福建省福州市第一中學(xué)初中部2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

福州一中初中部2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末考試初二數(shù)學(xué)學(xué)科（完卷120分鐘滿分150分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，與是以點為位似中心的位似圖形，若，的面積為2，則的面積為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】本題主要考查位似變換的概念和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似變換的概念得到，進(jìn)而證明，根據(jù)相似的性質(zhì)即可得到答案．解：由于與是以點為位似中心的位似圖形，，，，的面積和的面積比為，的面積為2，的面積為8．故選D．2.某班9名學(xué)生參加投籃測試，每人投籃10次，投中次數(shù)統(tǒng)計如下：3，3，4，4，4，5，6，6，7．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.5，4 B.6，5 C.4.5，4 D.4，4【答案】D【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個，處在最中間位置的一個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)是偶數(shù)，則處在最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；眾數(shù)指的是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出答案．解：這組數(shù)據(jù)3，3，4，4，4，5，6，6，7中出現(xiàn)次數(shù)最多的是4，眾數(shù)是4.將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列是3，3，4，4，4，5，6，6，7，中位數(shù)為：4.故選：D．3.關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，則下列選項中滿足題意的值是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式．先根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根得到，解得，再結(jié)合選項即可判斷．解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得，觀察四個選項，只有C選項滿足題意，故選：A．4.如圖，在中，點分別是上的點，連接，，，若，則的長為（）A.4 B.5 C.6 D.2【答案】C【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)已知條件證明，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可．解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故選：C．5.將拋物線y＝x2向右平移1個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A.y＝x2－1 B.y＝x2＋1 C.y＝（x＋1）2 D.y＝（x－1）2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=x2向右平移1個單位長度所得拋物線的解析式為：y=（x-1）2；故選：D【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．6.下列說法正確的是（）A.所有的菱形都是相似形B.對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形相似C.對應(yīng)角相等的兩個多邊形相似D.所有的正方形都是相似形【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了相似圖形的判定，熟練應(yīng)用判定方法是解題關(guān)鍵．利用相似圖形的判定方法分別判斷得出即可．解：A、所有的菱形不一定是相似形，對應(yīng)角不一定相等，故此選項錯誤；B、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形不一定相似，對應(yīng)角不一定相等，故此選項錯誤；C、對應(yīng)角相等的兩個多邊形不一定相似，對應(yīng)邊的比值不一定相等，故此選項錯誤；D、所有正方形都是相似形，對應(yīng)邊成比例且對應(yīng)角相等，故此選項正確；故選：D7.若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且其面積為20，則該菱形兩對角線長分別為（）A.3與11 B.4與10 C.2與10 D.5與8【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì)．設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關(guān)系求出菱形的邊長．解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為，即的兩根為，由題意得：，∵菱形面積為20，∴，解得：，∴一元二次方程為，整理得，解得，∴該菱形兩對角線長分別為4與10，故選：C．8.某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為9萬元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此題主要考查了根據(jù)實際問題抽象出二次函數(shù)解析式．根據(jù)題意得到二月的研發(fā)資金為：，三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為：，再求和即可，正確表示出三月份的研發(fā)資金．】解：根據(jù)題意可得二月的研發(fā)資金為：，三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為：，今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金，故選：C．9.如圖，在平行四邊形中，是上一點，交于點，的延長線交的延長線于，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查相似三角形判定及性質(zhì)，平行線性質(zhì)．根據(jù)題意證明，，，利用相似三角形性質(zhì)逐一對選項就行分析即可得到本題答案．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，即A選項不對，∴，即B選項不對，∵，∴，∴，∵，∴，即C選項對，∵，即D選項不對，故選：C．10.如圖，拋物線過點，與軸的交點在，之間（不包含端點），拋物線對稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②；③拋物線頂點的縱坐標(biāo)大于4小于；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.3個 B.2個 C.1個 D.0個【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)所給函數(shù)圖象可得出a，b，c的正負(fù)，再結(jié)合拋物線的對稱性及增減性即可解決問題．解：由所給二次函數(shù)圖象開口向下，與y軸交于正半軸，∴．又∵對稱軸是直線，∴．∴，故①錯誤．又拋物線的對稱軸為直線，且過點，∴，即，∴，故②正確．∵拋物線對稱軸為直線，∴頂點坐標(biāo)為，又，，∴，，∴．∵，∴，∴拋物線頂點的縱坐標(biāo)大于4小于．故③正確．故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.11.已知線段，，，是成比例線段，其中，，，則的值是_____________.【答案】【解析】【分析】本題主要考查了比例線段，熟練掌握比例線段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例線段的定義得到，即可得到答案．解：由于線段，，，是成比例線段，故，即解得故答案為：．12.若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（2，4），則k=_____．【答案】2【解析】13.在陽光下，高為的一尊雕像在地面上的影長為，則此刻該處另一尊高為的雕像在地面上的影長為_____________.【答案】【解析】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用、平行投影，解答本題的關(guān)鍵是明確同一時刻，旗桿的高與影長的比等于建筑物的高與影長的比．根據(jù)題意可知，同一時刻，旗桿的高與影長的比等于建筑物的高與影長的比，然后即可解答本題．解：設(shè)另一尊雕像在地面上的影長為，由題意可得：，解得，即雕像在地面上的影長為，故答案為：.14.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線與相交于點，則關(guān)于的不等式的解為_________.【答案】##【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式．根據(jù)圖象寫出點左邊部分的取值范圍即可．解：∵直線,直線相交于點,∴關(guān)于的不等式的解集是：,故答案：．15.如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，連接交邊于點；②以點為圓心，以的長為半徑作弧交邊于點.若，，則的長為_________________.【答案】【解析】【分析】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．利用勾股定理求出，再利用面積法求出，再利用勾股定理求出，最后求出即可．解：如圖，分別連接，由作圖可知垂直平分線段，，，，由作圖可知，，，．．故答案為：．16.如圖，是等腰直角三角形，，點，分別在，邊上運動，連接，交于點，且始終滿足，則下列結(jié)論：①；②；③.其中正確的是_____________________.【答案】①【解析】【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．①先求出，，則，由此可證，然后根據(jù)相似三角形性質(zhì)可對結(jié)論①進(jìn)行判斷確；②根據(jù)得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，由此可對結(jié)論②進(jìn)行判斷確；③要使成立，即使成立，即使成立，即使，但不一定與相等，不一定成立，由此可對結(jié)論③進(jìn)行判斷確．解：①設(shè)，是等腰直角三角形，，，，由勾股定理得：，，，，，，又，，，故結(jié)論①正確；②，，，，故結(jié)論②錯誤；③，，，，，，要使成立，即使成立，即使成立，即使，但不一定與相等，不一定成立，不一定成立，故結(jié)論③錯誤，綜上所述：正確的結(jié)論是①．故答案為：①三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力．（1）整理后，利用直接開平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【小問1】解：，整理得，開方得，解得：；【小問2】解：，因式分解得，或，解得：．18.如圖，在中，，，．（1）求證：；（2）若，，，求的面積．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：有兩個角相等的兩個三角形相似，相似三角形的面積比等于相似比的平方．（1）根據(jù)可得，即可求證；（2）先求出相似比以及，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【小問1】證明：∵，∴，∵，，∴，∴；【小問2】解：由（）可得，∴，∵，∴，解得：．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.（1）畫出以點為位似中心的位似圖形，使得與的相似比為，且點落在第三象限；（2）直接寫出各點的坐標(biāo)；（3）直接寫出的面積.【答案】（1）見解析（2），，（3）【解析】【分析】本題主要考查了作圖，位似變換，三角形的面積，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用位似變換性質(zhì)畫出圖形即可；（2）根據(jù)圖形寫出坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)分割法求出三角形面積即可．【小問1】解：即為所求，【小問2】解：與的相似比為，且點落在第三象限，故，，；【小問3】解：．20.已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的兩個實數(shù)根為，，且，求的值.【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，及根與系數(shù)的關(guān)系．（1）計算一元二次方程根的判別式得，根據(jù)“當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根”即可得證得結(jié)論；（2）根據(jù)一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系，得，，然后利用完全平方公式變形，求解即可．【小問1】證明：，，，恒成立，與無關(guān)，無論取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【小問2】解：，為方程的兩個實數(shù)根，，，，解得，．21已知直線經(jīng)過點．（1）求的函數(shù)解析式．（2）若直線與直線交于點，且經(jīng)過點．求直線，與軸所圍成的三角形的面積．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題；（1）待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）待定系數(shù)法求得，進(jìn)而求得直線與軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，進(jìn)行計算即可求解．【小問1】解：直線經(jīng)過點，，解得，；【小問2】解：經(jīng)過點，，解得．當(dāng)時，，，當(dāng)時，，直線與軸的交點為，直線與軸的交點為，，．22.某校舉行八、九年級學(xué)生“普法知識競賽”，并從兩個年級的學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的競賽成績（滿分100分，分?jǐn)?shù)為整數(shù)），通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（評分分?jǐn)?shù)用表示，分為四個等級：不及格，及格，良好，優(yōu)秀）下面給出了部分信息：抽取的八年級學(xué)生競賽成績中“良好”包含的所有數(shù)據(jù)（單位：分）為：83，87，89；抽取的九年級學(xué)生普法知識競賽成績數(shù)據(jù)為：71，76，76，86，86，88，89，96，96，96；抽取的八、九年級學(xué)生普法知識競賽成績的統(tǒng)計表如表所示：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)“優(yōu)秀”所占百分比八年級8696九年級8687抽取的八年級學(xué)生成績扇形統(tǒng)計圖：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：，，；（2）已知八年級學(xué)生普法知識競賽成績的方差為96.5，請通過計算說明哪個年級學(xué)生普法知識競賽的成績較為穩(wěn)定；（3）若該校八年級有390名學(xué)生，九年級有380名學(xué)生，請估計這兩個年級學(xué)生中普法知識競賽成績?yōu)閮?yōu)秀等級的總?cè)藬?shù)．【答案】（1），，（2）八年級學(xué)生普法知識競賽的成績較為穩(wěn)定；（3）這兩個年級學(xué)生中普法知識競賽成績?yōu)閮?yōu)秀等級的總?cè)藬?shù)約為270人．【解析】【分析】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計的相關(guān)知識，掌握樣本百分比估算總體數(shù)量的方法，中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法，運用方差作決策的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)樣本百分比估算總體數(shù)量，中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法即可求解；（2）運用方差作決策即可求解；（3）運用樣本百分比估算總體數(shù)量的方法即可求解．【小問1】解：由題意，得，∴；把八年級學(xué)生普法知識競賽成績按從小到大排列，排在第位的兩個數(shù)是，∴，在九年級學(xué)生普法知識競賽成績數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多，∴眾數(shù)，故答案為：，，；【小問2】解：九年級方差為，∴八年級方差九年級方差，∴八年級學(xué)生普法知識競賽的成績較為穩(wěn)定；【小問3】解：(人)，答：這兩個年級學(xué)生中普法知識競賽成績?yōu)閮?yōu)秀等級的總?cè)藬?shù)約為270人．23.以農(nóng)業(yè)和農(nóng)村為載體的生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園，不僅具有生產(chǎn)性功能，還具有改善生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，為人們提供觀光、休閑、度假的生活性功能．?dāng)?shù)學(xué)探究小組以“設(shè)計矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”為主題開展數(shù)學(xué)實踐活動．如圖，是一塊用籬笆圍出的直角三角形田地，其中，，，數(shù)學(xué)探究小組準(zhǔn)備繼續(xù)用籬笆在該田地中圍出“矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”．該觀光園為矩形，落在邊上，在邊上，在邊上，（其中即為數(shù)學(xué)探究小組新添加的籬笆）．（1）若，請求出矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園邊的長；（2）因材料限制，新添加的籬笆總長最多只能為．請求出該矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園的面積最大值．【答案】（1）（2）該矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園的面積最大值為【解析】【分析】（1）過點C作于點H，交于點K，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等積法求出，證明四邊形為矩形，得出，證明，得出，代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可；（2）設(shè)，，則，證明，得出，求出，得出，根據(jù)新添加的籬笆總長最多只能為，得出，即，求出，根據(jù)，得出，在范圍內(nèi)求出二次函數(shù)的最大值即可．【小問1】解：過點C作于點H，交于點K，如圖所示：∵，，，∴，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園邊的長為．【小問2】解：設(shè)，，則，根據(jù)解析（1）可知：，∴，即，解得：，∴，∵新添加的籬笆總長最多只能為，∴，即，把代入得：，解得：，∵，∴，∴，∵，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，取最大值，且最大值為：，即該矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園的面積最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．24.已知拋物線與過點的直線，，交于兩點（點在點右側(cè)）（1）若拋物線對稱軸為直線且與軸交于點，求拋物線的解析式；（2）在（1）的條件之下，若，為拋物線上的一動點，且在點與點之間，求面積的最大值；（3）若該拋物線的頂點為原點，已知，交軸于兩點，當(dāng)時，求的方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，分割法求幾何圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法，分割法求面積，以及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)拋物線對稱軸為直線以及拋物線與軸交于點，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）聯(lián)立拋物線和直線的解析式可求得，，設(shè)拋物線上在點與點之間的一動點（），過點作軸平行線交直線與點，設(shè)，底邊上的高分別為、，則，化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值；（3）首先根據(jù)拋物線的頂點為原點求出拋物線解析式為，直線過定點，可得直線（），設(shè)，，聯(lián)立拋物線和直線解析式，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，，利用待定系數(shù)法求出直線、解析式，求出點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，即可求出，，然后利用，代入即可求出，由此得解；【小問1】解：拋物線對稱軸為直線，，解得，拋物線與軸交于點，將點代入得，，拋物線的解析式為．【小問2】解：直線過點，，若，則直線．聯(lián)立拋物線和直線解析式得，，解得或，，．設(shè)拋物線上在點與點之間的一動點（），過點作軸平行線交直線與點，如圖所示，點在直線上，點坐標(biāo)為，設(shè)，底邊上的高分別為、，如圖所示，則，，，當(dāng)時，面積取得最大值為．【小問3】解：若該拋物線的頂點為原點，頂點坐標(biāo)為，，，，，拋物線解析式為．直線過點，，直線（），設(shè)，，聯(lián)立拋物線與直線解析式，，得，，，設(shè)直線解析式為，將點，代入，得，解得，直線解析式為，點坐標(biāo)為，設(shè)直線解析式為，將點，代入，同理，可解得，直線解析式為，點坐標(biāo)為，，