新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)微專題強化練3二面角的常見求法新人教A版必修第二冊

微專題強化練(三)二面角的常見求法一、選擇題1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝435，那么二面角A-BD-P的大小為(A．30°B．45°C．60°D．75°2．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則二面角A-B1D1-B的余弦值為()A．63 B．C．64 D．3．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，則二面角A1-BC-A的平面角的正切值為()A．62 B．C．1 D．24．如圖所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B′AC＝60°，則這個二面角的大小是()A．30° B．60°C．90° D．120°5．如圖，在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝217cm，則這個二面角的度數(shù)為(A．30°B．60°C．90°D．120°二、填空題6．如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為5的等腰三角形，則二面角V-AB-C的度數(shù)是．7．已知點O在二面角α-AB-β的棱上，點P在平面α內(nèi)，且∠POB＝60°.若直線PO與平面β所成的角為45°，則二面角α-AB-β的正弦值為．8．在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線．已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，則二面角F-BC三、解答題9．如圖，平面β內(nèi)一條直線AC，AC與平面α所成的角為30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α-BD-β的大?。?0．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為AA1，AC，A1C1的中點，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.(1)求證：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B-CD-C1的余弦值．微專題強化練(三)二面角的常見求法1．A[作AO⊥BD交BD于點O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即為所求二面角A-BD-P的大?。逜O＝AB·∴tan∠AOP＝APAO故二面角A-BD-P的大小為30°.]2．A[如圖，取B1D1中點E，O為底面ABCD中心，易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角．又因正方體的棱長為1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝2，所以AE＝62.又OE＝BB1＝1，所以cos∠AEO＝OEAE＝63，即二面角A-B1D1-B的余弦值為63．D[設(shè)棱長為a，BC的中點為E，連接A1E，AE(圖略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角為∠A1EA，在等邊△ABC中，AE＝32a，所以tan∠A1EA＝AA1AE＝a32a＝24．C[因為AD是等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高，所以BD＝DC＝22AC，即BD′＝DC＝22AC且B′D⊥AD，CD⊥AD，因此∠B′DC是所求二面角的平面角．因為∠B′AC＝60°，AB′＝AC，連接B′C(圖略)，則△B′AC是等邊三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，B′D2＋DC2＝B′C2，所以∠B′DC＝90°.故選C5．B[如圖，過點A作AE∥BD且AE＝BD，連接CE，DE，則AE⊥AB，即∠CAE為二面角的平面角，由題意，得AE＝BD＝8cm，AC＝6cm，∵AB⊥AC，AB⊥AE，AC∩AE＝A，AC，AE?平面ACE，∴AB⊥平面ACE，∴AB⊥CE，又∵DE∥AB，∴DE⊥CE，∴CE2＝CD2－ED2＝52，由余弦定理，得cos∠CAE＝AE2+AC2-CE即這個二面角的度數(shù)為60°.]6．60°[如圖，取AB的中點E，CD的中點F，連接VE，EF，VF，由題意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF為二面角V-AB-C的平面角．易知△VEF為正三角形，所以∠VEF＝60°.]7．63[如圖，過點P作PE⊥β，垂足為E，過E作EF⊥AB，垂足為F，連接OE，PF，則∠POE為直線PO與平面β所成的角，∠PFE為二面角α-AB-β的平面角．設(shè)OP＝2a，則在Rt△PEO中，由∠POE＝45°，可得PE＝a.在Rt△PFO中，由∠POF＝60°，可得PF＝2a·sin60°＝62a.在Rt△PEF中，sin∠PFE＝PEPF＝a62a＝638．77[連接OO′，過點F作FM⊥OB，垂足為點M，則有FM∥OO′又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝FB2-過點M作MN⊥BC，垂足為點N，連接FN，可得FN⊥BC，從而∠FNM為二面角F-BC-A的平面角．又AB＝BC，AC是圓O的直徑，所以MN＝BMsin45°＝62從而FN＝422，可得cos∠FNM＝7所以二面角F-BC-A的余弦值為77.9．解：如圖，過A作AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，作AE⊥平面α，E為垂足，連接EF，CE，∵BD?α，∴AE⊥BD，又AE∩AF＝A，∴BD⊥平面AEF，∴BD⊥EF，∴∠AFE為二面角α-BD-β的平面角．依題意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，設(shè)AC＝2，∴AF＝CF＝2，AE＝1，∴sin∠AFE＝AEAF∴∠AFE＝45°.∴二面角α-BD-β的大小為45°.10．解：(1)證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四邊形A1ACC1為矩形．又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點，∴AC⊥EF.∵AB＝BC，∴AC⊥BE.又EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，∴AC⊥平面BEF.(2)如圖，連接ED，∵BE⊥AC，BE⊥CC1，CC1∩AC＝C，∴BE⊥平面ACC1A1，∴△BCD在平面ACD