高一數(shù)學(xué)必修第一冊第二章全部教學(xué)設(shè)計(jì)

新版高一數(shù)學(xué)必修第一冊第二章全部教學(xué)設(shè)計(jì)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（共2課時(shí)）

（第1課時(shí)）

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》（人民教育出版社A版教材）.高中數(shù)學(xué)必修5第

三章第一節(jié)不等關(guān)系與不等式第2課時(shí)的內(nèi)容，主要講解不等關(guān)系及不等式的性質(zhì)及其運(yùn)用；

現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，數(shù)學(xué)中，我們用不等式來表示不等關(guān)系。不等

式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)，凡是不等式的變形、運(yùn)算都要嚴(yán)格按照不等式的性質(zhì)進(jìn)行。

因此，不等式的性質(zhì)是學(xué)習(xí)本章后續(xù)內(nèi)容和選修4-5不等式選講的重要保障；

本節(jié)通過類比等式的性質(zhì)，猜想并證明不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式，

是體會化歸與轉(zhuǎn)化，類比等數(shù)學(xué)思想，和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯推理能力的良好素材。

在高中數(shù)學(xué)中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與高中數(shù)學(xué)幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，尤

其與函數(shù)、方程等聯(lián)系緊密，因此，不等式才成為高考中經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)、重點(diǎn)，有時(shí)也是難點(diǎn).

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.通過具體情景，讓學(xué)生感受在現(xiàn)實(shí)世1.數(shù)學(xué)抽象：在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，

界和日常生活中存在的不等關(guān)系，理解

并表示出不等關(guān)系；

和掌握列不等式的步驟；

2.邏輯推理：作差法的原理；

B.能靈活用作差法比較兩個數(shù)與式的

.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用作差法比較大??；

大小，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；3

4.直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；

C.培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用

5.數(shù)學(xué)建模：能夠在實(shí)際問題中構(gòu)建不等關(guān)

的

系，解決問題；

綜合思維能力，體會化歸與轉(zhuǎn)化、類比

等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯

推理能力；

教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：將不等關(guān)系用不等式表示出來，用作差法比較兩個式子大小:

2.教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際情景中建立不等式（組）,準(zhǔn)確用作差法比較大?。?/p>

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情景引入，溫故知新

通過生活中熟悉的

（一）、情境導(dǎo)學(xué)

1.購買火車票有一項(xiàng)規(guī)定：隨同成人旅行，身高情景，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)

超過1.1m（含1.1m）而不超過1.5m的兒童，享受不等關(guān)系，并學(xué)會運(yùn)

半價(jià)客票、加快票和空調(diào)票（簡稱兒童票），超1.5用不等式（組）表示

m時(shí)應(yīng)買全價(jià)票.每一成人旅客可免費(fèi)攜帶一名不等關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生

身高不足1.1米的兒童，超過一名時(shí)，超過的人

數(shù)學(xué)建模的核心素

數(shù)應(yīng)買兒童票.從數(shù)學(xué)的角度，應(yīng)如何理解和表

養(yǎng)；

示“不超過”“超過”呢？

2.展示新聞報(bào)道：明天白天廣州的最低溫度為18℃,白天最高溫度為

30℃.

師：明天白天廣州的溫度t℃滿足怎樣的不等關(guān)系？

生：t大于或等于18小于或等于30

老師引出課題板書：不等關(guān)系與不等式

師：常見的不等號有？

生：大于（＞）,小于（＜）,大于或等于（2）,小于或等于（W）,

不等于（。）。

老師總結(jié)板書：不等式的定義：用不等號（＜,＞2,0力表示不等關(guān)系的

式子叫做不等式。

1師.：你能用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示情景中的不等關(guān)系嗎？

2師.：兩個指示標(biāo)志分別表示什么意思？

生：速度大于或等于80,高度小于或等于4.5

3師.：在這兩則報(bào)道中，同學(xué)們都準(zhǔn)確的描述出蘊(yùn)含的不等關(guān)系。

師：你能舉出生活中含有不等關(guān)系的例子嗎？

生：

@@

師：不等關(guān)系用什么表示？

生：不等式

（二）、探索新知由典型問題的分析

解決，體會建立不等

探究一用不等式表示不等關(guān)系

式（組）的一般方法

例1.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm和難點(diǎn)所在；培養(yǎng)和

提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)

兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管

眼光分析表達(dá)問題

的3倍.試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽

象和數(shù)學(xué)建模的核

教師引導(dǎo)學(xué)生共同：［分析］應(yīng)先設(shè)出相應(yīng)變量，找出其中的不等關(guān)

心素養(yǎng)

系，即①兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；②截得600mm鋼

管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；③兩種鋼管的數(shù)量都不

能為負(fù).于是可列不等式組表示上述不等關(guān)系.

［解析］設(shè)截得500mm的鋼管刀根，截得600mm的鋼管），根，

p00x+600,）<4000j5x+6yW40

依題意，可得不等式組：，即《3了）’

x>0x20

ly>o用數(shù)學(xué)語言表

歸納總結(jié);用不等式（組）表示實(shí)際問題中不等關(guān)系的步驟：示不等關(guān)系。

①審題.通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量.找出體現(xiàn)

不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不

超過”等.②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約

束條件，將各約束條件用不等式表示.

跟蹤訓(xùn)練：1.某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本.根通過練習(xí)鞏固分

據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，析表達(dá)不等關(guān)系，教

若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為X元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍會學(xué)生解決和研究

不低于20萬元?問題，提升教學(xué)抽象

2.某工廠在招標(biāo)會上，購得甲材料xt,乙材料yt,若維持工廠正常能力。

生產(chǎn)，甲、乙兩種材料總量至少需要1203則x、y應(yīng)滿足的不等關(guān)

系是（）

A.x+y>120B.x+y<120

C.x+y>120D.x+乃120

Y—25

1解析］提價(jià)后雜志的定價(jià)為X元，則銷售的總收入為（8一—江

x0.2）x萬元，那么不等關(guān)系“銷售的收入不低于20萬元“用不等式可

以表示為：

2.5

（8—yj-x0.2）x>20.

［解析］由題意可得x+心120,故選C.

探究二比較數(shù)或式子的大小

我們學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)大小比較的一個基本事實(shí)：

（1）數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)

根據(jù)這個公理，我們可用什么方法來比較實(shí)數(shù)的大?。?/p>

步驟是什么？第一步，第二步，第三步，第四步復(fù)習(xí)作差比較法，

代數(shù)式大小的方法，

學(xué)生回答：理解作差法的原理，

et-h>O<=>a>h；a-b=Goa=b；a-h<O<^>a<b.通過練習(xí)達(dá)到靈活

運(yùn)用；

生：作差比較法

生：作差，變形，判號，定論.

指出：作差比較法是證明不等式的重要方法，它將比較實(shí)數(shù)的大小轉(zhuǎn)

化為判斷差的符號

例2.已知x<y<O,比較(f+Vxx-y)與(/一產(chǎn)乂彳+丫)的大小.

［解析］'：x<y<0,xy>0,

x—y<0,.'.(A2+y)(x—y)—(x2-)2)(x+y)=_2xy(x~y)>0,

.'.(x2+y2)(x—y)>(x2—3r)(x+y).

師生共同歸納總結(jié)：比較兩個實(shí)數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟

(1)作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；

(2)變形：對差進(jìn)行變形(因式分解、通分、配方等)；

(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)作

通過練習(xí)鞏固作

出結(jié)論.這種比較大小的方法通常稱為作差比較法.其思維過程：作

差法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)

差一變形一>判斷符號一結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提.

運(yùn)算素養(yǎng)，提供運(yùn)算

跟蹤訓(xùn)練1.設(shè)M=f,N=-x—1,則M與N的大小關(guān)系是

的準(zhǔn)確性、靈活性和

()

速度。

A.M>NB.M=N

C.MvND.與x有關(guān)

［解析］M-N—xi+x+1=(x+1)2+^>0,:.M>N,故選A.

2.比較f+V+i與2(x+y—1)的大?。?/p>

3.設(shè)adR且比較a與!的大小.

［解析］2.^+>,2+1—2(x+y—l)=x2—2x+1+y2~2y+2

=(x-l)2+(y-l)2+l>0,

：.x1+y2+\>2(x+y-i).

i

3.由-----------

aa

當(dāng)a=±\時(shí)，a="；

當(dāng)一l<a<0或a>l時(shí)，a>%當(dāng)。<一1或0<a<l時(shí)，a<^.

三、達(dá)標(biāo)檢測

I.完成一項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每

人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元,設(shè)木工x（x'O）人，瓦工y（y》0）

人，則關(guān)于工資滿足的不等關(guān)系是（）

A.5x+4y<200B.5x+4y2200

C.5x+4y=200D.5x+4yW200

【答案】D

2.若人=5+3與8=；+2,則A與B的大小關(guān)系是（）

A.A>BB.A<B

C.AN3D.不確定

通過練習(xí)鞏固本節(jié)

2

【解析】由于4-8*+3《+2）=C+：濘>0,

所學(xué)知識，通過學(xué)生

所以A>B,故選A.

解決問題的能力，感

【答案】A

悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)

3.已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表：

思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)

食物甲乙用意識。

維生素A/（單位/kg）600700

維生素B/（單位/kg）800400

設(shè)用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物,并使混合食物

內(nèi)至少含有56000單位的維生素A和63000單位的維生素B.試用

不等式組表示xj所滿足的不等關(guān)系.

【解析】由題意知xkg的甲種食物中含有維生素A600x單位,含有維

生素B800x單位,ykg的乙種食物中含有維生素A700），單位,含有維

生素B400y單位，貝ijxkg的甲種食物與,ykg的乙種食物配成的混合食

物總共含有維生素A（600x+700y）單位，含有維生素B（800x+400y）單

位，

600%+700y>56000,+7y>560,

800x+400y>63000,4x+2y>315,

則有x>0,即Hri空0,

y>0,ly>0.

4.將一個三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短X,構(gòu)成一個

鈍角三角形，試用不等式（組）表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)系.

【解析】各邊都縮短x后，長度仍然為正數(shù)，只要最短邊大于零即可,

因此5-x>0.而要構(gòu)成三角形，還要滿足（5㈤+（12.）>13-工當(dāng)三角形是

鈍角三角形時(shí)，應(yīng)使最大角是鈍角，此時(shí)只需最長邊所對的角是鈍角即

可，因此(5-X)2+(12-X)2<(13-X)2,

f5-x>0,

故x應(yīng)滿足的不等關(guān)系為《(5-x)+(12-x)>13-%,

[(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2.

5.比較下列各組中的兩個實(shí)數(shù)或代數(shù)式的大?。?/p>

(l)2x2+3與x+2,xWR;

(2)?+2與S，aGR,且存1.

l-a

【解析】(1)0^(2^+3)-(%+2)=2^-%+1=2(x-J)2+^>|>0,

所以2X2+3>X+2.

22

3(a+2)(l-a)-3-a-a-la+a+l

(2)(〃+2)--=-------------=--------=----------.

八'l-al-al-aa-1

2

由于a2+a^l=(a+：)+7>^>0,

所以當(dāng)a>l時(shí),貯金>0,即o+2>—;

a-1l-a

當(dāng)a<l時(shí)，出％<0,即a+2<—.

a-1l-a

故當(dāng)a>\時(shí),a+2>^;當(dāng)6F<1時(shí),"+2<2.

四、小結(jié)生學(xué)生根據(jù)課堂

學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識

1.不等式與不等關(guān)系

要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想

(1)不等式的定義所含的兩個要點(diǎn).方法。注意總結(jié)自己

在學(xué)習(xí)中的易錯點(diǎn)；

G不等符號>,<〈》或太

②所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.

(2)不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.

2.比較兩個實(shí)數(shù)“、b大小的依據(jù)

文字語言符號表示

如果a>b,那么a~b是______；

a>b=________鞏固今天所學(xué)內(nèi)

如果a<b,那么a—。是______；容題培養(yǎng)學(xué)生的自

a<bo________

如果a=b,那么a—b_______,學(xué)能力，.也為下一節(jié)

a=b=_________

學(xué)習(xí)不等式性質(zhì)做

反之亦然

準(zhǔn)備

五、作業(yè)

1.習(xí)題2.11,2,3,4題

2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

（一）、溫故知新

你能回憶起等式的基本性質(zhì)嗎？通過學(xué)生熟悉的等

性質(zhì)1若a=b，則b=a;式性質(zhì)出發(fā)，設(shè)問，

性質(zhì)2若a=b,b=c,則a=c;

引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)

性質(zhì)3若a=b,則a±c=b±c;

不等的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)

性質(zhì)4若a=b,則ac=bc;

生數(shù)學(xué)抽象和邏輯

性質(zhì)5若2加，C10，則

CC推理的核心素養(yǎng)；

類比等式的性質(zhì)，你能猜想出不等式的性質(zhì)，并加以證明嗎？

（二）、探索新知

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

（第2課時(shí)）

不等式的性質(zhì)

⑴對稱性

不等式兩邊互換后，再將不等號改變方向，

文字語言

所得不等式與原不等式等價(jià)

符號語言a>b=b<a

作用寫出與原不等式等價(jià)且異向的不等式

證明："."a>b,-'-a-b>0.

由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得

即b-a<O,.".b<a.

同理可證，如果那么a>b.

跟蹤訓(xùn)練.1.與論(〃-2)2等價(jià)的是().用數(shù)學(xué)語言表

22C.(n-2)2<nt2

A.W<(H-2)B.(?-2)>WD.(M-2)<W示不等式的性質(zhì)。

答案:C

⑵傳遞性

文字語如果第一個量大于第二個量，第二個量大于第三個量，

那么第一個量大于第三個量

符號語

a>b.b>c=>a>c

言

變形a>b,b>c=>a>c\a<b,b<c^>a<c\a<byb<c=>ct<c

作用比較大小或證明不等式

你能證明嗎？

(3)加法法則由不等式七個性質(zhì)

不等式的兩邊都加上同一個實(shí)數(shù),所得的不等式的分析與證明，體會

文字語言

與原不等式同向.證明不等式的基本

符號語言a>b=>a+c>b±c方法；培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)

a<b=^a+c<b+c學(xué)抽象和邏輯推理

變形a<b=>a+c<h^-c的核心素養(yǎng)

a>b=>a-^c>b^-c

作用不等式的移項(xiàng)，等價(jià)變形

".\a+c)-(b+c)=a-h>O,.'.a+c>h+c.

(4)乘法法則

文字不等式的兩邊都乘同一個正數(shù)時(shí)，不等號的方向丕

語言都乘同一個負(fù)數(shù)時(shí)，不等號的方向一定要晝.

符號a>b,c>0=>ac>bc

語言a>b,c<0=^ac<bc

a>h,c>0=^ac>bc；a>h,c<0=>ac<hc

變形a<b,c>0=>ac<bc；a<b,c<Q=>ac>bc

a<h,c>0^ac<hc；a<h,c<0=>ac>hc

作用不等式的同解變形

證明:ac-6c=m-6)c.：Z>6,.：a-6>0.根據(jù)同號相乘得正，異號相乘得負(fù),

得當(dāng)c>0時(shí),(“-6)c>0,即ac>bc;當(dāng)c<0時(shí),(a-6)c<0,即ac<bc.

歸納總結(jié)：L該性質(zhì)不能逆推，如a>b.

2.ac>bc=a>b,c>0或a<b,c<0.

3.不等式兩邊僅能同乘(或除以)一個符號確定的非零實(shí)數(shù).

(5)加法單調(diào)性

文字語言兩個同向不等式相加，所得不等式與原不等式幽.

符號語言a>b,c>d=a+c>b+d

ci〈b、c<dna+c<b+d

變形ci>b,c>d=>a^-c>b+d

a<b,c<d=>a+c<b+d

作用由已知同向不等式推出其他不等式

證明:a*屋[cD

c>dnb+c>b+dJ

歸納總結(jié)：1.此性質(zhì)可以推廣到任意有限個同向不等式的兩邊分別相

加，即兩個或兩個以上的同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不

等式同向.

2.兩個同向不等式只能兩邊同時(shí)分別相加，而不能兩邊同時(shí)分別相減.

3.該性質(zhì)不能逆推，如a+c>b+d彳ra>b,c>d.

(6)乘法單調(diào)性

兩邊都是正數(shù)的兩個同向不等式相乘,所得的

文字語言

不等式與原不等式同向.

符號語言a>b>0,c>d>0=^ac>bd

作用兩個不等式相乘的變形

證明："."a>b>0,c>0,.,.ac>bc.及時(shí)歸納總結(jié)，引

g/c>d>0,b>0,/.bc>bd..,.ac>bd.導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解和

歸納總結(jié)：L這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向運(yùn)用不等式的性質(zhì)，

不等式兩邊分別相乘，這就是說，兩個或更多個兩邊都是正數(shù)的同向不培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；

等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

2.a>b>0,c<cl<0=>ac<bcl;

a<h<O,c<d<O^>ac>hd.

3.該性質(zhì)不能逆推，如ac>bda>b,c>d.

⑺正值不等式可乘方

當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時(shí)，不等式兩邊同時(shí)

文字語言

乘方所得的不等式與原不等式回回.

符號語言a>b>0^a">b"（nGN,且心1）

作用不等式兩邊的乘方變形

性質(zhì)(7)可看作性質(zhì)(6)的推廣：

當(dāng)〃是正奇數(shù)時(shí)，由a>b可得an>bn.

跟蹤訓(xùn)練：1.給出下列結(jié)論：

①若則；②若貝!]；

ac>bc,a>bac2c6c2

③若貝Ia>b-,④若a>b,c>d,則a—c>b—d-.

⑤若a>b,c>d,則ac>bd.

其中正確結(jié)論的序號是③.

通過練習(xí)鞏固不

解析①當(dāng)c>0時(shí)，由ac>hc=>a>b,當(dāng)c<0時(shí)，由ac>bc=>a<b,故

①錯.②當(dāng)今時(shí)，由2當(dāng)時(shí)，由力等式的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)

0avbna&bc,c=0ac2vbe2,

故②錯.③ZxO,.,.ah>0,.'.~ab<^ab,即b<a,生邏輯推理，提高思

.,.a>b,故③正確.維的靈活性和速度。

④，；c>d,又a>b,兩不等式不等號的方向不同，不能相

力口，.,.“一c>〃一d錯誤.

a>b>Q\0>a>b\

⑤\^ac>bd,八,\=>ac<bd,

c>d>0)0>c>d]

a>/?010>a>6]

但人/4ac>bd,、c(力ac>hd.

0>c>dJc>J>Oj

反思利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法：

(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷.要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，

尤其是不能憑想象捏造性質(zhì).

(2)特殊值法.取特殊值時(shí)，要遵循如下原則:一是滿足題設(shè)條件；

二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算.

典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式

例1已知a>b>0,c<d<0,e<0,

求證：e>J

a-cb-d

解析Vc<J<0,?,?一c>一d>0,

又???〃+(—c)>8+(—d)>0,

即。一(??0<----<,

c>/>0,a-cb—d

通過典型例題的

又,e<0,..>,

a-cb—ar

解析和跟蹤練習(xí)，讓

跟蹤訓(xùn)練：1.若機(jī)?一〃應(yīng)0,bd>0,求證：.

d學(xué)生明確問題模型，

解析：bc-ad>().\ad<bc

Vff發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心

/.ad+bd<bc+bd,

素養(yǎng)。

1ad+bdbc-Vbd

?W>0,/0,">6“'

c+J

b-d-

歸納總結(jié)：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)

(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題

一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈

活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的

條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

典例解析：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

例2已知一生a<4埼，求W，號’的范圍.

解析?；一行〈怨去；?一定<￡,一*令兩式相加，

_四g±N三.._匹&￡

付22**4〈二4'

,,4s24',,2-2^2.-

—OL—B兀a—B

又.a<￡,..°<0...—2<2

規(guī)律總結(jié)：求取值范圍的問題要注意解題方法是否符合不等式的性

質(zhì)，是否使范圍擴(kuò)大或縮小.

跟蹤訓(xùn)練1.已知1<。<2,3<6<4,求下列各式的取值范圍：

(l)2a+6：(2)?—/>；(3)今

解析(l)Vl<a<2,：.2<2a<4,V3<Z><4,，5<2a+從8；

(2)V3<Z><4,：.-4<~b<-3,XVl<a<2,

-3<a—b<-1；

(3)*.*3</><4,,，,4<^<3>又

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.已知〃〈從0,c<d<0,那么下列判斷中正確的是()

A.a-c<b-dB.ac>bd

b——

D.ad>bc

ac

解析：根據(jù)不等式的同向同正的可乘性知，B正確.

答案：B

2.若。、b、cWR,且則下列不等式中一定成立的是()

A.a+b>b~cB.ac>hc

d

C.,>0D.(a—b)cr>0

a—h

解析：?:a>b,；?a—b>0.選項(xiàng)A中,當(dāng)c=0時(shí)，(a+b)—(b—c)=a

通過練習(xí)鞏固本節(jié)

+c,由于則選項(xiàng)A不成立；選項(xiàng)B中，ac—hc=c(a—b),

所學(xué)知識，提高學(xué)生

由于ceR,則選項(xiàng)B不成立：選項(xiàng)C中，由于cSR,則/加，二,

a-b解決問題的能力，感

>0,則選項(xiàng)C不成立；選項(xiàng)D中，a-b>0,<?>0,則悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)

選項(xiàng)成立.

D思想，增強(qiáng)學(xué)生的邏

答案：D

輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算

3.設(shè)2<a<3,則2a-b的范圍是________.

素養(yǎng)。

解析：4<2a<6,-2<b<-l,

l<-b<2,由同向不等式相加得到5<2a-b<8

答案：5<2a-b<8

4已.知a>fr>0,c<d<0.求證：

解析c<d<0,，—c>—d>0.，0<—

...近>滬,即一潴Y

兩邊同乘以一1,得《上<非.

四、小結(jié)生學(xué)生根據(jù)課堂

不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識

要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

方法。注意總結(jié)自己

1對稱性a>b=___Q在學(xué)習(xí)中的易錯點(diǎn)；

2傳遞性a>h,b>c=_____=>

3可加性a>b<=>a+c__b+c可逆

a>b\

=>ac__he

c>0jc的

4可乘性

a>b\符號

=>ac__be

c<0J

同向a>b

5'=〃+c___b+d同向

可加性0d.

同向同正a>b>CI

6(^>ac__bd

可乘性c>d>0J一同向

7可乘方性

(77.GN*,n>2)

同正

8可開方性a>b>g如>狙

(“GN*,n>2)

五、作業(yè)

1.習(xí)題2.15,6,7,9,10題

2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容

【新教材】2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）

教材分析

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，它是刻畫現(xiàn)

實(shí)世界中量與量之間關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)，有著重要的實(shí)際意義.同時(shí)

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)也為學(xué)生以后順利學(xué)習(xí)基本不等式起到重要的鋪墊.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)

i.掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡單的問題.

2.進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大小.

3.通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和大膽猜測、樂于探究的良好思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：不等式的基本性質(zhì)；

2.邏輯推理：不等式的證明；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：比較多項(xiàng)式的大小及重要不等式的應(yīng)用；

4.數(shù)據(jù)分析：多項(xiàng)式的取值范圍，許將單項(xiàng)式的范圍之一求出，然后相加或相乘.（將減法轉(zhuǎn)化

為加法，將除法轉(zhuǎn)化為乘法）；

5.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用類比的思想有等式的基本性質(zhì)猜測不等式的基本性質(zhì)。

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握不等式性質(zhì)及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、

輕與重、不超過或不少于等.舉例說明生活中的相等關(guān)系和不等關(guān)系.

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)?步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本37-42頁，思考并完成以下問題

1.不等式的基本性質(zhì)是？

2.比較兩個多項(xiàng)式（實(shí)數(shù)）大小的方法有哪些？

3.重要不等式是？

4.等式的基本性質(zhì)？

5.類比等式的基本性質(zhì)猜測不等式的基本性質(zhì)？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1、兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法

a—b>O<=^a>b

作差法a—b=O<=^>a=b

a—b<O^>a<b

￡>1oa>b

￡=10a=b

{￡<l=a<b

2.不等式的基本性質(zhì)

①、對稱性：a>bo1<a傳遞性:a>b,b>c=a>c

②、a>b,ceR,a+c>b+c（可加性）

③、a>b.c>0,那么ac>bc；（可乘性）

a>b.C<0,那么ac<bc

④、a>b>0,c>d>0那么,ac>bd（乘法法則）

⑤、a>b>0,那么aobl（條件nwN,nN2）（乘方性）

⑥、a>b>0那么標(biāo)>加（條件）（開方性）

3.重要不等式

22

一般的，\fa,beR,有a+b>lab

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號成立.

a2+?2

一般的，eR,有abM——-——

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

四、典例分析、舉一反三

題型一不等式性質(zhì)應(yīng)用

例1判斷下列命題是否正確:

(1)a>b,c>b=a>c()(2)>Z?=>ac1>be2()

,、ah，/、

⑶a>b,c>d=ac>hd()(4)—>—=>6?>Z7()

c1c1

(5)a>b=>a2>b~()(6)a>\l\=>a2>b2()

(7)a>h>0,c>d>0=>—>—()

cd

【答案】(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X(6)V(7)X

解題技巧：（不等式性質(zhì)應(yīng)用）

可用特殊值代入驗(yàn)證，也可用不等式的性質(zhì)推證.

跟蹤訓(xùn)練一

1、用不等號“〉”或填空：

(1)如果a>b,c<d,那么a-cb-d；

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac______bd；

(3)如果a>b>0,那么之言

(4)如果a>b>c>0,那么￡

aIb

【答案】(1)>(2)<(3)<(4)<

題型二比較大小

例2(1).比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小

(2).已知a>b>0,c>0,求￡>:。

ab

【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】(1)因?yàn)?x+2)(x+3)-(x+D(x+4)

=x2+5x+6-(x2+5x+4)

=2>0,

所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4)

(2)證明：因?yàn)閍>b〉O,所以ab>0,々>0,

ab

于是a<：>b二，即:>士

ababba

由c>0,得;>

解題技巧：（比較法的基本步驟）

1、作差（或作商）2.變形3.定號（與0比較或與1比較）.

跟蹤訓(xùn)練二

1.比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.

2.已知Ia>b,證明a>半>b.

【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】⑴解:(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)

=X?+10x+21-(x2+10x+24)o

=-3<0

所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6)

(2)證明

a+b2a-(a+b)a—bv?a+b.a+b-2ba-b、八

a----二------二—/(J；---------b=-----=—/U

222222

所以a>史史》b.

2

題型三綜合應(yīng)用

例3(1)已知2<a<3,-2<b<-1,求2a+b的取值范圍.

(2)對于直角三角形的研究，中國早在商朝時(shí)期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例，

而西方直到公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了勾股定理.如果一個直角三角形的斜

邊長等于5,那么這個直角三角形面積的最大值等于.

【答案】(1)見解析(2)當(dāng)

4

【解析】：(1)4<2a<6,-2<b<-l,2<2a+b<5.

22

(2)設(shè)直角三角形的斜邊長為c,直角邊長分別為a,b,由題意知c=5,則a+b=25,則三角形的面積

22

S=1ab,：25=a+b^2ab,：.ab^,則三角形的面積S=；abW；x§=即這個直角三角形面積的最

222224

大值等于今.

4

解題技巧：(重要不等式的應(yīng)用及多項(xiàng)式的取值范圍)

1、利用已知條件列出滿足的等式和不等式，然后利用重要不等式解決相應(yīng)的問題。(注意等于號滿

足的條件)

2、多項(xiàng)式的取值范圍，許將單項(xiàng)式的范圍之一求出，然后相加或相乘.(將減法轉(zhuǎn)化為加法，將除

法轉(zhuǎn)化為乘法)

跟蹤訓(xùn)練三

1.某學(xué)習(xí)小組,調(diào)查鮮花市場價(jià)格得知,購買2只玫瑰與1只康乃馨所需費(fèi)用之和大于8元,而購買4

只玫瑰與5只康乃馨所需費(fèi)用之和小于22元.設(shè)購買2只玫瑰花所需費(fèi)用為A元，購買3只康乃馨所

需費(fèi)用為B元，則A,B的大小關(guān)系是()

A.A>B

B.A<B

C.A=B

D.A,B的大小關(guān)系不確定

【答案】A

【解析】由題意得［上/弓:'2x=A,3y=B,

lqX"TDy乙乙、

(B

ARAd—>8,

整理得x^y*,煮

232A+—<22,

<3

將A+|>8乘-2與2A+|B<22相加,解得B<6,將B<6代入A>8哥,解得A>6,故A>B.

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧

六、板書設(shè)計(jì)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.不等式性質(zhì)例1例2例3

2.重要不等式

3.空集

七、作業(yè)

課本42頁習(xí)題2.1

教學(xué)反思

本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法，堅(jiān)持''以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的原

則，通過類比的思想使學(xué)生逐步掌握不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，為后面學(xué)習(xí)基本不等式打下理論

基礎(chǔ).

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.2基本不等式（共2課時(shí)）

（第1課時(shí)）

教材分析

本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)《基本不等

式》第1課時(shí)。從內(nèi)容上看學(xué)生原有知識的掌握情況為：初中的勾股定理知識及三角形

相似的知識、圓的相關(guān)知識，會用作差比較法證明簡單的不等式，所以在學(xué)法上要指導(dǎo)

學(xué)生：從代數(shù)與幾何的角度理解基本不等式。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察幾何圖形，進(jìn)行幾何與

代數(shù)的結(jié)合運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)結(jié)合的思想觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理

等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

.數(shù)學(xué)抽象：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式；

A.推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不a

b.邏輯推理：通過圖形，分析法與綜合法等證明

等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號2"

基本不等