高中數學微【定值問題】

高中數學微專題【定值問題】

熱點聚焦分類突破研熱點析考向

突破點一長度與幾何圖形的面積為定值

【例1】已知橢圓E：，+$=1伍〉比>0)的離心率為e,點(1,e)在橢圓E上，點

A(a,0),8(0,b),ZVIOB的面積為1,O為坐標原點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)若直線/交橢圓E于M,N兩點，直線OM的斜率為ki,直線ON的斜率為

攵2,且上女2=—/,證明：△0MN的面積是定值，并求此定值.

⑴解，；e弋且(1,e)在橢圓E上，

?*+*=1，則*+扁=16

22

又c=cr-b9②

聯(lián)立①②，得。=1.

13,

=9

又S/^AOB=2^^2得〃=3.

所以橢圓E的標準方程為S+產1.

(2)證明當直線/的斜率不存在時，

設直線/：x=f(—3</<3且樣0),

當直線/的斜率存在時，設M(xi,yi),Ng,yi),直線/：y=kx+m[m^G),

y=kx~\-m,

Etlx2.消去y并整理，

§+產91,

得(9d+1)^+18々如+9m2—9=0.

/=(18初7)2—4(93+1)(9加2—9)=36(93一加2+1)>0,

._18km9m2—9

x'+x2=~9k2+VXiX2=9lc+\'

y\yz(kx\+m)(te+z/z)

=

k\ki>X_I?X2=X\X2

—9k1+m2j_

9m2-99'

化簡得9lc+1=2相2,滿足j>0.

\MN\=y/T+l?\x\—X2|+層、(第+工2)2—4xiX2

18初?)29m2-9

=\i+a9^+1J-4-9^+T

(r\j1+/々9/一+]

9d+l-

又原點0到直線I的距離d=，f詈，

由I、］c_1,W13業(yè)+一々9——,?+［、/一川_3|1~x/^P3

所以SAOMN-亍IMMd-9^+12m2-2-

3

綜上可知，△OMN的面積為定值京

探究提高1.解此類題的要點有兩個：一是計算面積，二是恒等變形.如本題，

要求AOMN的面積，則需要計算弦長|MN］和原點O到直線/的距離d,然后由

面積公式表達出SAOMN（如果是其他凸多邊形，一般需要分割成三角形分別求

解），再將由已知得到的變量之間的等量關系代入面積關系式中，進行恒等變

3

形，即得S&OMN為定值,

2.注意分情況討論直線/的斜率是否存在.當直線/的斜率不存在時，設/:x=

13

?一3?3且林0）,與橢圓方程聯(lián)立，結合處依=-3，得&OMN=3.當直線/的

3

斜率存在時，設直線/的方程為)，=依+"2,進一步證明S^OMN為定值

【訓練1】已知橢圓C：，+的離心率為乎，且過點A(2,1).

(1)求。的方程；

(2)點M,N在C上，且AMLAN,AD上MN,。為垂足.證明：存在定點0,使

得|。。|為定值.

41層一1

⑴解由題設得今+*=1,7

解得?2=6,82=3.

所以C的方程為《+3=1.

o3

(2)證明設M(xi,yi),Ng,yi).

若直線MN與x軸不垂直，

設直線MN的方程為〉=依+根，代入=+]=1,

得(1+23)f+4hnr+2m2—6=0.

s,4A〃z2機2—6小

TTEXI十X2=-]+2*2,X]X2=j+2產①

由AMLAN,得俞.俞=0,

故(xi—2)(尤2—2)+。1-1)(*—1)=0,

整理得(M+1)x1x2+(Jan-k-2)(xi+x2)+(機-1尸+4=0.

2/力2—6d-lcm

將①代入上式，可得(F+1)]+2攵2—(km—k—2)[+29+(加-1尸+4=0，

整理得(2女+3〃z+1)(2女+〃L1)=0.

因為4(2，1)不在直線MN上，

所以2k十加一1W0,所以2A+3"?+1=0,kWT.

所以直線MN的方程為尸《無一|)一；(左W1).

所以直線MN過點P(|,—

若直線MN與x軸垂直，可得N(xi,—yi).

由威俞=0,

得(xi—2)(xi—2)+(yi—1)(—yi—1)=0.

又放+5=1,所以3齒一8足+4=0.

2

解得xi=2(舍去)，或幻=].

此時直線MN過點P仔，一；).

令Q為AP的中點，即成，1).

若。與P不重合，則由題設知AP是RtaAOP的斜邊，

故|DQ|=；|AP尸半

若。與P重合，則|DQ|=3|AP|.

綜上，存在點。惇")，使得|。。|為定值.

突破點二數學表達式或斜率為定值

【例2】已知拋物線C：尸=2內(">0)經過點尸(1,2).過點Q(0,1)的直線/與拋

物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設。為原點，QM=A^),QN=/.IQO,求證：；+，為定值.

(1)解因為拋物線y2=2px過點P(l,2),

所以2p=4,即p=2.故拋物線C的方程為V=4x.

由題意知，直線/的斜率存在且不為0.

設直線/的方程為y=kx+1伏W0).

(y2=4x,

由f,得出^+(2攵-4)x+l=0.

j=Ax+l

依題意/=(2Z—4)2—4XFXl〉0,解得Nl,

又因為ZW0,故攵<0或04<l.

又PA,P8與y軸相交，故直線/不過點(1,-2).

從而ZW—3.

所以直線/斜率的取值范圍是(-8,-3)U(-3,0)U(0,1).

(2)證明設A(x”yi),8(x2,yi).

由(1)知Xl+X2=——p-，X112=R

直線PA的方程為y—2=那二^(九一1).令x=0,

得點M的縱坐標為加=沿+2=守+2.

同理得點N的縱坐標為+2.

由而，西=〃西得2=1—yM,//=1—y/v.

2,1_]_J_____XLIX2-1

A〃1—yM1—yNCk-1)x\Ck-1)xi

2,2^4

12x1X2—(無l+x2)1k2丁a

===r<-i=2-

飛

所以;+；=2為定值.

探究提高1.求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

2.定值問題求解的基本思路是使用參數表示要解決的問題，然后證明與參數無

關，這類問題選擇消元的方向是非常關鍵的.

【訓練2】已知點A在圓C：。一6)2+9=16上，B(一巾,0),P(0,也)，線

段AB的垂直平分線與AC相交于點D.

(1)求動點。的軌跡方程；

(2)若過點Q(0,—1)的直線/斜率存在，且直線/與動點。的軌跡相交于M,N

兩點.試證明：直線PM與PN的斜率之積為定值.

(1)解由圓C：(x一/)2+9=16,知圓心C~L0),半徑r=4.

?.?點。在線段AB的垂直平分線上，...儲川=|。3|,

又|AC|=+|￡>C|=|。陰+|DC|,

|AC|=r=4,\DB\+\DC\=4>\BC\=2^2.

則動點。的軌跡是以3(一6，0),C(啦，0)為焦點，長軸長2a=4的橢圓.

從而a=2,c=*\/2,〃=屋一心=2,

故所求動點D的軌跡方程為3+m=1.

(2)證明設/：y=kx-1,M{x\,yi),Ngyi),

y=kx~\,

lil'x2,y2消去y得(2R+l)x2—4bc—2=0,

[4+2=b'

顯然/=(—4Z)2+8(2R+l)=32F+8>0,

?.4k2

..尤|+尤2-23+1，幻X2—2A：2+r

VxiT^O,X220,

???設直線PM與PN的斜率分別為%,ki,

-y2—yfj(Axi-1)(依2-1)

則k\k2=~

XIX2X\X2

-(^^+1)k(xi+x2)+2^\/^+3

X\X2

?2M+3+26

故直線PM與PN的斜率乙積為定值.

突破點三定直線的方程

【例31已知拋物線C：f=2py(p〉0)的焦點為F,過戶且斜率為1的直線與C

交于A,B兩點,|AB|=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點。(1,2)的直線/交C于點M,N,點Q為MN的中點，QRJ_x軸交。于

點、R,且讀=病，證明：動點T在定直線上.

(1)解設yi),B(X2,y2).

因為兄0，2)1

所以過點F且斜率為1的直線的方程為)，=》+§

y~X+^消去y并整理，得

由

x2-2px-p2=0,易知/>0.

則xi+x2=2p,yi+y2=xi+x2+p=3p,

所以|AB|=yi+y2+p=4P=8,解得p=2.

于是拋物線C的方程為

(2)證明法一易知直線I的斜率存在，設/的方程為y=Mx—l)+2,Q(xo,

,，X3,3），<X4,笳）.

[y=k（x—1）+2,

由1（消去y并整理，得

，=4y

%2—4日+4%—8=0.

則/=（一4左）2—4（4攵-8）=16（后一4+2）〉0,

%3+工4=4k,X3X4=4攵-8,

所以=2k,yo=Z（xo—1）+2=2乃一人+2,即。（2左，21c—Z+2）.

由點R在曲線。上，QA_Lx軸，且行?=前，

得R(2k,F),R為。T的中點，所以T(2匕k—2).

因為2攵一2伏一2)—4=0,

所以動點T在定直線x—2y—4=0上.

法二設y),從孫從%4,

焉=例，/

由,得。3+工4)(及一％4)=4。3一?4),

.X94=4y4

所以中=9.

4X3—X4

設。(x,”)，則直線MN的斜率女

又0=—點。的橫坐標廠中

X3-X4L

所以所以1)+2.

由原=而知點R為QT的中點，所以/?Q,甘

又點H在。上，將Q,空)代入。的方程得f=235+y),即r+4+2y=0,

所以動點T在定直線x—2y—4=0上.

探究提高1.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點弦長公式求出p

的值，即得拋物線。的方程.

2.本題第⑵問的解答給出了探求圓錐曲線中的定直線問題的兩種方法：一是參

數法，即先利用題設條件探求出動點T的坐標(包含參數)，再消去參數，即得動

點T在定直線上：二是相關點法，即先設出動點T的坐標為(x,y),根據題設條

件得到已知曲線上的動點R的坐標，再將動點R的坐標代入已知的曲線方程，

即得動點T在定直線上.

【訓練3】已知點4一1,0),5(1,0),動點P滿足|PA|+|P8|=4,P點的軌跡

為曲線C.

⑴求曲線。的方程；

(2)已知圓/+尸=收上任意一點P(xo，yo)處的切線方程為：xox+yoy=R2,類比

可知橢圓：:+(=1上任意一點P(xo,yo)處的切線方程為：等+器=1.記/I為

曲線C在任意一點P處的切線，過點3作8P的垂線2設與/2交于。，試問

動點Q是否在定直線上？若在定直線上，求出此直線的方程；若不在定直線

上，請說明理由.

解(1)由橢圓的定義知P點的軌跡是以A,8為焦點，長軸長為4的橢圓，

依題意，c=1,2a=4.

所以。=2,b2=a2—c1=3.

故曲線C的方程為3+?=L

⑵設P(xo,yo),由題知直線的方程為箸+苧=1.①

當xoW1時，ICPB="1，

所以/2的斜率氏2=

kpByo

1---YA

則直線/2的方程為尸T(L1),②

聯(lián)立方程①②，消y得3xox+4(l—JCO)(JC—1)—12=0.

變形化簡，得(4—xo)x=4(4—xo),則X=4.

所以動點。在定直線x=4上，

當期=1時,yo=±|,/i：^±2=1，/2：y=0,0(4,0),。在直線x=4上,

綜上所述，動點Q在定直線x=4上.

專題訓練對接高考求落實迎高考

1.設拋物線E：9=2*(〃>0)的焦點為點八過點/作直線/交拋物線E于A,B

兩點.當/與x軸垂直時，的面積為8,其中。為坐標原點.

(1)求拋物線E的標準方程;

(2)若/的斜率存在且為玄，點P(3,0),直線AP與拋物線E的另一交點為C,

直線BP與拋物線E的另一交點為。，設直線CO的斜率為依，證明：注為定值.

⑴解由題意當/與X軸垂直時，不妨設W，p)，砥一P)，

.,.^-2p-2=8,解得p=4.

則拋物線E的標準方程為/=8x.

(2)證明設A(xi,yi),8(x2,>2),C(X3,戶)，。(工4,/),

8Q

則ki=z--J---同理心=樂，

Xl-X21/21\yi+y2'

8(為一及)

...直線［的方程為=),］:),/—加).

即+yi)y—yiy2=8x.

?.?拋物線E的焦點廠(2,0)在直線/上，,一yi*=16.

設直線BD的方程為x=/y+3.

聯(lián)立得方程組［f戶x=Zy.+，3,

消去x并整理得y2—8》一24=0,

2y4=-24.

同理可得yi”=-24.

.攵2yi+*yi+y2yi):2-162

，，ki”+8—24+—24—24—243,

V十”

故牛=1為定值.

K1D

92

2.已知橢圓C：，十為=1(。泌〉0),若拋物線產=4光的焦點/恰好為橢圓。的右

焦點，且該拋物線與橢圓c在第一象限的交點為彳|,￥).

(1)求C的標準方程；

(2)設A,8是橢圓C的左、右頂點，過點b作直線/與橢圓交于P,。(不同于A,

B)兩點,設直線AP與直線8。交于E點，求證：點E在定直線上.

(1)解由V=4x,知焦點尸(1,0),則c=l.

由橢圓定義，得2。="|+1)2+(攣I?=今

所以/=4,b2=3,

92

所以橢圓C的標準方程為￡+5=1.

⑵證明由(1)知尸(1,0),設直線PQ的方程為x=my+l,

2,2

與橢圓，+餐=1聯(lián)立，得(3"z2+4)y2+6〃2y—9=0.

顯然J>0恒成立.

設尸(xi,yi),Q(X2,y2),

所以有v+”=-舟？3-貴鐘①

直線AP的方程為y=—?(x+2),

直線BQ的方程為)；=一匕我—2),

九2乙

聯(lián)立兩方程可得，

號VI(1+2)=總V2I),

x+2九i+2)；2(myi+3)竺my1)=+3/

x-2y\X2—2y\(機*—1)my\yi-y\*

3

由①式可得y\y2-^y\+yi),

339

%+23（）I+”）+3"亨1十歹2

代入上式可得=3,

x~2~3_yij3y2

+

2（6+>2）-yi22

解得x=4,

故點￡在定直線x=4上.

3.已知橢圓C：捻+忘=1(理功＞0)與拋物線M：產4%有公共的焦點，且拋物線

的準線被橢圓截得的弦長為3.

(1)