數(shù)理統(tǒng)計的基本概念1

第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第二部分數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)：P1112，3，4，5，7，9，12，15，161引言

隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計性規(guī)律。

概率論的許多問題中，隨機變量的概率分布通常是已知的，或者假設是已知的，而一切計算與推理都是在這已知的基礎上得出來的。

但實際中，情況往往并非如此，一個隨機現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。2例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機的使用壽命服從什么分布是未知的；產(chǎn)品是否合格服從兩點分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；3

數(shù)理統(tǒng)計的任務則是以概率論為基礎，根據(jù)試驗所得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀統(tǒng)計規(guī)律性做出合理的推斷。數(shù)理統(tǒng)計方法具有“用局部推斷整體”的特征.

在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對總體進行推斷.4實際生活中的問題：長期的生產(chǎn)經(jīng)驗告訴我們，水泥廠成品打包機裝袋的重量X服從正態(tài)分布。如何得到該正態(tài)分布的具體形式，即兩參數(shù)確切的值？把打包機使用周期內(nèi)所有的數(shù)據(jù)全部記錄下來，可近似看做一個連續(xù)的密度函數(shù)抽取50包水泥，重量分別記為：X1，X2，……X50因為已知：E[X]=μ，Var[X]=σ2考慮：希望和μσ2比較接近總體樣本統(tǒng)計量5希望和比較接近總體、樣本和統(tǒng)計量總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，把研究對象的全體稱為總體，而把組成總體的每個單元稱為個體?？傮w可以認為是一個隨機變量，而個體的取值就是該隨機變量的一個觀測值。因為我們在抽樣之前無法預測樣本的取值，或者每次抽取的值并不相同，所以樣本也可以看成是一個隨機變量。6

一旦取定一組樣本X1，…,Xn,得到n個具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀測值，簡稱樣本值.n

稱為這個樣本的容量.7隨機抽樣方法的基本要求獨立性——每次抽樣的結果既不影響其余各次抽

樣的結果，也不受其它各次抽樣結果的影響。

滿足上述兩點要求的樣本稱為簡單隨機樣本.獲得簡單隨機樣本的抽樣方法叫簡單隨機抽樣.代表性——樣本()的每個分量

與總體具有相同的分布。

從簡單隨機樣本的含義可知，樣本是來自總體、與總體具有相同分布的隨機變量.8簡單隨機抽樣

例如：要通過隨機抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測后放回原來的總量中，則這是一個簡單隨機抽樣。

但實際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個簡單隨機抽樣。但當總量N很大時，可近似看成是簡單隨機抽樣。9

簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.若總體的分布函數(shù)為F(x)、分布密度函數(shù)為f(x)。由于簡單隨機抽樣中對每個樣本的觀測相互獨立，故簡單隨機樣本視為隨機向量，其聯(lián)合分布函數(shù)為其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)為=F(x1)F(x2)…F(xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)10統(tǒng)計量

定義設（）為總體X的一個樣本，為不含任何未知參數(shù)的函數(shù)，則稱為樣本（）的一個統(tǒng)計量。則例如：設是從正態(tài)總體中抽取的一個樣本，其中為已知參數(shù),為未知參數(shù)，是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量11幾個常用的統(tǒng)計量樣本均值：設是總體的一個樣本，樣本方差：修正樣本方差：12樣本k階原點矩：樣本k階中心矩：順序統(tǒng)計量：13樣本極差：樣本中位數(shù)：14定理（樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征）15證明：（1）16（2）1718經(jīng)驗分布函數(shù)（了解一下即可）絕大多數(shù)統(tǒng)計問題的背景是已經(jīng)知道分布的類型，但是不確定分布的參數(shù)。但是有些情況下分布的類型也不清楚，此時就需要引入經(jīng)驗分布函數(shù)。192021設總體X的分布函數(shù)為FX，利用伯努利大數(shù)定律可以證明，對于任意ε>0，有故當樣本容量n足夠大時，經(jīng)驗分布函數(shù)與總體的分布函數(shù)差距很小。因此只要樣本容量足夠大，就可以近似推斷總體的分布。22

事實上，對于任意x，我們可以定義事件A=｛隨機變量取值xt≤x｝，取n個樣本，事件A發(fā)生的次數(shù)就是這n個樣本值中不超過x的個數(shù)，即s(x),則由伯努利大數(shù)定律而故有23命題6.3.5設總體X的分布函數(shù)為FX，分布密度函數(shù)為fX，則Xn按大小順序排列，第k個隨機變量X(k)的密度函數(shù)為順序統(tǒng)計量的分布24證明：故有25

數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個非常有用的連續(xù)型分布，即

2分布t

分布F分布數(shù)理統(tǒng)計的三大分布(都是連續(xù)型).它們都有直接的數(shù)理統(tǒng)計背景。它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系。26——分布

定義設總體，是的一個樣本,則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)27分布的密度函數(shù)為其中Gamma函數(shù)Γ(x)通過下面積分定義28一般的，若X的分布密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為α>0和λ>0的Γ分布，記為X~Γ(α,λ)。Γ分布的數(shù)學期望和方差為不難看出29其圖形隨自由度的不同而有所改變.分布密度函數(shù)的圖形30

2分布的性質(zhì)設X～

2(n)，則E[X]=n，Var[X]=2n.證明：31利用公式：32

2分布的可加性若且X1,X2相互獨立，則若則當n趨于無窮時，近似的有33證明：這里可得由中心極限定理34性質(zhì)

設(X1,X2,…,Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

,

2)的樣本，則證明由已知，有且各相互獨立，故35

定理

設(X1,X2,…,Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(

,

2)的樣本，則樣本均值與樣本方差Sn2相互獨立，且；(1)(2)

比較設(X1,X2,…,Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

,

2)的樣本，則36只證明（1）：

為X1,X2,…,Xn的線性組合，故仍然服從正態(tài)分布，而故37(2)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個正態(tài)隨機變量的平方和，但實際上它們不是獨立的，它們之間有一種線性約束關系：這表明，當這個n個正態(tài)隨機變量中有n-1個取值給