湖南株洲市第十八中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若所有點(diǎn)，所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，則（）A． B． C．1 D．2．設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．33．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．4．函數(shù)在的圖象大致為A． B．C． D．5．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．下列判斷錯(cuò)誤的是()A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．是的充分不必要條件7．如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，高為2的正四棱柱中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．58．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，則（）A． B．C． D．9．網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．1 B． C．3 D．410．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣211．若，則的虛部是（）A． B． C． D．12．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從地移動(dòng)到地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則亮亮從移動(dòng)到最近的走法共有____種．14．若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則______，含項(xiàng)的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.15．已知復(fù)數(shù)，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則____.16．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線（，）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).18．（12分）2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）團(tuán)購(gòu)已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費(fèi)方式，不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購(gòu)網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購(gòu)業(yè)務(wù)，市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站在本市的開展情況，從本市已加入了團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查，他們加入這三家團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的情況如下圖所示.（1）從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，求他們加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率；（2）從所調(diào)查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將頻率視為概率，現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家，記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家數(shù)為，試求事件“”的概率.21．（12分）已知拋物線，直線與交于，兩點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).22．（10分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點(diǎn)，求直線的極坐標(biāo)方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

依題意，可得，在上單調(diào)遞增，于是可得在上的值域?yàn)?，繼而可得，解之即可.【詳解】解：，因?yàn)?，，所以，在上單調(diào)遞增，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，所以，解得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出?！驹斀狻恳?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡(jiǎn)得，即令，所以，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。3、B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo)，利用求得參數(shù)m，再用計(jì)算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.4、A【解析】

因?yàn)?，所以排除C、D．當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時(shí)，，可得.故選A．5、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時(shí)，，之后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時(shí)，，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下，而函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.6、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，有，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，已知直線平面，直線平面，則當(dāng)時(shí)一定有，充分性成立，而當(dāng)時(shí)，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故充分性不成立；若，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確，符合題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長(zhǎng)為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

畫出圖形，以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果．【詳解】畫出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題（1）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組，在解決具體問(wèn)題時(shí)，合理選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．9、A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐，長(zhǎng)度如上圖所以所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見(jiàn)圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對(duì)本題可以利用長(zhǎng)方體，根據(jù)三視圖刪掉沒(méi)有的點(diǎn)與線，屬中檔題.10、D【解析】

化簡(jiǎn)z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為：的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，即，又，即，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以，又，解?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分三步來(lái)考查，先從到，再?gòu)牡?，最后從到，分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分三步來(lái)考查：①?gòu)牡?，則亮亮要移動(dòng)兩步，一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種走法；②從到，則亮亮要移動(dòng)六步，其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種走法；③從到，由①可知有種走法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的走法.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)問(wèn)題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.14、【解析】的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，，，項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為（1），（2）.15、【解析】

計(jì)算出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.16、【解析】

利用，解出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，且，，，該雙曲線的漸近線方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程，考查了雙曲線基本量的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求解.（2）先把兩個(gè)方程均化為普通方程，求解公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)，然后化為極坐標(biāo)即可.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為，∴，則,即.（2），∴，聯(lián)立可得，（舍）或，公共點(diǎn)(，3)，化為極坐標(biāo)(2，)．【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及交點(diǎn)的求解，熟記極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式是求解的關(guān)鍵，交點(diǎn)問(wèn)題一般是統(tǒng)一一種坐標(biāo)形式求解后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、（1）3360元；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個(gè)農(nóng)戶的平均損失；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值．【詳解】（1）記每個(gè)農(nóng)戶的平均損失為元，則；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過(guò)1000元的農(nóng)戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），隨機(jī)抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計(jì)算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為；X012P數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題．19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓的方程為：（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)，，線段的中點(diǎn)為由，消去可得：，解得：∴，，依題意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化簡(jiǎn)可得：則：，解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意故軸上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，斜率公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.20、（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】

（1）運(yùn)用概率的計(jì)算公式求概率分布，再運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用貝努力公式進(jìn)行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件，則，所以他們加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，，，從而的分布列為012.（3）所調(diào)查的50家商家中加入了兩個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家有25家，將頻率視為概率，