(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題02平面解析幾何之直線的一般式方程必考點專練(原卷版+解析)

專題02：平面解析幾何之直線的一般式方程必考點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知直線：，：，和兩點（0,1），（-1,0），給出如下結(jié)論：①不論為何值時，與都互相垂直；②當(dāng)變化時，與分別經(jīng)過定點A（0,1）和B（-1,0）；③不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱；④如果與交于點，則的最大值是1；其中，所有正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4.2．(2023·上海交大附中高二期末）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的交點情況是（）A．無論，，如何，總有唯一交點 B．存在，，使之有無窮多個交點C．無論，，如何，總是無交點 D．存在，，使之無交點3．(2023·上海黃浦·高二期末）已知，若不論為何值時，直線總經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．設(shè)為不同的兩點，直線，下列命題正確的有（）．①不論為何值，點都不在直線上；②若，則過點的直線與直線平行；③若，則直線經(jīng)過的中點；④若，則點在直線的同側(cè)且直線與線段的延長線相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．已知兩直線和的交點是，則過兩點、的直線方程是A． B． C． D．6．點到直線：的距離最大時，與的值依次為()A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，17．(2023·上?！とA師大二附中高二期中）已知是直線上一點，是外一點，則方程表示的直線（）A．與重合 B．與交于點 C．過與平行 D．過與相交8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長線相交；二、填空題9．(2023·上?！?fù)旦附中高二月考）點到直線的距離的最大值為________.10．(2023·上海中學(xué)高二期中）直線的傾斜角的取值范圍是______.11．已知的頂點，高所在的直線方程分別為和，則所在直線的方程是_______．12．當(dāng)實數(shù)變化時，兩直線與都通過一個定點，則點所在曲線的方程為_________；13.(2023-2021年上海師大附中高二期中）已知直線l經(jīng)過點，且和直線的夾角等于，則直線l的方程是_________．14．若直線過定點，直線過定點，則兩點間的距離是____________．15．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）已知等腰三角形的底邊所在直線過點，兩腰所在的直線為與，則底邊所在的直線方程是_____________.16．(2023·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校高二月考）關(guān)于的二元一次方程組，無解，則_____；17．(2023·上海師大附中高二期中）設(shè)、為不同的兩點，直線，，以下命題中正確的序號為__________．（1）存在實數(shù)，使得點N在直線l上；（2）若，則過M、N的直線與直線l平行；（3）若，則直線l經(jīng)過的中點；（4）若，則點M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段的延長線相交；18．(2023·上海市向明中學(xué)高二月考）已知與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值是___________．三、解答題19．(2023·上海市向明中學(xué)高二期中）已知，直線和直線相交于點P，和y軸交于點A，和x軸交于點B．（1）判斷與的位置關(guān)系，并用t表示點P的坐標(biāo)；（2）求的長度的取值范圍，并指出取最值時點P的位置．20．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過定點；（2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．21．(2023·上海市西南位育中學(xué)高二期中）如圖，已知，，，直線.(1)求直線l經(jīng)過的定點坐標(biāo)；(2)若直線l等分的面積，求直線l的方程；(3)若，點E?F分別在線段BC和AC上，上，求的取值范圍.22．求經(jīng)過直線與直線的交點M，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.23．如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過點修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個工業(yè)園.（1）以為坐標(biāo)原點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出點的坐標(biāo)；（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.24．在平面直角坐標(biāo)系中，過點作直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A，B.（1）若，求直線的一般式方程；（2）求當(dāng)取得最小值時直線的方程.25．(2023·上?！らh行中學(xué)高二期中）已知直線與軸交于點，與軸交于點，，O是坐標(biāo)原點，分別求出滿足下列條件的直線的一般式方程．(1)直線的斜率為；(2)直線過點26．如圖，已知城市周邊有兩個小鎮(zhèn)、，其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處，鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距，與夾角的正切值為2，為方便交通，現(xiàn)準(zhǔn)備建設(shè)一條經(jīng)過城市的公路，使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側(cè)，過和建設(shè)兩條垂直的公路和，分別與公路交匯于、兩點，以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.（1）當(dāng)兩個交匯點、重合，試確定此時路段長度；（2）當(dāng)，計算此時兩個交匯點、到城市的距離之比；（3）若要求兩個交匯點、的距離不超過，求正切值的取值范圍.27．已知直線，且與坐標(biāo)軸形成的三角形面積為.求：（1）求證：不論為何實數(shù)，直線過定點P；（2）分別求和時，所對應(yīng)的直線條數(shù)；（3）針對的不同取值，討論集合直線經(jīng)過P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素個數(shù).28．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限內(nèi)，.（1）若過點，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，求直線的斜率；（2）若，求的面積的最大值；（3）設(shè)，若，求證：直線過一定點，并求出此定點坐標(biāo).專題02：平面解析幾何之直線的一般式方程必考點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知直線：，：，和兩點（0,1），（-1,0），給出如下結(jié)論：①不論為何值時，與都互相垂直；②當(dāng)變化時，與分別經(jīng)過定點A（0,1）和B（-1,0）；③不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱；④如果與交于點，則的最大值是1；其中，所有正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4.【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【詳解詳析】對于①，當(dāng)時，兩條直線分別化為:，此時兩條直線互相垂直，當(dāng)時，兩條直線斜率分別為:,滿足,此時兩條直線互相垂直，因此不論為何值時，與都互相垂直，故①正確；對于②，當(dāng)變化時，代入驗證可得:與分別經(jīng)過定點和，故②正確；對于③，由①可知:兩條直線交點在以為直徑的圓上，不一定在直線上，因此與關(guān)于直線不一定對稱，故③不正確；對于④，如果與交于點，由③可知:，則，所以的最大值是1，故④正確.所有正確結(jié)論的個數(shù)是3.故選C2．(2023·上海交大附中高二期末）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的交點情況是（）A．無論，，如何，總有唯一交點 B．存在，，使之有無窮多個交點C．無論，，如何，總是無交點 D．存在，，使之無交點【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)在直線可得，從而可得有唯一交點，從而可得正確的選項.【詳解詳析】因為與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，所以即，故既在直線上，也在直線上.因為與是兩個不同的點，故、不重合，故無論，，如何，總有唯一交點.故選：A.3．(2023·上海黃浦·高二期末）已知，若不論為何值時，直線總經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C因為直線總經(jīng)過一個定點，所以與值無關(guān)，參變量分離，解方程組即得.【詳解詳析】直線的方程可化為：.直線總經(jīng)過一個定點，,解得.所以不論為何值，直線總經(jīng)過一個定點.故選：.【名師指路】本題考查直線過定點問題，解題的關(guān)鍵是參變量分離.4．設(shè)為不同的兩點，直線，下列命題正確的有（）．①不論為何值，點都不在直線上；②若，則過點的直線與直線平行；③若，則直線經(jīng)過的中點；④若，則點在直線的同側(cè)且直線與線段的延長線相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】由可得①正確，分和兩種情況討論可得直線與直線平行，可得②正確，當(dāng)時，可得到，從而得到③正確，當(dāng)時可得和，然后可得④正確.【詳解詳析】因為中，，所以點不在直線上，故①正確當(dāng)時，根據(jù)得到，化簡得，即直線的斜率為，又直線的斜率為，由①可知點不在直線上，得到直線與直線平行當(dāng)時，可得直線與直線的斜率都不存在，也滿足平行，故②正確當(dāng)時，得到，化簡得而線段的中點坐標(biāo)為，所以直線經(jīng)過的中點，故③正確當(dāng)時，得到，所以，即，所以點在直線的同側(cè)且，可得點與點到直線的距離不等，所以延長線與直線相交，故④正確綜上：命題正確的有4個故選：D【名師指路】本題考查的是直線的方程、兩直線平行的判定以及一元二次不等式表示的區(qū)域，考查了學(xué)生的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.5．已知兩直線和的交點是，則過兩點、的直線方程是A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C將點的坐標(biāo)代入兩直線的方程，可得出，可得出點、的坐標(biāo)滿足直線方程，再利用兩點確定一條直線可得出直線的方程.【詳解詳析】將點的坐標(biāo)代入兩直線的方程，得，所以，點、的坐標(biāo)滿足直線方程，由于兩點確定一條直線，所以，直線的方程為.故選：C.【名師指路】本題考查直線方程的求解，推導(dǎo)出點、的坐標(biāo)滿足直線方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.6．點到直線：的距離最大時，與的值依次為()A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，1【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】將直線方程整理為，可得直線經(jīng)過定點，由此可得當(dāng)直線與垂直時的長，并且此時點到直線的距離達(dá)到最大值，從而可得結(jié)果.【詳解詳析】直線，即，直線是過直線和交點的直線系方程，由，得，可得直線經(jīng)過定點，當(dāng)直線與垂直時，點到直線的距離最大，的最大值為，此時軸，可得直線斜率不存在，即.故選：C.【名師指路】本題主要考查直線的方程與應(yīng)用，以及直線過定點問題，屬于中檔題.探索曲線過定點的常見方法有兩種：①可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元（往往可以化為的形式，根據(jù)求解），借助于曲線系的思想找出定點(直線過定點，也可以根據(jù)直線的各種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程找出定點).，從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān).7．(2023·上海·華師大二附中高二期中）已知是直線上一點，是外一點，則方程表示的直線（）A．與重合 B．與交于點 C．過與平行 D．過與相交【標(biāo)準(zhǔn)答案】C由題意有可得，，，，根據(jù)當(dāng)兩直線方程的一次項系數(shù)相等，但常數(shù)項不相等時，兩直線平行，得出結(jié)論．【詳解詳析】解：由題意有可得，，，，則方程，，，即，，，它與直線的一次項系數(shù)相等，但常數(shù)項不相等，故，，表示過點且與平行的直線，故選：C．【名師指路】根據(jù)平行直線系方程，即兩直線方程與互相平行.8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長線相交；【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)題意對一一分析，逐一驗證．【詳解詳析】解：對于，化為：，即點，不在直線上，因此不正確．對于，，則，即過，兩點的直線與直線的斜率相等，又點，不在直線上，因此兩條直線平行，故正確；對于，，則，化為，因此直線經(jīng)過線段的中點，故正確；對于，，則，則點，在直線的同側(cè)，故正確；故選A【名師指路】本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．二、填空題9．(2023·上海·復(fù)旦附中高二月考）點到直線的距離的最大值為________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先判斷過定點，可得點到直線的距離的最大值就是點與點的距離，從而可得結(jié)果.【詳解詳析】化簡可得，由，所以過定點，點到直線的距離的最大值就是點與點的距離為，故答案為.【名師指路】本題主要考查直線過定點問題以及兩點間距離公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本解法將求最大值的問題轉(zhuǎn)化成了兩點間的距離的問題來解決，轉(zhuǎn)化巧妙.10．(2023·上海中學(xué)高二期中）直線的傾斜角的取值范圍是______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先求出直線的斜率取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求出．【詳解詳析】可化為：，所以，由于，結(jié)合函數(shù)在上的圖象，可知．故答案為：．【名師指路】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，以及直線的一般式化斜截式，屬于基礎(chǔ)題．11．已知的頂點，高所在的直線方程分別為和，則所在直線的方程是_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】聯(lián)立方程解得高交點坐標(biāo)得到，故，再計算點坐標(biāo)得到直線方程.【詳解詳析】，解得，則高交點為，，故，設(shè)，則，解得，故，故所在直線的方程是，即.故答案為：.【名師指路】本題考查了求直線方程，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，計算是解題的關(guān)鍵.12．當(dāng)實數(shù)變化時，兩直線與都通過一個定點，則點所在曲線的方程為_________；【標(biāo)準(zhǔn)答案】將變形為，令且，求得定點坐標(biāo)，再代入直線的方程求解.【詳解詳析】因為，對任意的實數(shù)都成立，所以，解得，所以直線過定點，因為也通過定點，將代入，得.故答案為：【名師指路】本題主要考查了直線系及其應(yīng)用，還考查了分析，解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.13.(2023-2021年上海師大附中高二期中）已知直線l經(jīng)過點，且和直線的夾角等于，則直線l的方程是_________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或【思路點撥】分析可得已知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為或，分類討論并利用點斜式方程求解即可.【精準(zhǔn)解析】由已知可得直線的斜率，所以傾斜角為，因為直線與的夾角為，所以直線的傾斜角為或，當(dāng)傾斜角為時,直線為，即為；當(dāng)傾斜角為時,直線為，故答案為：或.【名師指導(dǎo)】本題考查直線與直線的夾角，關(guān)鍵點是求出直線的傾斜角得到l的傾斜角，考查求直線方程，考查分類討論思想.14．若直線過定點，直線過定點，則兩點間的距離是____________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】把直線方程整理成關(guān)于的恒等式，然后應(yīng)用恒等知識求得兩點坐標(biāo)，由兩點間距離公式得距離．【詳解詳析】由得，所以，直線方程變形為：，由解得，即，所以．故答案為：．【名師指路】本題考查兩點間距離公式，考查直線過定點問題．直線過定點問題，一般把直線方程整理成關(guān)于參數(shù)的恒等式，然后由恒等式知識求得定點坐標(biāo)．15．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）已知等腰三角形的底邊所在直線過點，兩腰所在的直線為與，則底邊所在的直線方程是_____________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】或在等腰三角形頂角角平分線上任取一點，利用點到兩腰所在直線的距離相等可求得頂角角平分線方程，再由底邊所在直線過點且與頂角角平分線垂直可求得所求直線的方程.【詳解詳析】在等腰三角形頂角角平分線上任取一點，則點到直線與的距離相等，由題意可得，所以，.所以，或，所以，該等腰三角形頂角角平分線所在直線的方程為或.由于底邊與頂角角平分線垂直.當(dāng)?shù)走吪c直線垂直時，且直線的斜率為，此時底邊所在直線方程為，即；當(dāng)?shù)走吪c直線垂直時，且直線的斜率為，此時底邊所在直線方程為，即.故答案為：或.【名師指路】本題考查等腰三角形底邊所在直線方程的求解，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及點到直線距離公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.16．(2023·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校高二月考）關(guān)于的二元一次方程組，無解，則_____；【標(biāo)準(zhǔn)答案】或根據(jù)二元一次方程組無解，可知兩直線平行，根據(jù)兩直線平行的充要條件，即可求出結(jié)果.【詳解詳析】因為關(guān)于的二元一次方程組，無解，所以直線與直線平行,所以，所以，又，所以或.故答案為：或【名師指路】本題主要考查二元一次方程組的幾何意義，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線平行列出方程，屬于中檔題.17．(2023·上海師大附中高二期中）設(shè)、為不同的兩點，直線，，以下命題中正確的序號為__________．（1）存在實數(shù)，使得點N在直線l上；（2）若，則過M、N的直線與直線l平行；（3）若，則直線l經(jīng)過的中點；（4）若，則點M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段的延長線相交；【標(biāo)準(zhǔn)答案】②③④①點在直線上，則點的坐標(biāo)滿足直線方程，從而得到，進(jìn)而可判斷①不正確．②若，則，進(jìn)而得到，根據(jù)兩直線斜率的關(guān)系即可判斷②．③若，即可得到，即可判斷③．④若，則，或，根據(jù)點與直線的位置關(guān)系即可判定④．【詳解詳析】解：若點在直線上則，不存在實數(shù)，使點在直線上，故①不正確；若，則，即，，即過、兩點的直線與直線平行，故②正確；若，則即，，直線經(jīng)過線段的中點，即③正確；若，則，或，即點、在直線的同側(cè)，且直線與線段不平行．故④正確．故答案為：②③④．【名師指路】本題考查兩直線的位置關(guān)系，點與直線的位置關(guān)系，直線的一般式方程等知識的綜合應(yīng)用，若兩直線平行則兩直線的斜率相等．18．(2023·上海市向明中學(xué)高二月考）已知與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值是___________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由兩直線方程可知兩直線垂直，且分別過定點（3，1）、（1，3），所以點P的軌跡為以兩定點連線段為直徑的圓，方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=2。因為要求的最小值，可作垂直線段CD⊥AB，根據(jù)向量的運算可得，，根據(jù)條件求得CD的長度為1，所以點D的軌跡為。根據(jù)兩圓方程可知點P的軌跡與點D的軌跡外離，故的最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑。【詳解詳析】∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0與l2：x+my﹣3m﹣1=0，∴l(xiāng)1⊥l2，l1過定點（3，1），l2過定點（1，3），∴點P的軌跡方程為圓（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，作垂直線段CD⊥AB，CD==1，所以點D的軌跡為,則，因為圓P和圓D的圓心距為，所以兩圓外離，所以|PD|最小值為，所以的最小值為4﹣2.故答案為：4﹣2.【名師指路】平面向量具有代數(shù)與幾何雙重身份，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。平面向量模的最值問題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。解決此類問題關(guān)鍵在于正確運用相關(guān)知識，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，常用方法有（1）利用向量基本知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2）利用坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖形求最值；（3）利用向量模的性質(zhì)求解；（4）利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解。三、解答題19．(2023·上海市向明中學(xué)高二期中）已知，直線和直線相交于點P，和y軸交于點A，和x軸交于點B．（1）判斷與的位置關(guān)系，并用t表示點P的坐標(biāo)；（2）求的長度的取值范圍，并指出取最值時點P的位置．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）垂直，；（2），最小時或，最大時．（1）可得時，顯然，時，由可得；聯(lián)立直線方程可求得P的坐標(biāo)；（2）可得，由即可求得取值范圍.【詳解詳析】（1）當(dāng)時，，，顯然，當(dāng)時，，則，則，綜上，，聯(lián)立直線方程，解得，；（2）由（1）知，，，則，則，即，則，當(dāng)時，即時，取得最小值為1，此時或，當(dāng)時，即時，取得最大值為，此時.【名師指路】關(guān)鍵點睛：本題考查直線位置關(guān)系的判斷以及取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程求出點P坐標(biāo)，將化成關(guān)于的式子即可求解.20．(2023·上海·華師大二附中高二月考）已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過定點；（2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明見解析；（2）；（3）S的最小值為4，直線l的方程為x－2y＋4＝0．【思路指引】（1）直線方程化為y＝k（x＋2）＋1，可以得出直線l總過定點；（2）考慮直線的斜率及在y軸上的截距建立不等式求解；（3）利用直線在坐標(biāo)軸上的截距表示出三角形的面積，利用均值不等式求最值，確定等號成立條件即可求出直線方程.【詳解詳析】（1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無論k取何值，直線l總過定點（－2，1）．（2）直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．（3）依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時，取等號．故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0．21．(2023·上海市西南位育中學(xué)高二期中）如圖，已知，，，直線.(1)求直線l經(jīng)過的定點坐標(biāo)；(2)若直線l等分的面積，求直線l的方程；(3)若，點E?F分別在線段BC和AC上，上，求的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)(3)【思路指引】（1）將直線變形為，由恒等式可得方程組，從而求得直線所過的定點；（2）根據(jù)條件確定直線l所過的定點在直線AB上，設(shè)出直線l與AC交點D，由確定D點位置，從而求出D點坐標(biāo)，代入直線l的方程可求解方程；（3）由可得有，設(shè)，可確定，由向量共線可得出F點坐標(biāo)，表示出,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得其取值范圍.(1)解：直線可化為，聯(lián)立，解得，故直線l經(jīng)過的定點坐標(biāo)為；(2)解：因為，，，所以有，由題可得直線AB方程為，故直線l經(jīng)過的定點在直線AB上，所以，設(shè)直線l與AC交于點D，所以有，即，所以，設(shè)，所以，即，所以，，所以，將D點坐標(biāo)代入直線l的方程，解得，所以直線l的方程為：；(3)解：由（2）可知為等邊三角形，所以，，而，，，所以有，設(shè)，則，所以，因為F在AC上，設(shè)，所以，即，解得，，所以，所以，，故，因為，所以.22．求經(jīng)過直線與直線的交點M，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）聯(lián)立直線方程構(gòu)成方程組得，依題意可設(shè)所求直線為：，由點在直線上，能求出所求直線方程；（2）依題意設(shè)所求直線為：，由點在直線上，能求出所求直線方程．【詳解詳析】（1）由，得，所以．依題意，可設(shè)所求直線為：．因為點在直線上，所以，解得：．所以所求直線方程為：．（2）依題意，設(shè)所求直線為：．因為點在直線上，所以，解得：，所以所求直線方程為：．【名師指路】本題考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與直線平行、直線與直線垂直等關(guān)系的合理運用，屬于中檔題.23．如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過點修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個工業(yè)園.（1）以為坐標(biāo)原點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出點的坐標(biāo)；（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）以為原點，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．；（2）.【思路指引】（1）以為原點，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，，根據(jù)條件求得的坐標(biāo)．（2）設(shè)出的方程，求得的橫坐標(biāo)和的縱坐標(biāo)，求得的解析式，根據(jù)求得，即可求出直線方程．【詳解詳析】解：（1）如圖，以為原點，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．因為，故直線的方程是．設(shè)點，．因為點到的距離為3，故．由到直線的距離為，得，解得或（舍去），所以點．（2）顯然直線的斜率存在．設(shè)直線的方程為，．令得．由解得．解得故直線的方程為：【名師指路】本題考查通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求直線方程，與三角形的面積問題，屬于基礎(chǔ)題．24．在平面直角坐標(biāo)系中，過點作直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A，B.（1）若，求直線的一般式方程；（2）求當(dāng)取得最小值時直線的方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】設(shè)出，（1）由，可求得，從而得直線斜率，寫出直線方程；（2）由共線得出滿足的等量關(guān)系，求出，【詳解詳析】設(shè)出，（1）∵，∴，即，解得，∴直線方程為，即；（2）∵共線，∴，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。∴直線方程為，即?！久麕熤嘎贰勘绢}考查求直線方程，由于題中條件都與向量有關(guān)，因此引入直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，由平面向量的坐標(biāo)運算求出參數(shù)，寫出方程的截距式，再化為一般式。25．(2023·上?！らh行中學(xué)高二期中）已知直線與軸交于點，與軸交于點，，O是坐標(biāo)原點，分別求出滿足下列條件的直線的一般式方程．(1)直線的斜率為；(2)直線過點【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0(2)2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0【思路指引】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線l在y軸上截距為b，則其在x軸上截距為﹣6b，由三角形面積公式可得S△MON＝×|6b|×|b|＝12，解可得b的值，代入直線l的方程，變形可得答案；（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x+6）+8，求出直線l與x軸、y軸交點的坐標(biāo)，由三角形面積公式可得關(guān)于k的方程，解可得k的值，將k的值代入直線l的方程，變形可得答案．(1)解：根據(jù)題意，直線l的斜率為，設(shè)直線l在y軸上截距為b，則其在x軸上截距為﹣6b，若S△MON＝12，則S△MON＝×|6b|×|b|＝12，解可得b＝±2，則直線l的方程為y＝x±2，變形可得x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0，直線l的方程為x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0；(2)解：設(shè)直線l的方程為y＝k（x+6）+8，令x＝0，則y＝6k+8，令y＝0，則x＝﹣﹣6，則有×|6k+8|×|﹣﹣6|＝12，解可得k＝﹣或﹣，故直線l的方程為2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0．26．如圖，已知城市周邊有兩個小鎮(zhèn)、，其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處，鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距，與夾角的正切值為2，為方便交通，現(xiàn)準(zhǔn)備建設(shè)一條經(jīng)過城市的公路，使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側(cè)，過和建設(shè)兩條垂直的公路和，分別與公路交匯于、兩點，以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.（1）當(dāng)兩個交匯點、重合，試確定此時路段長度；（2）當(dāng)，計算此時兩個交匯點、到城市的距離之比；（3）若要求兩個交匯點、的距離不超過，求正切值的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）先求出直線的斜率為1，點B的坐標(biāo)為，再利用點到直線的距離為|BD|=；（2）設(shè)直線AB的斜率為，先求出再求出，即得；（3）先求出,再求出解不等式即得解.【詳解詳析】（1）當(dāng)兩個交匯點、重合時，則AC,BD公路共線，過點B作BE⊥AO,垂足為E,則,所以AE=，所以|BE|=|AE|,所以直線AB的傾斜角為，所以直線AB的斜率為，所以直線的斜率為1，因為點B的坐標(biāo)為，所以|BD|=.（2）由題得A(21,0)，設(shè)直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，因為|AC|=|BD|,所以.由題得,所以,所以.（3）由題得，所以，所以.因為,所以解之得.故正切值的取值范圍為.【名師指路】本題主要考查直線的方程和點到直線的距離，考查直線的夾角的計算，考查一元二次不等式的解法，考查和角的正切，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.27．已知直線，且與坐標(biāo)軸形成的三角形面積為.求：（1）求證：不論為何實數(shù)，直線過定點P；（2）分別求和時，所對應(yīng)的直線條數(shù)；（3）針對的不同取值，討論集合直線經(jīng)過P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素個數(shù).【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）定點，見解析；（2）時，2條直線，時，4條直線；（3）①時，2條直線；②時，3條直線；③時，4條直線.【思路指引】（1）直線方程化為，令求得直線所過的定點；（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)出直線方程，求出直線與軸的交點，計算對應(yīng)三角形的面積，由此求得直線條數(shù)；（3）由題意得，討論和時方程對應(yīng)的實數(shù)根，從而求出對應(yīng)直線的條數(shù)，即可得出集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中元素的個數(shù)．【詳解詳析】（1）直線可化為，令，解得，∴