不同函數(shù)增長的差異教案

不同函數(shù)增長的差異教案

摘要：對“不同函數(shù)增長的差異”一課的教學設計從整體性和細節(jié)性兩個方面進行研

究，分析設計中的六個關(guān)鍵細節(jié)問題，并給出教學建議.同時，提出探究性教學要深刻

理解課程標準的要求與教材的編寫意圖，要為學生創(chuàng)設更大的自主探究空間.關(guān)鍵詞：

核心素養(yǎng)；教學設計；細節(jié)問題；探究教學

一、教學設計案例

1.創(chuàng)設情境(1)上海四行倉庫抗戰(zhàn)紀念館：八月份參觀人數(shù)直線上升.(2)新聞視頻：

新冠肺炎疫情指數(shù)級增長.2.數(shù)學建構(gòu)探究1：指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長的差異.問題1：

選取適當?shù)闹笖?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間［0,+8)上的增長差異，你能描述一

下指數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？追問1：以函數(shù)y=2,和y=2x為例，在同一平面直角坐標系

中畫出它們的圖象.觀察這兩個函數(shù)的圖象，它們在位置上有什么關(guān)系？這說明了什么？

追問2：取更大的x值，在更大范圍內(nèi)觀察它們的增長情況，從圖象和數(shù)表上，你能發(fā)

現(xiàn)什么？追問3：若以函數(shù)y=2"和y=100x為例呢？選擇不同的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)重

復上述過程，你得到的結(jié)論分別是什么？追問4：通過對特定的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的

研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)論？探究2：對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長的差異.

問題2：選取適當?shù)膶?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間(°’+8)上的增長差

y二Q

異.你能描述一下對數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？追問1：不妨以函數(shù)y=lgx和IU

為例，在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象.觀察這兩個函數(shù)的圖象在位置上有什

么關(guān)系？這說明了什么？追問2：如果將y=lgx縱坐標擴大1000倍，再對函數(shù)y=10001gx

和函數(shù)1°的增長情況進行比較，仍有上述規(guī)律嗎？追問3：通過對特定的對數(shù)

函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)論？問題3：如果將一次函

數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)同時比較，你能得到什么結(jié)論？追問1：在同一平面直角坐標

系中畫出一次函數(shù)y=2x,指數(shù)函數(shù)y=2'和對數(shù)函數(shù)y=logzx的圖象，比較他們的增長有

何差異？追問2：一次函數(shù)y=kx(k>0),指數(shù)函數(shù)y=a*(a>l)和對數(shù)函數(shù)y=logbX(b>數(shù)的

增長有何差異？3.數(shù)學應用練習：三個變量y“yz,y：,隨著變量x的變化情況，如下表

所示.

X1357911

%525456585105

12529245218919685177149

y356.106.616.957.27.4

則關(guān)于X分別呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、直線型函數(shù)變化的變量依次為（）.（A）

yi>y”ys（B）y2,y”y3（C）y3>yz,yi（D）yHy3?y?4.課堂小結(jié)具體內(nèi)容略.

二、課時教學設計的整體性分析

本輪課程改革提倡單元教學設計，強調(diào)從宏觀上把握知識體系，從整體上綜合協(xié)調(diào)數(shù)學

知識、思想方法、能力素養(yǎng)等各要素之間的關(guān)系，把課時教學放置到整章、大單元系統(tǒng)

中加以統(tǒng)籌，明確課時在本單元乃至整個知識體系中的位置，理清知識的上下位關(guān)系，

從整體上架構(gòu)，克服課時教學將學習內(nèi)容碎片化的不足.本節(jié)課內(nèi)容選自人教A版《普

通高中教科書?數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊第四章“4.4.3不同增長函數(shù)

的差異”.對本章的整體進行分析：先有指數(shù)運算、對數(shù)運算為研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)做好數(shù)學運算上的準備；再建立指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念，研究其圖象與性質(zhì)；然

后把幾個函數(shù)放在一起，從增長差異比較的角度進一步認識這些函數(shù)的特征（個別研究

到比較研究，為的是能夠在面臨問題時作出選擇判斷）；最后是數(shù)學應用.函數(shù)的應用、

二分法與求方程的近似解是數(shù)學內(nèi)部的應用，數(shù)學模型是將數(shù)學知識用于解決實際問題.

現(xiàn)實中直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的現(xiàn)象大量存在，塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

在現(xiàn)實生活中的應用非常普遍.這樣，”增長差異的比較”的地位作用就非常明顯了.

三、課時教學設計的細節(jié)性研究

具體到本節(jié)課內(nèi)容，首先，要想清楚要解決的問題是什么：一是增長快慢；二是增長方

式.先快后慢、先慢后快、穩(wěn)定等.第二個問題就是如何用數(shù)學的方式來刻畫，教材上用

了表（數(shù)）、圖（形）相結(jié)合的方式，描述性的語言較多，如“增長速度不在同一個‘檔

次'”“越來越……”之類.其次，要研究一些細節(jié)問題，如“創(chuàng)設什么情境引入更恰

當”“如何用數(shù)學的方式刻畫快慢”“如何更精確地量化增長差異”“要不要給出增

量比的符號△黑”等.這些細節(jié)有些可能關(guān)乎全局，需要精心雕琢.1.選擇什么情

境引入更恰當情境引入主要有以下三種形式.①結(jié)合當今社會熱點現(xiàn)象、熱點問題.例如,

隨著電影《八佰》熱映，參觀上海四行倉庫抗戰(zhàn)紀念館的人數(shù)直線上升；2020年初，新

冠肺炎疫情暴發(fā)階段，感染人數(shù)呈指數(shù)級增長；等等.②選自教材中的“情境”.例如，

A,B兩地景區(qū)20n年至2015年的游客人次及逐年增加量.③教師自編生活“情境”.

例如，開車上班速度與時間的函數(shù).創(chuàng)設問題情境，應該考慮整個章節(jié)的教學連貫性，

盡量選取可以在多個課時使用的較為綜合性的情境素材，設計章節(jié)系列學習活動（問題

串）.之前的教學中，教材通過A,B兩地景區(qū)游客人次引入指數(shù)函數(shù)的概念，所以建議

本節(jié)課繼續(xù)選擇“A,B兩地景區(qū)游客人次”作為問題情境，深入研究它們增長方式的差

異.2.為什么只在區(qū)間（0,+8）上進行研究許多參賽教師忽略了這個問題，這也應該是

探究的一部分.事實上，在區(qū)間（-8,0）上，指數(shù)函數(shù)y=2京的值恒大于0,一次函數(shù)y=2x

的值恒小于0,對數(shù)函數(shù)y=logzx沒意義，所以重點研究區(qū)間（0,+8）上它們的增長差

異，可以使研究結(jié)論更具廣泛性和價值性.

3.如何用數(shù)學語言刻畫”指數(shù)函數(shù)y=2'的增長趨勢最終會快于一次函數(shù)y=2x的增長趨

勢”教材選擇指數(shù)函數(shù)y=2"和一次函數(shù)y=2x,在（0,+8）內(nèi)兩個函數(shù)圖象有兩個交

點，當x〉2時，都有2*>2x.但是，這并不意味著丫=2'與y=kx總有交點，如函數(shù)

y=e”的圖象恒在直線y=x的上方.因此，有參賽教師表述“總存在一個交點，在這

個交點之后，都有202x”是不嚴謹?shù)?如何用數(shù)學語言刻畫這種趨勢是本節(jié)課的

一個難點，許多教師采取直接講述“總會存在一個X。，當x>x。時，恒有2'>2x”，

這樣學生就失去了一次珍貴的抽象概括機會.只有當學生討論明白：如果兩個函數(shù)

有交點，在這個交點之后，總會存在一個x。；若沒有交點，仍然存在一個x0（事

實是存在無數(shù)個X。）.自然能夠用符號語言表達了，學生的數(shù)學抽象、邏輯推理素

養(yǎng)也得到了提升.

4.線性函數(shù)y=kx（k>0）在增長差異的比較中充當什么角色本章通過指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)

增長差異的實例引入指數(shù)函數(shù)的概念，本小節(jié)之所以繼續(xù)選擇一次函數(shù)y=2x與指數(shù)函

數(shù)y=2*進行比較，除了能體現(xiàn)這兩種函數(shù)增長差異外，還能較好地體現(xiàn)指數(shù)函數(shù)

y=2.“爆炸性”增長的特點.在與對數(shù)函數(shù)y=lgx的比較中，選擇一次函數(shù)1°而

y=—

沒有選擇一次函數(shù)y=2x,是因為一次函數(shù).10的增長速度比一次函數(shù)y=2x更慢，

而且一次函數(shù)10與對數(shù)函數(shù)y=lgx有交點，這樣更能直觀體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)y=lgx

的增長逐漸趨緩的特點.由于學生對線性函數(shù)已經(jīng)有了認知基礎(chǔ)，其變化規(guī)律非常直觀.

因此，線性函數(shù)作為“中間量”，架起了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)比較的橋梁，作為“一把

尺子”，度量指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異，更能突出“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”

的特征.

Ay

5.要不要補充變化率△"這是最具爭議的問題.有的教師認為此時講變化率會加重

學習負擔；而有的教師則認為，不講變化率就很難講清變化趨勢.實際上，數(shù)學中有精

準的方法，也就是用導數(shù)，用瞬時變化率來刻畫變化率.在這個問題上，筆者傾向于補

充.章建躍博士曾指出，加強一般觀念指導數(shù)學學習與探究活動，發(fā)展學生的理性思

維.“運算”是一般觀念，在指數(shù)函數(shù)概念的抽象過程中，對A地景區(qū)每年的游客人次

作減法運算，得到游客人次的年增加量，對B地景區(qū)每年的游客人次做除法運算，得到

游客人次的年增長率.學生已經(jīng)有了這方面的運算基礎(chǔ)，補充運算

Ay二父2一%

ATX—X

'1,學生是能夠理解的，教學中即使不補充，也可以引導學生

觀察表格中的數(shù)據(jù)，自變量X的增加量相同，即AX恒為定值，只要看函數(shù)值y

的增量Ay即可.本質(zhì)上是滲透了變化率，從變化率的角度讓學生感受不同函數(shù)的

增長差異.

6.“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”在生活中有什么含義讓學生列舉生活中符

合指對數(shù)增長的案例，感受三者之間的差異，體會數(shù)學來源于生活又應用于生活，這是

一個不可或缺的環(huán)節(jié).“指數(shù)爆炸”可以有以下理解：①任何事物都不能無限制地指數(shù)

增長，否則就會產(chǎn)生災難，如澳大利亞兔子數(shù)量“大爆炸”；②從事業(yè)的角度，妥善進

行投資，實現(xiàn)財富指數(shù)增長，就有可能成為商界大亨；③從努力學習的角度，多一分努

力，就多一分收獲.1.01懶田37.8,1.02懶377.4.在學習上要霸氣和張揚,呈現(xiàn)指數(shù)

增長；在做人上，要像對數(shù)函數(shù)一樣，沉穩(wěn)收斂.“對數(shù)增長”的例子，如體育運動，

體育鍛煉的前幾天，進步神速，但過一段時間穩(wěn)定下來后，再進步就沒有那么容易了，

想成為職業(yè)選手更是難上加難.

四、課時教學設計案例反思

1.要深刻理解課程標準的要求和教材的編寫意圖《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》

（以下簡稱《標準》）對“函數(shù)與數(shù)學模型”提出的內(nèi)容與要求是：①理解函數(shù)模型是

描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具，在實際情境中，會選擇合適的

函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.②結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比

較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上

升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.③收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟

領(lǐng)域中的數(shù)學模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學模型中參數(shù)的

現(xiàn)實意義.面對實際問題時，為了準確描述它的變化規(guī)律，需要選擇恰當?shù)暮瘮?shù)類型來

構(gòu)建數(shù)學模型，為此就要先分析清楚不同類型函數(shù)的增長差異.教材通過具體實例對不

同函數(shù)的增長差異進行比較，緊接著安排了“函數(shù)的應用（二）”一節(jié)，引導學生深入

學習運用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的方法.由于增長差異的比較與現(xiàn)

實世界有著非常緊密的聯(lián)系，所以是加強綜合實踐活動、推進高中數(shù)學育人方式改革的

一個有力抓手.2.要為學生創(chuàng)設更多的探究可能探究教學是指教師針對教學中的某個教

學內(nèi)容，精心設計能引發(fā)學生積極探索的教學過程，使學生在體驗數(shù)學研究的過程中提

高獨立思考、合情推理等方面的能力.因此，在教學中要重視探究內(nèi)容的創(chuàng)設和探究時

機的把握.（1）讓學生去探索研究.對一個數(shù)學對象的研究往往可以從四個角度進行分

析：為什么研究，研究什么，如何研究，研究結(jié)果.引入不同類型現(xiàn)實問題情境，增長

方式存在很大差異，這就是“為什么研究”.在確定研究內(nèi)容”一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和

對數(shù)函數(shù)三類函數(shù)增長的差異比較”之后，“如何研究”就是最重要的環(huán)節(jié).在上述教

學案例中，出示探究1后，緊接著提出問題1及4個追問，把學生的思維強行帶入教師

預設的軌道，禁錮了學生的思維，看似探究實則是“假探究”.舍得留出時間給學生，

讓學生自行規(guī)劃研究思路（從具體到抽象、從特殊到一般），思考具體問題，如研究的

區(qū)間、函數(shù)的選擇、圖象的繪制、函數(shù)的調(diào)整、信息技術(shù)的支持等.探究1具有示范性，

引導學生類比上述研究過程,繼續(xù)探究2,進一步領(lǐng)會研究方法.例如，在更大的范圍內(nèi)，

用幾何畫板軟件畫函數(shù)y=2'和y=100x的圖象，交點可能顯示不出，此時就是學生探索

的最好契機：如果在幾何畫板軟件的數(shù)軸上同時改變x軸和y軸的單位長度，圖象會發(fā)

生什么改變？（大小改變但形狀不變）；如果只改變x軸（或y軸）的單位長度，圖象

會發(fā)生什么改變？（圖象會被伸壓，但由于本堂課研究的是幾個函數(shù)增長的差異，所以

不影響繼續(xù)研究）.（2）讓學生去體驗感悟.知識的學習只有通過自身的體驗才能得到

同化和順應.教學中要鼓勵學生敢于結(jié)合已有經(jīng)驗說出自己的感受，發(fā)揮自己的想象，

體驗和感悟知識產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程.只有這樣，才能促進學生深刻理解數(shù)學本質(zhì)，

實現(xiàn)深度學習.例如，在上述案例中學生觀看新冠肺炎疫情傳播視頻時，驚呼數(shù)據(jù)的增

長之快，自發(fā)地說出“爆炸增長”，此時可以“趁熱打鐵”，讓學生借助工具計算L01

的平方和立方，進而提出問題：猜測1.01演大概是多少？1.01365七37.8,讓學生直觀感

知“指數(shù)爆炸”的含義.在總結(jié)“函數(shù)y=2'與y=2x在［0,+8）上都是單調(diào)遞增，但它們

的增長速度不同，而且不在同一個程度上”時.，引導學生發(fā)揮想象：取更大的x值，在

更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系是什么？隨著自變量的取值越來越大，函數(shù)y=2.的圖

象幾乎與x軸垂直，可謂是“一飛沖天”，函數(shù)值“爆炸式”增長，函數(shù)y=2x的增長

速度保持不變，與函數(shù)y=2,的增長速度相比，幾乎“微不足道（3）讓學生去概括表

達.新高考加大了對關(guān)鍵能力的考查力度.其中，閱讀理解和語言表達能力是學生亟需提

高的.符號語言的使用，使數(shù)學表達具有簡潔性、抽象性、邏輯性等特點，可以極大地

縮減數(shù)學思維過程，更有利于學生認識和表達數(shù)學對象的本質(zhì).例如，作出函數(shù)y=2'與

y=2x在區(qū)間［0,+8）上的圖象，歸納它們在位置上的關(guān)系和趨勢時，讓學生反復推敲總

結(jié)，最終提煉出符號語言“總會存在一個X。，當x>x。時，恒有2?2x”.概括“三種函數(shù)

的增長差異”時讓學生用不同的語言表達，如文字語言“一次函數(shù)的增長速度總是不變;

指數(shù)函數(shù)的增長速度會越來越快，并且指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會大于一次函數(shù)的函數(shù)

值；對數(shù)函數(shù)的增長速度會越來越慢，并且對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會小于一次函數(shù)的

函數(shù)值”；符號語言“總存在一個x。，當x〉x。時,有a*〉kx,kx>logbx,a>hb>l,k>0”；

甚至用詩歌的形式表達，如“增長模型各不同，指數(shù)增長最震撼，直線增長穩(wěn)上升，對

數(shù)增長慢悠悠”.3.要注重落實核心素養(yǎng)的課堂定位《標準》中提到，函數(shù)單元要重點

提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).本節(jié)課主要提

升學生的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng).那么，課堂教學中如何讓這

些核心素養(yǎng)落地生根？（1）從函數(shù)性質(zhì)的角度來看.增長差異是對函數(shù)單調(diào)性的進一步

深化，不同函數(shù)的增長差異刻畫了它們增長方式及變化速度的差異.補充［Xi,Xz］上的變

AyAy

化率Ax的概念，作函數(shù)y=2'和y=2x的圖象時，在數(shù)表中增加一列數(shù)據(jù)M,

從數(shù)據(jù)上能夠直觀看出函數(shù)y=2x的變化率恒定，即增長速度保持不變.而函數(shù)y=2,的變

化率越來越大，即增長速度在增大，引導學生從代數(shù)角度理解圖象的陡緩程度.利用幾

何畫板軟件畫出函數(shù)y=2*,y=2x和y=log?x的圖象.通過比較圖象，分析三個函數(shù)增長

的快慢，特別是當x的值比較大時，直觀感知函數(shù)值的差異，進一步形成更一般的猜想.

借助數(shù)表、幾何畫板軟件和GeoGebra軟件進行教學，讓學生經(jīng)歷通過圖形建立直觀猜

想、通過計算驗證結(jié)論的思維與操作過程，提升學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，通過

概括與表達提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

（2）能否選擇合適的函數(shù)模型刻畫實際問題的變化規(guī)律.學生選擇合適的函數(shù)模型刻畫

實際問題的變化規(guī)律的基礎(chǔ)是對各類函數(shù)的特征有準確的把握，對每類函數(shù)到底刻畫了

哪類現(xiàn)實問題的變化規(guī)律有深入的了解，同時對各類函數(shù)的增長差異心中有數(shù).由此可

見，發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)：一是準確理解各類基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及不

同類型函數(shù)刻畫了哪一類現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，準確把握各類函數(shù)的增長差異；二是加

強用函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題的實踐.前一個是數(shù)學知識基礎(chǔ)，后一個是數(shù)學建

模實踐，兩者缺一不可.設計案例中補充了一個簡單應用，讓學生活學活用，理論與實

踐相結(jié)合，提升學生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模素養(yǎng).

五、結(jié)束語

教學設計是課堂教學成功的決定性因素，具有示范、研討的意義.教師要準確理解和把

握課程目標、課程內(nèi)容，合理設計課時目標，創(chuàng)設恰當情境，在情境的引導下，讓學生

發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，在多媒體的支持下解決問題，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促

進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.在探究性教學中，教師應該給予學生充分探索、

交流的時間與空間，促使學生養(yǎng)成仔細觀察、主動探索、自覺交流、善于表達的習慣，

使學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界.【作

者簡介：唐永（1970-）,男，中學高級教師，無錫市學科帶頭人，主要從事中學

數(shù)學教學研究.】

本設計節(jié)選自：唐永.為學生創(chuàng)設更大的自主探究空間——"不同函數(shù)增長的差異”教學設計

案例反思[J].中國數(shù)學教育（高中版），2021,（6）:49-53.僅提供教學過程，更多內(nèi)容詳見原

文。

學設計

一、教學目標：1.在信息技術(shù)的輔助下，了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的增

長差異；2.通過圖象和表格數(shù)形結(jié)合地體現(xiàn)各類函數(shù)間增長變化的差異，了解“對數(shù)

增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義，提升對三類函數(shù)的認識；3.在認識函數(shù)增

長差異的過程中，發(fā)展數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學建模的素養(yǎng).二、教學重點難點教

學重點：在信息技術(shù)的輔助下，直觀了解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含

義.教學難點：幾種增長函數(shù)模型的應用.三、教學過程

1、情境引入復習回顧【問】在我們學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、

事函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中哪些函數(shù)在定義域上是增函數(shù)？

我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異.事實上，這種差異正是不同

類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.

因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實問題的增長情況，選

擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律.下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長

方式的差異.

2、問題探究，學以致用雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異

正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.

下面就來研究一次函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)

h(x)=1唱在定義域內(nèi)增長方式的差異.

問題探究一：以函數(shù)與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差

異.分析：(1)在區(qū)間(-8,0)上，指數(shù)函數(shù)y=?值恒

大于0,一次函數(shù)y=2x值恒小于0,所以我們重點研究在區(qū)間(0,+8)上它們的增長

差異.

(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標系內(nèi)列表、描點作圖如下：

Xy=2xy=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

(3)觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：結(jié)論1：函數(shù)了與y=2x有兩個交點(1,2)和

(2,4);結(jié)論2：在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)之1r的圖象位于產(chǎn)級之上;結(jié)論3：在區(qū)間(1,2)

上，函數(shù)y=21r的圖象位于丫=2》之下;結(jié)論人在區(qū)間⑵3)上，函數(shù)＞二?的圖象位于

y=2x之上.

綜上：雖然函數(shù)y二丁與產(chǎn)2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)產(chǎn)2x的增

長速度不變，但是尸二丁的增長速度改變，先慢后快.

【問】請大家想象一下，取更大的X值，在更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系？

【生】隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y二21r的圖象幾乎與X軸垂直，函數(shù)值快速增長,

函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和y=2r的增長相比幾乎微不足道.

【設計意圖】通過畫出特殊的指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的圖形，觀察歸納出兩類函數(shù)增長的差

異和特點，發(fā)展學生邏輯推理，數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；

總結(jié)一：函數(shù))，=2x與)=2r在[0,+00)上增長快慢的不同如下：雖然函數(shù)y=2x與>=2'在

[0,+8)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，丁=、的增長速度越來

越快，會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.盡管在x的一定范圍內(nèi)，2*<2x,但由

于的增長最終會快于產(chǎn)2%的增長，因此，總會存在一個力,當時，恒有

2'<2x.

總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù))'=與一次函數(shù)產(chǎn)fcv(QO)的增長都與上述類似.即使

k值遠遠大于a值，指數(shù)函數(shù)9>?雖然有一段區(qū)間會小于y=kx(k>0),但總會存

在一個當時，y=的增長速度會大大超過產(chǎn)氣(Q0)的增長速度.如

下圖，將％不斷變大：

，'

例1.三個

變量X，竺，/隨變量X變化的數(shù)據(jù)如下表：

X051015202530

為51305051130200531304505

%5901620291605248809447840170061120

乃5305580105130155

其中關(guān)于X呈指數(shù)增長的變量是________紅.【設計意圖】通過練習鞏固所

學知識，鞏固對函數(shù)增長差異性的認識，增強學生的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理的

核心素養(yǎng)。

問題探究二：以函數(shù)＞=舊＞與,一母’為例研究對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差

異.分析：⑴在區(qū)間(-8,0)上，對數(shù)函數(shù)沒

意義，一次函數(shù)值恒小于0,所以研究在區(qū)間(0,+8)上它們的增長差異.

(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標系內(nèi)列表、描點作圖如下：

X月gx

0不存在0

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

???????.?

(3)觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：總結(jié)一：雖然函數(shù)萬1g,與10在(0,+8)

7-1

上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.10在(0,+8)上增長速度不

變，/Eg'在(0,+8)上的增長速度在變化.

1

隨著X的增大，10的圖象離X軸越來越遠，而函數(shù)7二電'的圖象越來越平緩，就

像與x軸平行一樣.

例如：lglO=l,lgl00=2,lgl000=3,lgl0000=4；

—xlO-lr-LxlOOm10,—x1000—100,—x10000=1000.tc

10To由10這表明，當x>10,即

尸=lgX比'-IF'相比增長得就很慢了.

思考：將=1gX放大1000倍，將函數(shù)=1O'JOlgX與y=x/1000

比較，仍有上面規(guī)律嗎？

先想象一下，仍然有.

總結(jié)二：一般地，雖然對數(shù)函數(shù)y=i0g&xg>n與一次函數(shù)y=n't>°?在（°,+8）

上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著X的增大，一次函數(shù)）=匕收‘中保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)

y=logaX（a>1）的增長速度越來越慢.

不論。值比上值大多少，在一定范圍內(nèi)，lOgaXS可能會大于H,但由于

log&xia>11的增長會慢于氣的增長，因此總存在一個%,當x>%時，恒有

k>&x<kx

X2X

（1）試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線G,G分別對應的函數(shù)；（2）比較兩函數(shù)的增長

差異（以兩圖象交點為分界點，對/（x）?g（x）的大小進行比較）.

解：（1）G對應的函數(shù)為g（x）=0.3x—1,C2對應的函數(shù)為7U）=lgx.

（2）當時'當時，/U）>g（x）;

當時，g（X）/X）；當兀=為或％=X2時，7U）=g（X）.

問題探究三：類比上述過程，（1）畫出一次函數(shù)y=:“，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函

（2）總結(jié)一：雖然函數(shù)丁=2x,函數(shù)y=植工與丁=7在（0,+8）上都是單調(diào)遞增，但

它們的增長速度存