2024年高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題4-5重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教師版新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

專(zhuān)題4.5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和==+(-)n，令=A，-=B，則=+Bn.

(1)當(dāng)A=0，B=0(即d=0，=0)時(shí)，=0是常數(shù)函數(shù)，{}是各項(xiàng)為0的常數(shù)列.

(2)當(dāng)A=0，B≠0(即d=0，≠0)時(shí),=Bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，{}是各項(xiàng)為非零的常數(shù)列.

(3)當(dāng)A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)時(shí)，=+Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0).3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【題型1求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)所給條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，求解等差數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若a2=18，S5=80，則數(shù)列A．2n+22C．20-2【解題思路】聯(lián)立a2=18，【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a解得a1=20d故選：B．【變式1-1】（2024·遼寧·高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an為（A．a(chǎn)n=6n+2 B．a(chǎn)【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程求得a1與公差d【解答過(guò)程】設(shè)公差為d，依題意得S10解得a1所以an故選：C.【變式1-2】（2024·廣西·模擬預(yù)料（文））記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a3=2,S4=7A．n-1 B．n+12【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得a1【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a3=∴a故選：B.【變式1-3】（2024·四川·高三期中（文））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12+a3A．a(chǎn)n=3n-5 B．【解題思路】依據(jù)條件a12+a3=7【解答過(guò)程】設(shè)公差為d，則S3=3a1+a32故選：B.【題型2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)題目條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】（2024·河南新鄉(xiāng)·一模（文））設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若SnA．2528 B．3539 C．55【解題思路】利用等差中項(xiàng)求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閍n，b所以S15=15a1故選：D.【變式2-1】（2024·全國(guó)·高二）設(shè)等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，并且SnTnA．37 B．715 C．1【解題思路】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)可求a6【解答過(guò)程】a6故選：D.【變式2-2】（2024·陜西·高二期中（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S9S3A．717 B．310 C．3【解題思路】依據(jù)題意S3,S【解答過(guò)程】因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以S因?yàn)镾9S3由2S6-S3所以S12-S所以S6故選：B.【變式2-3】（2024·江蘇省高二階段練習(xí)）已知Sn,Tn分別是等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和，且A．1120 B．4178 C．43【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：b3+b【解答過(guò)程】因?yàn)閿?shù)列{bn}所以a10又因?yàn)镾n,Tn分別是等差數(shù)列{an}所以a10故選：B.【題型3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)題意，分析所給的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1>0，公差d<0，Sn為其前nA． B．C． D．【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列an的前n【解答過(guò)程】等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和由d<0，知d由a1>0，d<0故選：C.【變式3-1】（2024·福建省高二開(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列an中，a1<0，公差d>0，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)隨意自然數(shù)nA． B．C． D．【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式寫(xiě)出Sn，從函數(shù)角度，分析【解答過(guò)程】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，Sn因?yàn)閍1<0，d>0，所以d令Sn=0，得n=0故選：A.【變式3-2】（2024·河北·高三階段練習(xí)）已知an是各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和是Sn，且S20=S24，若A．20 B．19 C．18 D．17【解題思路】將Sn=d【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)和公差分別為a1，d，則Sn=d2n2+a1-d故選:C.【變式3-3】（2024·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）在各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，且S2011=S2014，A．2017 B．2024 C．2024 D．2024【解題思路】由等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=d2【解答過(guò)程】解：由題意，等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=d2n2+a1-d2故選：D．【題型4求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)條件，求出等差數(shù)列的基本量，得到首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解即可.【例4】（2024·江蘇·高二期中）已知等差數(shù)列an，且3a3+aA．14 B．28 C．35 D．70【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解.【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍n所以3a所以a5則數(shù)列an的前14項(xiàng)之和S故選：C.【變式4-1】（2024·貴州·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an+2+an-A．116 B．232 C．58 D．87【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式求解.【解答過(guò)程】∵an+2+an-2a∴a11∵a11+a15∴S29故選:A.【變式4-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·高二期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【解題思路】由題目條件及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程，可得答案.【解答過(guò)程】設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d.因S3＝6，S4則3a1+3d=6故選：C.【變式4-3】（2024·山東·高三期中）已知數(shù)列an成等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1=5,SA．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】設(shè)出公差，依據(jù)前n項(xiàng)和基本量計(jì)算出公差，從而求出S11【解答過(guò)程】設(shè)an的公差為d，由a3a1+3故S11故選：C.【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值】【方法點(diǎn)撥】1.通項(xiàng)法若>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組來(lái)確定；若<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組來(lái)確定.2.二次函數(shù)法對(duì)于公差為非零的等差數(shù)列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函數(shù)最值的方法來(lái)求前n項(xiàng)和Sn的最值.這里應(yīng)由n及二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸的位置來(lái)確定n的值.【例5】（2024·內(nèi)蒙古·高一階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2=-27，A．-225 B．-224 C．-【解題思路】由a2，a6可得a1，d【解答過(guò)程】由題，a2=a所以Sn所以當(dāng)n=15時(shí)，Sn的最小值為故選：A.【變式5-1】（2024·甘肅·高二期中）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1=22,S7=A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a1=22,S7=S16可解出d值為【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S7=S16又a1=22，所以d=-2，所以a所以數(shù)列an滿足：當(dāng)n≤11時(shí)，an>0；當(dāng)n=12時(shí)，所以Sn取得最大值時(shí)，n故選：B．【變式5-2】（2024·陜西·高二期中）設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5A．d<0 B．a(chǎn)7=0 C．S9>S5【解題思路】由S7-S6=a7可推斷B；由d=a【解答過(guò)程】依據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依次分析an是等差數(shù)列，若S6=又由S5<S6得而C選項(xiàng)，S9>S5，即又由a7=0且d<0，則a∵S5<S6，S6=S7故選：C.【變式5-3】（2024·北京高三階段練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1+2a3=A．-4 B．-3 C．-【解題思路】依據(jù)題意，列方程求得d=2,a1【解答過(guò)程】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，a1+2所以a1+2a所以a1=-3,a所以Sn的最小值為S故選：A.【題型6等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問(wèn)題，讀懂其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立合適的等差數(shù)列，進(jìn)行求解.【例6】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料（理））我國(guó)《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使得三行、三列、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，便得到一個(gè)3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，這個(gè)正方形叫作n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的全部數(shù)的和）為SA．555 B．101 C．505 D．1010【解題思路】利用等差數(shù)列求和公式得到S10【解答過(guò)程】由題意得：S10故10階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為5050÷故選：C.【變式6-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤(pán)纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個(gè)兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式以及前n【解答過(guò)程】設(shè)8個(gè)兒子依次分綿a1斤，a2斤，a3則數(shù)列an因?yàn)榫d的總重量為996斤，所以S8解得a1則第八個(gè)兒子分到的綿a8故選：D．【變式6-2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號(hào)曾經(jīng)流行一時(shí)，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場(chǎng)合．“蘇州碼子”0~9的寫(xiě)法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時(shí)要將“〡”“〢”“〣”橫過(guò)來(lái)寫(xiě)．已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車(chē)站的里程，每隔2公里擺放一個(gè)里程碑，若在A點(diǎn)處里程碑上刻著“〣〤”，在B點(diǎn)處里程碑上刻著“〩〢”，則從A點(diǎn)到B點(diǎn)的全部里程碑上所刻數(shù)字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【解題思路】依據(jù)規(guī)定確定A，B兩處的里程碑的數(shù)值，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式確定里程碑的數(shù)量，并利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求從A點(diǎn)到B點(diǎn)的全部里程碑上所刻數(shù)字之和.【解答過(guò)程】依據(jù)題意知，A點(diǎn)處里程碑上刻著數(shù)字34，B點(diǎn)處里程碑上刻著數(shù)字92，里程碑上刻的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為2，因此從A點(diǎn)到B點(diǎn)的全部里程碑個(gè)數(shù)為n=92-342+1=30，從故選：B．【變式6-3】（2024·江西上饒·高二期末（文））廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬(wàn)歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結(jié)構(gòu)，塔高九層，沿塔內(nèi)石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣概峭拔.上個(gè)世界九十年頭末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色駕臨 ，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠(yuǎn)望猶如仙境.某游客從塔底層（一層）進(jìn)入塔身，即沿石階逐級(jí)攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便閱讀美景，現(xiàn)知底層共二十六級(jí)臺(tái)階，此后每往上一層削減兩級(jí)臺(tái)階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一