

則函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是山萬+石，k^-4--KkeZ).

44

故答案為：函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是山萬+石，k^+—](keZ).

44

16.解：設(shè)上山路程為S,則下山路程亦為S,

._S?S_S()+匕)t2s4s

一’一匕口一匕匕，l；(匕+為)-匕+履

...￡=S(匕+匕)皿+%=(4+匕)2,

t2VjV24s4V,V2

T7SS個4s25

又??,6=—+—>2

匕彩匕十%

9

...tl>t2

.??所用時間之和最少的是乙,

故答案為："131,乙.

4vM

17.解：(1)由VxeR,*+/x+f>0恒成立，△=/_今<0,得至lj0<f<4,所以,

A={r|0</<4}.

(2)因為p是4的必要不充分條件，所以BUA,

當(dāng)3=0,即2a—1..。+1,所以a.2；

當(dāng)5K0,即2?-1<a+1,所以a<2,由BUA可得，

2a-l..OJla+1?4,解得1強壯3,

2

綜上所述：a的取值范圍為止，+00).

2

18.解：(1)g(x)=W+l=3d尸+1,

d"e

?，1x|..O,則以0<(3嗎,1，

e

.-.0<3(-)w?3,

e

即1<g(x),,4，

故g(x)的值域是(1,4］；

(2)由f(x)-g(x)=0,得爐一2一2=0,

e'

當(dāng)x,o時，方程無解;

當(dāng)x>0時，有，一±—2=0,

ex

整理得(,)2-2^-3=0,即整+1)(/-3)=0,

ex>0/.ex=3,即x=ln3.

19.解：(1)f(x)=V3sin(2018^--x)s^n(—+^)~c°s2+1

=V3(-sinx)(-cosx)--(1+cos2x)+1=-sin2x--cos2x+—=sin(2x

222262

令2x一二=攵4，Wx=—+—(A:GZ)，

6212

.-./(X)的對稱中心為仔+卷,1)()teZ)；

(2)由Ir(x)-川,,1,得-啜曠(x)—“1n+1恒成立,

7T71、_71<7157rl_冗、

X€r2x--esin(2x--)eJ]

1226366

由+1恒成立，得m,,f⑶而“+1=1心+1=3,；

由-1恒成立，得m../-1=|-1=g-

綜上,>得.

20.解:(1)■函數(shù)/(x)=/g(2+x)+/g(2-x),

[2+x>0

L八，解得-2<x<2.

[2-x>0

函數(shù)f(x)的定義域為(-2⑵.

???/(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=/(x),

，/(x)是偶函數(shù).

(2)v-2<x<2>

f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).

?Jg(x)=10+3x,

函數(shù)g(x)=-%2+3x+4=-(x-g)2+三,(-2<x<2),

???g(x),皿=g(|)=Y'g(")*fg(-2)=-6，

???函數(shù)g(x)的值域是(-6,—].

4

(3)??,不等式/(X)>加有解，.?.機V/(%),必r，

令1=4-由于一2vxv2,.\0</?4

.,./（x）的最大值為/g4.

二.實數(shù)加的取值范圍為{川/%</g4}?

ofX)

21.解：(1)由題意可知：AB=x,AD