全國卷歷年高考立體幾何真題歸類分析2019(含答案)

全國卷歷年高考立體幾何真題歸類分析2019.7（含答案）

類型一：直建系——條件中已經(jīng)有線面垂直條件，該直線可以作為Z軸或與Z軸平行，底面

垂直關(guān)系直接給出或容易得出（如等腰三角形的三線合一）。這類題入手比較容易，第（I）小問

的證明就可以用向量法，第（H）小問往往有未知量，如平行坐標(biāo)軸的某邊長未知，線上動(dòng)點(diǎn)或存

在性等問題，以增加難度。該類問題的突破點(diǎn)是通過條件建立方程求解，對(duì)于線上動(dòng)點(diǎn)問題，主意

共線向量基本定理的應(yīng)用，只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，而不是直接設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。

1.（2014年全國n卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA_L平面ABCD,E為PD

的中點(diǎn).

（I）證明:PB〃平面AEC；

（II）設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=V3,求三棱錐E-ACD的體積.

2.（2015年全國I卷）如圖，四邊形ABCD為菱形，ZABC-12O0,E,F是平面ABCD同一側(cè)的

兩點(diǎn)，BE_L平面ABCD,DF_L平面ABCD,BE=2DF,AE1EC.

（I）證明:平面AEC,平面AFC；（II）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

3.（2015年全國H卷）如圖，長方體ABCD-AIBICIDI中，AB=16,BC=10,AA|=8,點(diǎn)E,F分別

在AiBi，DiG上，A,E=D|F=4,過點(diǎn)E,F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

（I）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；（II）求直線AF與平面a所成角的正弦值.

AB

1

4.(2016年全國m卷)如圖，四棱錐P—ABC中，PAJ.底面面ABC。，AD//BCt

AB=AD^AC=3,PA=BC=4,M為線段A。上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中

點(diǎn).

(I)證明MN平面PAB；(II)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

5.(2017全國H卷)如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面尸4。為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=gAD,Z6A￡)=ZABC=90°，E是PD的中點(diǎn).

(1)求證：直線CE〃平面PA8；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線8M與底面ABCO所成的銳角為45，求二面角M—A3—。的余

弦值.

6.(2019年全國H卷17題)如圖，長方體ABCD-AiBiGDi的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AAi

上，BE±EC|.

(1)證明：BE_L平面EBiCi；

(2)若AE=A|E,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

2

7.（2019年全國I卷18題）如圖，直四棱柱ABCD-AIBIGOI的底面是菱形,AAi=4,AB=2,/8A￡>=60。,

E,M,N分別是BC,BBi,4。的中點(diǎn).

（1）證明：〃平面Ci￡?E；

（2）求二面角4-M4W的正弦值.

類型二：證建系（1）——條件中已經(jīng)給出線面垂直條件，該直線可以作為z軸或與z軸平行,

但底面垂直關(guān)系需要證明才可以建系（如勾股定理逆定理等證明同一平面內(nèi)兩條直線垂直的定理）。

這類題，第（I）小問的證明用幾何法證明，其證明過程中的結(jié)論通常是第（II）問證明需要的條

件。第（II）小問開始首先要證明底面上兩條直線垂直，然后才能建立空間直角坐標(biāo)系求解。

1.（2011年全國卷）如圖，四棱錐P-A8CZ）中，底面ABCD為平行四邊形，NDAB=60。，AB=2AQ,

底面A8CD

（I）證明：PAA.BD-,

（II）若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

2.（2012年全國卷）如圖，直三棱柱ABC—4四￡中，AC=BC=^AAi,。是棱的中點(diǎn),

DC,1BD.

（I）證明：0G工BC；

（II）求二面角A,-BD-G的大小.

3

3.(2013年全國H卷)如圖，直棱柱ABC-AIBICI中,D,E分別是AB,BBi的中點(diǎn),

AAi=AC=CB=-AB.

2

(I)證明：BG〃平面AiCD,

(II)求二面角D-AC-E的正弦值

類型三：證建系(2)——條件中沒有給出線面垂直條件，而底面兩條直線垂直關(guān)系直接給出

或容易得出。這類題解題關(guān)鍵在于第(II)小問，即由已知條件證明線面垂直，常見的已知條件有

面面垂直。

1.(2013年全國I卷)如圖，三棱柱ABC—中，CA=CB,AB=AA，ZBA4=60°

(I)證明AB_LAC；

(II)若平面ABC,平面AAIBIB,AB=CB,求直線AC與平面BBCC所成角的正弦值.

2.(2014年全國I卷)如圖三棱柱ABC—AgG中，側(cè)面為菱形，14c.

(I)證明：AC=AB1；

(II)若AC,Ag,ZCBB,=60°,AB=BC,求二面角A-^-Q的余弦值.

4

3.(2016年全國I卷)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，面A8EF為正方形，AF=2FD,

ZAFD=90,且二面角。-AF-E與二面角C-BE-尸都是60.

(I)證明：平面A8EFJ_平面EFDC；(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

4.(2016年全國II卷)如圖，菱形A3CD的對(duì)角線AC與80交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)瓦F

分別在AD,CO上，AE=CE=2,EF交BD于息H.將AOEF沿EF折到AOEF位置,

4

O。'=所.

(I)證明：平面48cO；(H)求二面角8-O'A-C的正弦值.

D

5.(2017全國I卷)如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，ABHCD,且N84P=NCDP=90.

(1)求證：平面PABJ_平面PA。；

(2)若PA=PD=AB=DC,NAPD=90，求二面角A—P5-。的余弦值.

5

6.(2017全國in卷)如圖所示，四面體ABCO中，aABC是正三角形，△ACO是直角三角形，

ZABD=NCBD,AB=BD.

(1)求證：平面ACO_L平面ABC；

(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體A3CO分成體積相等的兩部分，求二面

角O—AE—C的余弦值.

7.(2018年全國I卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC

折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF1BF.

(1)證明：平面PEFJ■平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

8.(2018年全國II卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2加，PA=PB=PC=AC=4,。為AC的

中點(diǎn).

(1)證明：POJ■平面ABC;

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

6

9.(2018年全國HI卷)如圖，邊長為2的正方形48C。所在的平面與半圓弧CO所在平面垂直，M

是CO上異于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐ABC體積最大時(shí)，求面M鉆與面MCO所成二面角的正弦值.

10.(2019年全國H卷19題)圖1是由矩形ADEB,RSABC和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其

中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與8F重合，連結(jié)DG,如圖2.

(1)證明：圖2中的4,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC_L平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

小結(jié)：利用向量法解立體幾何問題，學(xué)生覺得這類題運(yùn)算量大、容易出錯(cuò)，在考試中花時(shí)間多，不

易拿分。要解決這些問題關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；

第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.每一個(gè)步驟的處理恰當(dāng)與否都會(huì)影響到下一步的運(yùn)算量及運(yùn)算難度，如

何突破這四個(gè)步驟，請(qǐng)參看我的《向量法解立體幾何的運(yùn)算技巧與策略》。

7

新課標(biāo)全國卷歷年高考例題幾何真題

類型一:

1.【解析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)為G連接EG在三角形PBD中,中位線EG〃PB,

且EG在平面AEC上，所以PB〃平面AEC.

⑵設(shè)CD=m,分別以AD,AB,AP為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，則

A(O,O,O),D(V3,0,0),E—,0,-,C(6,m,0).所以

\227

AD=(V3,0,0),AE=亭，0，；,AC=(g,m,0).設(shè)平面ADE

的法向量為=(xi,yi,zi),則?AD=0,n{?AE=0,解得一個(gè)

%=(0,[0).同理設(shè)平面ACE的法向量為/二出以㈤,則〃2?AC=0,%?A￡1=0,解得一個(gè)〃2=(m,?

6,■百m).因?yàn)閏os工=|cos<n2>|=[2=------=-，解得m=—.

3■匐同,川+3+3—22

FF1

設(shè)F為AD的中點(diǎn)，則PA〃EF,且PA=—=—,EFL面ACD,即為三棱錐E-ACD的高.

22

所以VE_ACD二錯(cuò)誤!未找到引用源。?SSCD-EF=1X_LX2XGX1?二且.所以,三棱錐E-ACD的體積為

32228

3

8

2.【解析】⑴連結(jié)BD,設(shè)BDAAC=G，連結(jié)EGFGEF.在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1.

由/ABC=120。,可得AG=GC=錯(cuò)誤!未找到引用源。.由BEJ_平面

ABCD,AB=BC

可知AE=EC.又AELEC,所以EG=錯(cuò)誤!未找到引用源。，且EGLAC在

RtAEBG中，

可得BE=錯(cuò)誤!未找到引用源。，故DF=錯(cuò)誤!未找到引用源。.在RlAFDG

中，可得FG=錯(cuò)誤!未找到引用源。.在直角梯形BDFE中，

由8口=21￡=錯(cuò)誤味找到引用源。，DF=錯(cuò)誤!未找到引用源。用得EF=

錯(cuò)誤!未找到引用源。.從而EG2+FG2=EF2,所以EG_LFG,

又ACCIFG=G可得EG_L平面AFC.又因?yàn)镋GU平面AEC,所以平面AEC_L平面AFC.

⑵如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。的方向?yàn)閤軸,y軸正方

向,1錯(cuò)誤!未找到引用源。|為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.

由⑴可得A(0,—百,0),E(l,0,a),尸(一1,0,孝)，。(0,6,0),

所以=(1,6,血)，CE=(―1,——).故cos<AE,CF>==-—

2\AE\\CF\3

8

所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為立

3.【解析】(1)交線圍成的正方形EHGF如圖：

(2)作EM_LAB,垂足為M,則AM=A,E=4,EM=AA|=8.

因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.

于是MH=錯(cuò)誤!未找到引用源。=6,所以AH=10.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，錯(cuò)

誤!未找到引用源。的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系D-xyz,則

A(10,O,O),H(10,10,0),E(l0,4,8),F(0,4,8),錯(cuò)誤!未找到引用源。=(10,0,0),

錯(cuò)誤!未找到引用源。=(0,-6,8).

n-FE=Q10x=0

設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，則<_____.

uHE=0-6y+8z=0

——?——?I〃?A尸I4A/5

所以可取〃=(0,4,3),又AE=(—10,4,8),故|cos<〃,AF〉|=:竺:土

|n||AF\15

4.75

所以AE與平面E”GF所成的角的正弦值駕，

15

4.

試題解析：(I)由已知得4眩=:,5=2,取上尸的中點(diǎn)T,連接由N為PC中點(diǎn)知

7N//BC,TN=-BC=2.

又3BC,故EV平行且等于4四邊形區(qū)"V7■為平行四邊形，于是

因?yàn)?4Tu平面平面所以山\「平面R4R

(H)取3C的中點(diǎn)E,連結(jié)XE,由=得

AE=4AB，-BE，=r.5-(羋)'=#■

以X為坐標(biāo)原點(diǎn)，月2的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的號(hào)

(而

P(0A4),M(052S0),C20),N*,L2),

PM=(0.2.^),西=潭,卜2),后=($2).

一/

--——-2x-4z-0

設(shè)7=(x,y,z)為平面PMN的法向量，則_,一，即，石，可取3=(0,2,1),

n-PN=0—x+y-2z=0

1I2

9

n

工曰?—A~\TII'AN|8A/5

于是|cos<n,AN>\=~~=-----.

\n\\AN\25

5.解析(1)令物的中點(diǎn)為產(chǎn)，聯(lián)結(jié)EF,BF,如圖所示.因?yàn)辄c(diǎn)石，F(xiàn)為PD,%的中點(diǎn),

所以為△尸4。的中位線，所以E尸〃又因?yàn)镹84O=NABC=90。，所以BC〃AE>.又因

=2

為AB=8C='A￡>,所以8C〃白AD,于是EF&BJ從而四邊形BCEF為平行四邊形，所以

2=2一

CE//BF.又因?yàn)锽Fu面PAB,所以CE〃平面八記.

(2)以AD的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)A8=8C=1,則0(0,0,0),

A(0,-l,0),B(l,-l,0),C(l,0,0),0(0,bO),P(0,0,⑹.點(diǎn)M在底面AB8上的投影為

M',所以WLBAT，聯(lián)結(jié)BM'.因?yàn)镹〃BAT=45,所以為等腰直角三角形.因?yàn)?/p>

△POC為直角三角形，|OC|=@|OP|,所以NPCO=60.

73

-------a.所以M'1一方-。,0,0.

3

.V2

1-------

2

,1,,A8=(l,0,0).

2

設(shè)平面A&W的法向量雁=(0,乂，4),則m.AM=%+*4=0,所以m=(0,-灰，2),

m?nViO十4

易知平面A應(yīng))的一個(gè)法向量為"=(0,0,1),從而cos(m,〃)==H.故二面角M—AB—力

H-H5

的余弦值為粵.

6.解：(1)由已知得，4G，平面46片4，BEu平面A844,

10

故4C|_L8E.又BELECi，所以BE，平面后4儲(chǔ).

(2)由(1)知NBEB[=900,由題設(shè)知RtAABE^RtA^gE，所以NAEB=45。，

故AE=A3,A4,=2AB.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸正方向，|D4|為單位長，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-QZ,

貝|JC(O,1,0),8(1,1,0),C}(0,1,2),E(l,0,1),CE=Q物

CBn=0,

CC.=(0,0,2).設(shè)平面EBC的法向量為"=(x,y,x),貝心

CEn=0,

x—0

<'所以可取〃=(0,-1,一1).

冗一y+z=0,

設(shè)平面Ecq的法向量為m二(x,)，，z),則

CCi-zn=0,[2z=0,

\即1'所以可取機(jī)二(1,1,0).

CE?/?=0,[x—y+z=0.

于是cos<〃,，〃〉=擊"^=-g.所以，二面角B—EC—G的正

弦值為

2

7.解：(1)連接ME,BC,M,E分別為BB1,BC中點(diǎn)

為Aq/JC的中位線

:.ME//B?且ME=LBQ,又N為A。中點(diǎn)，且AD48c

2=

：.NDHB\CRND=LB、C,：.MEI_[ND四邊形MNDE為平行四邊形，，用N//DE,

2=

又MNu平面C】DE,DEI平面GO￡,「.MN//平面GOE

(2)設(shè)ACBD=O,AGBQi=O],由直四棱柱性質(zhì)可知：，平面ABC。

四邊形ABC。為菱形-.AC1.BD,則以。為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

則:A(百,0,0),M(0,l,2),A(五0,4),D(0,-1,0)N

11

X

y

取A8中點(diǎn)F,連接。/，貝IJF一,二,0

22

四邊形ABC。為菱形且/84。=60ABAD為等邊三角形:.DF1AB,又知，

平面ABC。，OFu平面ABC。DF1A4,，。、尸_L平面AR^A，即。尸_L平面加叫

。/為平面A股一個(gè)法向量，且。尸

修2;2,。

7

設(shè)平面M41N的法向量〃=(x,y,z),又M4,=(0,一1,2),MN=,-1,0

(22

n?M\-y/3x-y+2z=0

「?<@3，令x=G，則,=1,z=-1「.〃二(百,1,一

n-MN——y=0

2r

cos<DF.n>=?°F〃=—?sin<Q/7〃>一

\DF[\n\亞5,?sm<O￡〃“飛-

」.二面角的正弦值為：平

類型二：

1.解：(I)因?yàn)?。45=60。,43=249,由余弦定理得

BD=y/3AD從而BD2+AD2=AB2,故BD1AD,XPDJ_底面

ABCD,可得30LPD所以8。1平面P4D故PA1BD

(II)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為x軸

的正半軸射線DB為y軸的正半軸，射線DP為z軸的正半軸，建立

空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則

71(1,0,0),B(0,73,0),C(-l,V3,0),P((),0,1).

48=(-1,4,0)所=(。,赤,-1),演7=(-1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量

為n=(x,y,z),則n?AB—0，即Jf—x廠+V“3y，=0因此可取〃=(6r1~,e)r~

n-PB=0|V3y—z=0

m-PB=0

設(shè)平面PBC的法向量為加，則《可取m=(0,-1,-Vr3),

m-BC=0

12

饃5<加,〃>=二^=一裂7.故二面角4川3(的余弦值為-漢7

2>/777.

2.證明(1)(1)在RfAZMC中，49=AC得：ZADC=45°.

同理：NAQG=45"nZCDC,=90°,得：DC,±DC,

又VDC,±BD=>DC[±平面BCD=>DC,1BC.

(II)(2)

DC,1BC,CG，5C=BC_L平面ACG4=8C，AC

取AM的中點(diǎn)O,過點(diǎn)。作OH，BD于點(diǎn)H,連接G。,G"，

4G=5]GnG。_LAB],C\OLA\D=>。1。_1_面48。

OHl.BDnCtH1BD得：點(diǎn)H與點(diǎn)。重合，

即NG。。是二面角A.-BD-C,的平面角

設(shè)AC=a,則。0=與，C\D=6a=2CQnNCQO=3d

即二面角A,-BD-q的大小為30°.

3.(1)連接A0,交4c于點(diǎn)F,連結(jié)則F為AC；的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所

以DF//BG，又因?yàn)镋Du平面AC。，BG(Z平面4GO,所以BC；//平面同。。.

(2)由AA尸ACAB,可設(shè):AB=2a,則例=AC=CB="

所以ACJ.BC,又因?yàn)锳BC-AIBIG為直三棱柱，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則C(0,0,0)、

0nl

4(夜4,0,夜〃)、7,0

/

口V2

E0,6a,叵a,CA=(561,0,0a)

1I2)0=[丁萬

CE=

設(shè)平面A。。的法向量為〃=(x,y,z),則”.。。=0且〃.C4,=0,可解得y=—x=z,令x=l,得平

13

面48的一個(gè)法向量為〃=(1，-1，一1)，同理可得平面4CE的一個(gè)法向量為巾=(2，1，-2)，則

坐，所以二面角D—4C—E的正弦值為半

cos<n,m>-所以sin<n,m>=

類型三:

1.【解析】(I)取43的中點(diǎn)。，連結(jié)OC,。4，4氏因?yàn)镃4=C8,所以O(shè)CLAB.

由于A8=AA，ZBAA,=60°,故為等邊三角形，

所以。4,因?yàn)镺CPIOA=。，所以AB_L面Q4,C.

又AQu平面O4C,故A8_LAC.

(H)由(I)知，OCVAB,OA,LAB,又平面ABC±

平面44t84,交線為A3,所以O(shè)C，平面A484，故。4,OC,兩兩互相垂直.以。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A的方向?yàn)闊o軸的正方向，|。4|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系。一xyz,則有A(l,0,0),4(0,6,0),。(0,0,6),3(-1,0,0).則阮=(1,0,7§),

BBt=AA=(-1,73,0),/=(0,—g,6).設(shè)平面的法向量為1=(x,y,z),則

n-BC=0x+7

有《一,可取7=(右,1,一1).故

n-BB}=0-x+

■*_〃?A]C_V10

Inl-IACI5

所以直線AC與平面84G。所成角的正弦值為乎.

2.解：(1)連結(jié)BC1,交B1C于點(diǎn)O,連結(jié)A0,2側(cè)面BB1C1C為菱形，...BCiLBiC,

且O為BC1和B1C的中點(diǎn),XVAB1B1C,，B1CJ_平面ABO,：A0u平面ABO,

ABiClAO,又BiO=CO,.,.AC=ABi,

(2)：AC_LABi,且。為BiC的中點(diǎn)，AAO=CO,

又；AB=BC,.?.△BOA^ABOC,.*.OA±OB,AOA,

OB,OBi兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，無的方向?yàn)閤

軸的正方向，I而為單位長度，族；的方向?yàn)閥軸的正方

14

向，贏的方向?yàn)閆軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，???/CBB|=6O。，...△CBB1為正三角形,

又AB=BC,

AA(0,0,叵，B(1,0,0,),Bi(0,返0),C(0,-60)

333_

，國=零'-乎),不7=語(1，0,-*),B(7，-零0),

7詞等丫-得=0

設(shè)向量n=(x,y,z)是平面AAiBi的法向量，則(廠，可取n=(1，Vs?

―-------V3

n,A]B]-x--r-z=O

M),同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量—(1,-V3>

.,.cos<K，=>=FA」，.??二面角A-AIBI-Ci的余弦值為工

Mini77

3.【解析】⑴：43防為正方形AAFLEFVZAFD=90°2

AF1DF'：DFEF=F：.AFEFDCAFA.面ABEF'

.?.平面4?防_L平面EFDC(2)由⑴知ZDFE=ZCEF=60°：

AB//EFABu平面E尸OC防u平面EFDC；.AB〃平面ci

ABCLAfiu平面ABC:?面ABCD面EFDC=CD

AB//CD：.CD//EF二四邊形EFDC為等腰梯形以E為原點(diǎn),

圖建立坐標(biāo)系，設(shè)FD=aE(0,0,0)8(0,2a,0)X

C0,與aA(2/,a,J

EB=(O,2a,0),BC^-2a,—a,AB=(-2a,0,0)設(shè)面BEC法向量為

\/

([2a-y.=0

z、mEB=Q日n力_

機(jī)=(支，，即73m~0,-1)

m-BC=0-2ay、+-^-4.4=0

設(shè)面ABC法向量為〃=(毛，％，Z2)F.BC=O即導(dǎo)-2研+了華=?！?(0,石，4)

",AB=°12辦2=0

設(shè)二面角E-8C-A的大小為9.cos0=43=—T=-2719

?|/?|43+1<3+1619

15

/?二面角E-BC—A的余弦值為-

1y

5spCF

4.【解析】⑴證明：VAE=CF=-,：.—=—E尸〃AC.：四邊形ABC。為菱形，；.AC1BD,

4ADCD

：.EFLBD,AEF1DH,：.EF±D'H.：AC=6,，A0=3；又AB=5,AO108,：.08=4,

OH=——。。=1：.DH=D'H=3,：.\0D'^=\0H^+\D',

AO

：.D'HA.OH.又?；OH1EF=H,O'H_L面ABC。.

⑵建立如圖坐標(biāo)系”-xyz.

8（5,0,0）,C（l,3,0）,￡><0,0,3）,A（l,-3,0）,

AB=（4,3,（））,AO=（-i,3,3）,

AC=（（）,6,O）,設(shè)面法向量"i=（x,y,z）,

x=3

"」A8=°得4x+3y=0取卜=4

由＜

一x+3y+3z=0

z=5

.?.々=（3,-4,5）.同理可得面AZTC的法向量%=（3,o,l）,

幾i?n2

|cos6>|=

.%〃2|9+5|775..〃2后

5V2-V1O2525

5.解析（1）證明：因?yàn)镹B4P=NC￡）P=90,所以B4_LAB,PDYCD.

又因?yàn)锳B〃C。，所以P￡）_LAB.又因?yàn)槭?。PA=P,PD,R4u平面EW,所以

平面N）.又48u平面RS,所以平面小B_L平面皿＞.

（2）取AD的中點(diǎn)O,8c的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)PO,OE,因?yàn)锳/絲CD,所以四邊形AB8

為平行四邊形，所以?；貙W(xué)B.由（1）知，平面皿＞,所以O(shè)E_L平面加）.又PO,

ADu平面叢D,所以O(shè)EJ.PO,QEJ_4X又因?yàn)?=尸￡＞,所以PO_LAD,從而PO,

OE,40兩兩垂直.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

設(shè)％=2,所以。（-應(yīng)，0,0）,B（&,2,0）,P（0,0,閭,C（-夜,2,0）,

所以PO=（-&PB=（應(yīng)，2,-⑹，BC=（-272,0,0）

n-PB=0

設(shè)”=（X,y,Z）為平面P3C的一個(gè)法向量，由，

nBC=0,

&x+2y-&z=0

得

-2&=0

16

令y=i,則Z=應(yīng)，x=o,可得平面尸比1的一個(gè)法向量”=(o，i，&).

因?yàn)镹4PD=9O°,所以尸D_L^4,又知43J_平面以￡>,PDu平面R4T),

所以電)_LAB,又PAAB=A,所以/也)J_平面E4B.

-25/3

即尸。是平面的的一個(gè)法向量，PD=1-叵，0從而cos(PD,")=向—產(chǎn)~--------

2G3-

由圖知二面角A-依-C為鈍角，所以它的余弦值為-更.

3

6.解析⑴如圖所示，取AC的中點(diǎn)為。，聯(lián)結(jié)8。，DO.

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以BO_LAC,AB=BC.

AB=BC

^<BD=BD,得△ABOwACBD,所以A￡)=C。，即△4CD為等腰直角三角形,

NABD=NDBC

從而NADC為直角.又。為底邊AC中點(diǎn)，所以。OLAC.

令網(wǎng)=4,則河=兇=的=忸。=“，易得囪|0叫=學(xué)，

所以|0口2+|08『=|也才，從而由勾股定理的逆定理可得NO08=1,即0QJ_08.

OD1AC

OD1OB

由，ACOB=O,所以O(shè)O_L平面ABC.

ACu平面ABC

08u平面ABC

又因?yàn)椤?。u平面ADC,由面面垂直的判定定理可得平面ADC±

平面ABC.

⑵由題意可知VDTCE=4_AC￡，即B,O到平面ACE的距離相等,

即點(diǎn)E為比)的中點(diǎn).

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A為x軸正方向，08為)'軸正方向，0。為z軸正方向，設(shè)|Aq=a,建立空

間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),4仁,0,0),《。，0弓｝80,亭,0),.0,手若

為

易

為

銳角

知9

設(shè)二

17

7.解：（1）由已知可得，BF1PF,BFLEF,又PFClEF=F,所以BFJ?平面PEF.

又BFu平面ABFD,所以平面平面ABFD.

（2）作PH_LEF,垂足為H.由（1）得，PH_L平面A8FD

以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，山的方向?yàn)椋S正方向，|說|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系〃-孫z.

由（1）可得，DELPE.又DP=2,DE=1,所以PE=8又

PF=l,EF=2,故尸E_LPF.

-r/n在3

可得PH=—,EH=一

22

則H(O,O,O),P(O,o1),D(-1,-|o),DP=(l1,y),HP=

為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為0,

1月

則八,HP-DP,46所以QP與平面A8FQ所成角的正弦值為匕

sin9=|-----|==-4

|HP|-|DP|小4

8.解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P1AC,且。P=2收

連結(jié)OB.因?yàn)锳B=BC=^AC，所以△ABC為等腰直角三角形，

2

且OB1AC，OB=|AC=2.由op?+OB2=PB2知PO1OB.

由。P1OB,OP1AC知PO1平面ABC.

（2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O