高中數(shù)學函數(shù)的單調性教學教案

函數(shù)的單調性

一、教材分析

《函數(shù)的單調性》系人教版高中數(shù)學必修一的內容，該內容包括函數(shù)的單調性的

定義與判斷及其證明。在學習函數(shù)時，借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性.這

節(jié)內容是有關內容的深化、延伸和提高.這節(jié)通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概

括出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準確含義，明確指出函數(shù)的增減性是相對

于某個區(qū)間來說的.教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進行觀察的直觀方法，

又有根據(jù)其定義進行邏輯推理的嚴格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察

圖像得出猜測結論，進而用推理證明猜測的體系.函數(shù)的單調性是函數(shù)眾多性質中的

重要性質之一，函數(shù)的單調性一節(jié)中的知識是前一節(jié)內容函數(shù)的概念和圖像知識的延

續(xù)，它和后面的函數(shù)奇偶性，合稱為函數(shù)的簡單性質，是今后研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)、幕函數(shù)及其他函數(shù)單調性的理論根底；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比擬

兩數(shù)大小等具體問題中均需用到函數(shù)的單調性；同時在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究

函數(shù)性質的數(shù)形結合思想將貫穿于我們整個高中數(shù)學教學。

二、學情與教法分析：

按現(xiàn)行新教材結構體系，學生只學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，所以對

函數(shù)的單調性研究也只能限于這幾種函數(shù)。依據(jù)現(xiàn)有認知結構，學生只能根據(jù)函數(shù)的

圖象觀察出"隨著自變量的增大，函數(shù)值增大'’的變化趨勢，而不能用符號語言進行

嚴密的代數(shù)證明，只能依據(jù)形的直觀性進行感性判斷而不能進行“思辯”的理性認識。

所以在教學中要找準學生學習思維的"最近開展區(qū)”進行有意義的建構教學。在教學

過程中，要注意學生第一次接觸代數(shù)形式的證明，為使學生能迅速掌握代數(shù)證明的格

式，要注意讓學生在內容上緊扣定義貫穿整個學習過程，在形式上要從有意識的模仿

逐漸過渡到獨立的證明。

三、教學目標與教學重點、難點

依據(jù)課程標準的具體要求以及基于教材內容的具體分析，制定本節(jié)課的教學目標

為：

1.通過函數(shù)單調性的學習，讓學生通過自主探究活動，體會數(shù)學概念的形成過程

的真諦，學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質；

2.理解并掌握函數(shù)的單調性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)的單調性的步

驟，會求函數(shù)的單調區(qū)間，提高應用知識解決問題的能力；

3.能夠用函數(shù)的性質解決生活中簡單的實際問題，使學生感受到學習單調性的必

要性與重要性，增強學生學習函數(shù)的緊迫感，激發(fā)其積極性。

在本節(jié)課的教學中以函數(shù)的單調性的概念為線，它始終貫穿于教師的整個課堂

教學過程和學生的學習過程；利用函數(shù)的單調性的定義證明簡單函數(shù)的單調性是對函

數(shù)單調性概念的深層理解，且“取值、作差與變形、判斷、結論"過程學生不易掌握。

所以對教學的重點、難點確定如下：

教學重點：函數(shù)的單調性的判斷與證明；

教學難點：增、減函數(shù)形式化定義的形成及利用函數(shù)單調性的定義證明簡單函數(shù)的單調

性。

四、教學過程一知識點教學

〔一1、函數(shù)的單調性

1.增函數(shù)、減函數(shù)的概念

一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為A,區(qū)間D三A如果對于D內的任意兩個自變量的值

XI、X2,當X1<X2時，都有f(Xi)<f(X2),那么就說f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)。

如果對于。內的任意兩個自變量的值XI、X2,當X1<X2時，都有f(Xi)>f(X2),那么就說

f(x)在區(qū)間。上是減函數(shù)。

知識點詮釋：

(1)屬于定義域A內某個區(qū)間上；

(2)任意兩個自變量芭,&且X,</；

(3)都有/(X)</(%)(鄴(西)>/(￡))；

(4)圖象特征：在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右

是下降的。

2.單調性與單調區(qū)間

[1]單調區(qū)間的定義

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間。上具有單調

性，。稱為函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

函數(shù)的單調性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質.

知識點詮釋：

①單調區(qū)間與定義域的關系一一單調區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；

②單調性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質的；

③不能隨意合并兩個單調區(qū)間;

④有的函數(shù)不具有單調性.

(2)解析式，如何判斷一個函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性？

3.證明函數(shù)單調性的步驟

(1)“々是，(X)定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且芭＜/；

(2)變形.作差變形〔變形方法：因式分解、配方、有理化等〕或作商變形；

(3)定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；

(4)得出結論.

4.函數(shù)單調性的判斷方法

(1)定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照"取值一變形一判斷符號一下結論“進

行判斷。

(2)圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調性。

(3)直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接

寫出它們的單調區(qū)間。

(4)記住幾條重要的常用結論

①假設/(X)是增函數(shù)，則-/(x)為減函數(shù)；假設/(x)是減函數(shù)，則-/(x)為增函數(shù)；

②假設/(%)和g(x)均為增〔或減〕函數(shù)，則在/(%)和g(x)的公共定義域上

/(x)+g(x)為增〔或減)函數(shù);

③假設/(X)>o且f(x)為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；假設

/(x)

/(%)>0且/(X)為減函數(shù)，則函數(shù)J府為減函數(shù)，7缶為增函數(shù)。

5.復合函數(shù)單調性的判斷

討論復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握根本函數(shù)

的單調性。一般需要先求定義域，再把復雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復合，

然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則：

[1]假設"=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則

y=/[g(x)]為增函數(shù)；

〔2〕假設“=g(x),y=./"(〃)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù),則

>"[g(切為減函數(shù)。

列表如下：

u=g(x)y=/(?)y=/[g(x)]

增增增

增減減

減增減

減減增

復合函數(shù)單調性可簡記為"同增異減"，即內外函數(shù)的單調性相同時遞增；單調性相異

時遞減。

因此判斷復合函數(shù)的單調性可按以下步驟操作：

[1]將復合函數(shù)分解成根本初等函數(shù)：y=/(〃),〃=g(x);

(2)分別確定各個函數(shù)的定義域；

〔3〕分別確定分解成的兩個根本初等函數(shù)的單調區(qū)間。

假設兩個根本初等函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調性是同增或同減，則)，=/[g(切為增函

數(shù)；假設為一增一減或一減一增,則y=/[g(x)]為減函數(shù)。

知識點詮釋：

(1)單調區(qū)間必須在定義域內；

[2]要確定內層函數(shù)〃=g(x)的值域,否則就無法確定了(“)的單調性。

〔3〕假設/(x)>0,且在定義域上/(x)是增函數(shù)，則

>1且〃GM)都是增函數(shù)。

6.利用函數(shù)單調性求函數(shù)最值時應先判斷函數(shù)的單調性,再求最值

常用到下面的結論：

(1)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(名目上是增函數(shù)，在區(qū)間[0,c)上是減函數(shù)，則函數(shù)

y=/(%)(%ea,c)在尤=b處有最大值f(b)。

(2)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,々上是減函數(shù)，在區(qū)間［8,c)上是增函數(shù)，則函數(shù)

y=/(x)(xea,c)在x=b處有最小值/(勿。

假設函數(shù))，=/(幻在［a,句上是嚴格單調函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)在［?；厣弦欢ㄓ凶?/p>

大、最小值。

〔3〕假設函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,々上是單調遞增函數(shù)，則y=/(x)的最大值是

f(b),最小值是/(a)。

(4)假設函數(shù)y=/(x)在區(qū)間卜，3上是單調遞減函數(shù)，則丁=/。)的最大值是

/⑷,最小值是『3)。

7.利用函數(shù)單調性求參數(shù)的范圍

假設函數(shù)的單調性，求參數(shù)。的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調性，先列出關于參數(shù)。

的不等式，利用下面的結論求解。

⑴a>f［x)在［m,n］上恒成立oa>/(x)在［m,n］上的最大值。

(2)a<f(x)在［m,ri\上恒成立=a<f(x)在［in,n\上的最小值。

實際上將含參數(shù)問題轉化成為恒成立問題，進而轉化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和

最小值問題。

〔二〕、根本初等函數(shù)的單調性

1.正比例函數(shù)y=kx(kwO)

當k>0時，函數(shù)y="在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)y="在定義域R是

減函數(shù).

2.一次函數(shù)y=kx+b（k，0）

當k>0時，函數(shù)y=在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)y=Ax+b在定義

域R是減函數(shù).

3.反比例函數(shù)>=&(b0)

X

當%>0時，函數(shù)y=：的單調遞減區(qū)間是(—,0),(0,+8),不存在單調增區(qū)間；

當％<0時，函數(shù)y=：的單調遞增區(qū)間是(-8,0),(0,-+W),不存在單調減區(qū)間.

4二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^0)

hh

假設a>0,在區(qū)間(―8,_2］,函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間+8),函數(shù)是增函數(shù);

2a2a

hh

假設a<0,在區(qū)間(-oo,_=］,函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間［一二，+oo),函數(shù)是減函數(shù).

2a2a

〔三〕、典型例題

1.類型一：函數(shù)的單調性的證明

例1.：函數(shù)/(x)=x+，

X

［1］討論/(X)的單調性.

〔2〕試作出f(x)的圖象.

［思路點撥］此題考查對單調性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調性的唯一途徑。

［解析］〔1〕設XI,X2是實數(shù)集R上的任意實數(shù)，且X1<X2,則

f(xl)-f(x2)=x1+—-(X,+-)

X|X2

11

=(X]_X,)+(-------)

XlX2

X-X

/x2lL

=(x,-x2)+^——

X!X2

=(X]-x2)(l----)

、/X|X2-1\

=(Xj-X2)(-L--)

■X1X2

①當王<T時，Xi-X2<0,1<X1X2

YY—1YY—1

—>0,故(x「X2>(^—)<0,即f(Xi)-f(X2)<0

X|X2X,X2

，X1<X2時有f(Xi)<f(X2)

；.f(X)=X+L在區(qū)間(-8,-1)上是增函數(shù).

X

②當-1<X1<X2<O；.Xi-X2<0,O<X1X2<1

,.O<X1X2<1~-<0

X1X2

故(X|-~-)>0,即f(Xl)-f(X2)>0

XIX2

，X1<X2時有f(Xl)>f(X2)

.?.f(x)=x+，在區(qū)間(T,0)上是減函數(shù).

X

同理：函數(shù)f(x)=x+L在區(qū)間(0,1)是減函數(shù)函數(shù)f(x)=x+，在區(qū)間。，+8)是

XX

增函數(shù).

［總結升華］

（1）證明函數(shù)單調性要求使用定義；

（2）如何比擬兩個量的大??？（作差）

⑶如何判斷一個式子的符號？（對差適當變形）

［舉一反三］:

［變式1］證明函數(shù)/（X）=-+5在［1,4W）上是增函數(shù).

［解析］此題考查對單調性定義的理解,在現(xiàn)階段，定義是證明單調性的唯一途徑.

證明：設xi,X2是區(qū)間［1,+8）上的任意實數(shù)，且X1<X2,貝!］

9191

f（xJ_f（X2）=X；+--X2---7

22

z22、X2-X.

=(x,--x2-)+-2,,

X]x2

區(qū)T)a一志)

z22\X；X2-1

=(…)5

X]工2

，與VZ.'.X14-X>0,X1

.；%、WG[1,-H?)2-X2<O,XjX2+1>0,x}x2-1>0.

<0,即/a)</(w)

???/(X)=V+J在［1,+00)上是增函數(shù)。

2.類型二：求函數(shù)的單調區(qū)間

例2.判斷以下函數(shù)的單調區(qū)間；

(l)y=x2-3|x|+2;(2)y=|x-1|+J(X-2)2

［思路點撥］對x進行討論，把絕對值和根號去掉，畫出函數(shù)圖象。

［答案］⑴f(x)在［oo,-|上遞減，在［［,()］上遞增，在［0,方上遞減，在|，+°°)上

遞增.

(2)f(x)在(-8,1］上遞減，在［2,+00)上遞增.

［解析］(1)由圖象對稱性，畫出草圖

，f(x)在上遞減，在上遞增，在［0,|］上遞減，在；,+8)上遞增.

-2x+3(x<1)

⑵y=|x-l|+|龍一2|=1(l<x<2)

2x-3(x>2)

.?圖象為

；.f(x)在(-8,1］上遞減，在［2,+oo)上遞增.

［舉一反三］：

［變式1］求以下函數(shù)的單調區(qū)間：

(l)y=|x+l|;(2)y=—;(3)y=［;(4］y=|x2-2x-3|.

2x-lx2

［答案］〔1〕函數(shù)的減區(qū)間為(-8,-1］,函數(shù)的增區(qū)間為(-1,+OO)；(2)

在1―上為減函數(shù)；〔寸y=g單調增區(qū)間為：(-8,0),單調減區(qū)間為

(0,+8)；單調減區(qū)間是〔-8,-1),〔1,3〕；單調增區(qū)間是［-1,1),(3,+8〕

x+l(x>-l)

［解析］⑴“=<畫出函數(shù)圖象，

-x-l(x<-1)

.函數(shù)的減區(qū)間為(一8,—1］,函數(shù)的增區(qū)間為(-1,+OO);

(2)定義域為設u=2x—l,y=：,

其中u=2x-l為增函數(shù)，y=L在(-8,0)與(0,+8)為減函數(shù)，則

U

y=丁二在［-g,上為減函數(shù)；

2x-lV2八2J

(3)定義域為(-8,0)U(0,+oo),y=二單調增區(qū)間為：(-OO,0),單調減區(qū)間為(0,

X

+8)。

(4)先畫出y=x2-2x-3,然后把x軸下方的局部關于x軸對稱上去，就得到了所求函

數(shù)的圖象，如以下圖

所以y=|x2-2x-3|的單調減區(qū)間是(-co,-1),〔1,3〕;單調增區(qū)間是［-1,1］,

〔3,+8〕。

［總結升華］

(1)數(shù)形結合利用圖象判斷函數(shù)單調區(qū)間；

〔2〕關于二次函數(shù)單調區(qū)間問題，單調性變化的點與對稱軸相關.

〔3〕復合函數(shù)的單調性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復合函數(shù)分解為內、外層函數(shù)；

利用函數(shù)的單調性解決.關注：內外層函數(shù)同向變化=復合函數(shù)為增函數(shù)；內外層函數(shù)反向

變化n復合函數(shù)為減函數(shù).

3.類型三：單調性的應用(比擬函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)

例3.函數(shù)/(%)是定義域為R的單調增函數(shù).

［1］比擬/(1+2)與/(2a)的大??；

(2)假設/(/)>/(a+6),求實數(shù)。的取值范圍.

［思路點撥］抽象函數(shù)求字母取值范圍的題目,最終一定要變形成f(x)>/(y)的形式，

再依據(jù)函數(shù)/(%)的單調性把f符號脫掉得到關于字母的不等式再求解。

［答案］⑴f(a2+2)>f(2a);［2］a>3或。<-2.

［解析］〔1〕因為/+2-2。=3-1)2+1>0,所以"+2〉2a,由，/(x)是單調增

函數(shù)，所以/(。2+2)〉/(2。).

(2)因為/(x)是單調增函數(shù)，且/(/)>/(。+6),所以標>。+6，解得a>3或

a<—2.

例4.求以下函數(shù)的值域：

(l)y=鋁;l)xe［5,10］；2)xG(-3,-2)U(-2,1);

(2)y=d-x1+2尢+8;

(3)y=4x+<3x-1-2;

(4)y=x+V1-2x.

【思路點撥](1)可應用函數(shù)的單調性;(2)中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；

(3)由單調性求值域，此題也可換元解決；(4)單調性無法確定，經(jīng)換元后將之轉化為熟悉二

次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時t的范圍.

[答案]⑴1],2]u(7,+?))；⑵[0,3]；(3);[4]

(-8』.

[解析K1)y=2("+2)二5=旦+2可看作是由丁=0左移2個單位，再上移2個

x+2x+2x

單位得到，如圖

2)ye(-oo,/(l))u(/(-3),+a))BP(-oo,1)u(7,+oo);

222

my=J-Ol)2+9,v(x-1)>0,.-.-(x-1)<0,/.0<-(x-l)+9<9,.\JG[0,3].

/

⑶?.?3x-lN0,r.x2g,經(jīng)觀察知y在[；，+8)上單增，二yN/(；)=-|

“一|,+00

[2][[

(4)令Jl-2x=JN0/.y=—/-+/=--/2+r+-=--(Z-l)2+1,/.ye(-oo,ll.

2222'」

[舉一反三]:

[變式l"(x)=-12x+5,當/(%)的定義域為以下區(qū)間時，求函數(shù)的最大值和最小

值.

〔1〕［0,3］;［2］［-1,1］;⑶［3,+8〕.

［答案］⑴在區(qū)間［0,3］上，當x=2時,f(x)min=-7;當x=0時，f(x)1rax=5.

(2)在區(qū)間卜1,1］上，當x=l時,/(x)min=一4;當x=—1時，，初皿=20.

［3］在區(qū)間［3,+8］上，當》=3時，/(x)min=-4;在這個區(qū)間上無最大值.

［總結升華］:由本例可知，作出二次函數(shù)的圖象后，利用圖象的形象直觀很容易確定

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調性，由單調性不難求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.因此，確定

二次函數(shù)在所給的閉區(qū)間上的單調性是求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大〔小〕值的關鍵。

4.類型四：利用函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍

例5.函數(shù)/。)=4/-肛+5在區(qū)間［-2,物)是增函數(shù)，求加及了⑴的取值范圍.

［答案］m4-16；/(1)>25.

［解析］..對稱軸X=丁是決定/(X)單調性的關鍵，聯(lián)系圖象可知

O

只需一■W—2根《-16.

8

又/(I)=4一m+5=9—〃z,,即9一相N25.

[舉一反三]:

[變式1]函數(shù)/(X)=爐+4ox+2在(-OO,6)內單調遞減，則a的取值范圍是〔〕.

A.tz>3B.a<3C.a>-3D.a<-3

[答案]D

[變式2]函數(shù)〃幻=/_2公-3在區(qū)間[1,2]上單調，則〔〕.

A.?G(-CO,1]B.?G[2,+OO)C.?G[1,2]D.?G(-OO,1]U[2,+OO)

[答案]D

【穩(wěn)固練習】

1.定義域R上的函數(shù)/(x)對任意兩個不相等的實數(shù)。力，總有/憶)一.八‘〉0,則

a-b

必有()

A.函數(shù)/(x)先增后減B.函數(shù)/(x)先減后增

C.函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)D.函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù)

2.在區(qū)間(-8,0)上為增函數(shù)的是()

A.y=1B.y=―--I-2C.y——x2—2x—lD.y=1+x2

\-x

3.函數(shù)/(x)=—x(x—2)的一個單調遞減區(qū)間可以是()

A.[-2,0]B.[0,2]C.[1,3]D.[0,+0°)

4.假設函數(shù)八劃=/+23-l)x+2在區(qū)間(YO,4]上是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.a>3B.a<3C.a>-3D.a<-3

5.函數(shù)y=Jx+1—Jx-1的值域為()

A.(-8,5/^JB.^0,V2jC.|V2,+oojD.［0,+oo)

6.設a>0,函數(shù)/(X)=G：2+AX+C的圖象關于直線x=l對稱，則

/⑴,/(夜),/(百)之間的大小關系是()

A./(l)</(V2)</(73)B./(V3)</(V2)</(1)

C./⑴</(&)</(后)D./(72)</(73)</(1)

7.函數(shù)y的單調區(qū)間是.

8.函數(shù)y=2x+Jx+l的值域是一.

9.假設函數(shù)/(x)=2/+px+3在(一81］上是減函數(shù)，［1,+8)是增函數(shù)，則

P=t.

10.一次函數(shù)y=(攵+l)x+攵在R上是增函數(shù)，且其圖象與無軸的正半軸相交，則攵的

取值范圍是.

11.函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aH0)是(-oo,0)上的減函數(shù)，且/(x)的最小值為正數(shù)，

則/(?的解析式可以為.(只要寫出一個符合題意的解析式即可，不

必考慮所有可能情形)

12.設aeR,判斷函數(shù)/(x)=(a+2)x+3(xeR)的單調性，并寫出單調區(qū)間.

13.函數(shù)/(幻的定義域為(—1,1),且同時滿足以下條件：(1)/(幻是奇函數(shù)；(2)/(幻

在定義域上單調遞減；(3)/(1-幻+/(1-優(yōu))<0,求。的取值范圍.

14.函數(shù)/(%)=幺+2奴+2,xw[-5,5].

①當。=一1時，求函數(shù)的最大值和最小值；

②求實數(shù)。的取值范圍，使丁=/。)在區(qū)間［-5,5］上是單調函數(shù)。

【答案與解析】

1.【答案】C.

【解析】由"")一"")>0知，當時,/(a)>/(。)，當a<b時，/(?)<f(b),

a-b

所以/(x)在R上單調