高二數(shù)學(xué)選擇性教案152點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)到直線的距離泰州市教育局教研室唐咸勝教學(xué)目標(biāo)：1．理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)；2．掌握點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用；3．會(huì)用點(diǎn)到直線距離求兩平行線間的距離；教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)方法．yyP(－P(－1,5)Q102464810O826462246810一、情境設(shè)置8x10某電信局計(jì)劃年底解決本地區(qū)最后一個(gè)小8x10區(qū)P的通信問題．離它最近的只有一條線路通過，要完成這項(xiàng)任務(wù)，至少需要多長(zhǎng)的電纜？經(jīng)過測(cè)量，若按照部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖（即以電信局為原點(diǎn)），得知這個(gè)小區(qū)的坐標(biāo)為P（－1，5），離它最近線路其方程為2x＋5y＋10＝0．二、學(xué)生活動(dòng)問題：這個(gè)實(shí)際問題要解決，要轉(zhuǎn)化成什么樣的數(shù)學(xué)問題？答：求點(diǎn)到直線的距離．這堂課我們就來(lái)學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離．三、數(shù)學(xué)建構(gòu)已知點(diǎn)P（x0，y0），直線l：Ax＋By＋C＝0，求點(diǎn)P到直線l的距離．問題1：怎樣求點(diǎn)到直線距離呢？答：作垂線找垂足Q，求線段PQ的長(zhǎng)度．問題2：怎樣用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程求和表示點(diǎn)到直線距離呢？先看特殊情況：直線平行于x軸和y軸．llll當(dāng)A＝0時(shí)，l：By＋C＝0，∣PQ∣＝∣y0－yQ∣＝∣y0＋∣＝，OyxP(x0,y0)Q當(dāng)B＝0時(shí)，l：Ax＋C＝0，∣PQ∣＝∣x0－xOyxP(x0,y0)Q問題3：當(dāng)AB≠0時(shí)，如何求∣PQ∣？思路一：過P作PQ⊥l于Q點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線PQ方程，由PQ與l聯(lián)立方程組解得Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)距離公式求得．解直線PQ：，即由，，，，∴．思路二：構(gòu)造三角形，把線段放在直角三角形中．直線與x軸的交點(diǎn)M或與y軸交點(diǎn)N，或過P點(diǎn)作x，y軸的平行線與直線的交點(diǎn)R、S．在直角△PRS中，求線段PR、PS、RS，利用等面積法（不涉及角和分情況），求得線段PQ長(zhǎng)．解設(shè)P（x0，y0），Q（xQ，yQ），R（xR，y0），S（x0，yS）．AxR＋By0＋C＝0，；Ax0＋ByS＋C＝0，，，．由，，而，∴．問題4：①上式是由條件下當(dāng)AB≠0時(shí)得出，對(duì)當(dāng)A＝0，或B＝0時(shí)成立嗎？②點(diǎn)P在直線l上成立嗎？③公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？用公式時(shí)直線方程是什么形式？由此推導(dǎo)出點(diǎn)P（x0，y0），到直線l：Ax＋By＋C＝0距離公式：，適用于任意點(diǎn)、任意直線．四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1．解決課堂提出的實(shí)際問題．（學(xué)生口答）2．求點(diǎn)P（－1，2）到下列直線的距離：①2x＋y－10＝0，②3x＝2．3．求平行線2x－7y＋8＝0和2x―7y―6＝0的距離．問題1：如何求兩平行線間的距離？距離如何轉(zhuǎn)化？答：選其中一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的距離．解在直線2x―7y―6＝0上任取點(diǎn)P（x0，y0），則2x0―7y0―6＝0．點(diǎn)P（x0，y0）到直線2x－7y＋8＝0的距離是．問題2：兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0的距離．解在直線上Ax＋By＋C1＝0任取一點(diǎn)，如P（x0，y0），則兩平行線的距離就是點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax＋By＋C2＝0的距離．因此，d＝＝＝．注意：用公式時(shí)，注意兩條直線一次項(xiàng)系數(shù)是否一致．4．證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)，到兩腰的