周世勛《量子力學(xué)教程》考研考點(diǎn)講義

目錄教材分析及考試說(shuō)明 (1)第一章緒論 (7)第二章波函數(shù)和薛定諤方程 (18)第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量 (54)第四章態(tài)和力學(xué)量表象 (93)第五章微擾理論 (118)第六章自旋與全同粒子 (157)教材分析及考試說(shuō)明1．周世勛《量子力學(xué)教程》考點(diǎn)精講及復(fù)習(xí)思路本課程使用教材《量子力學(xué)教程》第二版高等教育出版社周世勛原著，陳灝修訂本課程參考教材Ⅰ本課程總體要求量子力學(xué)入學(xué)考試是為招收與物理相關(guān)專(zhuān)業(yè)類(lèi)碩士生而實(shí)施的選拔性考試，其指導(dǎo)思想一般為有利于選拔具有扎實(shí)的量子力學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)的高素質(zhì)人才。其目的是科學(xué)、公平、有效地測(cè)試學(xué)生掌握大學(xué)本科階段量子力學(xué)的基本知識(shí)、基本理論，以及運(yùn)用量子力學(xué)方法分析和解決涉及微觀領(lǐng)域問(wèn)題的能力，以保證被錄取者具有研究物理問(wèn)題的基本的理論素質(zhì)，以利于各高等院校和科研院所在專(zhuān)業(yè)上擇優(yōu)選拔。要求考生能夠系統(tǒng)地掌握量子力學(xué)的基本思想和方法；學(xué)習(xí)和掌握處理微觀粒子運(yùn)動(dòng)的理論方法；以及具備運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。Ⅱ考查目標(biāo)考研對(duì)量子力學(xué)要求包括：量子理論的基本概念和基本原理，并以波動(dòng)力學(xué)為主要表現(xiàn)形式，具體有波函數(shù)和薛定諤方程、力學(xué)量、微擾理論和自旋等。要求考生： (1)掌握和準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)微觀粒子的波粒二象性。 (2)掌握用波函數(shù)來(lái)描述微觀粒子狀態(tài)以及波函數(shù)的意義。—2—(3)學(xué)會(huì)運(yùn)用波函數(shù)滿(mǎn)足的薛定諤方程解決一些簡(jiǎn)單的量子力學(xué)問(wèn)題，并由此提高對(duì)微觀世界的認(rèn)識(shí)。 (4)運(yùn)用微擾理論的方法解決一些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并能由此舉一反三分析和解決原子物理當(dāng)中一些比較實(shí)際的問(wèn)題。 (5)了解和掌握微觀粒子的內(nèi)秉性質(zhì)，如電子的自旋。結(jié)合這一內(nèi)秉性質(zhì)理解原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，形成微觀物質(zhì)結(jié)構(gòu)的正確圖象。Ⅲ考試形式和試卷結(jié)構(gòu)滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為180分鐘答題方式為閉卷，筆試。微觀粒子的波粒二象性波函數(shù)和薛定諤方程量子力學(xué)中的力學(xué)量態(tài)和力學(xué)量的表象微擾理論自旋與全同粒子Ⅳ試卷題型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)答題(或填空題、或選擇題)48分左右 證明題42分左右 計(jì)算題不低于60分 Ⅴ考查內(nèi)容一、微觀粒子的波粒二象性光的粒子性實(shí)驗(yàn)，電子的波動(dòng)性實(shí)驗(yàn)，德布羅意的波粒二象性，海森堡的不確定原理諤方程微觀粒子態(tài)的波函數(shù)表示，波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)瑧B(tài)的疊加原理，—3—薛定諤方程，概率流和概率流守恒定律，定態(tài)薛定諤方程。力學(xué)量的算符表示，動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符，電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，氫原子，厄米算符本征函數(shù)的正交性，算符與力學(xué)量的關(guān)系，算符的對(duì)易關(guān)系，力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化和守恒定律。態(tài)的表示，算符的矩陣表示，量子力學(xué)公式的矩陣表示，幺正變換，狄拉克符號(hào)。非簡(jiǎn)并微擾，簡(jiǎn)并微擾，斯塔克效應(yīng)，含時(shí)微擾理論，光的發(fā)生和吸收。電子自旋，自旋算符和波函數(shù)，角動(dòng)量的耦合，光的精細(xì)結(jié)構(gòu)，全同粒子的特性，全同粒子體系的波函數(shù)和泡利原理，氦原子和氫分子。碰撞過(guò)程和碰撞截面，分波法，玻恩近似?！?—周世勛《量子力學(xué)教程》考點(diǎn)精講及復(fù)習(xí)思路課程安排第一章第二章第三章第四章第五章第六章緒論波函數(shù)和薛定諤方程量子力學(xué)中的力學(xué)量態(tài)和力學(xué)量表象微擾理論自旋與全同粒子考試題型 1．簡(jiǎn)述夫蘭克－赫茲實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及所得結(jié)論。2．簡(jiǎn)述史特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及所得結(jié)論。3．簡(jiǎn)述普朗克能量量子化假說(shuō)提出的實(shí)驗(yàn)背景。述波函數(shù)的物理意義，以及波函數(shù)的性質(zhì)。 (二)華中師范大學(xué)20071．回答下列問(wèn)題(25分) (1)如何理解微觀粒子的波粒二象性？ 理含義是什么？ (3)物理上可觀測(cè)量應(yīng)該對(duì)應(yīng)什么樣的算符？為什么？ (三)深圳大學(xué)2011回答下列問(wèn)題(每小題9分，共72分)1．利用電子干涉實(shí)驗(yàn)，可以證明微觀粒子具有波動(dòng)性還是粒子性？微觀粒子的波動(dòng)性是大量微觀粒子的的統(tǒng)計(jì)特性還是單個(gè)微觀粒子的固有特性，在實(shí)驗(yàn)中是怎樣驗(yàn)證的？2．一維諧振子在t＝0時(shí)處在歸一化波函數(shù)為 所描寫(xiě)的態(tài)中，式中wn(x)是諧振子的能量本征函數(shù)，求(1)C1的數(shù)值(2)t＞0時(shí)系統(tǒng)的波函數(shù)?！?—HU(t)HU(t)，其中H是系統(tǒng)的哈密頓。5．對(duì)于全同粒子體系，由于交換任意兩個(gè)粒子，體系的狀態(tài)，因此全同粒子體系的狀態(tài)只能用波函數(shù)和波函數(shù)來(lái)描述。 (1)兩個(gè)不同的表象通過(guò)什么算符相聯(lián)系？ (2)在不同的表象中，不變的量有： (a)力學(xué)量的表示； (b)體系的狀態(tài)； (c)力學(xué)量的本征值； (d)兩個(gè)波函數(shù)的內(nèi)積； (e)力學(xué)量的平均值。pz哪些是守恒量。杭州師范大學(xué)2012年子在一維無(wú)限深勢(shì)阱V(x)＝中運(yùn)動(dòng)，求：(1)求解粒子能量本征值及對(duì)應(yīng)的狀態(tài)波函數(shù)。(6分) (2)粒子在一維空間的幾率分布函數(shù)。(5分) nxap2．(15分)設(shè)氫原子處于狀態(tài)求：(1)求科能測(cè)到氫原子能量值及其測(cè)量到的幾率。(5分) (2)軌道角動(dòng)量平方L2的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及L2的平均值。(5分) (3)z分量LZ的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及LZ平均值。λλ—6—命題規(guī)律總結(jié)考試的重點(diǎn)內(nèi)容：第一章德布羅意假設(shè)及其公式、波粒二象性第二章波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)粦B(tài)疊加原理；薛定諤方程的建立過(guò)程；粒子流密度的概念及粒子數(shù)守恒定律；定態(tài)的概念，定態(tài)薛定諤方程的解法；一維無(wú)限深勢(shì)阱的求解過(guò)程；線性諧振子(考核概率第三章表示力學(xué)量的算符；動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符(重點(diǎn))(考核概率50％)；電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)(掌握理解)(考核概率50％)掌握理解：厄密算符的性質(zhì)；厄密算符本征函數(shù)的正交性；算符與力算符的對(duì)易關(guān)系，兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系；第四章態(tài)的表象，坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象之間的關(guān)系，希爾伯特空間；算符的矩陣表示(重點(diǎn)：考核變換的本質(zhì)(重點(diǎn)：考核并定態(tài)微擾理論；簡(jiǎn)并情況下的微擾理論(重點(diǎn)：考核概率：50％)第六章電子自旋(考核概率30％)；電子的自旋算符和自旋函數(shù)(重點(diǎn)：考核概率60％)計(jì)算題常用的公式：1)一維無(wú)限深勢(shì)阱、線性諧振子、中心力場(chǎng)及氫原子、自由粒子問(wèn)題的本征態(tài)和本征函數(shù)；2)遞推公式3)常見(jiàn)的對(duì)易關(guān)系式4)微擾論的能量的一級(jí)修正、二級(jí)修正公式；波函數(shù)的一級(jí)修正公式備考與應(yīng)試策略作為一門(mén)專(zhuān)業(yè)課，量子力學(xué)的考試內(nèi)容與所報(bào)學(xué)校的學(xué)科發(fā)展有密切的關(guān)系，譬如，散射問(wèn)題是大多數(shù)專(zhuān)業(yè)不予涉及的，但是，核物理專(zhuān)業(yè)卻作為重點(diǎn)之一。因此最好把所報(bào)學(xué)校歷年來(lái)的考試真題進(jìn)行分析，依據(jù)考試大綱的內(nèi)容，找出重點(diǎn)內(nèi)容?？傊?，量子力學(xué)以波函數(shù)及其滿(mǎn)足的自然條件、薛定諤方程和力學(xué)量算符為核心，對(duì)量子力學(xué)所涉及的各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行融會(huì)貫通。1．熟悉量子力學(xué)的基本理論知識(shí)，多看看教材和歷年試題，適當(dāng)?shù)貐⒓虞o導(dǎo)班。教材上的教學(xué)內(nèi)容并不是全部都作為考試內(nèi)容的，但其中的一些重要的內(nèi)容會(huì)在各校的考研題上幾年都以不同的形式出現(xiàn)，對(duì)這一部分內(nèi)容要將其挖掘出來(lái)，2．將上述的復(fù)習(xí)內(nèi)容以自己的方式整理出來(lái)，形成精練的筆記。試題也可能出現(xiàn)一些超范圍的內(nèi)容，因此要閱讀與報(bào)考專(zhuān)業(yè)相關(guān)的一些專(zhuān)業(yè)書(shū)。3．選擇一本合適的習(xí)題集，結(jié)合歷年來(lái)的考試題，有針對(duì)性地進(jìn)行練習(xí)。4．在考前，對(duì)課程的重點(diǎn)和基本概念、基本原理、常用的公式進(jìn)行復(fù)習(xí)，加深記憶?！?—第一章緒論本章考研要求1．經(jīng)典物理學(xué)的困難(之一：黑體輻射問(wèn)題和Plank量子論)理解黑體輻射問(wèn)題中經(jīng)典理論所遇到的困難和Plank量子論。掌握Plank量子論(重點(diǎn))。1)黑體輻射問(wèn)題中經(jīng)典理論所遇到的困難(維恩公式、瑞利－金斯公式)。Plank量子化的思想，并推導(dǎo)Plank的黑體輻射公式，理解并掌握Plank的能量量子化的假設(shè)。2．經(jīng)典物理學(xué)的困難(之二：光電效應(yīng)與愛(ài)因斯坦的光量子論；之三：A．Einstein光量子論在掌握光電效應(yīng)概念(脫出功A的概念、光電流等)；愛(ài)因斯坦的光量子論解釋光電效應(yīng)；Compton守恒定律仍然成立。1)光電效應(yīng)概念(脫出功A的概念、光電流等)，光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中所得到的3個(gè)結(jié)論認(rèn)識(shí)。2)愛(ài)因斯坦的利用Plank的能量量子論思想引入到電磁波上引入了光量子論思想，利用此思想如何解釋了光電效應(yīng)現(xiàn)象。(重點(diǎn))恒定律仍然成立。(理解)3．經(jīng)典物理學(xué)的困難(之四：原子的線狀光譜及其規(guī)律；原子的穩(wěn)定性)量子化條件，氫原子能級(jí)的推導(dǎo)(重點(diǎn)，難點(diǎn))；理解：固體與分子的比熱問(wèn)題上經(jīng)典物理所遇到的困難。4．微粒的波粒二象性2)理解：為什么微觀粒子deBroglie波寫(xiě)成復(fù)數(shù)域的指數(shù)形式。什么是黑體？一束光一旦從狹縫射入空腔后，就很難再通過(guò)狹縫反射出來(lái)，這個(gè)空腔上的狹縫就可以看作黑體。黑體輻射規(guī)律：實(shí)驗(yàn)曲線為和位置只與黑體的熱力學(xué)溫度T有關(guān)，而與空腔的形狀及組成的物質(zhì)無(wú)關(guān)。這樣利用黑體就可撇開(kāi)材料的具體性質(zhì)普遍地研究。維恩(Wien)假設(shè)氣體分子輻射的頻率只與其速度有關(guān)，給出了與麥克斯韋速度分布率形式很相似的公式為rλ，Tdλ＝C1λ－5e－λTd與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，短波長(zhǎng)部分與實(shí)驗(yàn)符合較好，長(zhǎng)波長(zhǎng)部分與實(shí)驗(yàn)相差較大。瑞利—金斯(R－J)從能量按自由度均分定律出發(fā)給出的公式為rλ，Tdλ＝kTdλ—9—這個(gè)公式只有在波長(zhǎng)相當(dāng)長(zhǎng)的部分與實(shí)驗(yàn)曲線相符合。隨著波長(zhǎng)減小，輻射度無(wú)限增大，隱含總發(fā)射能量發(fā)散。這顯然是不正確的，輻射理論出現(xiàn)這種荒唐的局面被稱(chēng)之為“紫外災(zāi)難”。可見(jiàn)，經(jīng)典物理對(duì)黑體輻射是無(wú)法解釋的。正確的黑體輻射公式是普朗克給出的，與黑體輻射實(shí)驗(yàn)曲線很好地吻合。rλ，Tdλ＝Cλ－5黑體輻射能量分布曲線普朗克是如何得到這個(gè)正確的公式呢？普朗克假設(shè)：可將黑體物質(zhì)看作是由各種頻率的簡(jiǎn)諧振子組成的，頻率為的諧振子能量值只取的整數(shù)倍，在黑體與輻射場(chǎng)處于熱平衡條件下，交換能量(吸收和發(fā)射電磁輻射)是一份一份吸收和發(fā)射能量，每一份的能量為hν，其中ν為電磁輻射的頻率。一份ckh的物理意義是：能量量子化的量度，即分立性的量度。凡是與h有關(guān)的物理現(xiàn)象就可視作量子現(xiàn)象。何為光電效應(yīng)？從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出的光電效應(yīng)規(guī)律是：(1)對(duì)于一定材料構(gòu)成的陰極，只有光的頻率大于一定值時(shí)，才有電子發(fā)射出來(lái)；(2)光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無(wú)關(guān)；(3)對(duì)于一定材料的電極，當(dāng)照射光頻率大于一定值時(shí)，幾乎沒(méi)有弛豫時(shí)間，立即就有光電子發(fā)射出來(lái)。這些實(shí)驗(yàn)事實(shí)是經(jīng)典理論無(wú)法解釋的，因?yàn)楦鶕?jù)光的電磁理論，光能量只決定于光強(qiáng)度，而與光頻率無(wú)關(guān)。Einstein第一個(gè)認(rèn)識(shí)到，電磁輻射不僅發(fā)射和吸收是以量子形式進(jìn)行的，而且是以量子形式傳播的，輻射場(chǎng)本身就是由一個(gè)一個(gè)光量子—Einstein稱(chēng)為光子(photon)—組成的。每個(gè)光子的能量ε＝hν＝iω2πpk＝i2π2π其中，i＝是量子力學(xué)中常用的常數(shù)，ω＝2πν是光波圓頻率，k2π當(dāng)光照射到金屬陰極上時(shí)，能量為hν的光子被電子吸收，電子把這份能量一部分用來(lái)克服金屬表面對(duì)它的吸引力做功，另一部分就轉(zhuǎn)化為光電子攜帶的動(dòng)能。能量轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)關(guān)系為 122 122其中，m是電子的質(zhì)量，υ是逸出光電子的速度，W0是電子脫出金屬表面所需要做的功，稱(chēng)為脫出功，ν是照射金屬陰極的光頻率。如果電子所吸收的光子能量小于，則電子不能脫出金屬表面，因而沒(méi)有光電子產(chǎn)生。光的頻率決定光子的能量，光的強(qiáng)度只決定光子的數(shù)目，光子多，產(chǎn)生的光電子也多。在金屬陰極材料確定下(即Wn。這樣，經(jīng)典理論所不能解釋的光電效應(yīng)就得到了說(shuō)明。 知由于光子的速度因而光子的質(zhì)量只能取為m0＝0，并由動(dòng)量－能量關(guān)系得到光子能量E和動(dòng)量p之間的關(guān)系是E＝cp所以光子的能量和動(dòng)量是E＝hν＝iω2π2π上式把光的兩重性質(zhì)—波動(dòng)性和粒子性聯(lián)系了起來(lái)，等式左端是描寫(xiě)粒子的能量和動(dòng)量，右端是描寫(xiě)波動(dòng)性的波長(zhǎng)和頻率。其中n表示沿光子運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量，ω＝2πν表示角頻率，λ是波長(zhǎng)，k＝其中n表示沿光子運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量，ω＝2πν表示角頻率，λ是波長(zhǎng)，k＝cn＝λn稱(chēng)為Compton粒子性的又一次實(shí)驗(yàn)證明實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，高頻X射線被自由電子或輕元素中的電子(弱束縛電子)散射后，波長(zhǎng)要發(fā)生變化，并隨散射角增大波長(zhǎng)增大。按照經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電磁波被電子散射的過(guò)程是電子在入射場(chǎng)作用下，作受迫振動(dòng)而重新輻射電磁波的過(guò)程，散射波長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化。但是如果把電子散射電磁波的過(guò)程看成是光子與電子的碰撞過(guò)程，就可導(dǎo)出和實(shí)驗(yàn)符合的Compton散射波長(zhǎng)改變的公式。Δλ＝λ′－λ＝sin2λ，λ′分別是光子碰撞前后的波長(zhǎng)，μ0是電子的靜止質(zhì)量，θ是散射角。普朗克常數(shù)h在其中的出現(xiàn)，說(shuō)明康普頓效應(yīng)也是量子現(xiàn)象?，F(xiàn)在新的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，迫使我們不得不承認(rèn)光除去具有波動(dòng)性以外，還具有粒子性，光具有波粒二象性。o (動(dòng)能)能量守恒：iω＝iω′＋mociωiω′mviω′mvΔλ＝λ′－λ＝sin2Planck－Einstein光量子概念必然會(huì)促進(jìn)物理學(xué)其他重大疑難問(wèn)題的解決。1913年Bohr把這種概念運(yùn)用到原子結(jié)構(gòu)問(wèn)題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學(xué)所代替，但是它在歷史上對(duì)量子理論的發(fā)展曾起過(guò)重大的推動(dòng)作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學(xué)中保留了下來(lái) (1)波爾假定 (2)氫原子線光譜的解釋 (3)量子化條件的推廣 (4)波爾量子論的局限性·氫原子的線狀光譜是如何產(chǎn)生的？·核外電子如何運(yùn)動(dòng)？·怎樣排布？·性質(zhì)如何？·微觀世界遵守怎樣運(yùn)動(dòng)規(guī)律？·與宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律有何不同？1)原子光譜：Fe在電弧中發(fā)光(可見(jiàn)光)原子光譜為什么是線狀(不連續(xù))光譜？為什么氫原子的線狀光譜遵循巴爾末經(jīng)驗(yàn)公式？經(jīng)典理論的困難①原子穩(wěn)定性的問(wèn)題，根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電子環(huán)繞原子核的運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng)，因而不斷以輻射的方式發(fā)射出能量，電子運(yùn)動(dòng)軌道的曲率半徑也就不斷減小，電子最后終將落到原子核中去；②加速電子所產(chǎn)生的輻射能量是連續(xù)的減少，其輻射頻率是也應(yīng)該是連續(xù)分布的，這顯然與原子光譜是分立的線狀譜線不符；③按照經(jīng)典理論，如果一個(gè)體系發(fā)射出頻率為的波，則它也可能發(fā)射出各種頻率是的整數(shù)倍的諧波，這也不符合光譜實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)驗(yàn)表明譜線的頻率分布所遵從的是里茨的并合原則。 (如果光譜中有頻率為ν1和ν2的兩條譜線，則常常還有頻率為ν1＋ν2或ν1－ν2的譜線)。1)原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。2)量子躍遷的概念．量最低態(tài))的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在著。原子處于定態(tài)時(shí)不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個(gè)能級(jí)En躍遷到另一個(gè)較低(高)的能級(jí)Em，同時(shí)將發(fā)射(吸收)一個(gè)光子。光子的頻率為為了具體確定這些能量數(shù)值，Bohr提出了量子化條件：根據(jù)這兩個(gè)概念，可以圓滿(mǎn)地解釋氫原子的線光譜。假設(shè)氫原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)cr2μrn2i2r2μe角動(dòng)量22e (1)n2i2 (2) iμe (1)2ev＝μr根據(jù)Bohr量子躍遷的概念與氫原子線光譜的經(jīng)驗(yàn)公式比較得Rydberg常數(shù)與實(shí)驗(yàn)完全一致由理論力學(xué)知，若將角動(dòng)量L選為廣義動(dòng)量，則θ為廣義坐標(biāo)。考慮積分并利用Bohr提出的量索末菲將Bohr量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，＝nih其中pi是廣義動(dòng)量，qi是相應(yīng)的廣義坐標(biāo)。這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對(duì)于只有一個(gè)電子(Li，Na，K等)的一些原子光譜也能很好的解釋波爾量子論首次打開(kāi)了認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)的大門(mén)，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問(wèn)題也逐漸為人們所認(rèn)識(shí)：1．不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜；2．不能給出光譜的譜線強(qiáng)度(相對(duì)強(qiáng)度)；3．Bohr只能處理周期運(yùn)動(dòng)，不能處理非束縛態(tài)問(wèn)題，如散射問(wèn)題；4．從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。在經(jīng)典物理中，像電子這樣的實(shí)物粒子是作為點(diǎn)粒子描述的。1924年deBroglie在光具有波動(dòng)性和粒子性啟發(fā)下，首先提出波粒二象性不應(yīng)當(dāng)僅是光具有的性質(zhì)，像電子以及其它實(shí)物粒子不僅具有粒子性，可能也具有波動(dòng)性的假設(shè)。他提出任何物體都伴隨著波，而且不可能把物體運(yùn)動(dòng)和波傳播分割開(kāi)來(lái)，并假設(shè)實(shí)物粒子的波動(dòng)性與粒子性數(shù)量關(guān)系與光子相同E＝hν＝iωE＝hν＝iωω是伴隨波的圓頻率，k是波矢量，這組關(guān)系稱(chēng)為deBroglie關(guān)系，這種波就稱(chēng)為物質(zhì)波(matterdeBroglie的假說(shuō)很快就得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí)。1927年Davisson和Germer用加速電子束入射到金屬鎳單晶上，觀察到了和X射線入射情況相同的衍射現(xiàn)象，這就證實(shí)了電子束和X射線束(一種頻率不同于光的電磁波)具有相同的波動(dòng)性質(zhì)。同期Thomson做了電子被多晶體散射的實(shí)驗(yàn)，也得到了類(lèi)似于X射線經(jīng)多晶體衍射所產(chǎn)生的衍射圖樣。以后其他人又成功地進(jìn)行了電子的單縫、雙縫、多縫衍射實(shí)驗(yàn)，都證實(shí)了電子的波動(dòng)性。Fermi還觀察到了中子束的干涉和衍射現(xiàn)象，Stern等人還完成了氬分子和氦原子在氟化鋰晶體上衍射的定量實(shí)驗(yàn)等。總之實(shí)驗(yàn)證明，一切微觀粒子都具有波動(dòng)性。微觀粒子波粒二象性理解在經(jīng)典物理中，波概念意味著可彌散于全空間，在空間和時(shí)間中作周期性的變化，可以在空間傳播和運(yùn)動(dòng)。特別是波可以疊加，并發(fā)生干涉和衍射。粒子概念則和這樣的事實(shí)聯(lián)系著，可定域在空間一點(diǎn)(實(shí)際上是一個(gè)小區(qū)域中)，一個(gè)粒子在空間一點(diǎn)的出現(xiàn)總是排斥其它粒子在這一點(diǎn)出現(xiàn)，粒子在保持原特性條件下意味著不可分割。波動(dòng)性和粒子性在經(jīng)典物理中是互相排斥的，對(duì)立的、不相容的。如何理解在量子論中他們可統(tǒng)一地描述微觀粒子呢？kg體。它的空間限度以及質(zhì)量是如此之小，它具有不同于宏觀粒子的特性，我們無(wú)法直接感知它，惟一認(rèn)識(shí)它的途徑是用宏觀儀器觀測(cè)它們。測(cè)量它們就意味著對(duì)它們發(fā)生某種作用，這就會(huì)對(duì)它產(chǎn)生某種干擾，它在某種條件下表現(xiàn)出的性質(zhì)像宏觀粒子，在另外一些條件下又表現(xiàn)出類(lèi)似經(jīng)典波的性質(zhì)。對(duì)它的這種奇怪的性質(zhì)，從宏觀世界中我們無(wú)法獲得恰當(dāng)?shù)母拍詈驼Z(yǔ)言描述它，只好用經(jīng)典上看上去矛盾的語(yǔ)言，類(lèi)比地說(shuō)它既像粒子又像波。另外，我們說(shuō)微觀粒子具有波粒二象性，這里的粒子性并不完全是經(jīng)典意義上的粒子，只是保留了經(jīng)典粒子最重要的集中而不可分割的顆粒特性，而摒棄了如運(yùn)動(dòng)軌道等概念。說(shuō)它具有波動(dòng)性，也只是保留了經(jīng)典波最重要的可疊加、干涉、衍射等特性，而摒棄了經(jīng)典波代表真實(shí)物質(zhì)場(chǎng)波動(dòng)的含義。E和動(dòng)量p都是常量，所以由deBroglie關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的k沿單位矢量n方向傳播的平面波可表為：λλΨ＝Aexp[i(k·r－ωt)ν＝E／h>ω＝2這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱(chēng)為描寫(xiě)自由粒子的平面波，這種寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式駐波條件—糾正Bohr量子論的人為缺陷為了克服Bohr理論帶有人為性質(zhì)的缺陷，deBroglie把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來(lái)，即把粒子能量量子化問(wèn)題和有限空間中駐波的波長(zhǎng)(或頻率)的分立性聯(lián)系起來(lái)。例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng)的電子相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長(zhǎng)是波長(zhǎng)的整數(shù)倍上式代入n電子或者實(shí)物粒子的波動(dòng)性為什么長(zhǎng)期未被發(fā)現(xiàn)？德布羅意波長(zhǎng)計(jì)算：通過(guò)比較，就可以回答該問(wèn)題。實(shí)物1V加速電子He槍彈復(fù)習(xí)思路第一章緒論引入了許多新的物理概念，支撐這些新概念和新理論的實(shí)驗(yàn)有2．物質(zhì)粒子波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)：戴維孫－革末所作的電子衍射實(shí)驗(yàn)，電子束在穿過(guò)細(xì)晶粉末或薄金屬片的衍射，電子的單縫、雙縫及多縫衍射實(shí)驗(yàn)以及原子、分子、中子等微觀粒子的衍射實(shí)驗(yàn)。3．波爾量子論的實(shí)驗(yàn)：原子的線狀光譜、弗蘭克－赫茲實(shí)驗(yàn)等。注意：以上這些新理論及其驗(yàn)證性的實(shí)驗(yàn)，雖然在國(guó)內(nèi)各著名高校歷屆量子力學(xué)考研試題中所占名校試題回顧寫(xiě)出光波粒二象性的愛(ài)因斯坦關(guān)系式和實(shí)物粒子波粒二象性的德布羅意關(guān)系式，再求自由電子簡(jiǎn)述普朗克能量量子化假說(shuō)提出的實(shí)驗(yàn)背景。如何理解微觀粒子的波粒二象性？利用電可以證明微觀粒子具有波動(dòng)性還是粒子性？微觀粒子的波動(dòng)性是大量微觀粒子的統(tǒng)計(jì)特性還是單個(gè)微觀粒子的固有特性，在實(shí)驗(yàn)中是怎樣驗(yàn)證的？德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)用把粒子的波長(zhǎng)和動(dòng)量聯(lián)系起來(lái)？請(qǐng)列舉兩個(gè)支持光具有波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)：。請(qǐng)列舉兩個(gè)支持光具有粒子性的實(shí)驗(yàn)：。求電子被3．2×10－8伏特電壓加速后的德布羅意波長(zhǎng)，并討論若此電子通過(guò)寬度為20微米的狹解釋微觀粒子的波粒二象性，并寫(xiě)出德布羅意關(guān)系式。 歷史上，下列哪些實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電子具有波動(dòng)性()描述一個(gè)驗(yàn)證微觀體系中能量量子化的實(shí)驗(yàn)。F．弗蘭克－赫茲實(shí)驗(yàn)黑體輻射、光電效應(yīng)和康普頓散射這三個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了什么問(wèn)題？2005年復(fù)試題，5分判別一個(gè)物理體系是經(jīng)典體系還是量子體系的基本標(biāo)準(zhǔn)是()A．物理體系的作用量是否與h相比擬B．物理體系是否由微觀粒子組成D．物理體系是否處于極低溫度第二章波函數(shù)和薛定諤方程本章考研要求本章是量子力學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，有以下幾個(gè)考點(diǎn)3．薛定諤方程的建立過(guò)程；4．粒子流密度的概念與粒子數(shù)守恒定律的推導(dǎo)；5．波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件；6．定態(tài)的概念，束縛態(tài)的概念，定態(tài)薛定諤方程的解法；7．一維無(wú)限深勢(shì)阱的求解過(guò)程；；考點(diǎn)一波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 (一)波函數(shù) (二)波函數(shù)的解釋 (三)波函數(shù)的性質(zhì)描寫(xiě)自由粒子的平面波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量(或不同時(shí)為常量)粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě)，而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě)，一般記為：—描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。3個(gè)問(wèn)題？ (1)v是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？ (2)v如何體現(xiàn)波粒二象性的？ (3)v的物理意義？ (一)兩種錯(cuò)誤的看法如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。事實(shí)上，正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子(只含一個(gè)電子！)中電子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。結(jié)論：波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)(長(zhǎng))平面波的迭加。平面波描寫(xiě)自由粒子，其特點(diǎn)是充滿(mǎn)整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿(mǎn)整個(gè)空間，這是沒(méi)有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1A。電子究竟是什么東西？是粒子？還是波？“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說(shuō)，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典概念中粒子意味著2)有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中波意味著1)實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化；現(xiàn)象，即相干疊加性。衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是：許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。假設(shè)衍射波波幅用Ψ(r)描述，與光學(xué)相似衍射花紋的強(qiáng)度則用Ψ(r)2描述，但意義與經(jīng)典波不同Ψ(r)2的意義是代表電子出現(xiàn)在r點(diǎn)附近幾率的大小，確切的說(shuō)，Ψ(r)2ΔxΔyΔz表示在r點(diǎn)處，體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度(振幅絕對(duì)值的平方)和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，據(jù)此，描寫(xiě)粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù)Ψ(r)有時(shí)也稱(chēng)為幾率幅。這就是首先由Born提出的波函數(shù)的幾率解釋?zhuān)橇孔恿Α?0—學(xué)的基本原理。 (1)幾率和幾率密度根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋?zhuān)ê瘮?shù)有如下重要性質(zhì)：在t時(shí)刻r點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：在體積V內(nèi)，t時(shí)刻找到粒子的幾率為： (2)平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)(不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況)，所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為d這即是要求描寫(xiě)粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對(duì)值平方可積的函數(shù)。(北，!)2dτ)∞，則O)0，這是沒(méi)有意義的。不滿(mǎn)足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問(wèn)題，以后再予以討論。 (3)歸一化波函數(shù)OO刻，空＝—可見(jiàn)，Ψ(r，t)和CΨ(r，t)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子狀態(tài)不變，即Ψ(r，t)和CΨ(r，t)描述同一狀態(tài)。這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍(原來(lái)的2倍)，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來(lái)的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無(wú)歸一化問(wèn)題。歸一化常數(shù)若Ψ(北，!)沒(méi)有歸一化(北，!)2dτ＝V(V是大于零的常數(shù))，則有∫∞—21—注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性。若Ψ(r，t)是歸一化波函數(shù)，那么，exp{iα}Ψ(r，t)也是歸一化波函數(shù)(其中α是實(shí)數(shù))，與前者描述同一幾率波。也就是說(shuō)，(A)－1／2Ψ(r，t)是歸一化的波函數(shù)與Ψ(r，t)描寫(xiě)同一幾率波，(A)－1／2稱(chēng)為歸一化因子。4)平面波歸一化x≠x00xx0xxdxxdx＝1(ε＞0)或等價(jià)的表示為：對(duì)在x＝x0鄰域連續(xù)的任何函數(shù)f(x)有)δ(x－x0)dx＝f(x0)rxfxxxfx)δ(x－x0)Ⅱ平面波歸一化寫(xiě)成分量形式—22—平面波可歸一化為6(px－p′x)函數(shù)三維情況：注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫(xiě)的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。，哪些與w1描寫(xiě)同一狀態(tài)？例2已知下列兩個(gè)波函數(shù)：wxwx？ (2)對(duì)w1(x)取n＝±2兩種情況，得到的兩個(gè)波函數(shù)是否等價(jià)？考點(diǎn)二態(tài)疊加原理在經(jīng)典物理中，波動(dòng)的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是滿(mǎn)足線性疊加原理。如果描述一個(gè)波動(dòng)過(guò)程w1，描述ab光波振動(dòng)就是以前時(shí)刻波振面上各點(diǎn)發(fā)射子波在該點(diǎn)疊加的結(jié)果。應(yīng)用波疊加原理，可以很好地解物質(zhì)波是否也滿(mǎn)足疊加原理呢？微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個(gè)相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原—23—理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱(chēng)波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為態(tài)函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱(chēng)為態(tài)疊加原理。考慮電子雙縫衍射一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加?？臻g找到電子的幾率則是：CCC系的一個(gè)可能狀態(tài)。其中C1和C2是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理一般表述：量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理與經(jīng)典物理中的波疊加原理雖然形式相同，但二者的意義有重要差別： (1)兩個(gè)相同態(tài)的疊加在經(jīng)典物理中代表著一個(gè)新的態(tài)，而在量子力學(xué)中則表示同一個(gè)態(tài)。 (2)在經(jīng)典物理中疊加中的Ψ1和Ψ2表示兩列波疊加，在量子力學(xué)中，Ψ1和Ψ2是屬于同一量子系統(tǒng)的兩個(gè)可能的狀態(tài)。在疊加態(tài)中，體系將部分地處在各個(gè)疊加態(tài)中。例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用de根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成p取各種可能值的平面波的線性疊p而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果?！?4——?jiǎng)恿靠臻g(表象)的波函數(shù)波函數(shù)Ψ(r，t)可用各種不同動(dòng)量的平面波表示，下面我們給出簡(jiǎn)單證明。則Ψ可按Фp展開(kāi)—態(tài)的兩種不同描述方式。rtr象波函數(shù)；C(p，t)是以動(dòng)量p為自變量的波函數(shù)，動(dòng)量空間波函數(shù)，動(dòng)量表象波函數(shù)；二者描寫(xiě)同一量子狀態(tài)。關(guān)系式，由此我們也可以看出把平面波歸一化為6—函數(shù)的目的。t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在r點(diǎn)附近→drdr體積元內(nèi)的幾率；—25—t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在動(dòng)量p點(diǎn)附近→dp體積元內(nèi)的幾率。例一個(gè)量子位是一個(gè)雙態(tài)量子系統(tǒng)，或者說(shuō)是一個(gè)二維Hilbert空間。記它的兩個(gè)互相獨(dú)立的ab|1〉以等概率出現(xiàn)。如果一個(gè)量子系統(tǒng)由這樣的兩個(gè)量子位組成，這兩個(gè)量子位可以處在四個(gè)不同L系統(tǒng)，可以制備出2L個(gè)不同態(tài)的疊加態(tài)，量子系統(tǒng)可以以這種方式指數(shù)地增加著存儲(chǔ)能力?？键c(diǎn)三薛定諤方程的建立過(guò)程 (二)引進(jìn)方程的基本考慮 (三)自由粒子滿(mǎn)足的方程 (四)勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫(xiě)微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問(wèn)題就是要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)2．波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。Schrodinger程之后得到了圓滿(mǎn)解決。 (二)引進(jìn)方程的基本考慮讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程，看是否能給我們以啟發(fā)。t＝t0t＝t0粒子滿(mǎn)足的方程是牛頓方程：F＝從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻t粒子的狀態(tài)r和p。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。 ttwrt件，所以，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿(mǎn)足的方程只能含w對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。—26—C1w1(r，t)＋C2w2(r，t)也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說(shuō)方程中只能包含w，w對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和對(duì)坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不能含它們的平方或開(kāi)方項(xiàng)。 能為各種可能的狀態(tài)所滿(mǎn)足。 (三)自由粒子滿(mǎn)足的方程＝－EΨ→iiΨ＝EΨ(1)這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量E。將Ψ對(duì)坐標(biāo)二次微商，得：ax2i2同理有2Ψpy2y2i22Ψpz2z2i2VpV) t2μ所以iiΨ＝－i2V2Ψt2μ討論：通過(guò)引出自由粒子波動(dòng)方程的過(guò)程可以看出，如果能量關(guān)系式E＝p2／2μ寫(xiě)成如下方程形式：(E→ii (E－μ)Ψ (E－μ)Ψ＝0＝－iiV (4)|＝－i2V2|做算符替換(4)即得自由粒子滿(mǎn)足的方程(3)。 (四)勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子若粒子處于勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋?μ—27—做(4)式的算符替換得：at2μat2μ r設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，第i個(gè)粒子所受到的外場(chǎng)Ui(ri)多粒子體系Hamilton量例對(duì)有Z個(gè)電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：Z2而原子核對(duì)第i個(gè)電子的Coulomb吸引能為：Ze2Ze2假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。注意：非相對(duì)論量子力學(xué)中的薛定諤方程僅僅對(duì)于靜止質(zhì)量不為零的物質(zhì)粒子是成立的。而對(duì)于靜止質(zhì)量為零的微觀粒子是不成立的，例如光子，因?yàn)楣庾拥撵o止質(zhì)量為零，在薛定諤方程中，質(zhì)量是處于分母上，若質(zhì)量為零，方程是沒(méi)有意義的?？键c(diǎn)五粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將是怎樣隨時(shí)間變化的？粒子在t時(shí)刻r點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：考慮低能非相對(duì)論實(shí)物粒子情況，因沒(méi)有粒子的產(chǎn)生和湮滅問(wèn)題，粒子數(shù)保持不變。對(duì)一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即—28—dt2μiidΨ＝[－i2V2＋V]Ψdt2μ－iiΨ*＝[－V2＋V]Ψ*(6)將Ψ*×(5)－Ψ×(6)式得：dtdt2μiiΨ*dΨ＋iiΨdΨ*＝－i2[Ψ*V2Ψ－dtdt2μii(Ψ*ii(Ψ*Ψ)＝V·[ΨVΨ*－Ψ*VΨ]dt2μ在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：ii＝VΨ*－Ψ*VΨ]dττ＝－VΨ*－Ψ*VΨ]dτ)dτ＝－dτ—→ω＋V·＝0↓2μJ＝[ΨVΨ*－Ψ2μω(r，t)＝Ψ*ΨS是體積τ的表面。)dτ—閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量J—J是幾率流密度，是一矢量。dS—單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)dS—單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)τ的封閉表面S流入(面積分前面的負(fù)號(hào))τ內(nèi)的幾率所以(7)式是幾率(粒子數(shù))守恒的積分表示式。令Eq．(7)τ趨于∞，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq．(7)變?yōu)椋簍)dτ＝0表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。 (1)這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。 (2)以μ乘連續(xù)性方程等號(hào)兩邊，得到：—29—tμμ ω＋Vtμμ量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律度矢量同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律： ω＋V ω＋V·Je＝0表明電荷總量不隨時(shí)間改變te (二)再論波函數(shù)的性質(zhì)數(shù)完全描述粒子的狀態(tài) (1)由Born的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫(xiě)粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 (2)已知ψ(r，t)，則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說(shuō)，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱(chēng)為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 (3)知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。 個(gè)確定的數(shù)，所以要求ψ(r，t)應(yīng)是r，t的單值函數(shù)且有限。 (2)根據(jù)粒子數(shù)守恒定律：式右含有ψ及其對(duì)坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿(mǎn)足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱(chēng)為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。上述討論可以總結(jié)為量子力學(xué)基本假定Ⅰ波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)量子力學(xué)基本假定Ⅱ波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從Schrodinger方程 (二)Hamilton算符和能量本征值方程—30—(三)求解定態(tài)問(wèn)題的步驟 (四)定態(tài)的性質(zhì) 下的定態(tài)Schrodinger方程應(yīng)該是什么樣的？t2μt2μ—w(r)f(t)，得處于波函數(shù)Ψ(r，t)所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說(shuō)，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱(chēng)和具體問(wèn)題ψ(r)應(yīng)滿(mǎn)足的邊界條件得出。態(tài)波函數(shù)。 (二)Hamilton算符和能量本征值方程注意到Ψ＝wexp[－iEt／i]，得：iiΨ＝EΨtiiΨ＝EΨt二方程的特點(diǎn)：都是以一個(gè)算符作用于Ψ(r，t)等于EΨ(r，t)。所以這兩個(gè)算符是完全相當(dāng)?shù)?(作用于波函數(shù)上的效果一樣)。—31—t2μt2μHΨ＝EΨ (1)一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程＋邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題； (2)量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿(mǎn)足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱(chēng)為波函數(shù)的自然邊界條件。因此在量子力學(xué)中稱(chēng)與上類(lèi)似的方程為束縛的本征值方程。常量E稱(chēng)為算符H的本征值；Ψ稱(chēng)為算符H的本征函數(shù)。 (3)由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)(簡(jiǎn)稱(chēng)能量本征態(tài))時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。 (三)求解定態(tài)問(wèn)題的步驟討論定態(tài)問(wèn)題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ(r，t)和在這些態(tài)中的能量E。其具體步驟如下： 根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量E的本征值問(wèn)題，得：本征值：本征函數(shù)通過(guò)歸一化確定歸一化系數(shù)Cn (四)定態(tài)的性質(zhì)1．粒子在空間幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)nrtnnwnexpiEnt／i)]*[wnexp(－iEnt／i)]r2μ2μ2μii—————2μii—————2μ—32—3．任何不顯含t的力學(xué)量平均值與t無(wú)關(guān)＝))dτ綜上所述，當(dāng)Ψ滿(mǎn)足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)，Ψ就是定態(tài)波函數(shù)： (1)Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值； (3)Ψ2與t無(wú)關(guān)?？键c(diǎn)七波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件1．波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的函數(shù)波函數(shù)還應(yīng)該是單值、有限和連續(xù)的函數(shù)。w22w′1(x)aw2*(x)awawa*＝*2m2 (1)在位勢(shì)的間斷點(diǎn)a處，波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。式中m1*，m2*分別為粒子在第一和第二區(qū)域中的有效質(zhì)量。當(dāng)一個(gè)區(qū)域中的位勢(shì)為無(wú)窮大時(shí)，只要求波函數(shù)連續(xù)。 (2)δ位勢(shì)V(x)＝±V0aδ(x)要求波函數(shù)連續(xù)，而波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足w′(0＋)－w′(0－)＝±V0aw(0)其中，a具有長(zhǎng)度量綱，V0具有能量量綱。殊性質(zhì)的波函數(shù)F|n〉＝fn|n〉的狀態(tài)|n〉稱(chēng)為正交歸一化條件封閉性關(guān)系正交歸一化條件封閉性關(guān)系n測(cè)量F在|n〉的本征態(tài)F上，測(cè)量力學(xué)量得其本征值fn。定義定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)。性質(zhì)定態(tài)之下不顯含時(shí)間力學(xué)量的取值概率與平均值不隨時(shí)間變化。—33—條件哈密頓算符不顯含時(shí)間；初始時(shí)刻的波函數(shù)為定態(tài)。束縛態(tài)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)，束縛態(tài)相應(yīng)的本征態(tài)是斷續(xù)的非束縛態(tài)在無(wú)窮遠(yuǎn)處不為零的狀態(tài)為非束縛態(tài)，非束縛態(tài)相應(yīng)的本征態(tài)是連續(xù)的。簡(jiǎn)并態(tài)一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上線性獨(dú)立的本征態(tài)時(shí)，稱(chēng)該本征值簡(jiǎn)并，所對(duì)應(yīng)本征態(tài)稱(chēng)為簡(jiǎn)并態(tài)，簡(jiǎn)并態(tài)的個(gè)數(shù)為簡(jiǎn)并度。非簡(jiǎn)并態(tài)一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)本征值時(shí)，稱(chēng)為簡(jiǎn)并態(tài)，非簡(jiǎn)并態(tài)的簡(jiǎn)并度為1．正宇稱(chēng)態(tài)將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新波函數(shù)與原來(lái)的波函數(shù)相同，則稱(chēng)該波函數(shù)描述的狀態(tài)為正宇稱(chēng)態(tài)。負(fù)宇稱(chēng)態(tài)將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新波函數(shù)與原來(lái)的波函數(shù)相差一個(gè)負(fù)號(hào)，則稱(chēng)該波函數(shù)描述的狀態(tài)為負(fù)宇稱(chēng)態(tài)。6．耦合波函數(shù)與非耦合波函數(shù)耦合波函數(shù)與非耦合波函數(shù)的關(guān)系為7．對(duì)稱(chēng)波函數(shù)與反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)全同費(fèi)米子(Ferminos)體系的狀態(tài)用反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)描述，對(duì)二體問(wèn)題而言，有對(duì)稱(chēng)波函數(shù)全同玻色子(Bosenos)體系的狀態(tài)用對(duì)稱(chēng)波函數(shù)描述，對(duì)二體問(wèn)題而言，有考點(diǎn)八一維無(wú)限深勢(shì)阱的求解過(guò)程 (二)一維無(wú)限深勢(shì)阱 (三)宇稱(chēng)—34— 當(dāng)粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x，y，z)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其Schrodinger方程為：S－方程可在直角坐標(biāo)系中分離變量。于是S－方程化為三個(gè)常微分方程：[－＋V2(y)]Y(y)＝EyY(y)卜所謂一維運(yùn)動(dòng)就是指在某一方向上的運(yùn)動(dòng)。—35—i 求解S—方程分四步： (1)列出各勢(shì)域的一維S—方程 (2)解方程 (3)使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 (4)定歸一化系數(shù) (1)列出各勢(shì)域的S—方程 d22μ d22μ則方程為：xAa|d2|d2μ2μ2βtw—36—從物理考慮，粒子不能透過(guò)無(wú)窮高的勢(shì)壁。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)笤谮灞谏虾挖灞谕獠ê褂脴?biāo)準(zhǔn)條件3。連續(xù)：1)波函數(shù)連續(xù)：2)波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)：與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果Asin(－αa＋δ)＝0矛盾，二者不能同時(shí)成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無(wú)窮跳躍處不連續(xù)。 (1) (2) 兩種情況：}}αa＝nπ因nπ αα2μ2μa2μa22μ2μa2μa2討論—37—于是：2nπE(2n)2π2i2n8μa2 (n＋1)π所以于是波函數(shù)： m2π2i2m8μa2能量最低的態(tài)稱(chēng)為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類(lèi)推。由此可見(jiàn)，對(duì)于一維無(wú)限深方勢(shì)阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無(wú)限遠(yuǎn)處，ψ＝0。這樣的狀—38—態(tài)，稱(chēng)為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級(jí)，組成分立譜。 (4)由歸一化條件定系數(shù)AAAAA1(取實(shí)數(shù)) [小結(jié)]由無(wú)窮深方勢(shì)阱問(wèn)題的求解可以看出，解S—方程的一般步驟如下：3．利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件(單值、有限、連續(xù))定未知數(shù)和能量本征值；4．由歸一化條件定出最后一個(gè)待定系數(shù)(歸一化系數(shù))。 (三)宇稱(chēng)1．空間反射：空間矢量反向的操作。w(－r，t)＝＋w(r，tw(－r，t)＝－w(r，t)稱(chēng)波函數(shù)具有負(fù)宇稱(chēng)(或奇宇稱(chēng))； 討論一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的狀態(tài)|x|＞a；sinnxnevenx元a；w＝〈^a2a，其能量本征值為：n2π2i2n8μaπ2i2n8μa經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀原子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒(méi)有意義的?！?9—±kπkπx±kπkπ可見(jiàn)，n取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫(xiě)同一狀態(tài)5．定態(tài)波函數(shù)|x|＞a|^a考點(diǎn)九線性諧振子的求解過(guò)程 引言 (1)何謂諧振子 (2)為什么研究線性諧振子 (二)線性諧振子 (1)方程的建立 (2)求解 (3)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 (4)厄密多項(xiàng)式 (5)求歸一化系數(shù) (6)討論 (三)實(shí)例 引言 (1)何謂諧振子F－kx作用，由牛頓第二定律可以寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程為—40—其中ω＝量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。 (2)為什么研究線性諧振子自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在x＝a處，V有一極小值V0。在x＝a附近勢(shì)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：xax＝ax＝a取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a，V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：可見(jiàn)，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來(lái)近似描述。 (二)線性諧振子 (1)方程的建立 (2)求解 (3)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 (4)厄密多項(xiàng)式 (5)求歸一化系數(shù) (6)討論 (1)方程的建立—41—2μ2μω2μdx22μω2μ2μω2μdx22μω為簡(jiǎn)單計(jì)，引入無(wú)量綱變量ξ代替x，^i，d2w＋[λ^i，d2w＋[λ－ξ2]w(x)＝0其中λ＝2Edξ2iω此式是一變系數(shù)二階常微分方程 (2)求解dξ2為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<ξ2，于是方程變?yōu)椋河?yàn)證解的正確性，可將其代回方程，dξdξ＝[±ξww]＝[±ξww]＝±ww±ξ＝[ξ2±1]ww≈ξ2ww其中ξ2>1波函數(shù)有限性條件所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為wx0的波函數(shù)w其中H(ξ)必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：—42—①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；2．H(ξ)滿(mǎn)足的方程將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H(ξ)所滿(mǎn)足的方程：H″－2ξH′＋(λ－1)H＝0我們以級(jí)數(shù)形式來(lái)求解。為此令：H＝∑bkξkk02ξH′＝∑2bkkξk2ξH′＝∑2bkkξkk0k0令k′＝k－2令k′＝k－2則：H″＝∑bk′＋2(k′＋1)(k′＋2)ξk′k′＝0＝∑bk＋2(k＋1)(k＋2)ξk用k代替k′k0bkkkbkkbk(λ－1)]ξk＝0k則方程H″－2ξH′＋(λ－1)H＝0變成：kbkkkbkkbk(λ－1)]ξk＝0k該式對(duì)任意ξ都成立，故ξ同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，即：從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式： (k＋1)(k＋2)由上式可以看出：b0決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)；b1決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè)線性獨(dú)立解?？煞謩e令： (3)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件單值性和連續(xù)性二條件自然滿(mǎn)足，只剩下第三個(gè)有限性條件需要進(jìn)行討論。因?yàn)镠(ξ)是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)，即勢(shì)場(chǎng)有跳躍的地方以及x＝0，x→±∞或ξ＝0，ξ→±∞。 —43—皆有限 (Ⅱ)ξ→±∞需要考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)H(ξ)的收斂性為此考察相鄰兩項(xiàng)之比：ξ2ξ2bkξk(k＋1)(k＋2)→k→wξ2考察冪級(jí)數(shù)exp[ξ2}的展開(kāi)式的收斂性比較二級(jí)數(shù)可知：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。相繼兩項(xiàng)之比：ξ ξ考察冪級(jí)數(shù)exp[ξ2}的展開(kāi)式的收斂性比較二級(jí)數(shù)可知：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：w(ξ)＝H(ξ)exp[－ξ2]exp[ξ2]exp[－ξ2]＝exp[ξ2]w為了滿(mǎn)足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù)H(ξ)必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式。換言之，要求H (ξ)從某一項(xiàng)(比如第n項(xiàng))起以后各項(xiàng)的系數(shù)均為零，即bn≠0，bn＋2＝0．代入遞推關(guān)系得：代入遞推關(guān)系得： →E＝λiωλ＝2Ei ωi結(jié)論基于波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的有限性條件導(dǎo)致了能量必須取分立值。 (4)厄密多項(xiàng)式附加有限性條件得到了H(ξ)的一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱(chēng)為厄密多項(xiàng)式，記為Hn(ξ)，于是總波函數(shù)可表示為：考點(diǎn)七全同粒子體系波函數(shù)Pauli原理 (一)2個(gè)全同粒子波函數(shù) (二)N個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (三)Pauli原理 (一)2個(gè)全同粒子波函數(shù)和反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)的構(gòu)成Ⅰ2個(gè)全同粒子Hamilton量2μ2μⅡ單粒子波函數(shù)nⅢ交換簡(jiǎn)并粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為 [H0(q1)＋H0(q2)]Φ(q1，q2)＝[H0(q1)＋H0(q2)]φi(q1)φj(q2)＝[H＝[H0(q1)φi(q1)]φj(q2)＋φi(q1)[H0(q2)φj(q2)]＝εiφi(q1)φj(q2)＋εjφi(q1)φj(q2)粒子2在i態(tài)，粒子1在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：q一q2互換得到，故稱(chēng)該簡(jiǎn)并為交換簡(jiǎn)并。IV滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)條件波函數(shù)的構(gòu)成性條件，而C(q1，q2)和C(q2，q1)僅當(dāng)i＝j(luò)二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對(duì)稱(chēng)波函數(shù)；當(dāng)i豐j二態(tài)不同時(shí)，既不是對(duì)稱(chēng)波函數(shù)，也不是反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)。所以C(q1，q2)和C(q2，q1)不能用來(lái)描寫(xiě)全同粒子體系。構(gòu)造具有對(duì)稱(chēng)性的波函數(shù)C為歸一化系數(shù)E＝εi＋εjVCS和CA的歸一化首先證明若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則C(q1，q2)和C(q2，q1)也是正交歸一化的證：qqjqdq而證畢然后考慮CS和CA歸一化上述討論是適用于二粒子間無(wú)相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時(shí)，但是下式仍然成立歸一化的CSCA依舊A^2 (二)N個(gè)全同粒子體系波函數(shù) 上述對(duì)2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無(wú)互作用，單粒子H0不顯NHHqNHHqHqHqN)＝∑H0(qn)單粒子本征方程：(^HqNkqNHqNkqNεkφk(qN)^ (2)Bose子體系和波函數(shù)對(duì)稱(chēng)化nk是單粒子態(tài)0k上的粒子數(shù)求：該體系對(duì)稱(chēng)化的波函數(shù)。從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素(元素可重復(fù)選取)不管排列順序構(gòu)成一組稱(chēng)為重復(fù)組合，記~重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式為：重復(fù)組合計(jì)算公式表明：從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從(m＋n－1)個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的普通組合的種數(shù)。應(yīng)用重復(fù)組合，計(jì)算全同Bose子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)從3個(gè)狀態(tài)中每次取3個(gè)狀態(tài)的重復(fù)組合問(wèn)題。 (3)Fermi子體系和波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)化^2^2φj(q1)φj(q2)行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)化推廣到N個(gè)Fermi子體系：兩點(diǎn)討論1φi(q1)φj(q1)φk(q1)φi(q2)φj(q2)φk(q2)…φi(qN)…φj(qN)…φk(qN)交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對(duì)調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號(hào)，故是反對(duì)稱(chēng)化波函數(shù)。此行列式稱(chēng)為Slater行列式。 (三)Pauli原理 (1)二Fermi子體系其反對(duì)稱(chēng)化波函數(shù)為：^2^2φj(q1)φj(q2)如都處于i態(tài)，則^2φi(q1)φi(q2) 1^2φi(q1)φi(q2)0 (2)NFermi子體系φi(q1)φi(q2)…φi(qN)1φj(q1)φj(q2)…φj(qN)ΦA(chǔ)(q1，q2…qN)＝^N！…………φk(q1)φk(q2)…φk(qN)如果N個(gè)單粒子態(tài)態(tài)0i0j……0k中有兩個(gè)相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為0，即φi(q1)φi(q2)…φi(qN)1φi(q1)φi(q2)…φi(qN)ΦA(chǔ)(q1，q2 qN)＝＝0 φk(q1)φk(q2)…φk(qN)Pauli不相容原理。波函數(shù)的反對(duì)稱(chēng)化保證了全同F(xiàn)ermi子體系的這一重要性質(zhì)。 (3)無(wú)自旋—軌道相互作用情況在無(wú)自旋—軌道相互作用情況，或該作用很弱，從而可略時(shí)，體系總波函數(shù)可寫(xiě)成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式：若是Fermi子體系，則Φ應(yīng)是反對(duì)稱(chēng)化的。對(duì)2粒子情況，反對(duì)稱(chēng)化可分別