全等三角形第11講學

第十一講三角形全等(二)

在上一講中，我們已經講授了三角形全等的基本知識。今天我們著重結合以下幾類問題對三角形進行

深入研究：角平分線、等邊三角形、等腰三角形、直角三角形。

同學們在這一講中要注意吸收兩個經驗：一是已知條件(角平分線、等角、等邊、等腰、直角'

等腰直角)是如何與全等結合在一起運用的，總結相應的輔助線畫法；二是題目所需要證明

的結論(邊的相等、一邊等于另外兩邊的和、角度相等)是如何得出的。

一、例題

第一部分：角平分線

例1.(★)如圖所示,AD平行于BC,ZDAE=ZEAB，NABE=NEBC,AD=4,BC=2,那么AB=,

例2.(★★★)AABC中，ZC=2ZB,Z1=Z2,求證：AB=AC+CD.

第二部分：等邊、等腰、中點

例3.(★★)如圖所示，C在線段AB上，在AB的同側作等邊三角形AACM和ABCN,連接AN,BM,

若NMBN=38°,則求NANB.

例4.(★★★)正三角形ABC中，P為AB中點，Q為AC中點，R為BC中點，M為RC上任一點，AMSP

為正三角形，求證RM=QS

例5.(★★★★)點M,N在等邊三角形ABC的AB邊上運動，BD=DC,ZBDC=120°,ZMDN=60°,求

證MN=MB+NC。

例6.(★★★★)已知△ABC,ZB=ZC,D,E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD=CE,連接DE

交底BC于G,求證GD=GE.

例7.(★★★★)已知AABC中，AB=AC,BD為AB的延長線，且BD=AB,CE為AABC的AB邊上的中線。

求證CD=2CE

A

例8.(★★★★)如圖所示，AABC是邊長為1的正三角形，ABDC是頂角為120度的等腰三角形，以

D為頂點作一個60度的NMDN,點M,N分別在AB,AC±,則AAMN的周長是多少？

第三部分：直角三角形

例9.(★★★)如圖所示，在AABC中，ZBAC=90°,ADLBC于D,ZBCA的角平分線交AD與

F,交AB于E,FG平行于BC交AB于GAE=4,AB=14,貝BG=.

例10.(★★★)如圖所示，已知在等腰直角三角形ABC中，/BAC是直角，D是AC上一點,

AE±BD,AE的延長線交BC于E若NADB=NFDC,求證：D是AC的中點。

例11.(★★★)^ABC中，D是BC的中點，DE1DF,試判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的的

結論。

例12.(★★★★)如圖所示，在AABC中，AD是BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊

上，并且NMDN=90°。已知BM2+CN2=DM2+DN2,求證：AD2=^-(AB2+AC2)0

二、練習題

1.(★)已知兩線段AC和BD互相平行且相等，AB、CD交于0,過0作一線EF分別交AC于E,交BD于F,

求證：0E=0F

2.(★★)如圖所示，AD是AABC的角平分線，DE、DF分別是AABD和AACD的高，ZDEF=20°,

則NBAC等于.

3.(★★★)已知aABC為等邊三角形，延長BC于D,延長BA到E,使AE=BD,連接CE,DE,求證CE=DE

4.(★★★)已知4ABC中，AB=AC,GE過A且GE〃BC,ZB的平分線與AC和GE分別交于D,E,ZC的

平分線與AB和GE分別交于F,Go求證DE=FG.

5.(★★★)如圖所示，在Rt三角形AB