高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)歸納

難點(diǎn)1集合思想及應(yīng)用

集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，為歷年必考內(nèi)容之一,主要考查對(duì)集合基本概念的認(rèn)識(shí)和理解,

以及作為工具，考查集合語(yǔ)言和集合思想的運(yùn)用.本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不

斷加深對(duì)集合概念、集合語(yǔ)言、集合思想的理解與應(yīng)用.

?難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx—y+2=0},B={(x,y)|x—y+l=O,且0WxW2},如果AAB

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

?案例探究

［例1］設(shè)A={(x,y)|y2—x—l=0},B={(x,y)|4x2+2x—2y+5=0},C={(x,y)|尸kx+b},是否存在k、

bGN,使得(AUB)nC=0,證明此結(jié)論.

命題意圖：木題主要考查考生對(duì)集合及其符號(hào)的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號(hào)上分辨出所

考查的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而解決問(wèn)題.屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(AUB)nc=0轉(zhuǎn)化為ACC=0且Bnc=0,這樣

難度就降低了.

錯(cuò)解分析：此題難點(diǎn)在于考生對(duì)符號(hào)的不理解，對(duì)題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，

因而可能感覺(jué)無(wú)從下手.

技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對(duì)根的情況進(jìn)行限制,

可得到b、k的范圍，又因b、kGN,進(jìn)而可得值.

解：v(AUB)nc=0,，AAC=0且BCC=0

y2=x+］

<

V［y=kx+bk2x2+(2bk-1)x+b2-1=0

VAnc=0

/.A1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0

...4k2-4bk+l<0,此不等式有解，其充要條件是16b2—16>0,即b2>l①

4%2+2x-2歹+5=0

<

..［y=kx+b

：.4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0

：BnC=0,二A2=(1-k)2-4(5-2b)<0

，k2-2k+8b—19<0,從而8b<20,即b<2.5②

由①②及bWN,得b=2代入由△l<0和△2<0組成的不等式組，得

4k2-8%+l<0,

k2-2k-3<0

k=l,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(AUB)AC=0.

［例2］向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如卜結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五

分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都

不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問(wèn)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都

不贊成的學(xué)生各有多少人？

命題意圖：在集合問(wèn)題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切

實(shí)掌握.本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.屬★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來(lái).

錯(cuò)解分析：木題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索.

技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.

3

解：贊成A的人數(shù)為50xM=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33,如上圖，記50名學(xué)生組成的

集合為U,贊成事件A的學(xué)生全體為集合A：贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.

x

設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為3+1,贊成A而不

贊成B的人數(shù)為30—x,贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x.

x

依題意(30—x)+(33—x)+x+(3+1)=50,解得x=21.

所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.

?錦囊妙計(jì)

1.解答集合問(wèn)題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述

法給出的集合{x|xCP},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)

揮圖示法的作用，通過(guò)數(shù)形結(jié)合直觀地解決問(wèn)題.

2.注意空集0的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如

AUB,則有A=0或A#0兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

kx7tk7l71

------1------------1-----

1.(★★★★)集合M={x|x=24,keZ},N={x|x=22,keZ},KiJ()

A.M=NB.M^NC.MSND.MnN=0

2.(★★★★)已知集合A={x|-2WxW7},B={x|m+lvx〈2m—1}且BW°,若AUB=A,則

)

A.-3WmW4B.-3<m<4

C.2<m<4D.2〈mW4

二、填空題

3.(*'^^書已知集合人="￡昨乂2—3乂+2=0#￡1<},若人中元素至多有1個(gè)，則a的取值范

圍是.

^_y_

4.(★★★★)x、y￡R,A={(x,y)|x2+y2=l},B={(x,y)|ab=l,a>0,b>0},當(dāng)AAB只有一個(gè)元素

時(shí)，a,b的關(guān)系式是.

三、解答題

5.(★★★★★)集合A={x|x2—ax+a2_19=0},B={x|log2(x2—5x+8)=1},C={x|x2+2x—8=0},

求當(dāng)a取什么實(shí)數(shù)時(shí)，AAB矣°和ACC=0同時(shí)成立.

6.(*****)已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0,al和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記

&1

作Sn,設(shè)集合A={(an,〃)|nGN*},B={(x,y)|4x2—y2=l,x,yGR}.

試問(wèn)下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明：如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；

(2)ACB至多有-一個(gè)元素：

(3)當(dāng)alWO時(shí)，一定有ACB#0.

2

7.(★★★★)已知集合A={z||z—2|W2,z6C},集合B={w|w=2zi+b,beR},當(dāng)AAB=B時(shí)，求b

的值.

8.(****)設(shè)f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)J=x}.

(1)求證：A-B;

⑵如果A={-1,3},求B.

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

x2+n?x-y-^-2=0

<

解：由1"一'+1=°(°<"&2)得x2+(m-l)x+l=0①

VAAB^0

；?方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

首先，由A=(m—1)2—420,得m23或mW—1,當(dāng)m，3時(shí)，由xl+x2=—(m—1)<0及

xlx2=l>0知，方程①只有負(fù)根，不符合要求.

當(dāng)mW—1時(shí)，由xl+x2=—(m—1)>0及xlx2=l>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間

(0,1］內(nèi)，從而方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間［0,2］內(nèi).

故所求m的取值范圍是mW—1.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

兀

一、1.解析:對(duì)M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(nZ),M={x|x=n兀+4,n￡Z}U{x|x=

3萬(wàn)71

nn+4,n￡Z},對(duì)N將k分成四類，k=4n或k=4n+l,k=4n+2,k=4n+3(n￡Z),N={x|x=nT+2,n

3〃5萬(wàn)

4

ezju(x|x=nn+4,neZ}U{x|x=nn+n,neZ}U{x|x=nn+,neZ}.

答案：C

2.解析：VAUB=A,.,衛(wèi)^兒又8#0,

w+1>-2

<2m-1<7

：.即2VmW4.

答案：D

9

二、3.a=0或8

xy疝

4.解析：由ACB只有1個(gè)交點(diǎn)知，圓x2+y2=l與直線。石=1相切，則1=〃,+〃,即

ab=da2+M

答案：ab=J/+'

三、5.解：log2(x2-5x+8尸1,由此得x2-5x+8=2,；.B={2,3}.由x2+2x—8=0,：.C={2,~4},

又AAC=0,；.2和一4都不是關(guān)于x的方程x2—ax+a2—19=0的解，而ACB￥0,即A

nBW0,

/.3是關(guān)于x的方程x2—ax+a2-19=0的解，：.可得a=5或a=-2.

當(dāng)a=5時(shí)，得人={2,3},.,.AnC={2},這與ACC=0不符合，所以a=5(舍去)；當(dāng)a=-2

時(shí)，可以求得人={3,-5},符合AAC=0,AAB,；.a=-2.

“3+%)&=J_0

6.解：(1)正確.在等差數(shù)列{an}中，Sn=2，則n5(al+an),這表明點(diǎn)(an,〃)的坐

=1叟11

標(biāo)適合方程y2(x+al),于是點(diǎn)(an,n)均在直線y=2x+2al上.

11

y=—x+—a1x

<22

122i

—x-y=1

(2)正確.設(shè)(x,y)WACB,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組14的解，由方程組消去

y得:2alx+al2=-4(*),當(dāng)al=0時(shí),方程(*)無(wú)解,此時(shí)AAB=0；當(dāng)alWO時(shí)，方程(*)

只有一個(gè)解x=2al，此時(shí)，方程組也只有一解14%，故上述方程組至多有一解.

AAB至多有一個(gè)元素.

(3)不正確.取al=l,d=l,對(duì)一切的x￡N*,有an=al+(n—l)d=n>0,〃>0,這時(shí)集合A中的元

素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于al=1^0.如果ACBW0,那么據(jù)(2)的

2

-4-q1=_2卬+/「3

結(jié)論，ACB中至多有一個(gè)元素(xO,yO),而x0=2a'5<0,y0=22<0,這樣

的(xO,yO)任A,產(chǎn)生矛盾，故al=l,d=l時(shí)ACB=0,所以alW0時(shí)，一定有AClBW。是不

正確的.

12w-2h

7.解：由w=2zi+b得z=i,

2w-2b

???z￡A,???|z—2|W2,代入得|i-2|W2,化簡(jiǎn)得|w—(b+i)|WL

???集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是兩個(gè)圓面，集合A表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，半

徑為2的圓面，集合B表示以點(diǎn)(b,l)為圓心，半徑為1的圓面.

又AAB=B,即B=A,...兩圓內(nèi)含.

因此一2>+(1-0)2.—1,即(b—2)2這0,；.b=2.

8.(1)證明：設(shè)x0是集合A中的任一元素,即有xOGA.

*.*A={x|x=f(x)},/.xO=f(xO).

即有f[f(xO)]=RxO)=xO,???xO￡B，故A^B.

⑵證明：VA={-1,3}={x|x2+px+q=x},

???方程x2+(p—l)x+q=0有兩根一1和3,應(yīng)用韋達(dá)定理，得

—1+3=—(/7—1),/?=—1

,n

(-1)x3=q=-3

f(x)=x2-x—3.

于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x，也即(x2—x—3)2—(x2—x—3)—3=x(*)的根.

將方程(*)變形，得(x2—x-3)2-x2=0

解得x=l,3,百,一百.

故B={一6，-1,6，3}.

難點(diǎn)2充要條件的判定

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來(lái)區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q

之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過(guò)不同的知識(shí)點(diǎn)來(lái)剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定

給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.

?難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a、B,證明：|a[<2

且|B|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.

?案例探究

x-1

[例1]已知p：|1-3|W2,q:x2—2x+l—m2W0(m>0),若Lp是Lq的必要而不充分條件，

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分

必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性.

知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充

要條件的難理解變得簡(jiǎn)單明了.

錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)

生本身存在著語(yǔ)言理解上的困難.

技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去

解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問(wèn)題解決.

解：由題意知：

命題：若-p是Lq的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：P是q的充分不必要條件.

x-1x-1x-1

p:|l-3|W2n-2W3-gn-lW3W3n-2WxW10

q:x2—2x+l—m2W0=[x—(1—m)][x—(1+m)]WO*

??>是q的充分不必要條件，

x-1

.?.不等式|1-3]W2的解集是x2—2x+l—m2W0(m>0)解集的子集.

又丁m>0

.?,不等式*的解集為1—mWxWl+m

1-w<-2｛m>1

?1+w>10[m>9.m>9

，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9,+8).

[例2]12知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p卉O,pWl),求數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列的充要條件.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

知識(shí)依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的

遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定.

錯(cuò)解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分

性的證明.

加〃=1)

技巧與方法：由an=1S”-2)關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時(shí)要注意充分

性的證明.

解：al=Sl=p+q.

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn—Sn—1=pn—1(p—1)

?；pW0,pWl,...p'i(p_l)=p

a2_an+\

若｛an｝為等比數(shù)列，則%a"=p

-5-1)

p+q=P,

?.?p#0,/.p—l=p+q,/.q=—1

這是｛an｝為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=-1是｛an｝為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)q=-1時(shí)，「?Sn=pn—l(pW0,pWl),al=Sl=p—1

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn—Sn-l=pn—pn-l=pn—l(p—1)

an=(p—l)pn—1(pW0,pW1)

%Jp-l)p"T

%(pT)P"2=p為常數(shù)

/.q=-l時(shí)，數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列.即數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列的充要條件為q=T.

?錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題及解決方法主要有：

⑴要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作p=q,

稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判

斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)要熟悉它的各種同義詞語(yǔ)：“等價(jià)于”，“當(dāng)

且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，”……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判

斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看，若A〈B,則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若人=8,則A、

B互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題

成立(即條件的必要性).

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是()

A.ab=OB.a+b=OC.a=bD.a2+b2=0

2.(★★★★)"a=l"是函數(shù)y=cos2ax-sin2ax的最小正周期為"n"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既非充分條件也不是必要條件

二、填空題

3.(^^^^)a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a—l)y=a—7平行且不重合的.

4.(★★★★)命題A：兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點(diǎn)P(x0,y0卜命題B：曲線F(x,y)+X

G(x,y)=0(X為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),則A是B的條件.

三、解答題

5.(★★★★★》設(shè)a,B是方程x2—ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，試分析a>2且b>l是兩根a、f3

均大于1的什么條件？

%+2al4------1-nan

6.(*****)已知數(shù)列｛an｝、｛bn｝滿足：bn=1+2+3+…+〃，求證:數(shù)列｛an｝成等差數(shù)

列的充要條件是數(shù)列｛bn｝也是等差數(shù)列.

7.(*'****)已知拋物線C：y=-x2+mx—l和點(diǎn)A(3,0),B(0,3),求拋物線C與線段

AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件.

8.(*****)p：-2Vm<0,0<nvl;q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=O有2個(gè)小于1的正根，試分析

p是q的什么條件.(充要條件)

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

證明:(1)充分性:由韋達(dá)定理,得|b|=|a?0|=|a|?|0|<2X2=4.

設(shè)f(x尸x2+ax+b,貝IJf(x)的圖象是開口向上的拋物線.

又|a|<2,|B|<2,，f(±2)>0.

4+2。+6>0一

一…"2a+6>04+b>2a>-(4+b)

又|b|<4=r4+b>0=2|a|<4+b

(2)必要性:

由21al<4+t)nf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

.,?方程f(x)=O的兩根a,B同在(一2,2)內(nèi)或無(wú)實(shí)根.

,/a,6是方程f(x)=O的實(shí)根，

，a,B同在(一2,2)內(nèi)，即|a|V2且|B|V2.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

—>1.解析:若a2+b2=0,即a=b=O,此時(shí)f(-x)=(-x)|x+O|+O=-x*|x|=-(x|x+O|+b)

=-(x|x+a|+b)=-f(x).

...a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，S|Jf(-x)=

(一x)|(—x)+a|+b=-f(x),貝lj必有a=b=O,即a2+b2=0.

.1.a2+b2=0是Hx)為奇函數(shù)的必要條件.

答案：D

2.解析：若a=l,則y=cos2x—sin2x=cos2x,此時(shí)y的最小正周期為“.故a=l是充分條件，反過(guò)

來(lái)，山y(tǒng)=cos2ax-sin2ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為n,則a=±1,故a=l不是必要條件

答案：A

二、3.解析：當(dāng)a=3時(shí),直線ll:3x+2y+9=0;直線12:3x+2y+4=0.V11與12的Al:A2=B1：

B2=l：1,而Cl：C2=9：4#1,即Cl4c2,；.a=3Oll〃12.

答案：充要條件

4解析:若P(xO,yO)是F(x,y)=O和G(x,y)=O的交點(diǎn)，則F(xO,yO)+XG(xO,yO)=O,即F(x,y)+

入G(x,y)=O,過(guò)P(xO,yO);反之不成立.

答案：充分不必要

(a>2>1

三、5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得2=<1+66<1判定的條件是p：H>l結(jié)論是q:"〉」注意p

中a、b滿足的前提是△=a2-4b20)

[a>1

(1)由[尸>1,得a=Q+B>2,b=aBp

(2)為證明，可以舉出反例：取Q=4,B=2,它滿足a=a+B=4+2>2,b=ap=4X2=2>1,

但q不成立.

綜上討論可知a>2,b>l是Q>1,B>1的必要但不充分條件.

6.證明：①必要性：

設(shè)｛an｝成等差數(shù)列，公差為d「??｛an｝成等差數(shù)列.

/_Q]+2。2+…+_Q](l+2+…+%)+譏1.2+2.3+…+_+(])2“

1+2+3d---Fn1+〃H---F/713

222

從而bn+l—bn=al+n?d—al—(n—1)3d=3d為常數(shù).

2

故｛bn｝是等差數(shù)列，公差為§d.

②充分性：

設(shè)｛bn｝是等差數(shù)列，公差為d‘，則bn=(n—1)*

*.*bn(1+2H--Hi尸al+2a2+…+nan①

bn—1(1+2+…+n—1尸al+2a2+…+(n—l)an②

〃(〃+1)6/7(/7-l)

①一②得：nan=22bn—1

〃+l>n~\.77+1_..八...n-\,/_..八3〃

-^~bn--—b-i=^-[b+(〃-l)d]--—r[A,+(?-2)c/]=/?!+｛n-\)--d

：.an=22n2122，從而

3

得an+1—an=5d'為常數(shù)，故｛an｝是等差數(shù)列.

綜上所述，數(shù)列｛an｝成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列｛bn｝也是等差數(shù)列.

7.解：①必要性：

由已知得，線段AB的方程為y=-x+3(0WxW3)

由于拋物線C和線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

y=-x+mx-\

<

所以方程組U=-X+3(04X43)*有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

消元得：x2—(m+l)x+4=0(0WxW3)

設(shè)尸x2—(m+l)x+4,則有

A=(w+1)2-4x4>0

/(0)=4>0

，/(3)=9-3(w+l)+4>0^3<w<y

八W+1c

0<----<3

2

②充分性：

10

當(dāng)3VxW3時(shí)，

772+1-+1)2]6〉+1-J(—+l)2

Xl=22>0

八

膽+1-4,_加__+__1_）_2__-_1_6,130+,1+?（.丁10+1）276,

X^i一3-3

222

方程x2-（m+l）x+4=0有兩個(gè)不等的實(shí)根xl,x2,且0<xl<x2W3,方程組*有兩組不同的實(shí)

數(shù)解.

10

因此，拋物線y=-x2+mx—l和線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件3<m<3.

8.解:若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根，設(shè)為xl,x2.

則0<xl〈l,0<x2<l,有0<xl+x2V2且0Vxlx2Vl,

卜I+X2=-〃?得Jo<一利<2

根據(jù)韋達(dá)定理：1*2=〃［0<“<1

有一2cmV0;0Vn<l即有q=p.

1111cA1,1

-,M=—,x2——x+—=0,A=——4x—

反之，取m=-323292<0

方程x2+mx+n=0無(wú)實(shí)根，所以｛Sbq

綜上所述，p是q的必要不充分條件.

難點(diǎn)3運(yùn)用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一,近幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)

這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān)問(wèn)題.

?難點(diǎn)磁場(chǎng)

（★★★★★）三角形ABC中，A（5,一1）、B（-l,7）、C（l,2）,求：（1）BC邊上的中線

AM的長(zhǎng)；（2）/CAB的平分線AD的長(zhǎng)；（3）cosABC的值.

?案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面

ABCD是菱形，KZC1CB=ZC1CD=ZBCD.

⑴求證：C1C1BD.

CD

⑵當(dāng)CG的值為多少時(shí)，能使A1C_L平面C1BD?請(qǐng)給出證明.

命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問(wèn)題以及對(duì)立體幾何圖形的

解讀能力.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來(lái)論證立體幾何中的垂直問(wèn)題，這就使幾何問(wèn)題代數(shù)

化，使繁瑣的論證變得簡(jiǎn)單.

錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要

清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.

技巧與方法：利用a_Lb=a?b=0來(lái)證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積

為零即可.

⑴證明：設(shè)C0=a,C8=b,0G=（；,依題意，|a|=|b|,CD、CB、CC'中兩兩所成夾角為0,

于是BD=CD—DB=a—b,'^^=c(a—b)=c,a—c,b=|c|?|a|cos0—|c|,|b|cos0=0,/.

C1C±BD.

(2)解：若使A1CL平面C1BD,只須證A1C_LBD,A1C1DC1,

山互.而=0+田?(瓦-西)

=(a+b+c),(a-c)=|a|2+a?b—b?c—|c|2=|a|2—|c|2+|b|,|a|cos0—|b|,|c|?cos0=0,得

當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C1DC1,同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C1BD,

CD

：.CC>=1時(shí)，A1C_L平面C1BD.

[例2]如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1,底面4ABC中，

CA=CB=1,ZBCA=90°,AA1=2,M、N分別是A1B1、A1AP

的中點(diǎn).；

⑴求麗的長(zhǎng)；卜7^

_______

(2)求cos<84，C8]>的值；"

(3)求證：A1B1C1M.

命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題.屬

★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O—xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求

出向量的坐標(biāo).

錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).

技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向

來(lái)找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

依題意得:B(0,1,0),N(l,0,1)

222

?麗|=7(1-0)+(0-1)+(1-0)=6

(2)解：依題意得:Al(l,0,2),C(0,0,0),Bl(0,1,2).

...84=(1,-1,2卜儂=(0,],2)

=IX0+(-1)X1+2X2=3

!BA,|="(iW+(0-1)2+(2-0)2=屈

|西|=J(0-0)2+(1—0)2+(2-0)2=6

3_V30

cos<BA,CB>=

}]70r―而

(3)證明：依題意得：Cl(0,0,2),M(2,2，)

府=(g,g,O),布=(一1,1,-2)

^8-C\M=(-l)x-!-+lxl+(-2)xO=O,.-.^51QA/,

22

Z.A1B1C1M.

?錦囊妙計(jì)

1.解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，?要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行

向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和

密切結(jié)合的思想.

2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中.常用向量的直角坐

標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題:利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的

夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題.

3.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：

(1)要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向

量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對(duì)己經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★>設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),則四邊形

ABCD為()

A.正方形B.矩形

C.菱形D.平行四邊形

15

..--

4

2.(***"*")已知4ABC中，AB=a,AC=b>a.b<0,SAABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b

的夾角是()

A.30°B-150°C,15O0D.30°或150°

二、填空題

3.(*****)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x-5的圖

象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3,1),則向量a=.

4.(★★★★)等腰AABC和等腰RtaABD有公共的底邊AB,它們所在的平面成60°角，

若AB=16cm,AC=17cm,則CD=.

三、解答題A

5.(★★★★★)如圖，在4ABC中，設(shè)/8=a,10=b,4P=c,/1\

_力。=入a,(0v入vl),4_E=ub(0<u<1),試用向量a,b表示c.KM

6.(****)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為BFC

收a.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、Al、C1的坐標(biāo);

(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.

7.(★★★★★)已知兩點(diǎn)M(—l,0),N(l,0),且點(diǎn)p使成公差

小于零的等差數(shù)列.

(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

⑵若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tan0.

8.(*****)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中

點(diǎn).

⑴用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；

(2)用向量法證明：BD〃平面EFGH；

OM=-(04+OB+OC+OD)

(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O,有4.

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

_心已=

解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=2222

?.IAM|=J(5-0)2+(-l-1)2=誓.

(2)|AB\=J(5++(-1-7>=10,|AC\=7(5-l)2+(-l-2)2=5

D點(diǎn)分8C的比為2.

-1+2x117+2x211

AxD=1+21+2T

(5-；y+(-l-y)2

(3)NABC是以與BC的夾角，而84=(6,8),BC=(2,-5).

BABC6x2+(-8)x(-5)522629

/.cosABC

|^|-|BC|-762+(-8)2-722+(-5)2-10729145

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

.---,---.---

一、1.解析：4B=(1,2),DC=(i,2),：JB=DC,：.AB〃DC,又線段AB與線段

DC無(wú)公共點(diǎn)，，AB〃DC且|AB|=|DC|,；.ABCD是平行四邊形，又|“與=會(huì)，AC=(5,

3),|45=扃，.?.]布ABCD不是菱形，更不是正方形；又8c=(4,1),

1?4+2?1=6#0,...布不垂直于8c,；.ABCD也不是矩形，故選D.

答案：D

-1-5——1—1

2.解析：?;42?3?55抽。得311€1=2,貝|」(1=30°或Q=150°.

又??飛?1)<0,???。=150°.

答案：C

二、3.(2,0)4.13cm

三、5.解：：BP與BE共線，BP=mBE=m(力E—)=m(口b—a),

AP=AB+BP=a+m(ub—a)=(l—m)a+mub①

又CP與CD共線，.?.CP=nCD=n(AD—4C)=n(Xa—b),

4尸="C+CO=b+n(入a—b)=n入a+(l—n)b②

由①②，得(1—m)a+口mb=入na+(l—n)b.

Ji即.An+m-\=0

jLim二1一〃n+pm-1=0③

1-21-//1

---:~，n=----------------

解方程組③得：m=1-1-代入①式得c=(l—m)a+mub='-[X(1—pi)a+u

(1—人)b].

6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

6aa

由已知,得A(0,0,0),B(0,a,0),Al(0,0,&a),Cl(—2.

￡,V2—立

⑵取A1B1的中點(diǎn)M,于是有M(0,2'a),連AM,MCI,有“G=(-2a,0,0),

且/B=(o,a,0),“4=(o,oVIa)

由于MG?AB=(),MC\."4=0,所以MC1_L面ABB1A1,；.AC1與AM所成的角就

是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.

W“),而=(0,y,V2a),

--------a29

:.AC.-AM=0+—+2a2=-a

144

而|而|=+卜2+2/=73?,1AM|=

-7VZ40Vs

/.cos<ACXyAM>=--------=—

Viax-a之

2

所以"G與""所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.

7.解：⑴設(shè)P(x,y),由M(—1,0),N(l,0)得，PM=-MP=(-\-K-y)yPN=-NP=(1

W

-x,-y),=-=(2,0),.,.MP.MN=2(l+x),PM?PN=x2+、2-1,NM.NP=2(i

—x).于是，MN,PM-PN,NM-NP是公差小于零的等差數(shù)列,等價(jià)于

x2+y2-l=1[2(1+x)+2(1-x)]即卜2+夕=3

2(l-x)-2(l+x)<0卜>°

所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，百為半徑的右半圓.

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)

222222

PM-PN=x0+y0-1=2,\PM\-\PN\=y/(l+x)+y0->J(1-x0)+y0

2

=A/(4+2x0)(4-2x0)=2^4-%0

八~PM-~PN1

COS夕=，?一r=I

\PM\PNJ—一

0<X0<舊，:.g<COS。<l,0<^<y,

2

「?sin。=A/1-cos0-l------27，.\tan0=‘由°=/3-x(：=|IyZ0011

\4-x0cos。V°

EG=EB+BG=EB+—(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH

8.證明：(1)連結(jié)BG,貝IJ2

由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中2麗=麗)

—>*111——**1-

EH=AH-AE=—AD——AB=—(AD—AB)=—BD

(2)因?yàn)?222

所以EH〃BD,又EHU面EFGH,BD^面EFGH

所以BD〃平面EFGH.

(3)連OM,OA,OB,OC,OD,OE,0G

----*1---?---*1----

EH=-BDFG=-BD—?一〃

由(2)知2,同理2,所以EH=FG,EH4FG所以EG、FH交于一

點(diǎn)M且被M平分，所以

麗=g(無(wú)+麗=3醞+：花=；g礪+函]+照(歷+歷)]

=^(QA+OB+OC+OD).

難點(diǎn)4三個(gè)“二次”及關(guān)系

三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具

有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題

中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問(wèn)題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)

系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.

?難點(diǎn)磁場(chǎng)

已知對(duì)于x的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)f(x尸x2—4ax+2a+12(aeR)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x

x

的方程〃+2=|a-l|+2的根的取值范圍.

?案例探究

[例1]已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c滿足

a>b>c,a+b+c=O,(a,b,ceR).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對(duì)函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力.屬于★★★★★題目.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題及數(shù)與形的完美結(jié)合.

錯(cuò)解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想

在“形”上找解問(wèn)題的突破口，而忽略了“數(shù)”.

技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.

y=ax2+bx+c

<

⑴證明：由一一"消去y得ax2+2bx+c=0

-)2+-

△=4b2—4ac=4(—a—c)2—4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+24c2]

*/a+b+c=O,a>b>c,a>0,c<0

3

A4C2>0,A△>(),即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).

2bc

(2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為xl和x2,則xl+x2=—a,xlx2=a.

|AlBl|2=(xl-x2)2=(xl+x2)2-4xlx2

/2b.24c462-4ac4(-a-c)2-4ac

=(---)----=----2-=-------2-------

aaaa

22

-4[(-)+-+l]=4[(-+l)+4]

aaa24

a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

c1

解得ae(——2,——2)

吟=4吟)2+>1］的對(duì)稱軸方程是?

2

c1

a6(—2,一萬(wàn))時(shí)，為減函數(shù)

.?.|人181|2€(3,12),故|人181乒(追，2百)

［例2］已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問(wèn)題，屬*★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.

錯(cuò)解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)方程的根進(jìn)行限制時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)

是解答本題的難點(diǎn).

技巧與方法：設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然

后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.

解：(1)條件說(shuō)明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+l與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)

間(-1,0)和(1,2)內(nèi)，畫出示意圖,得

1

m<——

/(0)=2w+l<0,2

mwR,

/(-1)=2>0,

=,1

/⑴=4根+2<0,m<—