橢圓的常見題型及解法(一)

橢圓的常見題型及其解法(一)橢圓是圓錐曲線的內容之一，也是高考的熱點和重點，橢圓學習的好壞還直接影響后面的雙曲線與拋物線的學習，筆者在這里就橢圓常見題型作簡要的探討，希望對學習橢圓的同學有所幫助.一、橢圓的焦半徑橢圓上的任意一點到焦點F的長稱為此曲線上該點的焦半徑，根據(jù)橢圓的定義，很容易推導出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點弦的一些問題時，用焦半徑公式解題可以簡化運算過程。1.公式的推導設P〔，〕是橢圓上的任意一點，分別是橢圓的左、右焦點，橢圓，求證，。證法1：。因為，所以∴又因為，所以∴，證法2：設P到左、右準線的距離分別為，由橢圓的第二定義知，又，所以，而?！?，。2.公式的應用例1橢圓上三個不同的點A〔〕、B〔〕、C〔〕到焦點F〔4，0〕的距離成等差數(shù)列，那么.解：在橢圓中，右準線方程為，設A、B、C到右準線的距離為，那么、、?！?，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列。∴，即，。例2.是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值。解：設，那么在橢圓上，，的最大值為4，最小值為1.變式練習1：.求過橢圓的左焦點，傾斜角為的弦AB的長度。解：由可得，所以直線AB的方程為，代入橢圓方程得設，那么，從而變式練習2.設Q是橢圓上任意一點，求證：以〔或〕為直徑的圓C與以長軸為直徑的圓相內切。證明：設，圓C的半徑為r即也就是說：兩圓圓心距等于兩圓半徑之差。故兩圓相內切同理可證以為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相內切。3.橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點，E、F是左、右焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔1〕；〔2〕。P是橢圓上一點，E、F是上、下焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔3〕；〔4〕。證明：〔1〕設P在x軸上的射影為Q，當不大于90°時，在三角形PEQ中，有由橢圓焦半徑公式〔1〕得。消去后，化簡即得〔1〕。而當大于90°時，在三角形PEQ中，有，以下與上述相同?！?〕、〔3〕、〔4〕的證明與〔1〕相仿，從略。4.變式的應用對于橢圓的一些問題，應用這幾個推論便可容易求解。例1.〔2005年全國高考題〕P是橢圓上一點，E、F是左右焦點，過P作x軸的垂線恰好通過焦點F，假設三角形PEF是等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是___________。解：因為PF⊥EF，所以由〔2〕式得。再由題意得＋。注意到。例2.P是橢圓上且位于x軸上方的一點，E，F(xiàn)是左右焦點，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設PF的傾斜角為，那么：。因為a＝10，b＝8，c＝6，由變式〔2〕得所以三角形PEF的面積變式訓練1.經(jīng)過橢圓的左焦點F1作傾斜角為60°的直線和橢圓相交于A，B兩點，假設，求橢圓的離心率。解：由題意及變式〔2〕得化簡得。變式訓練2.設F是橢圓的上焦點，共線，共線，且＝0。求四邊形PMQN面積的最大值和最小值。解：設PF傾斜角為，那么由題意知PF⊥MF，所以MF傾斜角為90°＋α，而，由題意及〔3〕式得同理得。由題意知四邊形PMQN面積當時，；當時，＝。二橢圓的焦點弦設橢圓方程為過橢圓右焦點且傾斜角為的直線方程為，此直線交橢圓于兩點，求焦點弦的長.例1、橢圓的長軸長，焦距，過橢圓的焦點作一直線交橢圓于、兩點，設，當取什么值時，等于橢圓的短軸長？分析：由題意可知是橢圓的焦點弦，且，，從而，故由焦點弦長公式及題設可得：，解得，即或。例2、在直角坐標系中，橢圓E的一個焦點為F〔3，1〕，相應于F的準線為Y軸，直線通過點F，且傾斜角為，又直線被橢圓E截得的線段的長度為，求橢圓E的方程。分析：由題意可設橢圓E的方程為，又橢圓E相應于F的準線為Y軸，故有〔1〕，又由焦點弦長公式有〔2〕又〔3〕。解由〔1〕、〔2〕、〔3〕聯(lián)列的方程組得：，，，從而所求橢圓E的方程為。變式訓練1、橢圓C：〔〕，直線：被橢圓C截得的弦長為，過橢圓右焦點且斜率為的直線被橢圓C截得的弦長是它的長軸長的，求橢圓C的方程。分析：由題意可知直線過橢圓C的長、短軸的兩個端點，故有，〔1〕又由焦點弦長公式得=，〔2〕因=，得，〔3〕又