高中數(shù)學(xué)蘇教版選修23教學(xué)案15　二項(xiàng)式定理

1.5二項(xiàng)式定理

第1課時(shí)二項(xiàng)式定理

預(yù)

習(xí)

導(dǎo)入門答辯——辨析問(wèn)題解疑惑

引

區(qū)新知自解——自讀教材找關(guān)鍵

〃〃//入門答料"〃//

問(wèn)題1：我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(a+?2=a2+2a6+〃，試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)g+b)3,g+b)4的展開(kāi)式.

提示：(a+b)3=a3+3a1b+3ab2+b5,(a+b')4—ai+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

問(wèn)題2：上述兩個(gè)等式的右側(cè)有何特點(diǎn)？

提示：展開(kāi)式中的項(xiàng)數(shù)是w+l項(xiàng)，每一項(xiàng)的次數(shù)為".

問(wèn)題3：你能用組合的觀點(diǎn)說(shuō)明(a+b)4是如何展開(kāi)的嗎？

提示：因(a+6)4=(a+6)(a+b)(a+6)(a+6).由多項(xiàng)式乘法法則知，從四個(gè)a+6中選a或選6是任意

的.若有一個(gè)選仇則其余三個(gè)都選。，其方法有CZ種，式子為若有兩個(gè)選b,則其余兩個(gè)選a,

其方法有C?種,式子為C勿2".

問(wèn)題4：能用類比方法寫(xiě)出(a+ZO"(wGN*)的展開(kāi)式嗎？

提示：能，(。+3"=一能+C〃L%+…+C".

//////a1^//////

1.二項(xiàng)式定理

公式公+""=C%"+C%"—%+…+CZ"r〃+…+3〃("GN*),叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a

+6)"的二項(xiàng)展開(kāi)式，它一共有w+1項(xiàng).

2.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)

C就2區(qū)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的第廠+1項(xiàng)(也稱通項(xiàng))，用。+1表示，即4+1=C赳二史.

3.二項(xiàng)式系數(shù)

C￡(r=O,1,2,…，而叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).

［歸納?升華?領(lǐng)悟］一

1.(a+b)"中，"eN*,a,b為任意實(shí)數(shù).

2.二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)之間用“+”連接.

3.二項(xiàng)式系數(shù)依次為組合數(shù)c9，G，…，3，…，C；：.

4.(a+b)〃的二項(xiàng)展開(kāi)式中，字母a的事指數(shù)按降幕排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由〃逐次減1直到0；

字母6的幕指數(shù)按升累排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由0逐次加1直到a.

課

堂

突破考點(diǎn)總結(jié)規(guī)律

互

II動(dòng)

高考為標(biāo)提煉技法

把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟區(qū)

考點(diǎn)1二項(xiàng)式的展開(kāi)

［例1］求

下列各式的展開(kāi)式：

⑴(a+26)%(2)(2x-崇).

［思路點(diǎn)撥］可直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，對(duì)于(2)也可以先化簡(jiǎn)再展開(kāi).

［精解詳析］(1)根據(jù)二項(xiàng)式定理

(a+b)n=C°a"+Chan~lbH---1-C^an~rbr-\---bC?",

得(a+26)4=CV+C|a32Z?+CV(2*)2+Ch(2b)3+C1(2Z?)4

=/+8/6+24/〃+32b3+16見(jiàn)

法二：a=-32xio-=32X14C?(4/)5+

小(4/)4.(—3)+…+0(4/).(—3)4+??(—3>]

=^TO(102435—3840X12+5760X9-4320X6+1620?-243)

180135,405243

=32^—120X21

尤三十詼L耘即

［一點(diǎn)通］形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式展開(kāi)時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開(kāi)，展開(kāi)時(shí)注意二項(xiàng)展開(kāi)式的特點(diǎn)：前一

個(gè)字母是降幕，后一個(gè)字母是升幕.含負(fù)號(hào)的二項(xiàng)展開(kāi)式形如(a—6)”的展開(kāi)式中會(huì)出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.

〃〃/.?&城桑利勿”

1.寫(xiě)出(1+2x)4的展開(kāi)式.

解：(1+2%)4=c2x14X(2x)°+C]X13X(2尤)1+C?X12X(2尤)2+clX11X(2x)3+C才X1。X("了

02/15

=1+8x+24/+32x3+16尤2

2.求盅)的展開(kāi)式.

解:法一:(而-A"一)】&(??擊+而亞)2?(第f—c阿4

9.31.1

=J*一套+而

,一,31,1

=J無(wú)+不+而

求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)

已知二項(xiàng)式。2】

[例2]

⑴求展開(kāi)式中的第5項(xiàng);

(2)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

［思路點(diǎn)撥］(1)直接利用通項(xiàng)公式求解；

(2)利用通項(xiàng)公式。+1=3/丁，,=尤2,%=4)，設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，令X的指數(shù)等于0即可求出

r.

的展開(kāi)式的第5項(xiàng)為

410

(2)設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

則.+尸Q。?(/嚴(yán)'?(壺)’

=Cfo?x20一|廠?(，(r=0,1,2,…，10),

令20-|r=0,得廠=8,所以T9=Cfo,g)=懸，

即第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其值為良45.

ZJO

［一點(diǎn)通］

(1)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)。+1=表示二項(xiàng)展開(kāi)式中的任意項(xiàng)，只要W與廠確定，該項(xiàng)也隨之確定.對(duì)

于一個(gè)具體的二項(xiàng)式，通項(xiàng).+1依賴于廣，公式中的二項(xiàng)式的第一個(gè)量。與第二個(gè)量6的位置不能隨便交

換，且它們的指數(shù)和一定為".

(2)利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中具有某種特征的項(xiàng)是關(guān)于二項(xiàng)式定理的一類典型題型.常見(jiàn)

的有求二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、含某字母的r次方的項(xiàng)等.其通常解法就是根據(jù)通項(xiàng)公式確定。

+1中廠的值或取值范圍以滿足題設(shè)的條件.

3.(x—2y)6展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為.

解析：由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)得，(x—2y)6展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為C靚6F?(-2y)3=-i60%y.

答案：一IGO%3?

4.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)”的最小值為.

3n3r2r3n5r

解析：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+l=ax~x~=C^x~,令3”-5r=0,得7i=y(r=0,1,2,

n),故當(dāng)廠=3時(shí)，〃有最小值5.

答案：5

'l-_1

5.求Y'一工的展開(kāi)式中的有理項(xiàng).

I2W

_1

解:名的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

<—1\

T；+1=G(")

為使Tr+1為有理項(xiàng)，廠必須是4的倍數(shù)，所以r=0,4,8,故共有3個(gè)有理項(xiàng)，分別是71=(一，C以4

二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)

［例3］已

(1)求展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);

⑵求展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù).

［思路點(diǎn)撥］利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)直接求第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及第4項(xiàng)的系數(shù).

04/15

［精解詳析］(3#—的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是

10-rzQ、廠

7；+i=Cio(35)(―W('=3L…，10)-

⑴第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C?o=12O.

⑵第4項(xiàng)的系數(shù)為Co37(—|)=-77760.

［一點(diǎn)通］要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與指定某一項(xiàng)的系數(shù)的差異，前者只與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，

與二項(xiàng)式無(wú)關(guān)，它是一個(gè)組合數(shù)CQ后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)的字母和系數(shù)均有關(guān).

題世典鈍，

6.(x—l)—(x—l)2+(x—1)3—(X—1)4+(%—1)5的展開(kāi)式中，X2的系數(shù)等于.

解析：x2的系數(shù)是四個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式中4個(gè)含x2的系數(shù)和，則有

-c§(-1)°+C1(-1)1-Ci(-l)2+c^(-1)3

=-(cHd+ci+d)=-2o.

答案：一20

7.在二項(xiàng)式(1—/)2。的展開(kāi)式中，第4r項(xiàng)和第廠+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則廠=.

解析：第4r項(xiàng)與第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C%r和CJo1,由題設(shè)得C簿1=?禮

由組合數(shù)性質(zhì)得4r-1=r+1或4r-1=20—(廠+1).

4r-l=r+l沒(méi)有整數(shù)解.

由4廠一1=20—(廠+1),得廠=4.

答案：4

8.求(2x2+；)的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及第4項(xiàng)的系數(shù).

解：通項(xiàng)公式為O+i=C5(2f)9r?=29-r?C，8-3r,故第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C§=36,第4項(xiàng)的

系數(shù)為26cs=5376.

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

1.求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的一般步驟

2.求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)應(yīng)注意的問(wèn)題

通項(xiàng)公式的主要作用是求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，常見(jiàn)的題型有：①求第r項(xiàng)；②求含以或城產(chǎn)）的項(xiàng)；③

求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng).其中求有理項(xiàng)時(shí)一般根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是

整數(shù)的項(xiàng).解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)

的整除性來(lái)求解.另外，若通項(xiàng)中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，以減少計(jì)算中的錯(cuò)誤.

3.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別

二項(xiàng)式系數(shù)就與展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可以為負(fù).

訓(xùn)

練

欄目功能

提

能

提速提能，讓學(xué)生趁熱打鐵消化所學(xué),

區(qū)既練速度又練準(zhǔn)度，步步為營(yíng)步步贏

課下能力提升（八）

一、填空題

1.（a+2b嚴(yán)展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

10!

解析：第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C彳0=不｛—乂°〕=45.

O：AZ1

答案：45

2.（四川高考改編）在x（l+x）6的展開(kāi)式中，含好項(xiàng)的系數(shù)為.

解析：只需求（l+x）6的展開(kāi)式中含X2項(xiàng)的系數(shù)即可，而含X2項(xiàng)的系數(shù)為CV=15.

答案：15

3.二項(xiàng)式,一步/的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

解析：?.?0+i=C§（—1）穴-5「，令15—5廠=0,二廠=3.

故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為c^（—1）3=—10.

答案：一10

4.若(x+l)"=_x"H------尤+I(/GN*),且。：b=31,那么n=

解析：a=CT3,b=C'^~2,又,：a：6=3：1,

.cr3_a_3n(7i_1)(/7-2)-2??

?,cr2-crP即一就互H—=3,解得“二n.

答案：11

9

5.eq的展開(kāi)式中有理項(xiàng)共有項(xiàng).（用數(shù)作答）

06/15

解析：由Tr+inCSCpy-tJ=CR8f依題意需使18—3廠為整數(shù)，故18—3r'o,/<6,即r=0,1,

2,3,4,5,6共7項(xiàng).

答案：7

二、解答題

_7

6.求(5—2y3)的第4項(xiàng)，指出第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第4項(xiàng)的系數(shù)分別是什么？

解：：北=C%5)(-2y3)3=c#(-2)3/=-280xV,

.?.第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為G=35,第四項(xiàng)的系數(shù)為-280.

7.若Q—gf展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60,則常數(shù)。的值.

解：二項(xiàng)式Q-gf展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是

rr

0+1=C&X6r(-g)x-2,=C女6-3r(一g).

當(dāng)廠=2時(shí)，4+1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是C勿，

根據(jù)已知C粉=60,解得。=4.

8.已知(5+盅f的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù).

解：卜區(qū)+式)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

n—r/1\rzixr〃一2r

，+i=C；?(犯)(立J=。

由題意知，c9,成等差數(shù)列，

則C,!=C9+；e,即n2-9n+8=o,

解得〃=8或〃=1(舍去).

.?.。+1=自€^47令4一r=1,得r=3.

.,.含x項(xiàng)的系數(shù)為(；)Cg=7,二項(xiàng)式系數(shù)為Cg=56.

第2課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

預(yù)

習(xí)

導(dǎo)

引

區(qū)

zizku)cueK.ishutizhugan自主學(xué)習(xí)梳理主干

〃人口各界

(a+bf的展開(kāi)式的二次式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以表示成如下形式:

zX

<+?1

\aD7

z6\

ra+|2

xl7

zX

(+?J?

\aD.

z\

(+6/6

\a/

f\

+6i>1

xa/

f6x

la+)

yz20.

.

問(wèn)題1:你從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？

提示：在同一行中，每行兩端都是1,與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以

外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)字之和.

問(wèn)題2：計(jì)算每一行的系數(shù)和，你又看出什么規(guī)律？

提示:2,4,8,16,32,64,其系數(shù)和為2".

問(wèn)題3：二項(xiàng)式系數(shù)最大值有何規(guī)律？

提示："=2,4,6時(shí)，中間一項(xiàng)最大，n=3,5時(shí)中間兩項(xiàng)最大.

勿力新知an^7///

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

一般地，m+b)"展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)c%&,???,c；有如下性質(zhì)：

⑴―；

十?！ㄒ慌c11;

(3)當(dāng)「＜丁時(shí)，或＜2；

當(dāng)廠＞寧■時(shí)，W＜c;；

(4)C9+G+C計(jì)…+G="

［歸納.升華.領(lǐng)悟］-----------------------------

1.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.

n〃一［〃+］

2.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)中，以C5最大；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)中以Ch“和c'“(兩者

相等)最大.

3.二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等.

課

堂

突破考點(diǎn)總結(jié)規(guī)律

互

動(dòng)II

高考為標(biāo)提煉技法

區(qū)把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟

師生共研突破重難sftisficnggongyantupozftongnan

08/15

考點(diǎn)1.二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)的和

［例1］已

知(1—2%)7=。()+〃1%+〃靖-|----求：

2H-----H〃7；(2)〃1+〃3+。5+。7；

(3)〃()+。2+〃4+〃6；

(4)|聞+同+㈤4---卜|加.

［思路點(diǎn)撥］根據(jù)展開(kāi)式的特點(diǎn)，對(duì)X合理賦值，將系數(shù)分離出來(lái)，通過(guò)式子的運(yùn)算求解.

［精解詳析］令X=l,則〃o+〃l+42H-----b〃7=—1①

令X=-1,貝U〃0—〃1+〃2+…一。7=3’②

(1)令％=0,則。0=1,.\ai+a2~\----F〃7=-2.

(2)(①一②)：2,

/—1—37

得“1+43+45+47=2=-1094.

(3)(①+②^2,

/1］+37

得〃0+〃2+〃4+〃6=2=］093.

(4)|〃o|++㈤T---卜囪

=〃0—。1+〃2—6+…一〃7

=37=2187.

［一點(diǎn)通］

(1)“賦值法”是求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題常用的方法，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或

幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況.

(2)一般地，二項(xiàng)式展開(kāi)式犬助的各項(xiàng)系數(shù)和為五1),奇次項(xiàng)系數(shù)和為3★1)—八-1)］,偶次項(xiàng)系數(shù)和為:

貝)+DL

小〃做集鈍〃^

5

1.設(shè)(2x—1)6=〃/+Q5XH----b〃ix+〃o，則|〃o|+|〃i|+|a2|H----H〃6|=.

解析：-/7>+i=CR2x)6r(-iy=(—1)。6飛紅6丁，

???小=(一1)嗟一一禺.

工|的I+1+|。2|4----卜|%|

=。0—。1+。2—〃3+〃4—Q5+〃6=［2X(—1)-1］6=36.

答案：36

2.二項(xiàng)式(%2—y的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為.

解析：依題意得，該二項(xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為

答案：0

3.已知(2%—

(1)求〃o+〃i+〃2H---H%;

(2)求|〃o|+|+㈤H----H㈤；

(3)求為+的+的.

角翠：(1)令X=l,貝I〃0+41+〃2+的+a4+45=1.①

(2)令x=-1,則一的+QI一念+俏—〃4+〃5=-243.(2)

:|〃o|+1a1|+㈤+|詞+㈤+1〃5|

=〃0—〃1+。2-的+。4—。5

=—（—〃o+〃l—奧+的一。4+。5）,

二?|僅）|++㈤+|的|+㈤+1恁|=243.

121.

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

[例2]（1

+2x)"的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).

［思路點(diǎn)撥］求(。+法)"的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，通常用待定系數(shù)法，即先設(shè)展開(kāi)式中的系數(shù)分別為

(Ar+l^Ar,

Ai,AT.,???,A?+i,再設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，由不等式組"j?確定，的值.

出+1與Ar+2,

［精解詳析］公=G(2X)5,T7=C￡(2X)6,依題意有

C^25=d26?n=8.

...(1+2x)8的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為

石=C?(2x)4=l120x4.

設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有

C”?2廠1,

解得5WrW6.

C8?2，》C時(shí)?2r+i

r—5或r—6.

，系數(shù)最大的項(xiàng)為介=17922,77=1792x6.

10/15

［一點(diǎn)通］

(1)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，但這并不意味著等號(hào)兩邊的個(gè)數(shù)相同.當(dāng)n

為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)多一個(gè)；當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)個(gè)數(shù)

相同.

(2)系數(shù)最大的項(xiàng)不一定是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，只有當(dāng)二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)相等時(shí)，二者才一致.

(3)求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般

采用列不等式(組)，解不等式(組)的方法求得.

/////^.a<^/////

4.已知(a+b)”的二項(xiàng)展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則”=.

解析：：(a+b)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，二項(xiàng)展開(kāi)式共有9項(xiàng)，即〃+1=9,

n=8.

答案：8

5.在二項(xiàng)式Q6+U的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為3,且A+B=72,則

展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為.

解析：令x=1,得各項(xiàng)系數(shù)的和為4”,

而各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2〃，

根據(jù)已知，得方程4〃+2〃=72,解得〃=3.

所以二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)7；+1=0(5)匕)=3(西一.，顯然當(dāng)廠=1時(shí)，4+1是常數(shù)項(xiàng)，值為3Cj=

9.

答案:9

6.在(x=+3f)5的展開(kāi)式中,求：

(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)最大的項(xiàng).

解：(1)：〃=5,展開(kāi)式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3、4兩項(xiàng)，

2222

6T

r?=Cg(/)3(3x2)2=90x,I4=Cg(/)2(3/)3=270X.

(2)設(shè)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，

25—r10+4r

則4+i=C《j)(3/)「=39笈=,

J3-C會(huì)3L廿，.7￡，—

,?1303,+1最+1,,?殍"

226

即展開(kāi)式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T5=0(4)(3/尸=405/.

利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題

［例3］求

證:2"+2-3"+5〃—4(〃dN*)能被25整除.

［思路點(diǎn)撥］將2k2?3'+5w—4=46+5w—4轉(zhuǎn)化為25的倍數(shù)即可證明.

［精解詳析］原式=4-6"+5〃一4

=4-(5+1)"+5〃一4

=4(秘?5"+C1??5"-2H------^0)+5〃-4=4(€：八5"+C!?5"rH------FC；f2??51)

+4C2+5w—4

=4(C9?5"+C1?5n-14------HC；r2?52)+20n+4+5n-4

=4(C9?5"+C!?------1-er2?52)+25”.

以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍，故2?2?3"+5〃-4能被25整除.

［一點(diǎn)通］利用二項(xiàng)式定理證明或判斷整除問(wèn)題，一般要進(jìn)行合理變形，常用的變形方法就是拆數(shù)，

往往是將賽底數(shù)寫(xiě)成兩數(shù)的和，并且其中一個(gè)數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，這樣能保證被除式展開(kāi)后的大部分項(xiàng)含有

除式的因式，進(jìn)而可判斷或證明被除數(shù)能否被除數(shù)整除，若不能整除則可求出余數(shù).

題做桑利小〃

7.求證：5151—1能被7整除.

證明：5151—1=(49+2產(chǎn)-1

=C§i?4951+Ch?4950?2+…+C「?49?250+dl?251-1.

易知除C燈?251—1以外各項(xiàng)都能被7整除.

又251-1=(23)17—1=(7+1)"—1

17

=C?77+C!7-716H——FCf>7+CB-l

=7-(C?7?716+Clt?74+…+C再).

顯然能被7整除，

所以5151-1能被7整除.

8.求證：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)“，33"-26〃-1可被676整除.

證明：當(dāng)〃=0時(shí)，原式=0,可被676整除.

當(dāng)”=1時(shí)，原式=0,也可被676整除.

當(dāng)心2時(shí)，

原式=27"—26/7-1=(26+1)”—26”一1

=(26"+Ci26,,-1H----FC-2?262+Q-1?26+1)—26〃-1

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=26"+Ci26"-1+???+C；f2?262.

每一項(xiàng)都含26?這個(gè)因數(shù)，故可被262=676整除.

綜上所述，對(duì)一切非負(fù)整數(shù)”33,!-26H-1可被676整除.

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

1.用賦值法求多項(xiàng)式系數(shù)和

求展開(kāi)式中的系數(shù)或展開(kāi)式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開(kāi)

式系數(shù)和特征來(lái)確定.一般對(duì)字母賦的值為1或一1,但在解決具體問(wèn)題時(shí)要靈活掌握.

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，”為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，”為

偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

\Tr+i^Tr,

(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)的問(wèn)題，可設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)。+i最大，則滿足不等式、由

7Tr+2,

不等式組解出r的值.

3.余數(shù)及整除問(wèn)題

(1)求余數(shù)問(wèn)題

求余數(shù)的關(guān)鍵是將原數(shù)進(jìn)行合理、科學(xué)的拆分，然后借助二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行分析.若最后一項(xiàng)是一個(gè)小

于除數(shù)的正數(shù)，則該數(shù)就是所求的余數(shù)；若是負(fù)數(shù)，則還要進(jìn)行簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算產(chǎn)生.

(2)整除問(wèn)題

整除問(wèn)題實(shí)際上就是求余數(shù)是否為零，因此求解整除問(wèn)題可以借助于求余數(shù)問(wèn)題展開(kāi)思路.

訓(xùn)

練

欄目功能

提

能

提速提能，讓學(xué)生趁熱打鐵消化所學(xué),

區(qū)既練速度又練準(zhǔn)度，步步為營(yíng)步步贏

分層練習(xí)

課下能力提升(九)

一、填空題

1.已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則第四項(xiàng)為

解析：由題設(shè)，得C9+；XCK=2XTXG,

即〃2-9W+8=0,解得〃=8或”=1(不合題意，舍去),

則0+；)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

0+1=(2鼠8-，(￡),

令廠+1=4,得廠=3,

則第四項(xiàng)為〃=c舐5自=伍

答案：1X5

2.若卜市一卡J的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.

解析：令x=l,2"=64?九=6.

6~r

由4+1=C€?36r.x~(-iy.X-；

=(-l)'Cg36rx3丁，令3一廠=0?廠=3.

所以常數(shù)項(xiàng)為一C?33=