定比、定差與等差、等比數(shù)列的計(jì)算與應(yīng)用

定比、定差與等差、等比數(shù)列的計(jì)算與應(yīng)用定比、定差與等差、等比數(shù)列的計(jì)算與應(yīng)用一、定比與等比數(shù)列1.定比數(shù)列：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比相等，這個(gè)比值叫做這個(gè)數(shù)列的公比。2.等比數(shù)列：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比相等，這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則第n項(xiàng)an=a1*q^(n-1)。4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則前n項(xiàng)和Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。5.等比數(shù)列的求項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，求第n項(xiàng)an的值。二、定差與等差數(shù)列1.定差數(shù)列：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差相等，這個(gè)差值叫做這個(gè)數(shù)列的公差。2.等差數(shù)列：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差相等，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列。3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則第n項(xiàng)an=a1+(n-1)*d。4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則前n項(xiàng)和Sn=(a1+an)*n/2，其中an為第n項(xiàng)的值。5.等差數(shù)列的求項(xiàng)公式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，求第n項(xiàng)an的值。三、定比與等比數(shù)列的應(yīng)用1.投資理財(cái)：已知本金、利率和時(shí)間，求本金的利息。2.人口增長(zhǎng)：已知初始人口、增長(zhǎng)率和時(shí)間，求未來(lái)某一時(shí)刻的人口數(shù)量。3.放射性衰變：已知初始放射性物質(zhì)的活度、衰變常數(shù)和時(shí)間，求剩余活度。四、定差與等差數(shù)列的應(yīng)用1.平均速度：已知物體在某段時(shí)間內(nèi)的位移和時(shí)間，求平均速度。2.平均分：已知一組數(shù)據(jù)的和與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，求平均分。3.線性規(guī)劃：已知線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，求最優(yōu)解。五、綜合應(yīng)用1.已知一個(gè)等比數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1,2,4,8,16，求這個(gè)數(shù)列的公比和首項(xiàng)。2.已知一個(gè)等差數(shù)列的前6項(xiàng)分別為3,7,11,15,19,23，求這個(gè)數(shù)列的公差和首項(xiàng)。3.已知一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為3，求第8項(xiàng)的值。4.已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為5，公差為2，求第10項(xiàng)的值。以上是關(guān)于定比、定差與等差、等比數(shù)列的計(jì)算與應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)。希望對(duì)您的學(xué)習(xí)有所幫助。習(xí)題及方法：一、等比數(shù)列習(xí)題1：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為3，求第8項(xiàng)的值。答案：第8項(xiàng)的值為2*3^(8-1)=2*3^7=2*2187=4374。解題思路：直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)計(jì)算第8項(xiàng)的值。習(xí)題2：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，求前6項(xiàng)的和。答案：前6項(xiàng)的和為1*(1-2^6)/(1-2)=1*(1-64)/(-1)=63。解題思路：直接利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)計(jì)算前6項(xiàng)的和。二、等差數(shù)列習(xí)題3：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為5，公差為2，求第10項(xiàng)的值。答案：第10項(xiàng)的值為5+(10-1)*2=5+18=23。解題思路：直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)*d計(jì)算第10項(xiàng)的值。習(xí)題4：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為5，求前5項(xiàng)的和。答案：前5項(xiàng)的和為(3+(3+4*5))*5/2=(3+23)*5/2=26*5/2=65。解題思路：直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=(a1+an)*n/2計(jì)算前5項(xiàng)的和。三、綜合應(yīng)用習(xí)題5：已知一個(gè)等比數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1,2,4,8,16，求這個(gè)數(shù)列的公比和首項(xiàng)。答案：公比為2，首項(xiàng)為1。解題思路：觀察數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍，因此公比為2，首項(xiàng)為1。習(xí)題6：已知一個(gè)等差數(shù)列的前6項(xiàng)分別為3,7,11,15,19,23，求這個(gè)數(shù)列的公差和首項(xiàng)。答案：公差為4，首項(xiàng)為3。解題思路：觀察數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大4，因此公差為4，首項(xiàng)為3。習(xí)題7：已知一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為3，求第10項(xiàng)的值。答案：第10項(xiàng)的值為2*3^(10-1)=2*3^9=2*19683=39366。解題思路：直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)計(jì)算第10項(xiàng)的值。習(xí)題8：已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為5，公差為2，求前8項(xiàng)的和。答案：前8項(xiàng)的和為(5+(5+7*2))*8/2=(5+19)*8/2=24*4=96。解題思路：直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=(a1+an)*n/2計(jì)算前8項(xiàng)的和。其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：一、數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用習(xí)題9：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，求第n項(xiàng)an的值。答案：第n項(xiàng)an的值為an=Sn-Sn-1=(n/2)*(2a1+(n-1)d)-[(n-1)/2]*(2a1+(n-2)d)=d*(2n-1)。解題思路：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及遞推關(guān)系求解。習(xí)題10：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，求第n項(xiàng)an的值。答案：第n項(xiàng)an的值為an=Sn-Sn-1=a1*(q^n-q^(n-1))/(q-1)。解題思路：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及遞推關(guān)系求解。二、數(shù)列的極限與級(jí)數(shù)習(xí)題11：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求lim(n→∞)(a1+a2+...+an)/n。答案：lim(n→∞)(a1+a2+...+an)/n=lim(n→∞)(n/2)*(2a1+(n-1)d)/n=a1。解題思路：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及極限的性質(zhì)求解。習(xí)題12：已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求lim(n→∞)(a1*q^0+a1*q^1+...+a1*q^n)/(1+q+...+q^(n-1))。答案：lim(n→∞)(a1*q^0+a1*q^1+...+a1*q^n)/(1+q+...+q^(n-1))=a1/(1-q)。解題思路：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及極限的性質(zhì)求解。三、數(shù)列的分類與結(jié)構(gòu)習(xí)題13：已知數(shù)列{an}為斐波那契數(shù)列，求第10項(xiàng)的值。答案：第10項(xiàng)的值為55。解題思路：斐波那契數(shù)列的定義為a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n>2)，直接利用遞推關(guān)系求解。習(xí)題14：已知數(shù)列{an}為素?cái)?shù)數(shù)列，求前10項(xiàng)的和。答案：前10項(xiàng)的和為1+2+3+5+7+11+13+17+19+23=129。解題思路：素?cái)?shù)數(shù)列即為正整數(shù)中除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)，直接列出前10項(xiàng)求和。四、數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用習(xí)題15：某商品打折后的價(jià)格為原價(jià)的7折，若購(gòu)買數(shù)量超過(guò)5件，則每件商品額外打8折，求購(gòu)買10件商品的總費(fèi)用。答案：購(gòu)買10件商品的總費(fèi)用為原價(jià)*7折+(10-5)件*8折=7*原價(jià)+5*原價(jià)*0.8=11.4*原價(jià)。解題思路：利用數(shù)列的求和公式及實(shí)際問(wèn)題的條件求解。習(xí)題16：某投資者進(jìn)行股票投資，第一年投入資金為10000元，每年末按固定比例增長(zhǎng)，求第5年末的投資總額。答案：第5年末的投資總額為10000*(1+增