2023-2024學(xué)年湖南省郴州一中等校聯(lián)考高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省郴州一中等校聯(lián)考高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={y|y=lnx}，B={x|x2?2x?3≤0}，則A∩B=A.{x|0<x≤1} B.{x|?3≤x≤1} C.{x|0<x≤3} D.{x|?1≤x≤3}2.若z(2?i)=i，則z?=(

)A.15+25i B.?13.已知奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(2)=1，則不等式f(x)+1<0的解集為(

)A.(?1,1) B.(?2,2) C.(?2,+∞) D.(?∞,?2)4.某班同學(xué)利用課外實(shí)踐課，測量A，B兩地之間的距離，在C處測得A，C兩地之間的距離是4千米，B，C兩地之間的距離是6千米，且∠ACB=60°，則A，B兩地之間的距離是(

)A.27千米 B.43千米 C.25.已知命題p：函數(shù)f(x)=x3+x+a在[1,3]內(nèi)有零點(diǎn)，則命題p成立的一個(gè)必要不充分條件是A.?30≤a≤?2 B.?30≤a≤?3 C.?28≤a≤0 D.?30≤a≤06.2cos80°?cos20°=(

)A.3sin20° B.sin20° C.?7.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，E在線段A.43

B.45

C.

8.已知長方體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1=2，在矩形ACCA.5 B.3 C.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論不正確的是(

)A.若m?α，n?α，m//β，n/?/β，則α/?/β

B.若α∩β=m，n/?/m，則n/?/α

C.若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥β

D.若m?α，m⊥β，則α⊥β10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π3)的圖象

B.直線x=2π3是f(x)圖象的一條對稱軸

C.f(x)在11.已知三棱錐P?ABC的所有棱長都是6，D，E分別是三棱錐P?ABC外接球和內(nèi)切球上的點(diǎn)，則(

)A.三棱錐P?ABC的體積是182

B.三棱錐P?ABC內(nèi)切球的半徑是66

C.DE長度的取值范圍是[6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某連鎖超市在A，B，C三地的數(shù)量之比為2：m：4，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取18家該連鎖超市進(jìn)行調(diào)研，已知A地被抽取了4家，則B地被抽取的數(shù)量是______．13.若實(shí)數(shù)x>2y>0，則3yx?2y+xy的最小值為______，此時(shí)x14.在長方形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E在線段AB上，AE=1，沿DE將△ADE折起，使得AE⊥DC，此時(shí)四棱錐A?BCDE的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱錐S?ABC中，已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=5．

(1)求三棱錐的體積VS?ABC；

(2)求側(cè)面SBC與側(cè)面SAB所成的二面角的余弦值．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2x?m?2?x是定義在R上的偶函數(shù)．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)對于任意的x≥017.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且43S=a2?(b?c)2．

(1)求角18.(本小題17分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=3AA1，D為AB的中點(diǎn)．

(1)證明：AB⊥平面CC1D.

(2)求異面直線BC1與CD所成角的余弦值．19.(本小題17分)

在復(fù)數(shù)域中，對于正整數(shù)n，滿足zn?1=0的所有復(fù)數(shù)z=cos2kπn+isin2kπn(k∈Z)稱為n次單位根，若一個(gè)n次單位根滿足對任意小于n的正整數(shù)m，都有zm≠1，則稱該n次單位根為n次本原單位根，規(guī)定1次本原單位根為1，例如當(dāng)n=4時(shí)存在四個(gè)4次單位根±1，±i，因?yàn)?1=1，(?1)2=1，因此只有兩個(gè)4次本原單位根±i，對于正整數(shù)n，設(shè)n次本原單位根為z1，z2，…，zm，則稱多項(xiàng)式(x?z1)(x?z2)(x?z3)…(x?zm)為n次本原多項(xiàng)式，記為fn(x)，規(guī)定f1(x)=x?1，例如f4(x)=(x?i)(x+i)=x2+1，請回答以下問題．

(1)直接寫出8次單位根，并指出哪些是8次本原單位根參考答案1D

2B

3D

4A

5D

6C

7C

8C

9ABC

10BCD

11ACD

126

132+23

14515解：(1)∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC，

AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，

∴SA⊥平面ABC．

又∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，

∴S△ABC=4．

又∵SB=5，AB=AC2+BC2=25，

∴SA=SB2?AB2=5，

∴VS?ABC=13S△ABC?SA=453．

(2)過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，作DE⊥SB于點(diǎn)E，連接CE，

SA⊥平面ABC，SA?平面ABS，則平面ABS⊥平面ABC，

平面ABS∩平面ABC=AB，CD⊥AB，CD?面ABC，

∴CD⊥平面ABS，由SB?平面ABS，

∴CD⊥SB，

又DE⊥SB，CD∩DE=D，CD，DE?平面CDE，

∴SB⊥平面CDE，

又CE?平面CDE，

∴CE⊥SB，

∴由DE⊥SB，CE⊥SB知∠CED為側(cè)面SBC與側(cè)面SAB所成的二面角的平面角，

Rt△SAC中，SA=5，AC=2，則SC=S16解：(1)∵函數(shù)f(x)=2x?m?2?x是定義在R上的偶函數(shù)，

∴f(?x)=f(x)，

可得2?x?m?2x=2x?m?2?x恒成立，

即2x(1+m)=2?x(1+m)，

∴(2x?2?x)(1+m)=0，

∵2x?2?x=0在R上不恒成立，

∴1+m=0?m=?1，

∴f(x)的解析式為f(x)=2x+2?x；

(2)由(1)知f(x)=2x+2?x，

當(dāng)x≥0時(shí)，令t=2x≥1,y=t+1t≥2．

∵不等式[f(x)]217解：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2?2bccosA，

所以a2?(b2+c2)=?2bccosA，

因?yàn)?3S=a2?(b?c)2，

所以43?12bcsinA=a2?(b2+c2)+2bc=?2bccosA+2bc，

整理得3sinA+cosA=1，

所以2sin(A+π6)=1，即sin(A+π6)=12，

因?yàn)锳∈(0,π)18(1)證明：正三棱柱ABC?A1B1C1中，則△ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，

所以CD⊥AB，而CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，

所以CC1⊥AB，又因?yàn)镃D∩CC1=C，

所以AB⊥平面平面CC1D；

(2)解：取到A1B1的中點(diǎn)D1，連接C1D1，DD1，BD1，

由題意可得C1D1/?/CD，

所以∠BC1D1或其補(bǔ)角為異面直線BC1與CD所成的角，

因?yàn)锳B=3AA1，

由題意可得CD=32AB=32AA1，BD1=BB12+B1D12=AA12+(32AA1)2=72AA1，

B19解：(1)首先需要證明：對k=0，1，…，n?1，n次單位根ζnk=cos2kπn+isin2kπn是本原單位根的充要條件是k和n的最大公約數(shù)為1．

我們不妨記作ζn=cos2πn+isin2πn，因此全部的n次單位根是1,ζn,ζn2,…,ζnn?1．

設(shè)k=0，1，…，n?1，我們考慮到ζnk=cos2kπn+isin2kπn：

如果k和n的最大公約數(shù)d>1，則(ζnk)nd=(ζn)knd=(ζnn)kd=1kd=1，從而ζnk不是本原單位根．

若ζnk不是本原單位根，設(shè)(ζnk)m=1，1≤m<n，則由ζnkm=(ζnk)m=1可知km是n的倍數(shù)，

設(shè)d為k和n的最大公約數(shù)，則kd?m是nd的倍數(shù)，而kd和nd沒有大于1的公約數(shù)，故m是nd的倍數(shù)，

所以由1≤m<n可知m≥nd>md，得d>1．

這就得到結(jié)論：對k=0，1，…，n?1，n次單位根ζnk=cos2kπn+isin2k