2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】了解離散型隨機(jī)變量的概念，會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分

布列；理解離散型隨機(jī)變量的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)用離散型

隨機(jī)變量的均值、方差解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.【考情概述】離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征是解決情境中的概

率問(wèn)題的重要工具之一，常以解答題的形式進(jìn)行考查，屬于高頻考點(diǎn)，

難度中等.

知識(shí)梳理1.隨機(jī)變量（1）

隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一

的實(shí)數(shù)

X

（ω）與之對(duì)應(yīng)，我們稱

X

為隨機(jī)變量.（2）

離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量.（3）

隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若

X

是隨機(jī)變量，

Y

＝

aX

＋

b

，

a

，

b

是常

數(shù)，則

Y

也是隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)（1）

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量

X

的可能取值為

x

1，

x

2，…，

xn

，我

們稱

X

取每一個(gè)值

xi

的概率

P

（

X

＝

xi

）＝

pi

，

i

＝1，2，…，

n

為

X

的

概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.以表格的形式表示如下：

X

x

1

x

2…

xn

P

p

1

p

2…

pn

（2）

離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①

pi

（

i

＝1，2，…，

n

）的取值范圍是

?；②

p

1＋

p

2＋…＋

pn

＝

?.[0，1]

1

3.離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)字特征公式作用均值（期望）

E

（

X

）＝

?反映了離散型隨機(jī)變量取值

的

?方差

D

（

X

）＝

?

?刻畫了隨機(jī)變量

X

與其均值

的

?標(biāo)準(zhǔn)差說(shuō)明：（1）

隨機(jī)變量的均值是常數(shù)；樣本的平均數(shù)是變量，不確定.（2）

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的

偏離程度，反映了隨機(jī)變量的取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨

機(jī)變量的取值越集中.

平均水平

E

（

X

））2

pi

偏離程度常用結(jié)論1.均值與方差的性質(zhì)（1）

E

（

aX

＋

b

）＝

（

a

，

b

為常數(shù)）.（2）

D

（

aX

＋

b

）＝

（

a

，

b

為常數(shù)）.（3）

E

（

X

1＋

X

2）＝

?.2.均值與方差的關(guān)系

aE

（

X

）＋

b

a

2

D

（

X

）E

（

X

1）＋

E

（

X

2）回歸課本1.判斷：（1）

（RA選三P60練習(xí)第2（1）題改編）拋擲甲、乙2顆質(zhì)地均勻的骰

子，“所得點(diǎn)數(shù)之和為3”表示1個(gè)樣本點(diǎn)，即“一顆的點(diǎn)數(shù)為1，一顆

的點(diǎn)數(shù)為2”.

（

?

）（2）

（RA選三P58性質(zhì)改編）在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變

量取各個(gè)值時(shí)的概率之和可以小于1.

（

?

）（3）

（RA選三P64性質(zhì)改編）

隨機(jī)變量的均值與樣本的均值一定相同.

（

?

）（4）

（RA選三P68定義改編）隨機(jī)變量的方差越大，則隨機(jī)變量的取

值越分散.

（

√

）???√2.（RA選三P61習(xí)題7.2第4題改編）某位射箭運(yùn)動(dòng)員命中目標(biāo)箭靶的環(huán)

數(shù)

X

的分布列如下表：

X

678910

P

0.050.150.25

a

b

如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀，那么他一次射擊成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率是

（

C

）A.0.35B.0.20C.0.55D.0.8C3.（RA選三P71習(xí)題7.3第7題改編）甲、乙兩種品牌的手表，它們的日

走時(shí)誤差分別為

X

和

Y

（單位：s），其分布列如下表：甲品牌手表的日走時(shí)誤差分布列

X

－101

P

0.10.80.1

Y

－101

P

0.150.70.15下列說(shuō)法正確的是（

A

）A.甲種品牌手表的性能較好B.乙種品牌手表的性能較好C.兩種品牌手表的性能一樣好D.無(wú)法確定哪種品牌手表的性能較好A乙品牌手表的日走時(shí)誤差分布列4.（多選）（RA選三P71習(xí)題7.3第3題改編）某種果樹的產(chǎn)量

X

（單

位：千克）的分布列為

P

（

X

＝0）＝0.2，

P

（

X

＝3）＝

a

，

P

（

X

＝

6）＝

b

.已知

E

（

X

）＝3，則下列說(shuō)法正確的是（

ABD

）A.

a

＝0.6B.

b

＝0.2C.

D

（

X

）＝12D.若每千克水果的利潤(rùn)為8元，則利潤(rùn)的期望為24元ABD5.（RA選三P71習(xí)題7.3第4題改編）在單項(xiàng)選擇題中，每道題有四個(gè)選

項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)，選對(duì)的概率為

0.25.若選對(duì)得分

X

＝

，選錯(cuò)得分

Y

＝

?，則隨機(jī)選擇時(shí)，每

題得分的均值為0.

（答案不唯一）3

－1

（答案不唯一）

總結(jié)提煉

1.利用分布列中隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)的概率之和為1可求參數(shù)的值.2.注意檢驗(yàn)，以保證隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)的概率均為非負(fù)數(shù).考向2

數(shù)字特征的計(jì)算例2（1）

已知隨機(jī)變量

X

的分布列如下表：

X

012

P

2

a

－

b

a

a

＋

b

則隨著

b

的增大，下列說(shuō)法正確的是（

B

）BA.

E

（

X

）增大，

D

（

X

）越來(lái)越大B.

E

（

X

）增大，

D

（

X

）先增大后減小C.

E

（

X

）減小，

D

（

X

）先減小后增大D.

E

（

X

）增大，

D

（

X

）先減小后增大（2）

（多選）（2022·菏澤模考）已知離散型隨機(jī)變量

X

的分布列

如下表：

X

01234

P

q

0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量

Y

滿足

Y

＝2

X

＋1，則下列結(jié)果正確的有

（ABC）ABCA.

q

＝0.1B.

E

（

X

）＝2C.

E

（

Y

）＝5D.

D

（

X

）＝1.4[拓展探究]設(shè)

E

（

X

）＝μ，

a

是不等于μ的常數(shù)，探究

X

相對(duì)于μ的偏離程度與

X

相

對(duì)于

a

的偏離程度的大小，并說(shuō)明結(jié)論的意義.解：設(shè)隨機(jī)變量

X

的所有可能取值為

x

1，

x

2，…，

xn

，對(duì)應(yīng)的概率分

別為

p

1，

p

2，…，

pn

，則

X

相對(duì)于μ的偏離程度

D

1＝（

x

1－μ）2

p

1＋

（

x

2－μ）2

p

2＋…＋（

xn

－μ）2

pn

.因?yàn)棣獭?/p>

a

，不妨設(shè)μ＝

a

＋

t

（

t

≠0），所以

X

相對(duì)于

a

的偏離程度

D

2＝（

x

1－

a

）2

p

1＋（

x

2－

a

）2

p

2＋…＋

（

xn

－

a

）2

pn

＝（

x

1－μ＋

t

）2

p

1＋（

x

2－μ＋

t

）2

p

2＋…＋（

xn

－μ

＋

t

）2

pn

＝[（

x

1－μ）2

p

1＋（

x

2－μ）2

p

2＋…＋（

xn

－μ）2

pn

]＋[2

t

（

x

1－μ）

p

1＋2

t

（

x

2－μ）

p

2＋…＋2

t

（

xn

－μ）

pn

]＋[

t

2

p

1＋

t

2

p

2

＋…＋

t

2

pn

]＝

D

1＋2

t

[（

x

1－μ）

p

1＋（

x

2－μ）

p

2＋…＋（

xn

－μ）

pn

]＋

t

2＝

D

1＋2

t

[

x

1

p

1＋

x

2

p

2＋…＋

xnpn

－μ（

p

1＋

p

2＋…＋

pn

）]＋

t

2＝

D

1＋2

t

（μ－μ）＋

t

2＝

D

1＋

t

2＞

D

1.所以

X

相對(duì)于

a

的偏離程度大

于

X

相對(duì)于μ的偏離程度.這個(gè)結(jié)論的意義是說(shuō)明了

X

相對(duì)于μ的偏離程

度（即

X

的方差）是

X

相對(duì)于任意常數(shù)

a

的偏離程度中最小的，從而說(shuō)

明了方差能很好地反映一組數(shù)據(jù)的集中與離散程度.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.（2024·溫州?？迹┮阎x散型隨機(jī)變量

X

的分布列如下表：

X

a

a

＋1

a

＋2

P

0.40.20.4則

D

（

X

）等于（

D

）A.0.4＋

a

B.0.8＋

a

C.0.4D.0.8D解：由分布列，可得

E

（

X

）＝0.4

a

＋0.2（

a

＋1）＋0.4（

a

＋2）＝

a

＋1，所以

D

（

X

）＝0.4（

a

－

a

－1）2＋0.2（

a

＋1－

a

－1）2＋0.4（

a

＋2－

a

－1）2＝0.8.考點(diǎn)二

情境問(wèn)題中的分布列例3某地發(fā)現(xiàn)6名疑似病例中有1人感染病毒，需要通過(guò)血清檢測(cè)確定

該感染人員，血清檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為感染人員，呈陰性表示沒(méi)感

染.擬采用兩種方案檢測(cè)：方案一：將這6名疑似病例的血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.方案二：將這6名疑似病例隨機(jī)分成2組，每組3人.先將其中一組的血清

混在一起檢測(cè)，若結(jié)果為陽(yáng)性，則表示感染人員在該組中，然后再對(duì)該

組中的每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，

則對(duì)另一組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.分別求出兩種方案中檢測(cè)次數(shù)的分布列.

X

12345

P

Y

23

P

Y

23P

總結(jié)提煉

離散型隨機(jī)變量的分布列的求解步驟（1）

確定取值：明確隨機(jī)變量的所有可能取值有哪些，以及每一個(gè)

取值所表示的意義.（2）

求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變

量所對(duì)應(yīng)的概率.（3）

列表格：按規(guī)范形式寫出分布列.（4）

檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

（2）

兩個(gè)回合后，用

X

表示A箱子中小球的個(gè)數(shù)，用

Y

表示B箱子中小

球的個(gè)數(shù)，求

X

－

Y

的分布列.

X

－

Y

－4－2024

P

X

7050－90

P

p

總結(jié)提煉

均值與方差的實(shí)際應(yīng)用（1）

隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了

隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變

量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均

值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.（2）

D

（

X

）表示隨機(jī)變量

X

對(duì)

E

（

X

）的偏離程度，

D

（

X

）越

大，表明偏離程度越大，說(shuō)明

X

的取值越分散；反之，

D

（

X

）越

小，表明偏離程度越小，說(shuō)明

X

的取值越集中.3.（2022·南通?？迹┠持R(shí)競(jìng)賽共有兩道不定項(xiàng)選擇題，每小題有4個(gè)

選項(xiàng)，并有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.每題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)