高中數(shù)學(xué)北師大版必修2學(xué)案立體幾何初步1-5平行關(guān)系含答案2

第1課時(shí)平行關(guān)系的判定

預(yù)

習(xí)

核心必知——自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

引

區(qū)問(wèn)題思考——辨析問(wèn)題解疑惑

自主學(xué)習(xí)梳理主干zi&fiuK.ueK.i$fiu(izhugan

［核心必知］

1.直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

直線在平面內(nèi)L_Ja餐Q

直線與平面相交中dCa=4

a

直線與平面平行LJa〃Q

2.直線與平面平行的判定

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

---------------1

若平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線

6SEC/〃a

/---7l//h\

平行，則該直線與此平面平行A__LV

3.平面與平面平行的判定

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直a豆a

豆

線都平行于另一個(gè)平面,則兩3

aA

平面平行%/a//fid)//

［問(wèn)題思考］

1.若直線a平行于平面。內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線a平行于平面。嗎？

提示：不一定，因?yàn)橹本€a在平面a內(nèi)時(shí)，與a平行的直線也有無(wú)數(shù)條.

2.對(duì)于平面與平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，這兩個(gè)平面是否一定平行，為什么?

提示：不一定.如圖中，平面a內(nèi)的兩條直線a,6均平行于￡,而。與￡卻相交.

課

堂

知識(shí)突破一能力提升

互

II動(dòng)

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分區(qū)

sftishcnggongyantupozfiongnan師生共研突破更難

知識(shí)點(diǎn)1線面平行的判定-K重點(diǎn)知識(shí)?講運(yùn)練會(huì)】I

講一講

1.如圖，在四棱錐任四口中，底面是矩形，E,尸分別是陽(yáng)，%的中點(diǎn).證明：EF〃平面P4D.

［嘗試解答］證明：在△月％中，E,尸分別是陽(yáng)，/個(gè)的中點(diǎn)，

，EF//BC.又BC//AD,：.EF//AD.

又平面處。，"工平面處以

...①〃平面PAD.

類(lèi)題?通.決

1.判斷或證明線面平行的方法

(1)定義法：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)(不易操作)；

(2)判定定理法：a=a,丘a,a//b?a//a-

(3)排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi).

2.證明線線平行的方法

(1)利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)；

(3)利用平行線分線段成比例定理.

練一練

1.如圖，一是平行四邊形/物所在平面外一點(diǎn)，。是總的中點(diǎn)，求證：PC〃平面BDQ.

證明：連接4C交班于。，連接0Q

：四邊形的是平行四邊形,

02/23

為〃■的中點(diǎn).

又0為PA的中點(diǎn),

：.Q0//PC.

顯然仇;些平面BDQ,在口平面BDQ,

，產(chǎn)。〃平面BDQ.

知識(shí)點(diǎn)2平面與平面平行的判定-K重點(diǎn)知識(shí)?講運(yùn)練會(huì)】I

講一講

2.如圖所示，正方體力優(yōu)94劣中，M凡E,尸分別是棱力心，AM,BC,G〃的中點(diǎn).求證：平

面4附〃平面EFDB.

［嘗試解答］證明：如圖所示,

；M,尸分別是4&G"的中點(diǎn)，且四邊形46K4為正方形,

:.MF〃AD且MF=AA

又且月?！?4,

...折'="且MF//AD.

四邊形4"?是平行四邊形.

J.AM//DF.

又加金平面EFDB,4%￡平面EFDB,

平面EFDB.

同理可證，AV〃平面切密

又AN,4施平面4MMAMC\AN^A,

二平面如伊〃平面EFDB.

類(lèi)題?通繪

平面平行的判定方法:

(1)利用定義，證面面無(wú)公共點(diǎn).

(2)利用平面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面平行，即證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)

平面，如本題.

(3)若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則兩個(gè)平面平行.

練一練

2.如圖所示，三棱柱4盼/國(guó)G,。是BC上一點(diǎn),且48〃平面4G。，4是用。的中點(diǎn).

求證：平面4Ml〃平面陽(yáng)〃

證明：連接4c交4G于點(diǎn)反

；四邊形44CG是平行四邊形，

...￡是4c的中點(diǎn).連接期

是△48C的中位線,

：.ED//AxB.

;以H平面AxBDx,A\B英平面AM,

；.&)〃平面A\BA.

■:GDdLBD,

：.四邊形BDGD\是平行四邊形，

：.QD//BDx.

；6￡口平面4能，初金平面4初，

〃〃平面/。

■:C\DCE4D,

：.平面AxBD\//平面AC\D.

知識(shí)點(diǎn)3線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用＜------K拔高知識(shí)?拓寬提版】I

講一講

3.如圖所示，6為切所在平面外一點(diǎn)，且的=比三劭，M/V,C分別為△464XABD,△比。的重

心.

04/23

(1)求證：平面MNG//平面ACD-,

⑵求：S(\ADC.

［嘗試解答］⑴證明：如圖連接6胴，BN,陰并延長(zhǎng)交HC,AD,Q)于P,F,H.

,:M,N,G分別為△/陽(yáng)l\ABD,△死9的重心,

r.BMBNBG、…

則有訴=訴=司=2,連接杼；FH,PH,

?VilI\rUn

有MN"PF.又PF建平甌ACD,胸￡平面4s.?.拗〃平面/微

同理MG//平面ACD,MGC\MN=M,

二平面物臨〃平面ACD.

MGBG22

(2)由(1)可知：MG=-PIL

rnon66

d11

又PH=0D,：.MG=~AD.

同理AG=%G掰5，

OJ

:.叢MNGSXACD,其相似比為1：3,故見(jiàn)“W：&洶=1：9.

類(lèi)題?通決

證明面面平行，轉(zhuǎn)化為證明線面平行，而要證線面平行，轉(zhuǎn)化為證明線線平行.在立體幾何中，通過(guò)

線線、線面、面面間的位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題順利得到解決.熟練掌握這種轉(zhuǎn)化的思想方法，就能找

到解題的突破口.這是高考重點(diǎn)考查證明平行的方法，應(yīng)引起重視.

練一練

3.如圖，在正方體048G4中，〃為底面/版的中心，〃是的的中點(diǎn)，0是CG的中點(diǎn)，判斷

并證明平面”制與平面砌。的位置關(guān)系.

解：平面46。〃平面處。.下面給出證明.

為8的中點(diǎn)，/為9的中點(diǎn)，：.QB//PA.

■:QB工平面PAO,胡姿平面PAO,，。占〃平面PAO.

,:P,0分別為9，龍的中點(diǎn)，勿知.

■:工平面PAO,P0區(qū)平面以0,."6〃平面PAO.

又及BCQB=B,：.平面DyBQ//平面PAO.

解題高事多解題不一樣的旅程，不一樣的風(fēng)景,換個(gè)思維開(kāi)拓視野!

如右圖，在正方體4靦中，

NGBD,且?guī)咨?V,求證：MV〃平面CG4/Z

［證明］法一：連4V并延長(zhǎng)交加'于￡：連接〃、￡

.ANBNAEBD

'：AB//CD,,?礦法睢=礪

'JBD^ADx,且.仄人DN,

.AE_ADy_

??獷礪

在叢AXE中，MN〃隊(duì)E,

又網(wǎng)工平面CC、D\D,DxE至平面CCD\D,

.?.必V〃平面CQDxD.

［嘗試用另外一種方法解題］

法二：過(guò)點(diǎn)必作相〃/〃，交加于產(chǎn)，

過(guò)點(diǎn)N作NQ”AD交切于點(diǎn)Q,連接PQ,

‘“qMP我M

在△加〃中，茄=而

?:NQ"AD,AD//Ba

:?NQ〃BC.

06/23

4A-NQDN

在ADBC中，一南

?：D2DN,M=DB,AD=BC：.NQ=MP.

四邊形MNQP為平行四邊形，則MN//PQ.

而MNU平面CQDyD,PQ區(qū)平面CGDxD,

，物￥〃平面CCxIXD.

達(dá)標(biāo)練一能力練

II

學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升，提速

生趁熱打鐵消化所學(xué),提能,每課一檢測(cè)，步

既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步贏

fcncen^tianicigubentineng分層練習(xí)固本提能

、學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.在以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①平面。內(nèi)有兩條直線和平面尸平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面。內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線和平面J3

平行，則a與￡平行；③平面a內(nèi)的三個(gè)頂點(diǎn)到平面8的距離相等，則。與￡平行.

A.0B.1C.2D.3

解析：選A對(duì)①，當(dāng)a內(nèi)的兩直線平行時(shí)，"與￡也可能相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，當(dāng)。內(nèi)有無(wú)

數(shù)條直線和￡平行時(shí)，a與。也可能相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，若4B,C三點(diǎn)在8兩側(cè)時(shí)，。與￡相

交，故③錯(cuò)誤.

2.能保證直線a與平面。平行的條件是（）

A.&a,a//b

B.a,c//a,a//b,a//c

C.a,A,Bea,C,b,且AC=B￡>

D.aWa,ba,a//b

解析：選DA項(xiàng)和B項(xiàng)中a有可能在a內(nèi)，C項(xiàng)中，a可能在a內(nèi)，也可能與a相交，D項(xiàng)中，a

//a.

3.若明/分別是△/比1邊47,〃'的中點(diǎn)，物，與過(guò)直線比'的平面￡的位置關(guān)系是（）

A.MN//8

B.秘V與￡相交或的V區(qū)￡

C.MN//￡或腑些￡

D.MN//￡或制與￡相交或MNS￡

解析：選C當(dāng)平面￡與平面4a'重合時(shí)，有WV受￡；

當(dāng)平面B與平面/歐不重合時(shí)，

則萬(wàn)n平面4仁宏

VMN分別為〃'的中點(diǎn)，，朗V〃閱

又mBC￡,:B.

綜上有MN//￡或MN￡J3.

4.六棱柱的表面中，互相平行的面最多有對(duì).

解析：如圖，當(dāng)六棱柱的底面為正六邊形時(shí)，互相平行的平面最多有4對(duì)，每組對(duì)邊所在的平面平行,

且上下底面平行.

1

答案：4

5.若直線aC直線方=4a〃平面。，則6與。的位置關(guān)系是一.

解析：與平面。沒(méi)有公共點(diǎn)，

若6些a,則1Ga,又/Ga,此種情況不可能.

?；?與a相交.

答案：6〃a或方與。相交

6.如圖區(qū)F,G,〃分別是正方體"由G4的棱相，CQ,G4,44的中點(diǎn)，求證：

aCi

:

AB

⑴位〃平面BBDD；

(2)平面BDF〃平面BxDxH.

證明：(1)取84中點(diǎn)。，連接GO,0B,

易證OG"RC\,

且。吐次，BE//BXQ,

且BE=；AQ,

：.0G〃BE豆OG=BE,四邊形跳石。為平行四邊形，.,.必〃曲:

OB$平面BRAD,

GE=平面BB\D\D,

08/23

勿平面BBMD.

（2）由正方體性質(zhì)得B、DJ/BD,

?:?D\3平面BDF,BD至平面BDF,

：.B心〃平面BDF,連接做DxF,

易證物以是平行四邊形，得HDJ/BF.

■:HD\主平面BDF,BF營(yíng)平面BDF,

，/0〃平面BDF,

?：B1ACHX=隊(duì),

，平面叱〃平面BMI.

0d蝦能力提丸（土。

一、選擇題

1.已知6是平面。外的一條直線，下列條件中，可得出b//a的是（）

A.b與a內(nèi)的一條直線不相交

B.人與。內(nèi)的兩條直線不相交

C.b與a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交

D.6與a內(nèi)的所有直線不相交

解析：選D若b與a內(nèi)的所有直線不相交，即6與。無(wú)公共點(diǎn)，故6〃a.

2.空間四邊形48徵中，E,尸分別是4?和力上的點(diǎn)，若AE：EB=CF：FB=\：3,則對(duì)角線北和平

面。牙"的關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.在平面內(nèi)D.平行或相交

解析：選A如圖所示，

在平面4?。內(nèi)，

因?yàn)槿?：EB=CF：FB=\：3,

所以然〃根

又因?yàn)锳C=平面DEF,EF至平面DEF,

所以/C〃平面DEF.

3.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，下列判斷正確的是（）

A.平面倒傷〃平面47V

B.AF//CN

C.8%平面跖9

D.應(yīng)與4V相交

解析：選A作出如圖所示的正方體.易知AN〃BM,4%屈，且4Vn4C=4所以平面然M〃平面屏;K

NM

4.已知勿，〃表示兩條直線，。，8,y表示平面，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①若any—m,BCly—n,m//n,則a〃￡；②若m,n相交且都在a,￡外，且加〃a,m//B,

n//a,n//則a〃燈；③若/?〃a,小〃￡,則a〃￡；④若叫〃a,n//J3,且小〃〃，則a//]3

A.1B.2

C.3D.4

解析：選A①僅滿足加$a,r&B,mHn,不能得出?！ā?不正確；②設(shè)/力，〃確定平面為Y，

則有a//Y，J3//y,從而a〃￡,正確；③④均不滿足兩個(gè)平面平行的條件，故③④均不正確.

5.在正方體4故看4由G4中，M是棱44上的動(dòng)點(diǎn)，則直線,"與平面4/f”；的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.在平面內(nèi)D.相交或平行

解析：選D當(dāng)材與4重合時(shí)，：加〃44如3面44GC,A43面力4GC,

."初〃面力4GC當(dāng)"不與D、重合時(shí)，〃獷與AAt相交，也即〃"與面44GC相交.

二、填空題

6.點(diǎn)反F,G,〃分別是空間四邊形48繆的邊4員BC,CD,力的中點(diǎn)，則空間四邊形的六條棱中與

平面切力/平行的條數(shù)是.

解析：由線面平行的判定定理知：BD〃平面EFGH,ACH平面EFGH.

答案：2

7.三棱錐阱4%中，。為△?!比1的重心，后在棱SA上，且AE=2ES,則比與平面S8C的關(guān)系為.

解析：如圖，取比1中點(diǎn)凡連新

為△撅?的重心，

：.A,G,F共線且4G=2M

10/23

又*:AE=2ES,：.EG//SF.

又SF至平面SBC,=平面SBC,

二比〃平面SBC.

答案：」笫〃平面SBC

8.如圖，在正方體力微“1毋G〃中，E,F,G,〃分別是棱CG,CM,仄D,制的中點(diǎn)，用是比1的中

點(diǎn)，點(diǎn)歷在四邊形防W及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則"滿足時(shí)，有物，〃平面瓦必以

解析：'JHN//BD,HF/ZDDx,HNCHF=H,BDCDK=D,

平面A%力平面B\BD塊,故線段加上任意點(diǎn)M與N連接,

有,物V〃平面B\BDD\.

答案：材e線段FII

三、解答題

9.已知：中，ZJG?=90°,D,￡分別為/G/切的中點(diǎn)，沿必■將△/應(yīng)折起，使｛到/'的

位置，M是46的中點(diǎn)，求證：M?〃平面4,CD.

證明：如圖所示，取4'C的中點(diǎn)G,連接，始，GD,

?:M,G分別是4B,A'C的中點(diǎn)，.?.，帆建總式、,

同理應(yīng)=4%,：.MGJLDE,

...四邊形應(yīng):盼是平行四邊形,

：.ME//DG.

又，貼之平面4CD,比營(yíng)平面4'CD,

〃平面HCD.

10.如圖，在正方體笈G"中，S是反4的中點(diǎn)，E,F,G分別是6C,和SC的中點(diǎn).求證:

(1)」笫〃平面BDDB；

(2)平面〃平面BDDxBy.

證明：（1）如圖所示，連接的

,:E,G分別是a；SC的中點(diǎn)，

:.EGaSB.

又；SB三平面BDDB,而H平面質(zhì)由，:.EG〃平面BDK氏

⑵：尸，￡分別是BC的中點(diǎn)，；,FE〃BD.

又,：BD段平面BDDxBx,他工平面BDDyBx,

...例7平面BD隊(duì)B、.

又皮〃平面應(yīng)?劣，且用三平面。'G,房區(qū)平面四用,EFCEG=E,平面必6〃平面皮族反

第2課時(shí)平行關(guān)系的性質(zhì)

丁

言

一

預(yù)

*.

習(xí)

^1聲

核心必知——自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

11票

4

*.

引

問(wèn)題思考——辨析問(wèn)題解疑惑區(qū)

zizAuwedshutizfiugan自主學(xué)習(xí)梳理主干

［核心必知］

1.直線與平面平行的性質(zhì)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直

線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該膾L

直線平行l(wèi)//b

2.平面與平面平行的性質(zhì)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

Z/夕］?！ㄒ弧?/p>

如果兩個(gè)壬丘平面同時(shí)與第三個(gè)平面」na=a}?a〃

相交，那么它們的交線平行7n8=b“

b

12/23

［問(wèn)題思考］

1.若直線，與平面。平行，可否認(rèn)為/與平面。內(nèi)的任意一條直線都平行？

提示：不可.根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，/與過(guò)直線/的平面與。的交線平行.

2.若平面yCB=a,yC\a=b,則a、6的位置關(guān)系是什么？

提示：平行或相交：當(dāng)￡〃。時(shí)，由面面平行的性質(zhì)定理知allb：當(dāng)。與￡相交時(shí)，a與6相交

或平行.

3.如果兩個(gè)平面平行，那么分別位于兩個(gè)平面內(nèi)的直線也互相平行，這句話對(duì)嗎？為什么？

提示：不對(duì)，因?yàn)檫@兩個(gè)平面平行，那么位于兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，它們平行或異面.

課

堂

能力提升

互知識(shí)突破一

助II

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

區(qū)步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

知識(shí)點(diǎn)1線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用--------K重點(diǎn)知爾?講透練會(huì)】I

講一講

1.ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面46（力外一點(diǎn)，〃是空的中點(diǎn)，在〃V上取一點(diǎn)G,過(guò)G和4a作平

面交平面應(yīng)涉于做求證：AP//GH.

［嘗試解答］證明：連接”1交加于0,連接股

?.?能力是平行四邊形，是中點(diǎn).

又M是陽(yáng)的中點(diǎn)，AP//0M.

根據(jù)直線和平面平行的判定定理，

則有為〃平面BMD.

?.?平面處防C平面BMgGH,

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，

：.AP//GH.

類(lèi)題?通決

線面平行的性質(zhì)定理是證明空間兩直線平行的重要依據(jù)，解題時(shí)要注意把握.當(dāng)證明了直線平行于平

面后，再過(guò)該直線作平面與已知平面相交，得交線與己知直線平行.具體方法如下：線線平行

線面還判定線面平行線面序性質(zhì)線線平行.

練一練

1.已知：a//b,aSo,得B,aG￡=7.求證：a//b//1.

證明：如圖所示，Va//b,bB,

：.a//￡,

又a崔a,aC\B=1,

又a//b,

：.a//b//1.

知識(shí)點(diǎn)2面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

講一講

2.如圖，已知平面a//3,巴a且巴B,過(guò)點(diǎn)廠的直線山與。、燈分別交于/、C,過(guò)點(diǎn)尸的直線

n與a、￡分別交于氏D,且刈=6,AC=9,⑶=8,求加的長(zhǎng).

［嘗試解答］因?yàn)榱ΑｉT(mén)切=只

所以經(jīng)過(guò)直線4c與加可確定平面PCD,

因?yàn)閍〃￡,平面目￡n平面上，所以45〃以

為

如6

所

以

即8—BD

拓

,=而9-=

BD,

所以2-4

5

類(lèi)題?通生

由面面平行得到線線平行，進(jìn)而由成比例線段得解，體現(xiàn)了立體幾何與平面幾何間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.另外，

面面平行還有許多性質(zhì)，如要證明線面平行，可先證面面平行，再由性質(zhì)證得.

練一練

2.如圖所示，設(shè)e，W為夾在兩個(gè)平行平面%￡之間的線段，且直線/反口為異面直線，加P

分別為A?,W的中點(diǎn).求證：直線物力平面￡.

14/23

證明：過(guò)點(diǎn)A作力勿切交平面￡于反連接DE,BE,

?JAE//CD,：.AE.切確定一個(gè)平面，設(shè)為Y，

則any=AC,Bny=DE.

由于a〃￡,龍1(面面平行的性質(zhì)定理)

取四中點(diǎn)兒連接便，MV,

-分別為相、切的中點(diǎn),

：.NP//DE,MN//BE.

又NP工B,DE窿B,MN工B,BE三B,：.NP//P,MN//B.

又/VPnMN=N,；.平面MNP//B.

,：MP基平面MNP,：.MP//B.

知識(shí)點(diǎn)3線面平行、面面平行性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用??K拔高知識(shí)?拓寬提熊】I

講一講

3.如圖所示，己知尸是?所在平面外一點(diǎn)，MN分別是47,尸C的中點(diǎn)，平面目〃C平面物=

(1)求證：1//BC-,

(2),腑與平面必〃是否平行？試證明你的結(jié)論.

［嘗試解答］(1)證明：因?yàn)锳D〃BC,4直平面如G/區(qū)平面

所以49〃平面PBC.

又因?yàn)槠矫姹豤n平面PAD=1,

所以1//AD//BC.

⑵平行.證明如下：設(shè)。是切的中點(diǎn)，連接胸，，娘,

因?yàn)橐睳分別是18,PC的中點(diǎn)，

所以MQ〃AD,NQ〃PD.

而他ANQ=Q,ADCPD=D,所以平面MNQ//平面PAD.

因?yàn)镸N區(qū)平面MNQ,所以MA〃平面PAD.

類(lèi)題?通浜

在空間平行的判斷與證明時(shí)要注意線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化過(guò)程：

平面與平面平行的判定

直或與平面平面與平面y

直線與平行的判定.直線與平平行的劌定.平面與

直線平行貪技與平面面平行上面與星面平面平行

*平行的性質(zhì)平杼的性質(zhì)

平面與平面平行的性質(zhì)

練一練

3.在長(zhǎng)方體/靦一484〃中，AB=BC=\,4尸2,點(diǎn)"是a'的中點(diǎn)，點(diǎn)N是力4的中點(diǎn).

Bti~c

求證：W〃平面

證明：設(shè)點(diǎn)〃為/〃的中點(diǎn)，連接MP,NP.

?.?點(diǎn),M是比1的中點(diǎn)，

：.MP//CD.

'：CD至平面A,CD,MPR平面ACD,

〃平面AxCD.

,點(diǎn)N是44的中點(diǎn)，

：.NP//AxD.

,：AxD法平面A,CD,NP金平面A@,

平面ACD.

16/23

?:MPCNP=P，植P區(qū)平面MNP,NP些平面MNP,

，平面〃平面ACD.

■:MN區(qū)平面MNP,

〃平面AyCD.

|解題高手||多解題f一樣的旅程這一樣的風(fēng)景，換個(gè)思維開(kāi)拓視野！

已知點(diǎn)S是正三角形/成:所在平面外的一點(diǎn)，且%=%=SGSC為△$山上的高，D,E,尸分別是4C,

BC,SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面叱的位置關(guān)系，并給予證明.

［解］SG//平面頌證明如下：

法一：連接CG交應(yīng)于//,

：是△胸的中位線，

：.DE//AB.

在△4CG中，〃是〃'的中點(diǎn)，

且DH//AG,

〃為CG的中點(diǎn)，

.../7/為△SCG的中位線，

：.FH//SG.

又SG二平面DEF,FH區(qū)平面DEF,

；.SG〃平面DEF.

［嘗試用另外一種方法解題］

法二：O為△1?%的中位線，

：.EF//SB,

■:EF豆平面SAB,SB區(qū)平面SAB,

；.￡尸〃平面SAB.

同理：2c〃平面SAB.

又EFCDF=F,EF基平面DEF,DF區(qū)平面DEF,

平面548〃平面DEF.

又SG區(qū)平面SAB,

〃平面DEF.

訓(xùn)

達(dá)標(biāo)練一能力練練

II提

學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升，提速能

生趁熱打鐵消化所學(xué),提能，每課一檢測(cè)，步區(qū)

既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步贏

fcncengtianK.igu6cntincng分層練習(xí)固本提能

0學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.直線a〃平面。，。內(nèi)有〃條直線交于一點(diǎn)，那么這〃條直線中與直線a平行的（）

A.至少有一條B.至多有一條

C.有且只有一條D.沒(méi)有

解析：選B設(shè)。內(nèi)"條直線的交點(diǎn)為4,則過(guò)力有且僅有一條直線/與a平行，當(dāng)/在這〃條直線

中時(shí)，有一條與a平行，而當(dāng),不在這〃條直線中時(shí)，〃條相交于4的直線都不與a平行.

條相交直線中有0條或1條直線與a平行.

2.若平面?！ㄆ矫妗?直線a點(diǎn)6G￡,則在￡內(nèi)過(guò)點(diǎn)8的所有直線中（）

A.不一定存在與a平行的直線

B.只有兩條與a平行的直線

C.存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線

D.存在唯一一條與a平行的直線

解析：選D直線a與點(diǎn)6確定一個(gè)平面.這個(gè)平面與￡有公共點(diǎn)6,則這兩個(gè)平面就有一條通過(guò)B

點(diǎn)的直線而由兩平面平行的性質(zhì)定理得/〃a

3.設(shè)勿，〃為兩條不同的直線，a,￡,y為三個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中為真命題的是（）

A.若m//a,n//o,則m//n

B.若勿〃a,勿〃￡,則a//

C.若小〃a,n//P,m//n,則a〃￡

D.若?！ā?aAy—m,￡Dy—n,則m//n

解析：選DA中加與〃與同一平面平行，m,〃還可能相交或異面；B中a與￡可能相交；C中a

與￡可能相交，只有D正確.

4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，MCAB,N是的中點(diǎn)，若楸〃平面BDC,則AM'.MB=.

解析：?，剛〃平面1邠豆平面加,

平面ABDC平面BDC=BD,：.MN//BD.

又是"的中點(diǎn)，

二材是團(tuán)的中點(diǎn)，故有AM:MB=1：1.

18/23

答案：1:1

5.設(shè)勿、〃是平面。外的兩條直線，給出三個(gè)論斷：

①/〃"：②卬〃。；③〃〃a.以其中的兩個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，構(gòu)成三個(gè)命題，寫(xiě)出你認(rèn)為

正確的一個(gè)命題：.（用序號(hào)表示）

解析：①②?③

設(shè)過(guò)〃的平面￡與a交于1.

*.*m//a,'.m//1,

'/m//n,'.n//1,\,"工a,1a,.'.n//a.

答案：①②?③（或①③?②）

6.如圖，直四棱柱/6叱489〃的底面是梯形，AB//CD,ADYDC,CD=2,DLh=AB=\,P,。分別是

CQ,G4的中點(diǎn).求證：4%平面8網(wǎng)

證明：連接切，妝,

AB

*：P,。分別是CG,G4的中點(diǎn)，

：.PQ//CDy,且3=平面用W,

...就〃平面BPQ.

又垃gAB=l,DyQ//AB,

二四邊形490”是平行四邊形，

：.ADx//BQ,

又,/AIX=平面BPQ,：.力〃〃平面BPQ.

又加1n勿=%.?.平面力勿〃平面BPQ.

,：AC英平面ACDy,：.AC//平面BPQ.

?課下能力提升（八）

一、選擇題

1.設(shè)a,6是兩條直線，a,￡是兩個(gè)平面，若且〃。，a￡,aC8=b,則a內(nèi)與人相交的直

線與a的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

解析：選Ca〃。，a與。內(nèi)的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，a與。內(nèi)的直線的位置關(guān)系是異面或平行,

a內(nèi)與Z?平行的直線與a平行，a內(nèi)與6相交的直線與a異面.

2.平面an平面B=a,平面萬(wàn)C平面y-b,平面7n平面a-c,港a"b,則c與a,人的位置

關(guān)系是（）

A.c與a,6都異面

B.c與a,8都相交

C.c至少與a,6中的一條相交

D.c與a,8都平行

解析：選D如圖：Ya〃4且by,：.a//y,

：a豆。且ady=c,a//c,/.b//c.

3.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①兩平面平行，夾在兩平面間的平行線段相等；②兩平面平行，夾在兩平面間的相等的線段平行；③

如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么它和另一個(gè)平面也平行；④兩平行直線被兩平行平面截

得的線段相等.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B易知①④正確，②不正確；③若?！ā?、a￡,則a與。平行，故