銜接點(diǎn)01 運(yùn)算與技巧（原卷版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

銜接點(diǎn)01運(yùn)算與技巧小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)正有理數(shù)和零的加減乘除混合運(yùn)算，培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力。初中階段較小學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)和運(yùn)算方面主要變化有：數(shù)系擴(kuò)大了，上升到有理數(shù)域，最后到實(shí)數(shù)域，這是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一個(gè)飛躍。同時(shí)數(shù)的運(yùn)算也相應(yīng)的從小學(xué)中的正數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算上升到了有理數(shù)和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，并且加入了乘方、開方運(yùn)算。主要培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象能力、應(yīng)用意識(shí)等。對(duì)于四則混合運(yùn)算，我們要求學(xué)生熟練地掌握運(yùn)算順序和計(jì)算的正確率；到了初中后，只要弄懂符號(hào)法則，那有理數(shù)的運(yùn)算教學(xué)也能達(dá)到事半功倍之效。對(duì)于運(yùn)算技巧（簡(jiǎn)便運(yùn)算），希望大家能發(fā)自內(nèi)心想要讓運(yùn)算簡(jiǎn)便，而不是題目要求要簡(jiǎn)便。通過(guò)本專題希望大家能同學(xué)們多觀察、體會(huì)，勤總結(jié)，靈活運(yùn)用簡(jiǎn)算方法，深刻理解簡(jiǎn)算的數(shù)學(xué)思想。題型探究題型1、活用運(yùn)算定律和性質(zhì)（湊整思想） 3題型2、巧分組法 10題型3、換元法 13題型4、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算 16題型5、數(shù)列求和（等差、等比數(shù)列） 22題型6、運(yùn)用乘法公式運(yùn)算 26培優(yōu)精練A組（能力提升） 29B組（培優(yōu)拓展） 381．運(yùn)算定律1）加法交換律：加法結(jié)合律：2）乘法交換律：乘法結(jié)合律：3）乘法分配律：乘法分配律的逆用：2．運(yùn)算性質(zhì)1）減法的性質(zhì)：2）除法的性質(zhì)：3）商的“不變性”，即若，則，；3．裂項(xiàng)公式（補(bǔ)充）：把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡(jiǎn)捷。第一類（“裂差”型運(yùn)算）：或第二類（“裂和”型運(yùn)算）：或裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。4．?dāng)?shù)列求和公式（補(bǔ)充）eq\o\ac(○,1)等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數(shù)列求和等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)×公比—首項(xiàng)）÷（公比—1）（公比≠1）5．乘法公式（補(bǔ)充）平方差公式：完全平方公式：，題型1、活用運(yùn)算定律和性質(zhì)（湊整思想）【解題技巧】“湊整”就是把“一些分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）湊成整數(shù)”，把“一些整數(shù)湊成10的整倍數(shù)”，使有理數(shù)式子容易計(jì)算出結(jié)果。在湊整過(guò)程中，常用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解因數(shù)、提公因數(shù)等方法技巧。一般情況下，小學(xué)階段的湊整主要使用運(yùn)算定律或減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)及商的不變性達(dá)到湊整的目的。例1．（2023·四川成都·小升初真題）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。（1）

（2）（3）（4）

（5）例2．（2023·河北邯鄲·小升初真題）計(jì)算下列各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。（1）

（2）（3）（4）

（5）

（6）（9＋7）÷（＋）變式1．（2024·四川成都·小升初真題）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）變式2．（2023·山東濟(jì)南·小升初真題）脫式計(jì)算，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。6.8×0.35＋408÷24

1.8×＋2.2×25%－0.25（0.2＋）×÷8

變式3．（2023春·廣西·六年級(jí)培優(yōu)）計(jì)算．（1）

（2）（＋1＋）÷（＋＋）變式4.（2023·福建泉州·小升初模擬）神機(jī)妙算。（1）8×3÷[1÷（3－2.95）]（2）×39＋×25＋2×（3）2018÷2018＋題型2、巧分組法【解題技巧】觀察所求算式特征，巧妙運(yùn)用分組搭配處理，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。例1．（2024·廣東·小升初模擬）計(jì)算題，寫出計(jì)算過(guò)程和結(jié)果。（1）

（2）例2．（2024六年級(jí)·浙江·培優(yōu)）計(jì)算。（1）（2）2023-2020+2017-2014＋2011－2018＋……＋16－13＋10－7＋4變式1．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考小升初真題）簡(jiǎn)算，并寫出簡(jiǎn)算過(guò)程。99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1

變式2．（2024·江蘇·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：

題型3、換元法【解題技巧】從式子的整體角度考察，把部分式子用字母代替后，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。通過(guò)引入字母轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，這樣不但可以減少運(yùn)算過(guò)程，還有利于尋找接題思路，其中的新變量在解題過(guò)程中起到橋梁作用。例1．（2023·湖南湘潭·六年級(jí)自主招生）計(jì)算。例2．（2024·成都市小升初模擬）計(jì)算（寫出必要的計(jì)算過(guò)程）。變式1．（2022·廣東深圳·六年級(jí)?？计谥校┣伤?。（1）（2）變式1.（2023·廣東·?？夹∩跄M）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。題型4、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算【解題技巧】把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡(jiǎn)捷。利用下面的拆項(xiàng)公式課化簡(jiǎn)一些有理數(shù)式子的計(jì)算第一類（“裂差”型運(yùn)算）：①或②。裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。第二類（“裂和”型運(yùn)算）：或裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。例1．（2022·廣西南寧·?？夹∩跽骖}）觀察下列等式：，，，請(qǐng)將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：。（1）猜想并寫出：（

）。（2）（

）。（3）探究并計(jì)算：（

）。（4）計(jì)算：例2．（2024六年級(jí)下·山東·培優(yōu)）。例3．（2023·四川成都·小升初真題）計(jì)算。

變式1．（2024·湖北·六年級(jí)期中）計(jì)算題：（1）（2）（3）（4）變式2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·小升初真題）計(jì)算：。變式3．（2024·浙江·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：1－＋－＋－題型5、數(shù)列求和（等差、等比數(shù)列）【解題技巧】eq\o\ac(○,1)等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數(shù)列求和等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)×公比—首項(xiàng)）÷（公比—1）（公比≠1）例1．（2023·四川成都·小升初模擬）計(jì)算：例2．（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一般形式可以寫成：．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用表示．如：數(shù)列為等比數(shù)列，其中，公比為．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）等比數(shù)列的公比為，第項(xiàng)是．【公式推導(dǎo)】如果一個(gè)數(shù)列，是等比數(shù)列，且公比為，那么根據(jù)定義可得到：．所以，，，（2）由此，請(qǐng)你填空完成等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：．【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復(fù)雜，但是其推導(dǎo)過(guò)程——錯(cuò)位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．下面是小明為了計(jì)算的值，采用的方法：設(shè)①，則②，得，∴．【解決問(wèn)題】（3）請(qǐng)仿照小明的方法求的值．變式1．（2024·四川成都·小升初真題）下列各題要寫出主要計(jì)算過(guò)程。（1）

（2）變式2．（2024·廣東·七年級(jí)期中）閱讀材料：求的值.解：設(shè)將等式兩邊同時(shí)乘以2，得將下式減去上式，得即請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：（1）（2）題型6、運(yùn)用乘法公式運(yùn)算【解題技巧】平方差公式：完全平方公式：，例1．（2023·浙江·小升初模擬）計(jì)算：例2．（2022·四川綿陽(yáng)·小升初真題）計(jì)算題：

例3．（2024·山東·六年級(jí)培優(yōu)）利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)；(2)；(3)．變式1．（2022·重慶沙坪壩·小升初真題）計(jì)算：

變式2.（1）（2022·四川青羊·八年級(jí)期中）計(jì)算：＝___．（2）（2022·湖南漢壽·七年級(jí)期中）計(jì)算：799×801﹣8002＝_____．變式3．（2022·廣東·梅州市七年級(jí)階段練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)20022(2)A組（能力提升）1．（2022·廣西貴港·小升初真題）有一個(gè)數(shù)字鍵“4”壞了的計(jì)算器，用這個(gè)計(jì)算器計(jì)算24×25時(shí)，下列按鍵方案中（

）合適。A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×252．（2024六年級(jí)下·浙江·培優(yōu)）。3．（2024六年級(jí)·成都市·外地生考試）計(jì)算：。4．（2023六年級(jí)下·江蘇·培優(yōu)）計(jì)算：。5．（2024六年級(jí)下·重慶·模擬）計(jì)算：。6．（23-24六年級(jí)下·江西宜春·期中）用你喜歡的方法計(jì)算。

7．（2022·四川成都·小升初真題）計(jì)算題。

8．（2023·四川·小升初真題）看清題目，巧思妙算。

9．（2022·湖南株洲·小升初真題）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。

B組（培優(yōu)拓展）1．（2023六年級(jí)上·湖北·專題練習(xí)）計(jì)算：。2．（2024·廣東·六年級(jí)培優(yōu)）計(jì)算：3．（2023·四川成都·小升初真題）用靈活而合理的方法計(jì)算。（1）（2）（3）（4）4．（2024·廣東·小升初模擬）脫式計(jì)算。