小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解共2課《圖形的剪拼2》及《簡單的幻方及其他數(shù)陣圖》試題附答案

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第10課《圖形的剪拼2》試題附答案

第十講圖形的剪拼（二）

類似棋盤圖形的剪拼問題更需要我們認(rèn)真的思考、周密的分析，雖然有的

問題難度較大，但通過我們的探索，還是能尋找到規(guī)律性的.

例1如右圖所示，請將這個(gè)正方形分切成兩塊，使得兩塊的形狀、大小都

相同，并且每一塊都含有A、B,C,D,E五個(gè)字母.

例2如右圖所示.請將這個(gè)正方形切成四塊，使得它們彼此之間的形狀和大小

都相同，而且每塊當(dāng)中都含有A、B、C、D四個(gè)字母.

nCAA

BBCD

ADCA

BCDB

例3如右圖所示的正方形是由36個(gè)小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4

顆白子，現(xiàn)在要把它切割成形狀、大小都相同的四塊，并使每一塊中都有一顆

黑子和一顆白子.試問如何切割？

例4如下貝圖，甲、乙是兩個(gè)大小一樣的正方形.要求把每一個(gè)正方形分成四

塊，兩個(gè)正方形共分為八塊，使每塊的大小和形狀都相同，而且都帶一個(gè)O.

例5如右圖所示，請將這個(gè)正方形分成大小和形狀都一樣的四塊，并且使每一

塊都有A、B,C、D四個(gè)字母.

BAA

AB

ADD

CCCC

DD

BB

例6如下圖長方形的長、寬分別為120厘米、90厘米，正中央開有小長方形

孔，長為80厘米，寬為10厘米，要拼成面積為100平方厘米的正方形.問如何切

分，能使劃分的塊數(shù)最少.

答案

第十講圖形的剪拼（二）

類似棋盤圖形的剪拼問題更需要我們認(rèn)真的思考、周密的分析，雖然有的

問題難度較大，但通過我們的探索，還是能尋找到規(guī)律性的.

例1如右圖所示，請將這個(gè)正方形分切成兩塊，使得兩塊的形狀、大小都

相同，并且每一塊都含有A、B,C,D,E五個(gè)字母.

E

BBD

DEC

AAC

分析圖中有相同字母接在一起的情況，肯定要從它們之間切開，因此，首

先要在它們之間劃出切分線.因?yàn)橐獙⑦@個(gè)正方形切開成兩塊形狀和大小都一樣

的圖形，所以其中一塊繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°必定與另一塊重合.要是把切分線也

繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°就可得到一些新的切分線.這就為我們解決問題提供了線

索，本題的兩種解法如下圖所示.

例2如右圖所示.請將這個(gè)正方形切成四塊，使得它們彼此之間的形狀和大小

都相同，而且每塊當(dāng)中都含有A、B、C、D四個(gè)字母.

DCAA

BBCD

ADCA

BCDB

分析先將圖中兩個(gè)相同字母挨在一起的之間劃出切分線.因?yàn)橐颜叫?/p>

切成形狀大小完全相同的四塊，其中一塊繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180。、270°之

后必定分別和另外三塊重合.那么畫出的切分線在繞中心旋轉(zhuǎn)90°、180°、

270。之后得到一些新的切分線，從而為我們解決問題提供了線索.

同時(shí)我們知道：所分成的四塊面積每一塊都應(yīng)是正方形面積的;，即一

塊里都應(yīng)包含有四個(gè)小正方形.本題解答如右圖所示.

DCAA

BBCD

ADCA

BCDB

例3如右圖所示的正方形是由36個(gè)小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4

顆白子，現(xiàn)在要把它切割成形狀、大小都相同的四塊，并使每一塊中都有一顆

黑子和一顆白子.試問如何切割？

分析首先在相同顏色的棋子之間劃出切分線，以中心旋轉(zhuǎn)90°、180。、

270。之后，得一些新的切分線，同時(shí)考慮到每塊包含有一顆黑子和一

顆白子的要求.以及每塊面積是正方形面積的1,即含有9個(gè)小正方格.

找到了符合要求的其中一塊之后，讓它繞中心旋轉(zhuǎn)90°、180。、270。便

得到其他三塊，如右圖.

例4如下員圖，甲、乙是兩個(gè)大小一樣的正方形.要求把每一個(gè)正方形分成四

塊，兩個(gè)正方形共分為八塊，使每塊的大小和形狀都相同，而且都帶一個(gè)O.

分析一個(gè)正方形分成大小和形狀都相同的四塊，一定是從中心點(diǎn)分開的，

只要能找出其中符合題目要求的一塊，然后再將這塊繞著正方形的中心點(diǎn)分別

旋轉(zhuǎn)90°、180。、270°就可以得到另外三塊.又因?yàn)檫@個(gè)正方形面積為36平方

單位，所以分成的每一塊的面積都是9平方單位.即每一塊都由9個(gè)小正方格組

成.另外，由于兩個(gè)正方形要切分成一樣大小的四塊，因此可將兩個(gè)正方形重疊

在一起考慮.

解：①將兩個(gè)正方形重疊在一起，如右圖所示，為便于區(qū)別，將其中一組

的”改寫成“X”.按要求將這重疊的正方形切分成大小、形狀都相同的四

塊，并且每塊都有一個(gè)“O”和“X

xO

Ox

O

②圖中有相同符號的“O”挨在一起的從中間把它們切開，在它們中間劃

上截線.并將這些截線繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180°、270。得到另外三段截線.如

右圖.利用它們設(shè)想出劃分線.

③設(shè)想分塊從中心位置開始，逐步向外擴(kuò)散，在里層方格中，先指定某一

方格已分入到某小塊中，并作上記號（斜線陰影），然后將它繞中心旋轉(zhuǎn)180。

后得到另一方格分入到另一小塊中，也作上記號（橫線陰影），如右圖.

XO

1OX

物

—

—X1

O

對于中間一層方格和最外一層方格，設(shè)想分塊時(shí)一定要緊扣條件：每一塊

中都要有一個(gè)“O”和一個(gè)“X”.每一塊都有9個(gè)方格組成，不能斷開.下圖是

分解了的分塊過程示意圖.

④注意到斜線陰影部分己經(jīng)有了一個(gè)“O”和一個(gè)“X那么左下角包含

”的方格就不能再分到斜線陰影部分去了，而只能將右下角的方格分到斜

線陰影部分.于是左上角的方格就應(yīng)該分給橫線陰影部分.空白部分是另外兩塊.

右圖就是最后分得的結(jié)果.

MH

B建

X

二Bo

B物%

二■=

一X

。

眼分

一

例5如右圖所示，請將這個(gè)正方形分成大小和形狀都一樣的四塊，并且使每一

塊都有A、B、C,D四個(gè)字母.

BAA

AB

ADD

CCCC

DD

BB

分析這個(gè)正方形的面積是8X8=64（平方單位），切開后每一小塊應(yīng)是16

平方單位（即由16個(gè)小方格組成），由于要求分成的四塊形狀、大小都相同，

必定是由中心點(diǎn)分開的.而且其中一塊若繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180。、2700后必

定和其他三塊重合.

解：①將兩個(gè)相同字母并列在一起的中間劃出切分線，并將它們分別繞中

心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°,得到相應(yīng)的另三段切分線.如下左圖所示.

②從最里層開始，沿著畫出的切分線作設(shè)想分塊，注意到題目的要求，找

到滿足要求題目的一塊，如下右圖中陰影部分

BAiA

—

ABI

ADU

百CC1

11DD

目B

1

1———

③將上面的陰影部分繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，可以得到符合條件的另一塊，這

樣兩塊空白部分也符合條件，最后劃分的結(jié)果如右圖所示.

例6如下圖長方形的長、寬分別為120厘米、90厘米，正中央開有小長方形

孔，長為80厘米，寬為10厘米，要拼成面積為100平方厘米的正方形.問如何切

分，能使劃分的塊數(shù)最少.

分析切分前面積為12X90-80X10=10000（平方厘米）應(yīng)與拼成后的正方

形面積相等.拼成后正方形的邊長x=l00厘米.因?yàn)椋?00=120-20=90+10.假設(shè)上

貝圖切成兩塊如下左圖，然后將右塊向上平移10厘米，再向左平移20厘米，就

拼成了一個(gè)正方形，切分線不可能是直線，一定是折線段.切分后的兩塊類似階

梯形，然后由兩個(gè)階梯互相嚙合，組成一個(gè)正方形，如下右圖.

id

習(xí)題十

L把右圖劃分成形狀、大小完全相同的4塊，而且每塊中有一個(gè)字母.

2.將下圖中的各圖分別切成大小、形狀相同的三塊，使每塊都帶有一個(gè)小

圓圈

O

(1)

3.將右圖分成4塊，使它們的形狀、大小都相同并且每塊內(nèi)都有一個(gè)小圓圈

“O”

4.如下圖有兩個(gè)正方形，請把每一個(gè)正方形分成兩塊，兩個(gè)正方形共四

四年級奧數(shù)上冊：第十講圖形的剪拼（二）習(xí)題解答

習(xí)題十解答

1.

2.

3.

4.提示：把兩個(gè)正方形重疊在一起考慮，為便于區(qū)別.將第（1）組A、B、

C,D改寫成a、b、c、d,為使相同字母不在同一塊中，先在它們之間劃上切分

線，然后繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，又可以找到一些新的切分線，就可以逐步確定各

塊的劃分線，切分方法如下面系列圖.

BD

Bbbd

ACC

dAc

aac

D

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第11課《簡單的幻方及其

他數(shù)陣圖》試題附答案

第十一講簡單的幻方及其他數(shù)陣圖

有關(guān)幻方問題的研究在我國已流傳了兩千多年，它是具有獨(dú)特形式的填數(shù)

字問題.宋朝的楊輝將幻方命名為“縱橫圖.”并探索出一些解答幻方問題的方

法.隨著歷史的進(jìn)展，許多人對幻方做了進(jìn)一步的研究，創(chuàng)造了許多絢麗多彩的

幻方.

據(jù)傳說在夏禹時(shí)代，洛水中出現(xiàn)過一只神龜，背上有圖有文，后人稱它為

“洛書

洛書所表示的幻方是在3X3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填

上9這九個(gè)數(shù)，使每行、每列、及二條對角線上各自三數(shù)之和均相等，這樣

的3X3的數(shù)陣陣列稱為三階幻方.

一般地說，在nXn（n行必。的方格里，既不重復(fù)又不遺漏地填上n2個(gè)連

續(xù)的自然數(shù)（一般從1開始，也可不從1開始）每個(gè)數(shù)占一格，并使排在任一

行、任一列和兩條對角線上的n個(gè)自然數(shù)的和都相等，這樣的數(shù)表叫做n階幻方.

這個(gè)和叫做幻和，n叫做階.

楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中，總結(jié)洛書幻方構(gòu)造方法時(shí)寫到：“九子排

列，上、下對易，左右相更，四維挺出現(xiàn)用下圖對這四句話進(jìn)行解釋.

1

99

42

4242

753

753357

868686

911

(1)(2)(3)（4）

上、下對易

九子排列左右相更四維挺出

九子排列上、下對易左右相更四維梃出

怎樣構(gòu)造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中間位置的數(shù)，最后根據(jù)

奇、偶情況試填其他方格內(nèi)的數(shù).

下面我們就來介紹一些簡單的幻方.

例1將1~9這九個(gè)數(shù)，填入下左圖中的方格中，使每行、每列、兩條對角線上

三個(gè)數(shù)字的和都相等.

例2在右圖中的A、B、C、D處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使右圖成為一個(gè)三階幻方.

□

國0

00

例3將右圖中的數(shù)重新排列，使得橫行、豎行、對角線上的三個(gè)數(shù)的和都相

BS3

3

3

例4將1、2,3,4,5、6,7、8、9這九個(gè)數(shù)字，分別填入3X3陣列中的九個(gè)

方格，使第二行組成的三位數(shù)是第一行組成的三位數(shù)的2倍，第三行組成的三位

數(shù)是第一行組成的三位數(shù)的3倍.

□

kE

ES□

例5在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5,第二行第一列位置上填6,如下

左圖.請你在其他方格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個(gè)方向的三個(gè)數(shù)之

和均為27.

例6請編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為24.

go"4問物111123157

例7如右圖’將2、3'4'6'3'4'12'12,12

九個(gè)數(shù)字分別填在右圖的圓內(nèi)，使每一橫行、每一豎行、兩對角線中三個(gè)數(shù)的

和都相等.

答案

例1將1?9這九個(gè)數(shù)，填入下左圖中的方格中，使每行、每列、兩條對角線上

三個(gè)數(shù)字的和都相等.

分析為了便于敘述，先用字母表示圖中要填寫的數(shù)字.如上右圖所示.

解答這個(gè)題目，可以分三步解決：

①先求出每行、每列三個(gè)數(shù)的和是多少？

②再求中間位置的數(shù)是多少？此題是求E=?

③最后試填其他方格里的數(shù).

?/A+B+C+D+E+F+G+H+I

=1+2+3+4+5+64-7+8+9

=45.

/.A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.

二B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.

A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E

=(A+E+l)(B+E+H)+(C+E+G)+(D+E+F)

=15X4.

45+3E=60

3E=15

E=5.

這樣，正中央格中的數(shù)一定是5.

由于在同一條直線的三個(gè)數(shù)之和是15,因此若某格中的數(shù)是奇數(shù)，那么與

這個(gè)數(shù)在同一條直線上的另兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同.

因此，四個(gè)角上的數(shù)A、C、G、I必為偶數(shù).（否則，若A為奇數(shù)，則I為奇

數(shù).此時(shí)若B為奇數(shù)，則其余所有格亦為奇數(shù)；若B為偶數(shù)，則其余所有格亦為偶

數(shù).無論哪種情形，都與1至9中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)這一事實(shí)矛盾.）

因此，B,D,F,H為奇數(shù).

我們不妨認(rèn)為A=2（否則，可把3X3方格繞中心塊旋轉(zhuǎn)即能做到這一點(diǎn)）.

此時(shí)1=8.

此時(shí)有兩種選擇：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的數(shù)隨之而定.

因此，如果把經(jīng)過中心塊旋轉(zhuǎn)而能完全重合的兩種填數(shù)法視作一種的話，

一共只有兩種不同的填數(shù)法：A=2,C=4或A=Z,G=4（2,4敝確定位置后，算他

數(shù)的位置隨之而定）.

解：按照上面的分析,我們可以得到兩個(gè)解（還有另外6個(gè)可以由這兩個(gè)解

經(jīng)過繞中心塊旋轉(zhuǎn)而得到,請大家白己完成）.

例2在右圖中的A、B、C、D處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使右圖成為一個(gè)三階幻方.

□0

E國

000

分析與解答

①從1行和3列得:

A+12+D=D+20+ll

A+12=20+11

A=19.

②觀察對角線上的三個(gè)數(shù)的總和，實(shí)際上它即為每行、每列的三個(gè)數(shù)的和.

對角線上的三個(gè)數(shù)的和：

A+15+U=19+15+ll=45.

③B=45-（16+19）=10.

④D=45-（20+11）=14.

⑤C=45-（16+11）=18.

/.A=19,B=10,C=18,D=14.

例3將右圖中的數(shù)重新排列，使得橫行、豎行、對角線上的三個(gè)數(shù)的和都相

B

國

分析己知題目中只給了3個(gè)數(shù)，22、30、38,而每個(gè)數(shù)都有3個(gè).很顯然，

橫行、豎行、對角線上的三個(gè)數(shù)的和是：22+30+38=90.

以A、B、C記這三個(gè)數(shù).

如果使得每行、每列（先不要求對角線）都各有一個(gè)A、B,C（容易知道,

要滿足題目要求，必須做到這一點(diǎn)），那么各行、各列的和都為A+B+C=90.

而這只有如下圖所示的兩種類型的排列方式.

其中第一圖中由于A+A+A=90,因此必須A=30；第二圖中C+C+C=90,所以

C=30.其余各行、各列以及另一對角線上的三數(shù)之和都為A+B+C=90.

在第一圖中B,C可在22、38中任?。坏诙D中A、B可在22、38中任取.因此

共有4種不同的重新排列法.

解：由分析可知，右圖所示為4種不同的重新排列方柱中的一種.

例4將1、2,3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字，分別填入3X3陣列中的九個(gè)

方格，使第二行組成的三位數(shù)是第一行組成的三位數(shù)的2倍，第三行組成的三位

數(shù)是第一行組成的三位數(shù)的3倍.

分析這一例題比前三個(gè)例題要復(fù)雜些，但如果我們充分利用題目的要求和

1至9這九個(gè)數(shù)的特性（五奇四偶），那么也能縮小每格中所應(yīng)填的數(shù)的范圍，

直至完全確定每格中應(yīng)填的數(shù).為了方便起見，把九個(gè)格中的數(shù)字用雇1這九個(gè)

英文字母代替.這樣，例如C=2,則F=4,1=6.因而其余六格應(yīng)

包含全部奇數(shù)（1、3、5,7,9）和偶數(shù)&由于DEF=2X咫己，

CTH=3XABC,所以說I=咫^+宙.因此又可把3X3方格中的數(shù)看作一

個(gè)加式：前兩行之和等于第三行.這對于我們用奇偶性去分析加式成立的可

能性是有用的.由于個(gè)位上的加法沒有進(jìn)位，因此十位上的三個(gè)數(shù)字不能都為奇

數(shù)（否則將出現(xiàn)奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)的矛盾等式），即8一定是其中的一個(gè)十位數(shù)

字，顯然B盧8（否則E=6,與1=6矛盾）.又H滬8（否則，B<8/3,只有B=1.而當(dāng)

B=1時(shí)，H至多為5）.因此E=8,這樣，B=9,H=7.最后，由于A〈D〈G必有A=l,

D=3,G=5.由于192X2=384,192X3=576,所以所填的數(shù)滿足題目要求.

又如，C=4,則F=8,1=2.個(gè)位上的加式向十位進(jìn)1,因此十位上的三個(gè)數(shù)字

都是奇數(shù)，因此6是一個(gè)百位數(shù)字.顯然A盧6.如果D=6,則必有A=3,G=9.而B、

E、5、文三個(gè)數(shù)，要滿足B+E+1=H,只能B=l,E=5,H=7或B=5.E=l.

H=7.由于314X2盧658,354X2r618,所以此時(shí)不滿足題目要求.如果G=6,顯

然A<3,此時(shí)只有A=l,但當(dāng)A=1時(shí)，G<(1+1)義3=6.因而當(dāng)C=4時(shí)，不可能有

滿足題目要求的填法.

其他的情形可以類似地加以討論，分別給出肯定的或否定的結(jié)論.

解：由分析，下左圖是一種符合要求的填法.

□□E□s

0SSra

□sHs□

由于作為一個(gè)加法算式(上兩行的和等于第三行)，上圖只是在十位上的

加式向百位進(jìn)了1,其他兩個(gè)數(shù)位上都沒有進(jìn)位，因此把它的個(gè)位移到百位的位

置上加式仍然成立，所以上右圖也是一種符合要求的填法.

還有兩種符合要求的填法，希望同學(xué)們利用分析中的方法把它們找出來.

例5在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5,第二行第一列位置上填6,如下

左圖.請你在其他方格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個(gè)方向的三個(gè)數(shù)之

和均為27.

分析為了敘述方便,我們將其余方格用字母表示，如上右圖所示.根據(jù)題

意可知：

A+B+5=27（1）

5+C+E=27（2）

5+D+G=27（3）

6+C+D=27（4）

A+6+E=27（5）

A+C+G=27（6）

B+C+F=27（7）

E+F+G=27（8）

由（2）+⑷+（6）-（3）-（5）得知：

3C=27C=9.

將C=9代入⑷，D=12代入（2）,則E=13.

將D=12代入（3）,則G=10.

將E=13代入（5）,則A=8.

將A=8代入⑴，則B=14.

將B=14、C=9代入（7）,則F=4.

解：由分析可知，中心方格必須填數(shù)字9,其他方格中也只有一種填法.見

右圖.

例6請編出一個(gè)三階幻方，