直線與直線垂直教案設(shè)計(jì)

8.6.1直線與直線垂直教案

課題直線與直線垂直單元第八單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二

本節(jié)內(nèi)容是空間直線與直線垂直，由常見立體圖形導(dǎo)入，進(jìn)而引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

教材

分析

教學(xué)1.數(shù)學(xué)抽象：通過將實(shí)際物體抽象成空間圖形并觀察直線與直線垂直關(guān)系。

目標(biāo)2.邏輯推理：通過例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。

與核3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的形在講解時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生立體感及邏輯推理能力，有利

心素于數(shù)學(xué)建模中推理能力。

養(yǎng)4.空間想象：本節(jié)重點(diǎn)是考查學(xué)生空間想象能力。

重點(diǎn)直線與直線垂直，異面直線夾角

難點(diǎn)直線與直線垂直判定，求異面直線夾角

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課前面我們認(rèn)識(shí)了空間直線的平行關(guān)系，那么空間中學(xué)生思考問問題導(dǎo)入引出新

的垂直又是什么樣的呢？題，引出本節(jié)知。

n/新課內(nèi)容。

講授新課根據(jù)實(shí)例觀察段煉學(xué)生空間想

1.探究：如圖在正方體ABCD~A'B'CD'中，

體會(huì)線線垂直象能力

直線A'C與直線AB,直線A'D'與直線AB都

是異面直線，直線A'C與A'D'相對(duì)于直線

AB#了位置關(guān)系相同嗎？

D'_____________________C

B,

A'

1

1

1

1________

/DC

?/

A3

講授新課不同

2.異面直線夾角：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間

任意一點(diǎn)0分別作a'//a,b'//b,我們把a(bǔ)'與b'

探究異面直線掌握異面直線所

所成角叫做異面直線a與b所成角（或夾角）

夾角成角范圍

3.如果兩條異面直線夾角為90°,那我們就說這兩

條異面直線互相垂直。記作a±b當(dāng)兩條直線平行

時(shí)規(guī)定所成角為0°。所以異面直線所成角范圍0°

Wa<90°

4.想一想：在平面幾何中，垂直于同一直線的兩直

線互相平行，在空可中這個(gè)結(jié)論還成立嗎？

不成立反例如圖。

5.練習(xí)一

1.異面直線所成的角的大小與0點(diǎn)的位置有關(guān)，即

學(xué)生獨(dú)立完成段煉學(xué)生解決問

0點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同.（

練習(xí)一題能力，培養(yǎng)其

）

空間想象能力

2.異面直線a與b所成角可以是0°.（）

3.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，

那么另一條直線也與這條直線垂直.（）

注意：1.異面直線所成的角的大小與。點(diǎn)的位置

無關(guān).

2.當(dāng)直線a與b所成角是0。時(shí)，兩直線平行，即

共面.

例一：如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'學(xué)生獨(dú)立思考段煉學(xué)生空間想

(1)哪些棱所在直線與直線AA'垂直？例一象能力

(2)求直線BA'與CC'所成角的大小

(3)求直線BA'與AC所成角的大小

:0

解(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C,CD',D'

A,所在直線分別與AA'垂直。

(2)因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方體，所以

BB'〃(:C',因此NA'BB'為直線BA'與CC'

所成的角。又因?yàn)镹A'BB'=45°,所以直線BA'

與CC'所成角等于45°。

(3)如圖，連接A'C',因?yàn)锳BCD-A'B'C'

D'是正方體，所以AA'//CC且AA'=CC',

從而四邊形AA'CC'是平行四邊形，所以AC〃A'

C'。于是NBA'C為異面直線BA'與AC所成

的角。連接BC',易知BC'是等邊三角形，

所以NBA'C'=60%從而異面直線BA'與AC

所成角等于60%

O

求兩條異面直線所成的角的一般步驟

(1)構(gòu)造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線

或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角.

(2)計(jì)算角：求角度，常利用三角形.

(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就讓學(xué)生總結(jié)求段煉學(xué)生總結(jié)能

是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則異面直線夾角力，有助有數(shù)學(xué)

它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.的步驟建模

6.例二：如圖在正方體ABCD-A'B'C'D'中，

0'為底面A'B'CD'的中心，求證：A0'±

BD

(---_

0.

學(xué)生獨(dú)立思考

例二

證明:如圖，連接B'D',：ABCD-A'B'CD'

是正方體加深對(duì)知識(shí)的掌

握

BB/〃DD',BB'=DD'

四邊形BB'DD'是平行四邊形

AB'D'//BD

二直線AO'與B'D'所成角即為直線A。’與

BD所成角

連接AB',AD'易證AB'=AD*

又O'為底面A'B'CD'的中心...O'為B'

D'的中點(diǎn)

/.A0,JLB'D,,A0*±BD

p,e

,0.

AB

7.例三

如圖所示，四面體A-BCD中，E,F分別是AB,CD

的中點(diǎn).若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=

2.求EF的長度.

小組討論例三

A

并給出答案

培養(yǎng)其邏輯推理

能力

c

解:取BC中點(diǎn)0,連接0E,0F,如圖。

VE,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，.?.0E//AC且

0E=l/2AC,0F//AC且0F=l/2BD,A0E與0F所成的銳

角就是AC與BD所成的角

TBD,AC所成角為60°,/.ZE0F=60o或120°；

BD=AC=2,

...OE=OF=1當(dāng)NE0F=60°時(shí)，EF=OE=OF=1,當(dāng)N

E0F=120°時(shí),取EF的中點(diǎn)M,連接0M,則0MLEF,

且NE0M=60°.*.EM=T,；.EF=2EM=6

4

ACxl/T

c

8.練習(xí)二通過練習(xí)逐步培

如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中AB做一做養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)

與CD的位置關(guān)系為（）用實(shí)際的。

A.相交B.平行C.既不相交，也不平行D.

不能確定

解：由題，則正方體的直觀圖如圖所示,

易知，AB與CD既不平行，也不相交，

故選:C

9.練習(xí)三

四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面

互相垂直,則異面直線AP與BD所成的角為

解：畫出圖如圖所示，將AP平移到BE的位置，連

接DE,則角DBE即是兩條異面直線所成的角.由于

三角形BDE為等邊三角形，故兩條異面直線所成的

角為60°

10.利用勾股定理證直線與直線垂直

在棱長為4的正四面體ABCD中，求異面直線AB和

CD所成的角

解：取BC中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)M,AD中點(diǎn)F,連接

EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB

AZEMF即異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角

MF=ME=2,EF=z近

.4.MF2+ME2=EF2

:.ZEMF=90°

二異面直線AB和CD的夾角是90°。

11.練習(xí)四

如圖，在正方體中，N,M,P分別是A1B1,CC1,AD

的中點(diǎn)，則異面直線D1N與MP所成角的大小是

()

A90°B60°C45°D30°

___.C,

卜

k______1

課堂練習(xí)

一、已知長方體ABCD-A.B.CiD,,AB=1,AD=2,AAFI

獨(dú)立完成練習(xí)加深對(duì)本節(jié)新知

則異面直線AB與AC所成角的余弦值為

的掌握

二、已知點(diǎn)M、N分別為正方體ABCD-A'B'C

D'的棱A'B'與AA'的中點(diǎn)，平面DNM與平面

ABCD的交線記為1,則1與CM所成角的大小為

三、在正方體ABCD-A'B'CD'中，直線AC'