2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習指數(shù)與對數(shù)

2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習指數(shù)與對數(shù)01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】了解有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握指數(shù)冪的

運算性質(zhì)；理解對數(shù)的概念與運算性質(zhì)；掌握對數(shù)的換底公式.【考情概述】指數(shù)式和對數(shù)式的運算、變形、求值是研究函數(shù)、方程

和不等式的基礎，是新高考考查的重點內(nèi)容之一，常以選擇題的形式進

行考查，有時與其他知識交匯考查，難度中等，屬于高頻考點.

知識梳理1.根式（1）

根式的概念根式的概念符號表示備注如果

，那么

x

叫做

a

的

n

次方根

n

＞1，且

n

∈N*當

n

是奇數(shù)時，正數(shù)的

n

次方根是

一個

，負數(shù)的

n

次方根是

一個

?零的

n

次方根是

零當

n

是偶數(shù)時，正數(shù)的

n

次方根

有

，這兩個數(shù)互為

?

?負數(shù)沒有偶次方

根xn

＝

a

正數(shù)負數(shù)兩個相反

數(shù)

a

0

沒有意義（2）

有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①

aras

＝

（

a

＞0，

r

，

s

∈Q）；②

（

ar

）

s

＝

（

a

＞0，

r

，

s

∈Q）；③

（

ab

）

r

＝

（

a

＞0，

b

＞0，

r

∈Q）.ar

＋

s

ars

arbr

3.對數(shù)的概念（1）

對數(shù)的定義一般地，如果

ax

＝

N

（

a

＞0，且

a

≠1），那么數(shù)

x

叫做以

a

為底

N

的對數(shù)，記作

，其中

叫做對數(shù)的底數(shù)，

?

叫做真數(shù).x

＝log

aN

a

N

（2）

幾種常見對數(shù)設真數(shù)為

N

（

N

＞0）：對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為

a

（

a

＞0，且

a

≠1）log

aN

常用對數(shù)底數(shù)為10lg

N

自然對數(shù)底數(shù)為

e

ln

N

log

aN

lg

N

ln

N

4.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則（1）

對數(shù)的運算法則如果

a

＞0，且

a

≠1，

M

＞0，

N

＞0，那么：①log

a

（

MN

）＝

?；

③log

aMn

＝

（

n

∈R）.log

aM

＋log

aN

log

aM

－log

aN

n

log

aM

（2）

對數(shù)的性質(zhì)

②log

aaN

＝

（

a

＞0，且

a

≠1）.N

N

（3）

對數(shù)的換底公式

常用結(jié)論1.底數(shù)的對數(shù)是1，即

，1的對數(shù)是0，即

?.2.換底公式的三個重要結(jié)論（1）log

ab

＝

?；

（3）log

ab

·log

bc

·log

cd

＝

?.log

aa

＝1

log

a

1＝0

log

ad

回歸課本1.判斷：

（3）

（RA一P127習題4.3第2（2）題改編）若

a

＞0，

b

＞0，且lg

a

與

lg

b

互為相反數(shù)，則

ab

＝1.

（

√

）（4）

（RA一P127習題4.3第4（4）題改編）方程log2[log3（log4

x

）]＝0

的解為

x

＝4.

（

?

）??√?2.（RA一P127習題4.3第2（1）題）使式子log（2

x

－1）（2－

x

）有意義

的

x

的取值范圍是（

D

）A.（2，＋∞）B.（－∞，2）D3.（RA一P107練習第2題改編）在下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正

確的是（

C

）C4.（多選）（RA一P127習題4.3第5題改編）已知lg2＝

a

，lg3＝

b

，則

下列各式正確的是（

BD

）B.lg15＝1＋

b

－

a

BD5.（RA一P127習題4.3第9題改編）我們可以把（1＋1％）365看作每天的

“進步”率都是1％，一年后的值是1.01365，而把（1－1％）365看作每

天的“退步”率都是1％，一年后的值是0.99365，照此計算，大約經(jīng)

過

天，“進步”后的值是“退步”后的值的10倍（結(jié)果精確到1

天，參考數(shù)據(jù)：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈－0.00436）.115

總結(jié)提煉

指數(shù)冪運算的一般原則（1）

化根式為分數(shù)指數(shù)冪；（2）

化負指數(shù)冪為正指數(shù)冪；（3）

化小數(shù)為分數(shù).

考點二

對數(shù)式的化簡與計算例2（1）

計算：

②

（lg5）2＋lg2×lg5＋lg20＋log225×log34×log59.

[對點訓練]

1.計算：

考點三

指數(shù)與對數(shù)的綜合例3（1）

（多選）已知

a

＝

x

lg

x

，

b

＝

y

lg

y

，

c

＝

x

lg

y

，

d

＝

y

lg

x

，且

x

≠1，

y

≠1，則下列說法正確的是（

BD

）A.?

x

，

y

＞0，使得

a

＜

b

＜

c

＜

d

B.?

x

，

y

＞0，都有

c

＝

d

C.?

x

，

y

，且

x

≠

y

，使得

a

＝

b

＝

c

＝

d

D.

a

，

b

，

c

，

d

中至少有兩個大于1BD解：由題意，得lg

a

＝（lg

x

）2，lg

b

＝（lg

y

）2，lg

c

＝lg

y

·lg

x

，lg

d

＝lg

x

·lg

y

，所以?

x

，

y

＞0，都有l(wèi)g

c

＝lg

d

，即

c

＝

d

.故B正確，A不正

確.易知C不正確.因為

x

≠1，

y

≠1，所以lg

x

≠0，lg

y

≠0.所以（lg

x

）2

＞0，（lg

y

）2＞0，即lg

a

＞0，lg

b

＞0.所以

a

＞1，

b

＞1，即

a

，

b

，

c

，

d

中至少有兩個大于1.故D正確.

②

試比較3

x

，4

y

，6

z

的大小.

總結(jié)提煉

指數(shù)與對數(shù)的綜合問題，通常需要統(tǒng)一運算，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對

數(shù)式進行運算，或者將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式進行運算.

[對點訓練]

2.已知2

a

＝3

b

＝6，則

a

，

b

不可能滿足的關系是（

C

）A.

a

＋

b

＝

ab

B.

a

＋

b

＞4C.（

a

－1）2＋（

b

－1）2＜2D.

a

2＋

b

2＞8C

對接高考1.（2022·浙江卷）已知2

a

＝5，log83＝

b

，則4

a

－3

b

的值為（

C

）A.25B.5C

聲源與聲源的距離/m聲壓級