高一數(shù)學(xué)教材同步知識(shí)點(diǎn)專題詳解(蘇教版必修第一冊(cè))5.1函數(shù)的概念和圖象(原卷版+解析)

5.1函數(shù)的概念和圖象TOC\o"1-4"\h\z\u5.1函數(shù)的概念和圖象 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念 3知識(shí)點(diǎn)2同一函數(shù) 5知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的圖象、作圖、識(shí)圖與用圖 7二、典型題型 8題型1已知函數(shù)值求自變量或參數(shù) 10題型2抽象函數(shù)的定義域 12三、難點(diǎn)題型 12題型1復(fù)合函數(shù)的定義域 15題型2復(fù)雜函數(shù)的值域 17四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 29一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念函數(shù)的定義一般地，給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)函數(shù)的記法從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)通常記為y＝f(x)，x∈A函數(shù)的定義域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，所有的x(輸入值)組成的集合A叫做函數(shù)y＝f(x)的定義域．函數(shù)的值域若A是函數(shù)y＝f(x)的定義域，則對(duì)于A中的每一個(gè)x(輸入值)，都有一個(gè)y(輸出值)與之對(duì)應(yīng)，則將所有輸出值y組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域例1若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．例2（多選題）集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示：下列說法正確的是（

）A．是從集合到集合的函數(shù)B．不是從集合到集合的函數(shù)C．的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧螪．例3判斷下列對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成集合到集合的函數(shù)：(1)，，；(2)，，；知識(shí)點(diǎn)2同一函數(shù)(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同的兩個(gè)函數(shù).(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域都確定后，函數(shù)才能夠確定．(3)給定函數(shù)時(shí)要指明函數(shù)的定義域，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么，就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)表達(dá)式有意義的輸入值的集合．例1下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．f（x）=1與g（x）=x0 B．與C．f（x）=x與g（x）= D．與例2（多選題）下列各組函數(shù)中，與是同一函數(shù)的有（

）A．， B．，C．， D．，例3判斷下列對(duì)應(yīng)是否為集合A到集合B的函數(shù)．（1），；（2），；（3），；（4），.知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的圖象、作圖、識(shí)圖與用圖將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(x0，f(x0))．當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)．所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象．作圖、識(shí)圖與用圖(1)畫函數(shù)圖象常用的方法是描點(diǎn)作圖，其步驟是列表、描點(diǎn)、連線．(2)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線，開口方向由a值符號(hào)決定，a>0，圖象開口向上，a<0時(shí)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a).例1下列圖形能表示函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．例2（多選題）下列四個(gè)圖形中，可能是函數(shù)的圖象的是（

）A．B．C． D．例3集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示：是否為從集合A到集合B的函數(shù)？如果是，那么定義域、值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？二．典型題型題型1已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)解題技巧：1．函數(shù)值f(a)就是a在對(duì)應(yīng)關(guān)系f下的對(duì)應(yīng)值，因此由函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，只需將f(x)中的x用對(duì)應(yīng)的值(包括值在定義域內(nèi)的代數(shù)式)代入即得．2．求f(g(a))時(shí)，一般要遵循由里到外逐層計(jì)算的原則．3．配方法是一種常用的求值域的方法，主要解決“二次函數(shù)型”的函數(shù)求值域．例1若函數(shù)，且，則（

）A．11 B．10 C．9 D．8例2（多選題）已知可用列表法表示如下:若，則可以?。?/p>

）A． B． C． D．例3已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域．(2)求，；(3)已知，求a的值．題型2抽象函數(shù)的定義域解題技巧：抽象函數(shù)的定義域(1)已知f(x)的定義域，求f(g(x))的定義域：若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))中a≤g(x)≤b，從中解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域．(2)已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域：若f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的取值范圍即為f(x)的定義域．用較為口語(yǔ)化的語(yǔ)言可以將上述兩類題型的解法合并成兩句話：①定義域指自變量的取值范圍．(告訴我們已知什么，求什么)②括號(hào)內(nèi)范圍相同．(告訴我們?nèi)绾螌l件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái))例1已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．例2（多選題）下列命題正確的是（

）A．若函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)锽．，不是同一函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)的數(shù)目是0個(gè)或1個(gè)D．存在函數(shù)，滿足條件：值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同例3已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．三．難點(diǎn)題型題型1復(fù)合函數(shù)的定義域解題技巧：1．已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域方法是：若f(g(x))的定義域?yàn)閤∈(a，b)，則由a<x<b確定g(x)的范圍即為f(x)的定義域．2．已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域，求f(h(x))的定義域結(jié)合以上1、2兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由f(g(x))定義域求得f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求得f(h(x))的定義域．例1已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例2（多選題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的定義域和值域都是 D．函數(shù)的定義域和值域都是例3求抽象函數(shù)的定義域.(1)已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域；(2)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域.題型2復(fù)雜函數(shù)的值域解題技巧：(1)直接法(觀察法)：對(duì)于有些函數(shù)直接求出函數(shù)值，并將所有函數(shù)值組成集合，就得到函數(shù)的值域．例如求函數(shù)f(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需將所有自變量的函數(shù)值都求出來(lái)，即可得到函數(shù)f(x)的值域?yàn)閧6,11,16,21}．(2)分離常數(shù)法：對(duì)于一些分式函數(shù)，可以利用多項(xiàng)式除法化成一個(gè)常數(shù)與一個(gè)分式之和的形式，然后根據(jù)分式的特點(diǎn)去求函數(shù)的值域．(3)反解法：例如求函數(shù)y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域．由y＝eq\f(x－1,x＋2)解出x得x＝eq\f(2y＋1,1－y).由x＞－4，得eq\f(2y＋1,1－y)＞－4，即eq\f(2y－5,y－1)＞0，∴y＞eq\f(5,2)或y＜1.故函數(shù)y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域?yàn)?－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(4)圖象法：通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域．(5)換元法：根據(jù)解析式的特點(diǎn)，可將解析式中某個(gè)關(guān)于x的整體式設(shè)為t，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的某種簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)，再確定t的取值范圍，進(jìn)而運(yùn)用簡(jiǎn)單的初等函數(shù)求值域的方法求解．(6)判別式法：對(duì)于形如：y＝eq\f(fx,gx)的函數(shù)，(f(x)、g(x)是一次函數(shù)或二次函數(shù)，且至少一個(gè)二次函數(shù))可以將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的整式方程，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式不小于零，得到關(guān)于y的不等式，解出其解集，就是函數(shù)的值域．(7)基本不等式法：創(chuàng)造條件利用基本不等式可以求出函數(shù)的最值，再進(jìn)一步求解．例1函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．例2（多選題）下列說法正確的是（

）A．若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)锽．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)镈．函數(shù)在上的值域?yàn)槔?已知函數(shù)．(1)解不等式：；(2)求函數(shù)的值域．四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．2．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）3．已知函數(shù)，則下列圖象錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．4．已知的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A． B．C． D．5．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)時(shí)，的最小值是5；②與表示同一函數(shù)；③函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是；④已知，，且，則最小值為．A． B． C． D．6．設(shè)全集，集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題7．對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若同時(shí)滿足下列條件：①，；②，，，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為“函數(shù)”，則其圖象恒過定點(diǎn)B．函數(shù)在上是“函數(shù)”C．函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）D．若為“函數(shù)”，則一定是上的增函數(shù)8．已知函數(shù)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)镽 B．的值域?yàn)镃．若，則x的值是 D．的解集為9．若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空題10．解析式相同，定義域不同的兩個(gè)函數(shù)稱為“同族函數(shù)”．對(duì)于函數(shù)，值域?yàn)閧1，2，4}的“同族函數(shù)”的個(gè)數(shù)為______個(gè)．11．若函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.12．函數(shù)的值域是___________.13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是___________．四、解答題14．求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)(3)；(4)．15．已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．16．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，在坐標(biāo)系中畫出和的圖象；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍．5.1函數(shù)的概念和圖象TOC\o"1-4"\h\z\u5.1函數(shù)的概念和圖象 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念 3知識(shí)點(diǎn)2同一函數(shù) 4知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的圖象、作圖、識(shí)圖與用圖 6二、典型題型 6題型1已知函數(shù)值求自變量或參數(shù) 8題型2抽象函數(shù)的定義域 9三、難點(diǎn)題型 9題型1復(fù)合函數(shù)的定義域 11題型2復(fù)雜函數(shù)的值域 12四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 26一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念函數(shù)的定義一般地，給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)函數(shù)的記法從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)通常記為y＝f(x)，x∈A函數(shù)的定義域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，所有的x(輸入值)組成的集合A叫做函數(shù)y＝f(x)的定義域．函數(shù)的值域若A是函數(shù)y＝f(x)的定義域，則對(duì)于A中的每一個(gè)x(輸入值)，都有一個(gè)y(輸出值)與之對(duì)應(yīng)，則將所有輸出值y組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域例1若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】選項(xiàng)A中，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，排除A；選項(xiàng)C中，存在一個(gè)x對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，不是函數(shù)的圖象，排除C；選項(xiàng)D中，x取不到0，不符合題意，排除D.故選：B.例2（多選題）集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示：下列說法正確的是（

）A．是從集合到集合的函數(shù)B．不是從集合到集合的函數(shù)C．的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧螪．【答案】AD【分析】結(jié)合函數(shù)的定義，依次判斷即可【詳解】選項(xiàng)A，對(duì)于集合A中的每個(gè)元素都有唯一的數(shù)對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)定義，正確；選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A分析，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧希瑸榧螧的真子集，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，故，正確故選：AD例3判斷下列對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成集合到集合的函數(shù)：(1)，，；(2)，，；【答案】(1)不是；(2)是.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，中無(wú)元素與對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)定義；（2）根據(jù)函數(shù)定義可知該對(duì)應(yīng)為函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)中無(wú)元素與對(duì)應(yīng)，該對(duì)應(yīng)不是集合到集合的函數(shù)；(2)集合中每個(gè)元素在中均有唯一的元素與其對(duì)應(yīng)，則該對(duì)應(yīng)是集合到集合的函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2同一函數(shù)(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同的兩個(gè)函數(shù).(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域都確定后，函數(shù)才能夠確定．(3)給定函數(shù)時(shí)要指明函數(shù)的定義域，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么，就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)表達(dá)式有意義的輸入值的集合．例1下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．f（x）=1與g（x）=x0 B．與C．f（x）=x與g（x）= D．與【答案】B【分析】根據(jù)同一函數(shù)的判斷標(biāo)準(zhǔn)，只要定義域相同，解析式一致，即為同一函數(shù)【詳解】A選項(xiàng)：兩個(gè)函數(shù)定義與不同：f(x)定義域?yàn)镽，g(x)定義域，排除AC選項(xiàng)：f(x)定義域?yàn)镽，g(x)定義域，定義域不同，故排除CD選項(xiàng)：：f(x)定義域?yàn)?，g(x)定義域，故排除D，故選：B【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)函數(shù)定義的理解例2（多選題）下列各組函數(shù)中，與是同一函數(shù)的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【解析】滿足定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣的函數(shù)才是相等函數(shù).【詳解】A.定義域不一樣，定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，不是同一函?shù)；B.，當(dāng)，時(shí)；當(dāng)時(shí)，與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣，為同一函數(shù)；C.，與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣，為同一函數(shù)；D.定義域不一樣，定義域?yàn)椋亩x域?yàn)楣蔬x:BC例3判斷下列對(duì)應(yīng)是否為集合A到集合B的函數(shù)．（1），；（2），；（3），；（4），.【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是.【分析】函數(shù)要求對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)，由此可判斷題中關(guān)系是否為函數(shù).【詳解】（1）A中的元素0在B中沒有對(duì)應(yīng)元素，故不是集合A到集合B的函數(shù)．（2）對(duì)于集合A中的任意一個(gè)整數(shù)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合B中都有唯一一個(gè)確定的整數(shù)與其對(duì)應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．（3）集合A中的負(fù)整數(shù)沒有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函數(shù)．（4）對(duì)于集合A中任意一個(gè)實(shí)數(shù)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合B中都有唯一一個(gè)確定的數(shù)0和它對(duì)應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的圖象、作圖、識(shí)圖與用圖將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(x0，f(x0))．當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)．所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象．作圖、識(shí)圖與用圖(1)畫函數(shù)圖象常用的方法是描點(diǎn)作圖，其步驟是列表、描點(diǎn)、連線．(2)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線，開口方向由a值符號(hào)決定，a>0，圖象開口向上，a<0時(shí)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a).例1下列圖形能表示函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，判斷任意垂直于x軸的直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得答案.【詳解】由函數(shù)的定義：任意垂直于x軸的直線與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，所以A、B顯然不符合，C在與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合，只有D符合要求.故選：D例2（多選題）下列四個(gè)圖形中，可能是函數(shù)的圖象的是（

）A．B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)定義判斷．【詳解】在A，D中，對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)關(guān)系；在B，C中，存在一個(gè)x有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)的情況，不滿足函數(shù)關(guān)系，故選：AD．例3集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示：是否為從集合A到集合B的函數(shù)？如果是，那么定義域、值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？【答案】見解析.【解析】根據(jù)題目所示圖可以看出A中的任意一個(gè)數(shù)，B中都有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)，定義域是，值域.【詳解】由圖知，A中的任意一個(gè)數(shù)，B中都有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以是從A到B的函數(shù).定義域是，值域.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義，意在考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.二．典型題型題型1已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)解題技巧：1．函數(shù)值f(a)就是a在對(duì)應(yīng)關(guān)系f下的對(duì)應(yīng)值，因此由函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，只需將f(x)中的x用對(duì)應(yīng)的值(包括值在定義域內(nèi)的代數(shù)式)代入即得．2．求f(g(a))時(shí)，一般要遵循由里到外逐層計(jì)算的原則．3．配方法是一種常用的求值域的方法，主要解決“二次函數(shù)型”的函數(shù)求值域．例1若函數(shù)，且，則（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【分析】運(yùn)用換元法求出函數(shù)的解析式，再利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】令，由，可得，即，由，可得，故選：C例2（多選題）已知可用列表法表示如下:若，則可以取（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)所給函數(shù)關(guān)系一一代入計(jì)算可得；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，故不適合;當(dāng)時(shí)，適合;當(dāng)時(shí)，適合;當(dāng)時(shí)，適合，所以或或.故選：BCD例3已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域．(2)求，；(3)已知，求a的值．【答案】(1)且(2)，(3)【分析】（1）利用分式、根式的性質(zhì)求的定義域.（2）將自變量代入解析式求函數(shù)值即可.（3）首先求關(guān)于a的解析式，再由方程求a的值．(1)由，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?2)，．(3)，，即，．題型2抽象函數(shù)的定義域解題技巧：抽象函數(shù)的定義域(1)已知f(x)的定義域，求f(g(x))的定義域：若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))中a≤g(x)≤b，從中解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域．(2)已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域：若f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的取值范圍即為f(x)的定義域．用較為口語(yǔ)化的語(yǔ)言可以將上述兩類題型的解法合并成兩句話：①定義域指自變量的取值范圍．(告訴我們已知什么，求什么)②括號(hào)內(nèi)范圍相同．(告訴我們?nèi)绾螌l件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái))例1已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定復(fù)合函數(shù)求出的定義域，再列式求解作答.【詳解】因函數(shù)的定義域是，即中，則，因此，有意義，必有，解得，所以的定義域是.故選：D例2（多選題）下列命題正確的是（

）A．若函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)锽．，不是同一函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)的數(shù)目是0個(gè)或1個(gè)D．存在函數(shù)，滿足條件：值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同【答案】ACD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法可知A正確；根據(jù)相等函數(shù)的定義可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的定義可知C，D正確；【詳解】對(duì)A，由可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確；對(duì)B，函數(shù)和的定義域都為，對(duì)應(yīng)關(guān)系也一樣，所以它們是同一函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)函數(shù)的定義可知，對(duì)，函數(shù)最多只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，所以函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)的數(shù)目是0個(gè)或1個(gè)，C正確；對(duì)D，比如函數(shù)，滿足值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同．故選：ACD．例3已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．【答案】【分析】由條件可得，，即可得到函數(shù)的定義域，然后可建立不等式組求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，，所以函?shù)的定義域?yàn)椋砸购瘮?shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?三．難點(diǎn)題型題型1復(fù)合函數(shù)的定義域解題技巧：1．已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域方法是：若f(g(x))的定義域?yàn)閤∈(a，b)，則由a<x<b確定g(x)的范圍即為f(x)的定義域．2．已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域，求f(h(x))的定義域結(jié)合以上1、2兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由f(g(x))定義域求得f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求得f(h(x))的定義域．例1已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知函數(shù)的定義域有，即可求復(fù)合函數(shù)的定義域.【詳解】由題意得：，即，又，∴．故選：B例2（多選題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋瑒t（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的定義域和值域都是 D．函數(shù)的定義域和值域都是【答案】BC【解析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域即可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)值域?yàn)椋纯膳袛噙x項(xiàng)B，令，求得范圍即為定義域，由可得值域，即可判斷選項(xiàng)C，由的值域?yàn)榭傻?，但無(wú)法判斷定義域，可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橹涤驗(yàn)椋?，所以的值域?yàn)?，可得函?shù)的值域?yàn)?，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，因?yàn)榭傻煤愠闪?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若函數(shù)的值域是，則，此時(shí)無(wú)法判斷其定義域是否為，故選項(xiàng)D不正確，故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是已知的定義域，可以先求的定義域，再由的定義域求的定義域.例3求抽象函數(shù)的定義域.(1)已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域；(2)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可知，可得出函數(shù)的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法，即可求出函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)題意，可知，根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法，可求出函數(shù)的定義域，從而得出的定義域.(1)解：由，得，解得：，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，即函?shù)的定義域?yàn)?(2)解：∵函數(shù)的定義域?yàn)?，∴，則，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，∴的定義域?yàn)?題型2復(fù)雜函數(shù)的值域解題技巧：(1)直接法(觀察法)：對(duì)于有些函數(shù)直接求出函數(shù)值，并將所有函數(shù)值組成集合，就得到函數(shù)的值域．例如求函數(shù)f(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需將所有自變量的函數(shù)值都求出來(lái)，即可得到函數(shù)f(x)的值域?yàn)閧6,11,16,21}．(2)分離常數(shù)法：對(duì)于一些分式函數(shù)，可以利用多項(xiàng)式除法化成一個(gè)常數(shù)與一個(gè)分式之和的形式，然后根據(jù)分式的特點(diǎn)去求函數(shù)的值域．(3)反解法：例如求函數(shù)y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域．由y＝eq\f(x－1,x＋2)解出x得x＝eq\f(2y＋1,1－y).由x＞－4，得eq\f(2y＋1,1－y)＞－4，即eq\f(2y－5,y－1)＞0，∴y＞eq\f(5,2)或y＜1.故函數(shù)y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域?yàn)?－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(4)圖象法：通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域．(5)換元法：根據(jù)解析式的特點(diǎn)，可將解析式中某個(gè)關(guān)于x的整體式設(shè)為t，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的某種簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)，再確定t的取值范圍，進(jìn)而運(yùn)用簡(jiǎn)單的初等函數(shù)求值域的方法求解．(6)判別式法：對(duì)于形如：y＝eq\f(fx,gx)的函數(shù)，(f(x)、g(x)是一次函數(shù)或二次函數(shù)，且至少一個(gè)二次函數(shù))可以將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的整式方程，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式不小于零，得到關(guān)于y的不等式，解出其解集，就是函數(shù)的值域．(7)基本不等式法：創(chuàng)造條件利用基本不等式可以求出函數(shù)的最值，再進(jìn)一步求解．例1函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，轉(zhuǎn)化為，，根據(jù)均值不等式求解即可.【詳解】令,則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：注意含根號(hào)式子中，經(jīng)常使用換元法，利用換元法可簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題注意均值不等式的使用，屬于中檔題.例2（多選題）下列說法正確的是（

）A．若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)锽．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)镈．函數(shù)在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求解判斷A；利用分離常數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合反比型函數(shù)的值域判斷B；利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得其值域，判斷C；利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，解得，即的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?，故B不正確；對(duì)于C，令，則，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，，其圖象的對(duì)稱軸為直線，且，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，故D不正確．故選：AC．例3已知函數(shù)．(1)解不等式：；(2)求函數(shù)的值域．【答案】(1).(2).【分析】（1）由分母可將不等式化為，進(jìn)而求解集.（2）令，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，討論、求的范圍，即可知值域.(1)由題意，，又∴，即，∴或，故解集為.(2)令，可得，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，又為一元二次方程且在內(nèi)有實(shí)數(shù)解，∴，解得：且，綜上，，∴的值域?yàn)椋模顚W(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷它們是相等函數(shù)．【詳解】對(duì)于A，的定義域是，的定義域是，，定義域不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B，的定義域是，的定義域是，定義域不相同，不是相等函數(shù)；對(duì)于C，的定義域是，的定義域是，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是相等函數(shù)；對(duì)于D，的定義域是，的定義域是或，定義域不同，不是相等函數(shù)．故選：C2．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【答案】B【分析】問題轉(zhuǎn)化為恒成立，則，求解即可【詳解】f（x）的定義域是R，則恒成立，即恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B.3．已知函數(shù)，則下列圖象錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】確定的圖象，然后根據(jù)圖象變換確定各選項(xiàng)．【詳解】當(dāng)時(shí)，，表示一條線段，且線段經(jīng)過和兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，表示一段曲線．函數(shù)的圖象如圖所示．的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A正確；的圖象可由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱后得到，故B正確；由于的值域?yàn)椋?，故的圖象與的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中的圖象不正確．故選：D．4．已知的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)特征和已知條件可得到解集為，當(dāng)時(shí)，可得到與已知條件矛盾；當(dāng)時(shí)，結(jié)合一元二次函數(shù)圖像即可求解.【詳解】由題意可知，的解集為，①當(dāng)時(shí)，易知，即，這與的解集為矛盾；②當(dāng)時(shí)，若要的解集為，則只需圖像開口向上，且與軸無(wú)交點(diǎn)，即判別式小于0，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.5．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)時(shí)，的最小值是5；②與表示同一函數(shù)；③函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是；④已知，，且，則最小值為．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式判斷①④，根據(jù)相等函數(shù)的定義判斷②，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義計(jì)算法則判斷③；【詳解】解：對(duì)于①當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②與表示同一函數(shù)，故②正確；對(duì)于③函數(shù)的定義域是，，所以，解得，故函數(shù)的定義域是，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④已知，，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故④正確；故選：B6．設(shè)全集，集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，，再依次計(jì)算各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：由題知，，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C二、多選題7．對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若同時(shí)滿足下列條件：①，；②，，，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為“函數(shù)”，則其圖象恒過定點(diǎn)B．函數(shù)在上是“函數(shù)”C．函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）D．若為“函數(shù)”，則一定是上的增函數(shù)【答案】AC【分析】結(jié)合函數(shù)新定義的概念利用賦值法即可求解.【詳解】對(duì)于A：不妨令，則，因?yàn)?，，所以，故，故A正確；對(duì)于B：不妨令，，則，，，即，這與，，矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題意可知，，，不妨令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；再令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；若，則；若，則，從而，，成立，故C正確；對(duì)于D：由題意可知，常函數(shù)為“H函數(shù)”，但不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.8．已知函數(shù)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)镽 B．的值域?yàn)镃．若，則x的值是 D．的解集為【答案】BC【分析】求出分段函數(shù)的定義域可判斷A；求出分段函數(shù)的值域可判斷B；分、兩種情況令求出可判斷C；分、兩種情況解不等式可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域是，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，值域?yàn)?，故的值域?yàn)椋蔅正確；當(dāng)時(shí)，令，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，令，得到，故C正確；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，故的解集為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．9．若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【分析】根據(jù)在和時(shí)，函