2023-2024學年云南省昆明市云南師范大學實驗中學高二上學期9月月考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市云南師范大學實驗中學2023-2024學年高二上學期9月月考數(shù)學試卷一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.i是虛數(shù)單位，復數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為i是虛數(shù)單位，復數(shù)，所以，所以.故選：A2.已知過點和的直線與直線平行，則的值為（）A.0 B. C. D.10〖答案〗C〖解析〗因與直線平行，故.又，故，所以即.故選C.3.設(shè)，且，則（）A. B.10 C.20 D.100〖答案〗A〖解析〗由，可得，，由換底公式得，，所以，又因為，可得．故選：A.4.直線關(guān)于軸對稱的直線方程是（）A.3x-4y-6=0 B.4x-3y-6=0C.3x-4y+6=0 D.4x-3y+6=0〖答案〗C〖解析〗直線交軸于點，且直線的斜率為，故所求直線的斜率為，故所求直線的方程為，即.故選：C.5.已知銳角的終邊上一點，則銳角＝A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵銳角的終邊上一點，∴∴＝70°故選C6.“”是“直線：與直線：垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，解得或.所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.若函數(shù)且滿足對任意的實數(shù)都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調(diào)性可知應(yīng)滿足，解得，所以數(shù)的取值范圍為，故選：A8.我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).如果小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，直角三角形中較小的銳角為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直角三角形中較短的直角邊為x，則：x2+(x+2)2＝102，解得：x＝6，∴sinθ，cosθ，∴sin（）﹣cos（）＝﹣cosθ﹣（cosθcos）sinθ﹣（）cosθ，故選：D．二?多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.已知動直線與圓，則下列說法正確是（）A.直線過定點B.圓的圓心坐標為C.直線與圓的相交弦的最小值為D.直線與圓的相交弦的最大值為4〖答案〗ACD〖解析〗對于A，直線，即，令，得，即直線過定點，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標為，故B錯誤；對于C，因為，所以直線所過定點在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點為，當直線與圓的相交弦的最小時，與相交弦垂直，又因為，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD10.以下四個命題表述正確的是（）A.若點在圓外，則實數(shù)m的取值范圍為B.圓上有且僅有3個點到直線的距離等于C.圓和圓外切D.實數(shù)滿足，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗A.點在圓外,,，A選項正確.B.圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，B選項正確.C.的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為，所以圓心距為，所以C選項錯誤.D.圓的圓心為，半徑為，表示圓上的點與點連線的斜率，當直線與圓相切時，如圖所示，，所以，結(jié)合對稱性可知的取值范圍是，D選項正確.故選：ABD11.下列說法正確的是（

）A.命題“”的否定是“”B.命題“，”的否定是“，”C.“”是“”的必要條件D.“”是“關(guān)于x的方程有一正一負根”的充要條件〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，命題“”的否定是“，”，故A選項錯誤；對于B選項，命題“，”的否定是“，”，故B選項正確；對于C選項，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故C選項錯誤；對于D選項，關(guān)于x的方程有一正一負根，則，解得，則“”是“關(guān)于的方程有一正一負根”的充要條件，故D選項正確.故選：BD.12.已知正方體的棱長為，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線所成的角為B.直線與平面所成角的余弦值為C.平面D.點到平面的距離為〖答案〗ABC〖解析〗如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系.則，，，，對于A：，，因為，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項A正確；對于C：因為，，，所以，，所以，，因，所以平面，故選項C正確；對于B：由選項C知：平面，所以平面的一個法向量，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項B正確；對于D：因為，平面的一個法向量，所以點到平面的距離為，故選項D不正確故選：ABC.三?填空題（本大題共4小題，共20分）13.函數(shù)的定義域為____.〖答案〗〖解析〗對于函數(shù)，有，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故〖答案〗為：.14.已知點在平面外，點在平面內(nèi)，平面的法向量，則點到平面的距離為__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，點到平面的距離為.故〖答案〗為：.15.已知平面內(nèi)點一定點，點M、N分別是x軸和直線上的兩個動點，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗作出點關(guān)于軸的對稱點,則,最小值即為到直線的距離,所以的最小值為.故〖答案〗為：.16.若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積____________〖答案〗16π〖解析〗如圖所示，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，因為平面，所以，所以，所以截球所得的圓的半徑為,所以球的半徑為，所以的表面積為.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，在平面直角坐標系xOy中，N（0，0），M（3，0），動點Q滿足，設(shè)動點Q的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）直線與曲線C交于A、B兩點，求．解：（1）設(shè)，因為N（0，0），M（3，0），動點Q滿足，所以，即，整理得，所以曲線C的軌跡方程為；（2）因為直線與曲線C交于A、B兩點，又圓心到直線的距離，所以.18.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求；（2）求的長.解：（1）因為，，則、均為銳角，所以，，，，，則，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，因此，.19.某校高一舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為）進行統(tǒng)計，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為8，2．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；（2）估計本次競賽學生成績的中位數(shù)；（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在內(nèi)的概率．解：（1）由題意可知，樣本容量n==50，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；（2）設(shè)本次競賽學生成績的中位數(shù)為m，平均分為，則[0.016+0.03]×10+(m-70)×0.040=0.5，解得，=(55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004)×10=70.6,（3）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學生的所有情況有21種，分別：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同學分數(shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點為的中點．（1）求證：平面PBC⊥平面PAC；（2）求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．解：（1）證明：取的中點，連接，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形.因為，，所以四邊形是正方形，則，，所以，得到，所以.因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面.因為平面，平面平面.（2）因為平面，平面，所以，，則兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系.則，，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，所以,所以即令，則，所以平面的法向量為，又因為平面的法向量，所以，因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21.過點的直線為為圓與軸正半軸的交點.（1）若直線與圓相切，求直線的方程：（2）證明：若直線與圓交于兩點，直線的斜率之和為定值.解：（1）由已知可得，圓心，半徑.當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓不相切；當直線斜率存在時，設(shè)直線斜率為，則方程為，即.由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，整理可得，，解得或.所以，直線的方程為或.綜上所述，直線的方程為或.（2）由題設(shè)得到點，當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓的交點為，，則；當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，代入圓的方程可得.設(shè)點，則.所以，，則.綜上所述，與的斜率之和為定值.故與的斜率之和為定值.22.如圖，已知圓錐，是底面圓的直徑，且長為4，C是圓O上異于A，B的一點，．設(shè)二面角與二面角的大小分別為與．（1）求的值；（2）若，求二面角的正弦值．解：（1）連接，因為點P為圓錐的頂點，所以⊥平面，分別取AC，BC的中點M，N，連接PM，OM，PN，ON，則在圓O中，，由⊥平面，得PO⊥AC．又，故AC⊥平面PMO，平面,所以AC⊥PM．所以,同理，．于是；（2）因為，即，所以，即，∵，∴，．在圓O中，CA⊥CB，以點C為坐標原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系C-xyz．則，，．又因為PO⊥平面ABC，所以O(shè)P∥z軸，從而．則，，．設(shè)平面PAC的法向量為，則，即，不妨取，則，，此時．設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，不妨取，則，，此時．所以．所以二面角A-PC-B的正弦值為．云南省昆明市云南師范大學實驗中學2023-2024學年高二上學期9月月考數(shù)學試卷一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.i是虛數(shù)單位，復數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為i是虛數(shù)單位，復數(shù)，所以，所以.故選：A2.已知過點和的直線與直線平行，則的值為（）A.0 B. C. D.10〖答案〗C〖解析〗因與直線平行，故.又，故，所以即.故選C.3.設(shè)，且，則（）A. B.10 C.20 D.100〖答案〗A〖解析〗由，可得，，由換底公式得，，所以，又因為，可得．故選：A.4.直線關(guān)于軸對稱的直線方程是（）A.3x-4y-6=0 B.4x-3y-6=0C.3x-4y+6=0 D.4x-3y+6=0〖答案〗C〖解析〗直線交軸于點，且直線的斜率為，故所求直線的斜率為，故所求直線的方程為，即.故選：C.5.已知銳角的終邊上一點，則銳角＝A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵銳角的終邊上一點，∴∴＝70°故選C6.“”是“直線：與直線：垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，解得或.所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.若函數(shù)且滿足對任意的實數(shù)都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調(diào)性可知應(yīng)滿足，解得，所以數(shù)的取值范圍為，故選：A8.我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).如果小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，直角三角形中較小的銳角為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直角三角形中較短的直角邊為x，則：x2+(x+2)2＝102，解得：x＝6，∴sinθ，cosθ，∴sin（）﹣cos（）＝﹣cosθ﹣（cosθcos）sinθ﹣（）cosθ，故選：D．二?多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.已知動直線與圓，則下列說法正確是（）A.直線過定點B.圓的圓心坐標為C.直線與圓的相交弦的最小值為D.直線與圓的相交弦的最大值為4〖答案〗ACD〖解析〗對于A，直線，即，令，得，即直線過定點，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標為，故B錯誤；對于C，因為，所以直線所過定點在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點為，當直線與圓的相交弦的最小時，與相交弦垂直，又因為，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD10.以下四個命題表述正確的是（）A.若點在圓外，則實數(shù)m的取值范圍為B.圓上有且僅有3個點到直線的距離等于C.圓和圓外切D.實數(shù)滿足，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗A.點在圓外,,，A選項正確.B.圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，B選項正確.C.的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為，所以圓心距為，所以C選項錯誤.D.圓的圓心為，半徑為，表示圓上的點與點連線的斜率，當直線與圓相切時，如圖所示，，所以，結(jié)合對稱性可知的取值范圍是，D選項正確.故選：ABD11.下列說法正確的是（

）A.命題“”的否定是“”B.命題“，”的否定是“，”C.“”是“”的必要條件D.“”是“關(guān)于x的方程有一正一負根”的充要條件〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，命題“”的否定是“，”，故A選項錯誤；對于B選項，命題“，”的否定是“，”，故B選項正確；對于C選項，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故C選項錯誤；對于D選項，關(guān)于x的方程有一正一負根，則，解得，則“”是“關(guān)于的方程有一正一負根”的充要條件，故D選項正確.故選：BD.12.已知正方體的棱長為，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線所成的角為B.直線與平面所成角的余弦值為C.平面D.點到平面的距離為〖答案〗ABC〖解析〗如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系.則，，，，對于A：，，因為，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項A正確；對于C：因為，，，所以，，所以，，因，所以平面，故選項C正確；對于B：由選項C知：平面，所以平面的一個法向量，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項B正確；對于D：因為，平面的一個法向量，所以點到平面的距離為，故選項D不正確故選：ABC.三?填空題（本大題共4小題，共20分）13.函數(shù)的定義域為____.〖答案〗〖解析〗對于函數(shù)，有，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故〖答案〗為：.14.已知點在平面外，點在平面內(nèi)，平面的法向量，則點到平面的距離為__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，點到平面的距離為.故〖答案〗為：.15.已知平面內(nèi)點一定點，點M、N分別是x軸和直線上的兩個動點，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗作出點關(guān)于軸的對稱點,則,最小值即為到直線的距離,所以的最小值為.故〖答案〗為：.16.若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積____________〖答案〗16π〖解析〗如圖所示，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，因為平面，所以，所以，所以截球所得的圓的半徑為,所以球的半徑為，所以的表面積為.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，在平面直角坐標系xOy中，N（0，0），M（3，0），動點Q滿足，設(shè)動點Q的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）直線與曲線C交于A、B兩點，求．解：（1）設(shè)，因為N（0，0），M（3，0），動點Q滿足，所以，即，整理得，所以曲線C的軌跡方程為；（2）因為直線與曲線C交于A、B兩點，又圓心到直線的距離，所以.18.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求；（2）求的長.解：（1）因為，，則、均為銳角，所以，，，，，則，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，因此，.19.某校高一舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為）進行統(tǒng)計，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為8，2．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；（2）估計本次競賽學生成績的中位數(shù)；（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在內(nèi)的概率．解：（1）由題意可知，樣本容量n==50，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；（2）設(shè)本次競賽學生成績的中位數(shù)為m，平均分為，則[0.016+0.03]×10+(m-70)×0.040=0.5，解得，=(55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004)×10=70.6,（3）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學生的所有情況有21種，分別：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同學分數(shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，