《數(shù)字電子技術(shù)》課件1.6邏輯函數(shù)與卡諾圖

1.6邏輯函數(shù)的化簡

主要要求：

掌握邏輯函數(shù)的常見形式與變換理解卡諾圖化簡法理解代數(shù)法化簡

邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。例如與或表達式

或與表達式與非-

與非表達式或非-

或非表達式與或非表達式轉(zhuǎn)換方法舉例

與或式與非式

用還原律

用摩根定律

或與式或非式與或非式

用還原律

用摩根定律

用摩根定律

1.6.1邏輯函數(shù)表達式的常見形式1.6.2代數(shù)法化簡化簡的原則1、表達式中乘積項最少（所用的門最少）；2、乘積項中的因子最少（門的輸入端數(shù)最少）；3、化為要求的表達形式（便于用不同的門來實現(xiàn)）。不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與-

或式，然后通過變換得到所需最簡式?；喴饬x使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。最簡與-

或式標(biāo)準(zhǔn)(1)乘積項(即與項)的個數(shù)最少(2)每個乘積項中的變量數(shù)最少用與門個數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少

最簡與非式標(biāo)準(zhǔn)(1)非號個數(shù)最少(2)每個非號中的變量數(shù)最少用與非門個數(shù)最少與非門的輸入端數(shù)最少

運用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。并項法

運用，將兩項合并為一項，并消去一個變量。代數(shù)（公式）化簡法吸收法

運用A+AB

=A和，消去多余的與項。消去法

運用吸收律

，消去多余因子。配項法通過乘或加入零項進行配項，然后再化簡。代數(shù)化簡法

優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。

卡諾圖化簡法優(yōu)點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法易判斷結(jié)果是否最簡。

缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點1.6.3卡諾圖化簡法1.邏輯函數(shù)最小項

（1）

最小項的定義和編號

n個變量有2n種組合，可對應(yīng)寫出2n個乘積項，這些乘積項均具有下列特點：包含全部變量，且每個變量在該乘積項中(以原變量或反變量)只出現(xiàn)一次。這樣的乘積項稱為這n個變量的最小項，也稱為n變量邏輯函數(shù)的最小項。如何編號？如何根據(jù)輸入變量組合寫出相應(yīng)最小項？例如

3變量邏輯函數(shù)的最小項有

23=8個

將輸入變量取值為1的代以原變量，取值為0的代以反變量，則得相應(yīng)最小項。

簡記符號例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小項ABCm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應(yīng)的十進制數(shù)76543210（2）

最小項的基本性質(zhì)

①

對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為

1，

而其余各種變量取值均使其值為

0。三變量最小項表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC②

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為

0。③

對于變量的任一組取值，全體最小項的和為

1。（3）

最小項的相鄰性①幾何相鄰：最小項在卡諾圖幾何圖形位置上的相鄰關(guān)系。主要包括3種：一是，相挨；二是相對（任一行或列的兩端）；三是相重（對折起來位置重合）。②邏輯相鄰：兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為邏輯相鄰最小項，簡稱相鄰項。相鄰最小項重要特點是，兩個相鄰最小項相加可合并為一項，消去互反變量，化簡為相同變量相與。例如，。注意：在卡諾圖中，凡是幾何相鄰的最小項必定邏輯相鄰。2.卡諾圖（1）概念

將n變量的2n個最小項用2n個小方格表示，并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為n變量最小項卡諾圖，簡稱為變量卡諾圖。變量取0的代以反變量取1的代以原變量AB二變量卡諾圖0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB四變量卡諾圖01

3

245

7

61213

15

14891110三變量卡諾圖ABC01000111

10

m6m7m4m2m3000m0m5001m16

7

5

4

2

310ABCD00011110000111

10

以循環(huán)碼排列以保證相鄰性變量取0的代以反變量取1的代以原變量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰

（2）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

(1)

求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與-

或式或者與-

或式。

(2)

畫出變量卡諾圖。

(3)

根據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與

-

或式或與

-

或式填圖。基本步驟用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例

已知標(biāo)準(zhǔn)與或式畫函數(shù)卡諾圖

[例]

試畫出函數(shù)Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡諾圖解：(1)

畫出四變量卡諾圖(2)

填圖

邏輯式中的最小項m0、m1、m12、m13、m15

對應(yīng)的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

（3）用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

卡諾圖化簡法步驟如下：①畫函數(shù)卡諾圖；②對填1的相鄰最小項方格畫包圍圈：畫包圍圈規(guī)則是，包圍圈必須包含個相鄰1方格，且必須成方形；先圈小再圈大，圈越大越好；1方格可重復(fù)圈，但須每圈有新1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。注意：同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個角上的1方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。

③將各圈分別化簡；④將各圈化簡結(jié)果邏輯加。m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(3)畫包圍圈abcd(4)將各圖分別化簡圈2個可消去

1個變量，化簡為3個相同變量相與。Yb=BCD圈4個可消去

2個變量，化簡為2個相同變量相與。孤立項Ya=ABCDYc=

AB循環(huán)相鄰

Yd=

AD(5)將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與或式3.具有約束的邏輯函數(shù)的化簡（1）約束、約束項和有約束條件

約束指的是邏輯函數(shù)的各個變量之間所具有的相互制約的關(guān)系。我們把這樣的變量稱為具有約束的邏輯變量，而這些不允許出現(xiàn)，或不可能出現(xiàn)的取值組合所對應(yīng)的最小項統(tǒng)稱為約束項。由有約束的變量所決定的邏輯函數(shù)，叫做有約束的邏輯函數(shù)。約束項可以用di表示，其中下標(biāo)i=0～（2n?1）為最小項的編號，在列真值表或填卡諾圖時，將約束項所對應(yīng)的函數(shù)值記作“×”。

將所有約束項相加所構(gòu)成的函數(shù)值恒為零的邏輯表達式叫做“約束條件”，記做。

（2）具有約束的邏輯函數(shù)的化簡方法

在對具有約束的邏輯函數(shù)化簡時，與約束項對應(yīng)的函數(shù)值可以任意假定，既可以取0，也可以取1，完全視需要而定。

【例】

利用圖形法化簡下列具有約束的邏輯函數(shù)。本章小結(jié)本章主要介紹了數(shù)字電路的概述，數(shù)制與碼制、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)、邏輯代數(shù)定律及規(guī)則、邏輯函數(shù)及其表示方法和邏輯函數(shù)的化簡等邏輯代數(shù)方面的基礎(chǔ)知識。

1.數(shù)字電路是傳遞和處理數(shù)字信號的電子電路。數(shù)字電路中的信號只有高電平和低電平兩個取值，通常用1表示高電平