高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)-利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性》專項(xiàng)練習(xí)題（附答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)-利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性》專項(xiàng)練習(xí)題（附答案）常見考點(diǎn)考點(diǎn)一含參的單調(diào)性討論典例1．已知函數(shù)a∈R．(1)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性(2)討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)對a分類討論：a≤0和a>0兩種情況判斷單調(diào)性（2）對a分類討論：a≤0和a>0兩種情況結(jié)合單調(diào)性即零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的個數(shù)。(1)當(dāng)a0時恒成立故f（x）在（0+∞）上單調(diào)遞減當(dāng)a＞0時令解得：令解得：。所以在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)a≤0時f（x）在（0+∞）上單調(diào)遞減,而有唯一零點(diǎn)當(dāng)a＞0時。記則。令解得：令解得：。所以g在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增,所以所以。所以兩邊取對數(shù)有：。令則有所以。因?yàn)榱顒t有所以所以由零點(diǎn)存在定理可得在有且只有一個零點(diǎn)即在有且只有一個零點(diǎn)取f（）＝ea+1﹣（a+1）2。令則當(dāng)t＞1時∴單調(diào)遞增∴∴g（t）單調(diào)遞增∴g（t）＞g（1）＝e﹣1＞0故f（）＞0。所以在有且只有一個零點(diǎn)即在有且只有一個零點(diǎn)∴f（x）在和內(nèi)各有一個零點(diǎn)．綜上當(dāng)a0時f（x）有一個零點(diǎn)當(dāng)a＞0時f（x）有兩個零點(diǎn)．變式1-1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間(2)若存在極大值M和極小值N且求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求得對參數(shù)進(jìn)行分類討論在每種情況下考慮的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)的單調(diào)性求得的值以及的初步范圍結(jié)合的范圍即可分類討論求得的范圍。(1)因?yàn)閯t其定義域?yàn)橛之?dāng)時故當(dāng)時單調(diào)遞增當(dāng)時單調(diào)遞減當(dāng)時令解得或則當(dāng)時故在單調(diào)遞減當(dāng)時則當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)時單調(diào)遞增當(dāng)時則當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增當(dāng)時則當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增綜上所述當(dāng)時在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增當(dāng)時在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增當(dāng)時在單調(diào)遞減當(dāng)時在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增。(2)因?yàn)榇嬖跇O大值M和極小值N顯然或由（1）可知因?yàn)榧串?dāng)則滿足題意當(dāng)時則不滿足題意。綜上所述：的取值范圍時。【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性的討論以及利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)單調(diào)性求極值屬綜合中檔題處理問題的關(guān)鍵是合理的對參數(shù)的范圍進(jìn)行討論。變式1-2．已知函數(shù).其中實(shí)數(shù)。(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)求證：關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解?！敬鸢浮?1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)然后分和三種情況判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有唯一零點(diǎn)當(dāng)時求導(dǎo)后可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增然后利用零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)有唯一零點(diǎn)當(dāng)時令由導(dǎo)數(shù)可判斷存在唯一實(shí)數(shù)使得再根據(jù)利用零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)有唯一零點(diǎn)當(dāng)時可得存在唯一實(shí)數(shù)使得可判斷當(dāng)時函數(shù)只有1個零點(diǎn)再利用導(dǎo)數(shù)討論時無零點(diǎn)即可(1)依題意當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增。若則當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增。若則當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減

當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增(2)證明：依題意即。令則。當(dāng)時當(dāng)時所以當(dāng)時即綜上故函數(shù)在R上單調(diào)遞增。因?yàn)楣蕰r恰有1個零點(diǎn)當(dāng)時令則在R上單調(diào)遞增因?yàn)榱畹脝握{(diào)遞增所以所以故存在唯一實(shí)數(shù)使得即故在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增因?yàn)楣十?dāng)時函數(shù)恰有1個零點(diǎn)當(dāng)時在R上單調(diào)遞增因?yàn)樗源嬖谖ㄒ粚?shí)數(shù)使得即所以在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增。因?yàn)樗援?dāng)時函數(shù)只有1個零點(diǎn)當(dāng)時由得故。令因?yàn)楣试谏蠁握{(diào)遞增因?yàn)楣使十?dāng)時函數(shù)無零點(diǎn)。故當(dāng)時函數(shù)恰有1個零點(diǎn)。綜上所述關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有唯一零點(diǎn)然后分和三種情況利用導(dǎo)數(shù)結(jié)零點(diǎn)存在性定理討論函數(shù)的零點(diǎn)考查數(shù)學(xué)分類思想和轉(zhuǎn)化思想屬于難題變式1-3．函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)若的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方求的取值范圍?！敬鸢浮?1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)對a分類討論：①當(dāng)時②當(dāng)-1<a<0時③當(dāng)a=-1時④當(dāng)a<-1時.四種情況分別求出單調(diào)區(qū)間（2）令把題意轉(zhuǎn)化為.利用導(dǎo)數(shù)求出即可求出的范圍。(1)函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)導(dǎo)函數(shù)。①當(dāng)時,ax+1>0.故當(dāng)x∈(0,1)時,>0,f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈(1,+∞)時,<0,f(x)單調(diào)遞減。②當(dāng)-1<a<0時,令=0得或1,且>1>0。從而當(dāng)x∈(0,1)時,>0,f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈時,<0,f(x)單調(diào)遞減當(dāng)x∈,>0,f(x)單調(diào)遞增。③當(dāng)a=-1時,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。④當(dāng)a<-1時,令=0得或1,且1>>0。從而當(dāng)x∈(0,)時,>0,f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈時,<0,f(x)單調(diào)遞減當(dāng)x∈,>0,f(x)單調(diào)遞增。綜上所述：①當(dāng)時,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增(1,+∞)單調(diào)遞減②當(dāng)-1<a<0時,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增③當(dāng)a=-1時,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。④當(dāng)a<-1時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增。(2)要使的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方只需在(0,+∞)上恒成立。令只需。。令=0得。從而當(dāng)x∈(0,1)時,>0,g(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈時,<0,g(x)單調(diào)遞減。所以解得：。故的取值范圍?！军c(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性求極值（最值）（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。考點(diǎn)二根據(jù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)典例2．函數(shù)。(1)若在上單調(diào)遞增求a的取值范圍(2)若時證明：。【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由在上單調(diào)遞增則在上恒成立分離參數(shù)可得設(shè)求出導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性從而得出其最大值即可得出答案。（2）由題意即證即證成立設(shè)求出導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性從而得出最大值即可證明。(1)由在上單調(diào)遞增則在上恒成立又所以在上恒成立令令則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。所以所以的取值范圍為：(2)當(dāng)時要證只需證明即證令令恒成立則在R上為減函數(shù)且則所以當(dāng)時即故在上單調(diào)遞增當(dāng)時即故在上單調(diào)遞減所以即恒成立即成立【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查已知函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式解答本題的關(guān)鍵是由已知的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為在已知區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)在上恒成立問題求解證明不等式是先將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為即證構(gòu)造函數(shù)求出其最大值即可屬于難題。變式2-1．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增求的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)令可得的單調(diào)遞增區(qū)間（2）若在內(nèi)單調(diào)遞增即當(dāng)時即對恒成立分離參數(shù)求最值即可求的取值范圍．(1)解：當(dāng)時令得的單調(diào)遞增區(qū)間是(2)解：若在內(nèi)單調(diào)遞增即當(dāng)時即對恒成立即對恒成立令則在上單調(diào)遞增當(dāng)時當(dāng)且僅當(dāng)時的取值范圍是．變式2-2．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減求的取值范圍(2)若在處的切線斜率是證明有兩個極值點(diǎn)且．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可知在上恒成立分離參數(shù)設(shè)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得的最大值進(jìn)而可得的取值范圍（2）二次求導(dǎo)可得在和有個極值點(diǎn)再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況可得再利用不等性質(zhì)即可得證。(1)在遞減在上恒成立在上恒成立令時遞增時遞減(2)由題意得令解得：令解得：故在遞增在遞減又故分別在和有零點(diǎn)（不妨設(shè)時遞減時遞增時遞減故在和有個極值點(diǎn)而故原命題成立．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用二是函數(shù)的零點(diǎn)不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性極(最)值問題處理．變式2-3．已知函數(shù)．(1)若在上是減函數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若的最大值為6求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）在上是減函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及邊界值可以求得函數(shù)最大值進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的值。(1)函數(shù)的定義域?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)在內(nèi)恒成立在內(nèi)恒成立設(shè)則在內(nèi)單調(diào)遞增由可得．(2)函數(shù)的定義域?yàn)榍矣种淖畲笾禐?故即．下面證明：當(dāng)時即也即設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)恒成立符合題意．鞏固練習(xí)練習(xí)一含參的單調(diào)性討論1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)當(dāng)時證明：對恒成立．【答案】(1)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性見解析(2)證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再分類討論解不等式或即可作答。（2）將不等式等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)再探討其最小值的符號推理作答。(1)因?yàn)楫?dāng)時由得由得所以在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減當(dāng)時由得由得或所以在和上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)時當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”則在R上單調(diào)遞減當(dāng)時由得由得或所以在和上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增。(2)當(dāng)時令則顯然在上單調(diào)遞增且即存在使得當(dāng)時當(dāng)時于是得在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增即而即因此而即所以對恒成立。【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及雙變量的不等式證明問題將所證不等式等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造新函數(shù)再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性極(最)值問題處理。2．已知函數(shù)。(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)設(shè)若且使得求的最大值?！敬鸢浮?1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)然后對分三種情況討論即可求解（2）由題意當(dāng)滿足時取得最大值令求出的值即可得答案。(1)解：因?yàn)樗援?dāng)時令可得或令可得所以在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減當(dāng)時所以在R上單調(diào)遞增當(dāng)時令可得或令可得所以在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減(2)解：因?yàn)樗杂桑?）知在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減因?yàn)榍沂沟盟援?dāng)滿足時取得最大值令所以當(dāng)時同理可得所以當(dāng)時所以此時即的最大值為。3．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)若對于定義域內(nèi)任意恒成立求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮?1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域分兩種情況討論分析導(dǎo)數(shù)的符號變化即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間（2）由參變量分離法可得出對任意的恒成立構(gòu)造函數(shù)其中則利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍。(1)解：函數(shù)的定義域?yàn)?。?dāng)時對任意的此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為無遞減區(qū)間當(dāng)時由可得由可得。此時函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為。綜上當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為無遞減區(qū)間當(dāng)時函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為。(2)解：對任意的即可得對任意的恒成立構(gòu)造函數(shù)其中則構(gòu)造函數(shù)其中則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增因?yàn)樗源嬖谑沟卯?dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增所以因?yàn)閯t構(gòu)造函數(shù)其中則所以函數(shù)在上為增函數(shù)因?yàn)閯t則由可得所以所以可得所以?！军c(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1）（2）（3）（4）。4．已知函數(shù)。(1)若討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)時求在區(qū)間上的最小值和最大值?！敬鸢浮?1)在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。(2)答案見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求解導(dǎo)函數(shù)并求出的兩根得和的解集從而得函數(shù)單調(diào)性（2）由（1）得函數(shù)的單調(diào)性從而得最小值計算再分類討論與兩種情況下的最大值。(1)函數(shù)定義域?yàn)闀r或因?yàn)樗詴r或時所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。(2)因?yàn)橛桑?）知在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增所以的最小值為又因?yàn)楫?dāng)時此時最小值為最大值為當(dāng)時此時最小值為最大值為。【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性極值(最值)最有效的工具而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義往往與解析幾何微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷單調(diào)性已知單調(diào)性求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．練習(xí)二根據(jù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)5．已知函數(shù)其中。(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增求的取值范圍(2)若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)時求的取值范圍?！敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】（1）由題知在上恒成立進(jìn)而在上恒成立再求函數(shù)的最小值即可得答案。（2）先求得利用換元法表示出通過構(gòu)造函數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合來求得的取值范圍。(1)解：因?yàn)樗砸驗(yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增所以在上恒成立所以在上恒成立故令則在上恒成立所以在上單調(diào)遞增故所以即的取值范圍是。(2)解：對函數(shù)設(shè)上一點(diǎn)為過點(diǎn)的切線方程為將代入上式得所以過的的切線方程為。所以要使與有兩個交點(diǎn)則此時有兩個極值點(diǎn)且。令則所以所以即所以令令所以在上遞增。因?yàn)樗栽谏虾愠闪ⅰＫ栽谏虾愠闪?。所以在上遞增。所以當(dāng)時所以的取值范圍是。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)題意求函數(shù)過點(diǎn)的切線斜率進(jìn)而得再結(jié)合極值點(diǎn)的定義得進(jìn)而換元求出再構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得并結(jié)合得答案。6．已知函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù)其中．(1)若在上單調(diào)遞減求a的取值范圍(2)若不等式對恒成立求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)根據(jù)在上單調(diào)遞減可得在上恒成立分類參數(shù)可得在上恒成立令利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解（2）將已知不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立令在對分類討論求出的最大值小于等于0即可求出答案。(1)解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減所以在上恒成立即在上恒成立令則當(dāng)時當(dāng)時所以函數(shù)在上遞增在上遞減所以所以a的取值范圍為(2)解：由得即對恒成立令當(dāng)時不滿足當(dāng)時時時所以函數(shù)在上遞減在上遞增所以不符合題意當(dāng)時時時所以函數(shù)在上遞增在上遞減所以解得綜上所述a的取值范圍?！?/p>