2023年上海市秋季高考數(shù)學(xué)試題及答案

2023年上海市秋季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．不等式|x21的解集為．2．已知向量a(，bb．3．已知首項為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前n項和為SS．n64．已知tan3tan．5．已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)f(x)的值域為．2,x0x6．已知復(fù)數(shù)z1ii|1iz7．已知圓xy4xm0的面積為m8．已知中，角A，B，C所對的邊a4，b5，c6sinA．22．．9GDP為232為241逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為．x100x100aaxax299x99100100k1，0122，，ak0k的最大值為．4水平面所成夾角為．行人每沿著斜坡向上走m消耗的體力為cos)，欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則．A、B、CABBCCA12個不同的點D，EA、B、C不同的取法有二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．．已知P，，Q，M{x|xP，x}M()A．B．C．D．2，第1頁（共12頁）．根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是()A．身高越大，體重越大．身高和體重成正相關(guān)B．身高越大，體重越小D．身高和體重成負相關(guān)．已知aRysinx在[a，2a]的最小值為s[2a，a]的最小值為t，則下列aa情況不可能的是(A．s0，t0)B．s0，t0C．s0，t0D．s0，t0aaaaaaaa16．已知P，Q是曲線上兩點，若存在M點，使得曲線上任意一點P都存在Q使得||||1①(A①成立，②)B①成立，②不成立D．不成立，②不成立．不成立，②三、解答題（本大題共有578分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．．已知直四棱柱ABCD，，AB//CD，2，3，4．11111）證明：直線AB//DCCD；1112）若該四棱柱的體積為，求二面角1A的大小．第2頁（共12頁）x2axcxa．已知a，cR，函數(shù)f(x)．1a0，求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在cf(x)是奇函數(shù)，說明理由；2）若函數(shù)過點，且函數(shù)f(x)與x軸負半軸有兩個不同交點，求此時c的值和a值范圍．2023年6月7日，2125個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀棕色內(nèi)飾米色內(nèi)飾122831AB為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求PBP(B|)，并判斷事件A和事件B是否獨立；2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望．第3頁（共12頁）．已知拋物線:y4x上有一點A位于第一象限，設(shè)A的縱坐標為a(a0)．21A到拋物線準線的距離為3a的值；（2）當(dāng)a4時，若x軸上存在一點B，使的中點在拋物線上，求O到直線的距（3）直線l:x3，P是第一象限內(nèi)上異于A的動點，P在直線l上的投影為點H，直線與直線l的交點為QP的位置變化過程中，|4a的取值范圍．21．已知f(x)lnx，在該函數(shù)圖像上取一點a，過點(a，f(a作函數(shù)f(x)的切線，111該切線與y軸的交點記作(0,a)，若a0，則過點(a，f(a作函數(shù)f(x)的切線，該切2222y軸的交點記作(0,a)aa，至a0a}．334mn1a(2)屬于數(shù)列a}，證明：alna1；mnmm12）試比較am與m12的大小關(guān)系；（3）若正整數(shù)3，是否存在k使得a、a、a、、k依次成等差數(shù)列？若存在，求123出k的所有取值；若不存在，請說明理由．第4頁（共12頁）參考答案及逐題解析：一、填空題：1．解：由|x21可得，1x21，解得1x3，即不等式的解集為．2．解：a(，b，ab21324．3．解：等比數(shù)列的首項為3，公比為2，32)6S6189．124．解：tan3，2tan2313342．1tan5．解：當(dāng)0f(x)1，當(dāng)x0f(x)21，x所以函數(shù)f(x)的值域為，)．6．解：z1i，|1iz|1ii)|2i5．7．解：圓x2y24xm0化為標準方程為：(x2y4m，2圓的面積為，圓的半徑為1，4m1，m3．8．解：a4，b5，c6，b2c2a225634由余弦定理得，A，又A(0,)，sinA0，37sinA12A1()2．449．解：設(shè)第二季度為x億元，第三季度為y億元，則xy，中位數(shù)與平均數(shù)相同，第5頁（共12頁）xy232xy241，24xy，該地一年的為xy．解：二項式x100的通項為：r1Cr100x)rCr100rrx，r，12，，，二項式x100的通項為：r1C100r(x)C100r(r100rr100rrx，r，12，，，kCk100kCk100100k(kCk100k100k(]，kk，，2，，，若ak0k為奇數(shù)，此時kCk100k100)，k100k0，k100k，kk50，又k為奇數(shù)，k的最大值為．4sin．解：斜坡的長度為l，4sin4.14cossin上坡所消耗的總體力ycos)，4sinsin(4.14cos)cos44.1cos函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y，sin2sin240414041由y044.1cos0cos，，404140由f(x)0時cos時，函數(shù)單調(diào)遞增，412404140由f(x)0時cos0時，函數(shù)單調(diào)遞減，4140即，函數(shù)取得最小值，即此時所消耗的總體力最?。?14041故答案為：．．解：如圖所示，設(shè)任取2個不同的點為D、E，第6頁（共12頁）當(dāng)?shù)膬蓚?cè)分別可以做ABDE作為圓錐的底面，有2種情況，同理以BCED、ACED為底面各有2種情況，所以共有6種情況；當(dāng)為正四棱錐的截面時，如圖，D、E兩側(cè)，ADBE種情況，同理以BDCE、ADCE為底面各有1種情況，所以共有3種情況；綜上，共有639種情況．二、選擇題：．解：P，，Q，，M{x|xP，x}，M．故選：A．．解：根據(jù)散點圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān)．故選：C．．解：由給定區(qū)間可知，a0．[a，2a]與區(qū)間[2a，a]相鄰，且區(qū)間長度相同．取a[a，2a][,]，區(qū)間[2a，a][,]，可知s0，t0A可能；aa66332取a，則[a，2a][，]，區(qū)間[2a，a][，]s0，t0aa1212664C可能；取a[a，2a][，][2a，a][，]s0，t0aa66332B可能．第7頁（共12頁）結(jié)合選項可得，不可能的是s0，t0．a(chǎn)a故選：D．M||||1正確，在雙曲線中，|max，|min0||0Q點不存在；1當(dāng)|PMminn，01|QM，n21n|故選：B．，此時|n，這與|PMminn矛盾，故錯誤．nn2三、解答題．）證明：根據(jù)題意可知//，//AA1A，11可得平面AABB//DCCD，又直線ABA，1111111AB//DCCD；11112AA1h，則根據(jù)題意可得該四棱柱的體積為(24)3h36，2h4，1AABCD，在底面ABCDA作AEBD，垂足點為E，則1E在底面ABCD內(nèi)的射影為，根據(jù)三垂線定理可得AEA即為所求，11在Rt2，AD3，4913，2361Ah4，1A4623231，二面角1A的大小為．第8頁（共12頁）x2xcca0f(x)x1，xx要使函數(shù)有意義，則x0f(x)的定義域為{x|x，cyx是奇函數(shù)，y1是偶函數(shù)，xcf(x)x1cf(x)x函數(shù)．1a1ca2c2）若函數(shù)過點f1）c321，3，得a2c3a1a1ax2ax1xaf(x)，若數(shù)f(x)與x軸負半軸有兩個不同交點，x2ax1xa即f(x)0x2ax10x0時，有兩個不同的交點，設(shè)g(x)x2ax1，2a401xx10a或a112a12a12a10133則120a，a13aa102若xa0即xa是方程x2ax10的根，1則a2aa102a2a10a或a1，211則實數(shù)a的取值范圍是a且a且a1，32111即(，)(，)．3221122PA）2，12820458PB．2525取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有12個，即P(AB)，12P(AB)P()1214146725則P(B|)．25第9頁（共12頁）1425455612P（A）PB），PA）PB）P(AB)，12525即事件A和事件B不獨立．2）由題意知X600300，150，C282322C2231則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率P12，C25C1C13CC221C18外觀和內(nèi)飾都異色的概率P12，，2549521僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率P11503002124913，150751984913P(X150)，P(X300)，P(X600)，230015075則X的分布列為：XP150300600124915014913則150300600277)．2150754x的準線為x1，A到拋物線準線的距離為，）拋物線:y2A的橫坐標為2aa22；242a，422a4時，點A的橫坐標為4(4,4)，4b4設(shè)Bb,0)的中點為(b4,2)，2由題意可得224，解得b2，2B(0)，4023則kAB，422由點斜式可得，直線的方程為y(x2)2x3y40，3第頁（共12頁）44所以原點O到直線的距離為3）如圖，；2232t2a2ta4ta設(shè)P(,t(,aH(ttakAP，44t2a2444taa2故直線的方程為ya(x)，4令x3，可得ya(a24ta(a(a24ta)，44則||ta(a24ta|，4依題意，|ta(a24ta4恒成立，4a24taa2又ta(a43a0，44a2a2則最小值為432a4232aa2a，244則a2a2a4，解得0a2，16t216t2a2t22t2)44，當(dāng)且僅當(dāng)t2時等號成立，而at，即當(dāng)a2時，也符合題意．故實數(shù)a的取值范圍為(0，2]．1）證明：f(x)，x1則過點(am1，f(m1的切線的斜率為，m111由點斜式可得，此時切線方程為ylnam1令x0，可得ym11，(xm1)yxm11，m1m1根據(jù)題意可知，mlnam11，即得證；第頁（共12頁）2）先證明不等式xx，11x設(shè)F(x)lnxxxF(x)1，xx易知當(dāng)0x1F(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x1F(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，則F(xF（1）0xx，結(jié)合（1）可知，mlnam1?m111m12；3）假設(shè)存在這樣的k符合要求，由（2）可知，數(shù)列n}為嚴格的遞減數(shù)列，n12，，，k，由（1）可知，公差dnn1lnan1n11，k，11x