江蘇省南京鼓樓區(qū)金陵匯文重點中學2023-2024學年中考數(shù)學全真模擬試卷含解析

江蘇省南京鼓樓區(qū)金陵匯文重點中學2023-2024學年中考數(shù)學全真模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知在一個不透明的口袋中有4個形狀、大小、材質完全相同的球，其中1個紅色球，3個黃色球．從口袋中隨機取出一個球（不放回），接著再取出一個球，則取出的兩個都是黃色球的概率為（）A．34 B．23 C．92．如圖，點A、B、C在⊙O上，∠OAB=25°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．135° B．115° C．65° D．50°3．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第2018個圖案中涂有陰影的小正方形個數(shù)為()A．8073 B．8072 C．8071 D．80704．已知∠BAC=45。，一動點O在射線AB上運動（點O與點A不重合），設OA=x，如果半徑為1的⊙O與射線AC有公共點，那么x的取值范圍是（）A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞5．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．66．如圖，在正方形OABC中，點A的坐標是（﹣3，1），點B的縱坐標是4，則B，C兩點的坐標分別是（）A．（﹣2，4），（1，3） B．（﹣2，4），（2，3）C．（﹣3，4），（1，4） D．（﹣3，4），（1，3）7．在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣1，0），點B的坐標是（3，0），在y軸的正半軸上取一點C，使A、B、C三點確定一個圓，且使AB為圓的直徑，則點C的坐標是（）A．（0，） B．（，0） C．（0，2） D．（2，0）8．點A（m﹣4，1﹣2m）在第四象限，則m的取值范圍是（）A．m＞ B．m＞4C．m＜4 D．＜m＜49．已知方程x2﹣x﹣2=0的兩個實數(shù)根為x1、x2，則代數(shù)式x1+x2+x1x2的值為（）A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣110．學習全等三角形時，數(shù)學興趣小組設計并組織了“生活中的全等”的比賽，全班同學的比賽結果統(tǒng)計如下表：得分（分）60708090100人數(shù)（人）7121083則得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分11．“趕陀螺”是一項深受人們喜愛的運動．如圖所示是一個陀螺的立體結構圖．已知底面圓的直徑AB＝8cm，圓柱的高BC＝6cm，圓錐的高CD＝3cm，則這個陀螺的表面積是()A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm212．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．24+2π B．16+4π C．16+8π D．16+12π二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．觀光塔是濰坊市區(qū)的標志性建筑.為測量其高度，如圖，一人先在附近一樓房的底端Ａ點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°，已知樓房高AB約是45m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)可求觀光塔的高CD是______m.14．關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根為x1＝1，x2＝2，則x2+bx+c分解因式的結果為_____．15．計算：=_______．16．=__________17．如圖，一根直立于水平地面的木桿AB在燈光下形成影子AC（AC＞AB），當木桿繞點A按逆時針方向旋轉，直至到達地面時，影子的長度發(fā)生變化．已知AE＝5m，在旋轉過程中，影長的最大值為5m，最小值3m，且影長最大時，木桿與光線垂直，則路燈EF的高度為_____m．18．將一次函數(shù)的圖象平移，使其經過點（2，3），則所得直線的函數(shù)解析式是______．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（﹣1，0），B（，0），且與y軸相交于點C．（1）求這條拋物線的表達式；（2）求∠ACB的度數(shù)；（3）點D是拋物線上的一動點，是否存在點D，使得tan∠DCB=tan∠ACO．若存在，請求出點D的坐標，若不存在，說明理由．20．（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE，求證：∠DAE＝∠ECD．21．（6分）綜合與實踐：概念理解：將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉，旋轉角記為θ（0°≤θ≤90°），并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得到△AB′C′，如圖，我們將這種變換記為［θ，n］，：．問題解決：（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換［θ，n］得到△AB′C′，使點B，C，C′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值．拓廣探索：（3）在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=90°，對△ABC作變換得到△AB′C′，則四邊形ABB′C′為正方形22．（8分）某電器商場銷售甲、乙兩種品牌空調，已知每臺乙種品牌空調的進價比每臺甲種品牌空調的進價高20％，用7200元購進的乙種品牌空調數(shù)量比用3000元購進的甲種品牌空調數(shù)量多2臺．求甲、乙兩種品牌空調的進貨價；該商場擬用不超過16000元購進甲、乙兩種品牌空調共10臺進行銷售，其中甲種品牌空調的售價為2500元／臺，乙種品牌空調的售價為3500元／臺．請您幫該商場設計一種進貨方案，使得在售完這10臺空調后獲利最大，并求出最大利潤．23．（8分）已知：如圖1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為2cm/s；同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向點C勻速運動，速度為lcm/s；連接PQ，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），解答下列問題：（1）當為t何值時，PQ∥BC；（2）設△AQP的面積為y（cm2），求y關于t的函數(shù)關系式，并求出y的最大值；（3）如圖2，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，是否存在某時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．24．（10分）計算﹣14﹣25．（10分）關于的一元二次方程有實數(shù)根．求的取值范圍；如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．26．（12分）中央電視臺的“朗讀者”節(jié)目激發(fā)了同學們的讀書熱情，為了引導學生“多讀書，讀好書“，某校對八年級部分學生的課外閱讀量進行了隨機調查，整理調查結果發(fā)現(xiàn)，學生課外閱讀的本書最少的有5本，最多的有8本，并根據(jù)調查結果繪制了不完整的圖表，如圖所示：本數(shù)（本）頻數(shù)（人數(shù)）頻率5a0.26180.1714b880.16合計50c我們定義頻率=，比如由表中我們可以知道在這次隨機調查中抽樣人數(shù)為50人課外閱讀量為6本的同學為18人，因此這個人數(shù)對應的頻率就是=0.1．（1）統(tǒng)計表中的a、b、c的值；（2）請將頻數(shù)分布表直方圖補充完整；（3）求所有被調查學生課外閱讀的平均本數(shù)；（4）若該校八年級共有600名學生，你認為根據(jù)以上調查結果可以估算分析該校八年級學生課外閱讀量為7本和8本的總人數(shù)為多少嗎？請寫出你的計算過程．27．（12分）某校師生到距學校20千米的公路旁植樹，甲班師生騎自行車先走，45分鐘后，乙班師生乘汽車出發(fā)，結果兩班師生同時到達，已知汽車的速度是自行車速度的2.5倍，求兩種車的速度各是多少？

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、D【解析】試題分析：列舉出所有情況，看取出的兩個都是黃色球的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可.試題解析：畫樹狀圖如下：共有12種情況，取出2個都是黃色的情況數(shù)有6種，所以概率為12故選D.考點：列表法與樹狀法.2、B【解析】

由OA=OB得∠OAB=∠OBA=25°，根據(jù)三角形內角和定理計算出∠AOB=130°，則根據(jù)圓周角定理得∠P=

∠AOB，然后根據(jù)圓內接四邊形的性質求解．【詳解】解:在圓上取點

P

，連接

PA

、

PB.∵OA=OB

，∴∠OAB=∠OBA=25°

，∴∠AOB=180°?2×25°=130°

，∴∠P=∠AOB=65°，∴∠ACB=180°?∠P=115°.故選B.【點睛】本題考查的是圓，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.3、A【解析】

觀察圖形可知第1個、第2個、第3個圖案中涂有陰影的小正方形的個數(shù)，易歸納出第n個圖案中涂有陰影的小正方形個數(shù)為：4n+1，由此求解即可.【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1個圖案中涂有陰影的小正方形個數(shù)為：5=4×1+1；第2個圖案中涂有陰影的小正方形個數(shù)為：9=4×2+1；第3個圖案中涂有陰影的小正方形個數(shù)為：13=4×3+1；…發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個圖案中涂有陰影的小正方形個數(shù)為：4n+1；∴第2018個圖案中涂有陰影的小正方形個數(shù)為：4n+1=4×2018+1=1．故選：A．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已有圖形確定其變化規(guī)律是解題的關鍵.4、C【解析】如下圖，設⊙O與射線AC相切于點D，連接OD，∴∠ADO=90°，∵∠BAC=45°，∴△ADO是等腰直角三角形，∴AD=DO=1，∴OA=，此時⊙O與射線AC有唯一公共點點D，若⊙O再向右移動，則⊙O與射線AC就沒有公共點了，∴x的取值范圍是.故選C.5、C【解析】

如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=1．故選C．考點：勾股定理的證明．6、A【解析】

作CD⊥x軸于D，作AE⊥x軸于E，作BF⊥AE于F，由AAS證明△AOE≌△OCD，得出AE=OD，OE=CD，由點A的坐標是（﹣3，1），得出OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，得出C（1，3），同理：△AOE≌△BAF，得出AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，得出B（﹣2，4）即可．【詳解】解：如圖所示：作CD⊥x軸于D，作AE⊥x軸于E，作BF⊥AE于F，則∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，∴∠OAE+∠AOE=90°．∵四邊形OABC是正方形，∴OA=CO=BA，∠AOC=90°，∴∠AOE+∠COD=90°，∴∠OAE=∠COD．在△AOE和△OCD中，∵，∴△AOE≌△OCD（AAS），∴AE=OD，OE=CD．∵點A的坐標是（﹣3，1），∴OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，∴C（1，3）．同理：△AOE≌△BAF，∴AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，∴B（﹣2，4）．故選A．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、坐標與圖形性質；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．7、A【解析】

直接根據(jù)△AOC∽△COB得出OC2=OA?OB，即可求出OC的長，即可得出C點坐標．【詳解】如圖，連結AC，CB.

依△AOC∽△COB的結論可得：OC2=OAOB，即OC2=1×3=3，解得：OC=或?(負數(shù)舍去)，故C點的坐標為(0,).故答案選：A.【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，解題的關鍵是熟練的掌握坐標與圖形的性質.8、B【解析】

根據(jù)第四象限內點的橫坐標是正數(shù)，縱坐標是負數(shù)列出不等式組，然后求解即可．【詳解】解：∵點A（m-1，1-2m）在第四象限，

∴解不等式①得，m＞1，

解不等式②得，m＞所以，不等式組的解集是m＞1，

即m的取值范圍是m＞1．

故選B．【點睛】本題考查各象限內點的坐標的符號特征以及解不等式，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．9、D【解析】分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求出x1＋x2和x1x2的值，然后代入x1＋x2＋x1x2計算即可.詳解：由題意得，a=1,b=-1,c=-2,∴,,∴x1＋x2＋x1x2=1+(-2)=-1.故選D.點睛：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根與系數(shù)的關系，若x1,x2為方程的兩個根，則x1,x2與系數(shù)的關系式：，.10、C【解析】

解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可知70出現(xiàn)的次數(shù)最多，可知其眾數(shù)為70分；把數(shù)據(jù)按從小到大排列，可知其中間的兩個的平均數(shù)為80分，故中位數(shù)為80分．故選C．【點睛】本題考查數(shù)據(jù)分析．11、C【解析】試題分析：∵底面圓的直徑為8cm，高為3cm，∴母線長為5cm，∴其表面積=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故選C．考點：圓錐的計算；幾何體的表面積．12、D【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是一個半徑為2、高為4的圓柱體的縱向一半，據(jù)此求解可得．【詳解】該幾何體的表面積為2×?π?22+4×4+×2π?2×4=12π+16，故選：D．【點睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是根據(jù)三視圖得出幾何體的形狀及圓柱體的有關計算．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、135【解析】試題分析：根據(jù)題意可得：∠BDA=30°,∠DAC=60°,在Rt△ABD中，因為AB=45m，所以AD=m，所以在Rt△ACD中，CD=AD=×=135m．考點：解直角三角形的應用．14、(x﹣1)(x﹣2)【解析】

根據(jù)方程的兩根，可以將方程化為：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0）的形式，對比原方程即可得到所求代數(shù)式的因式分解的結果．【詳解】解：已知方程的兩根為：x1＝1，x2＝2，可得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x2+bx+c＝（x﹣1）（x﹣2），故答案為：（x﹣1）（x﹣2）.【點睛】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常數(shù)），若方程的兩根是x1和x2，則ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）15、3【解析】

先把化成，然后再合并同類二次根式即可得解.【詳解】原式=2.故答案為【點睛】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行然后合并同類二次根式．16、2；【解析】試題解析：先求-2的平方4，再求它的算術平方根，即：.17、7.5【解析】試題解析：當旋轉到達地面時，為最短影長，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影長最大時，木桿與光線垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE，∴∵AE=5m，∴解得：EF=7.5m.故答案為7.5.點睛：相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例.18、【解析】試題分析：解：設y=x+b，∴3=2+b，解得：b=1．∴函數(shù)解析式為：y=x+1．故答案為y=x+1．考點：一次函數(shù)點評：本題要注意利用一次函數(shù)的特點，求出未知數(shù)的值從而求得其解析式，求直線平移后的解析式時要注意平移時k的值不變．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D點坐標為（1，2）或（4，﹣25）．【解析】

（1）設交點式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣），展開得到﹣a=3，然后求出a即可得到拋物線解析式；（2）作AE⊥BC于E，如圖1，先確定C（0，3），再分別計算出AC=，BC=，接著利用面積法計算出AE=，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求出∠ACE即可；（3）作BH⊥CD于H，如圖2，設H（m，n），證明Rt△BCH∽Rt△ACO，利用相似計算出BH=，CH=，再根據(jù)兩點間的距離公式得到（m﹣）2+n2=（）2，m2+（n﹣3）2=（）2，接著通過解方程組得到H（，﹣）或（），然后求出直線CD的解析式，與二次函數(shù)聯(lián)立成方程組，解方程組即可．【詳解】（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣），即y=ax2﹣ax﹣a，∴﹣a=3，解得：a=﹣2，∴拋物線解析式為y=﹣2x2+x+3；（2）作AE⊥BC于E，如圖1，當x=0時，y=﹣2x2+x+3=3，則C（0，3），而A（﹣1，0），B（，0），∴AC==，BC==AE?BC=OC?AB，∴AE==．在Rt△ACE中，sin∠ACE===，∴∠ACE=45°，即∠ACB=45°；（3）作BH⊥CD于H，如圖2，設H（m，n）．∵tan∠DCB=tan∠ACO，∴∠HCB=∠ACO，∴Rt△BCH∽Rt△ACO，∴==，即==，∴BH=，CH=，∴（m﹣）2+n2=（）2=，①m2+（n﹣3）2=（）2=，②②﹣①得m=2n+，③，把③代入①得：（2n+﹣）2+n2=，整理得：80n2﹣48n﹣9=0，解得：n1=﹣，n2=．當n=﹣時，m=2n+=，此時H（，﹣），易得直線CD的解析式為y=﹣7x+3，解方程組得：或，此時D點坐標為（4，﹣25）；當n=時，m=2n+=，此時H（），易得直線CD的解析式為y=﹣x+3，解方程組得：或，此時D點坐標為（1，2）．綜上所述：D點坐標為（1，2）或（4，﹣25）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題．熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質和相似三角形的判定的性質；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，把求兩函數(shù)交點問題轉化為解方程組的問題；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．20、見解析,【解析】

要證∠DAE=∠ECD．需先證△ADF≌△CEF，由折疊得BC=EC，∠B=∠AEC，由矩形得BC=AD，∠B=∠ADC=90°，再根據(jù)等量代換和對頂角相等可以證出，得出結論．【詳解】證明：由折疊得：BC=EC，∠B=∠AEC，∵矩形ABCD，∴BC=AD，∠B=∠ADC=90°，∴EC=DA，∠AEC=∠ADC=90°，又∵∠AFD=∠CFE，∴△ADF≌△CEF（AAS）∴∠DAE=∠ECD．【點睛】本題考查折疊的性質、矩形的性質、全等三角形的性質和判定等知識，借助于三角形全等證明線段相等和角相等是常用的方法．21、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）根據(jù)定義可知△ABC∽△AB′C′，再根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可；（2）根據(jù)四邊形是矩形，得出，進而得出，根據(jù)30°直角三角形的性質即可得出答案；（3）根據(jù)四邊形ABB′C′為正方形，從而得出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：（1）∵△AB′C′的邊長變?yōu)榱恕鰽BC的n倍，∴△ABC∽△AB′C′，∴，故答案為：．（2）四邊形是矩形，∴．．在中，，．．．（3）若四邊形ABB′C′為正方形，則，，∴，∴，又∵在△ABC中，AB=，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了幾何變換中的新定義問題，以及相似三角形的判定和性質，理解［θ，n］的意義是解題的關鍵．22、（1）甲種品牌的進價為1500元，乙種品牌空調的進價為1800元；（2）當購進甲種品牌空調7臺，乙種品牌空調3臺時，售完后利潤最大，最大為12100元【解析】

（1）設甲種品牌空調的進貨價為x元/臺，則乙種品牌空調的進貨價為1.2x元/臺，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結論；（2）設購進甲種品牌空調a臺，所獲得的利潤為y元，則購進乙種品牌空調（10-a）臺，根據(jù)總價=單價×數(shù)量結合總價不超過16000元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再由總利潤=單臺利潤×購進數(shù)量即可得出y關于a的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質即可解決最值問題．【詳解】（1）由（1）設甲種品牌的進價為x元，則乙種品牌空調的進價為（1+20%）x元，由題意，得，解得x=1500，經檢驗，x=1500是原分式方程的解，乙種品牌空調的進價為（1+20%）×1500=1800（元）.答：甲種品牌的進價為1500元，乙種品牌空調的進價為1800元；（2）設購進甲種品牌空調a臺，則購進乙種品牌空調（10-a）臺，由題意，得1500a+1800（10-a）≤16000，解得≤a，設利潤為w，則w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000，因為-700<0，則w隨a的增大而減少，當a=7時，w最大，最大為12100元.答：當購進甲種品牌空調7臺，乙種品牌空調3臺時，售完后利潤最大，最大為12100元.【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用、分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量=總價÷單價列出關于x的分式方程；（2）根據(jù)總利潤=單臺利潤×購進數(shù)量找出y關于a的函數(shù)關系式．23、（1）當t=時，PQ∥BC；（2）﹣（t﹣）2+，當t=時，y有最大值為；（3）存在，當t=時，四邊形PQP′C為菱形【解析】

（1）只要證明△APQ∽△ABC，可得=，構建方程即可解決問題；（2）過點P作PD⊥AC于D，則有△APD∽△ABC，理由相似三角形的性質構建二次函數(shù)即可解決問題；

（3）存在．由△APO∽△ABC，可得=，即=，推出OA=（5﹣t），根據(jù)OC=CQ，構建方程即可解決問題；【詳解】（1）在Rt△ABC中，AB===10，BP=2t，AQ=t，則AP=10﹣2t，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴=，即=，解得t=，∴當t=時，PQ∥BC．（2）過點P作PD⊥AC于D，則有△APD∽△ABC，∴=，即=，∴PD=6﹣t，∴y=t（6﹣t）=﹣（t﹣）2+，∴當t=時，y有最大值為．（3）存在．理由：連接PP