高中數(shù)學數(shù)列教案15篇

高中數(shù)學數(shù)列教案15篇

高中數(shù)學數(shù)列教案（篇1）

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際

應用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列作為一種特

殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面，學習數(shù)列也為進

一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學生

學習了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法一一通項公

式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。

同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了學習對比的依

據(jù)。

2、教學目標

根據(jù)教學大綱的要求和學生的實際水平，確定了本次課

的教學目標

a在知識上：理解并掌握等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列

的通項公式的推導過程及思想；初步引入“數(shù)學建?！钡乃?/p>

想方法并能運用。

b在能力上：培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力;

在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來

研究數(shù)列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練

習，提高學生分析問題和解決問題的能力。

c在情感上：通過對等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學生主動探

索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于

總結(jié)的良好思維習慣。

3、教學重點和難點

根據(jù)教學大綱的要求我確定本節(jié)課的教學重點為：

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項公式的推導過程及應用。

由于學生第一次接觸不完全歸納法,對此并不熟悉因此

用不完全歸納法推導等差數(shù)列的同項公式是這節(jié)課的一個

難點。同時，學生對“數(shù)學建模”的思想方法較為陌生，因

此用數(shù)學思想解決實際問題是本節(jié)課的另一個難點。

二、學情教法分析：

對于三中的.高一學生，知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的

智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了教強的抽象思維能力

和演繹推理能力，所以我在授課時注重引導、啟發(fā)、研究和

探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的

進一步發(fā)展。

針對高中生這一思維特點和心理特征，本節(jié)課我采用啟

發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學方法，通過問題激發(fā)學生

求知欲，使學生主動參與數(shù)學實踐活動，以獨立思考和相互

交流的形式，在教師的指導下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

三、學法指導：

在引導分析時，留出學生的思考空間，讓學生去聯(lián)想、

探索，同時鼓勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路

方法和需要解決的問題弄清。

四、教學程序

本節(jié)課的教學過程由（一）復習引入（二）新課探究（三）

應用舉例（四）反饋練習（五）歸納小結(jié)（六）布置作業(yè)，六個教

學環(huán)節(jié)構(gòu)成。

（一）復習引入：

1.從函數(shù)觀點看,數(shù)列可看作是定義域為對

應的一列函數(shù)值，從而數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的

o（N*;解析式）

通過練習1復習上節(jié)內(nèi)容，為本節(jié)課用函數(shù)思想研究數(shù)

列問題作準備。

2.小明目前會100個單詞，他她打算從今天起不再背單

詞了，結(jié)果不知不覺地每天忘掉2個單詞，那么在今后的五

天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為：100,98,96,94,92①

3.小芳只會5個單詞，他決定從今天起每天背記10個

單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞增為5,

10,15,20,25②

通過練習2和3引出兩個具體的等差數(shù)列，初步認識等

差數(shù)列的特征，為后面的概念學習建立基礎(chǔ)，為學習新知識

創(chuàng)設(shè)問題情站境，激發(fā)學生的求知欲。由學生觀察兩個數(shù)列

特點，引出等差數(shù)列的概念，對問題的總結(jié)又培養(yǎng)學生由具

體到抽象、由特殊到一般的認知能力。

（二）新課探究

1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念：

如果一個數(shù)列，從第二項開始它的每一項與前一項之差

都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，

這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。

強調(diào)：

①“從第二項起”滿足條件；

②公差d一定是由后項減前項所得；

③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(強調(diào)

“同一個常數(shù)”);

在理解概念的基礎(chǔ)上，由學生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)

化為數(shù)學語言，歸納出數(shù)學表達式：

an+1-an=d(n21)同時為了配合概念的理解，我找了5

組數(shù)列，由學生判斷是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公

差。

1.9,8,7,6,5,4,.......;Vd=-1

2.0.70,0.71,0.72,0.73,0.74......;Vd=0.01

3.0,0,0,0,0,0,......;Jd=0

4.1,2,3,2,3,4,.......;X

5.1,0,1,0,1,......X

其中第一個數(shù)列公差0,第三個數(shù)列公差二0

由此強調(diào)：公差可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0

2、第二個重點部分為等差數(shù)列的通項公式

在歸納等差數(shù)列通項公式中，我采用討論式的教學方

法，

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《高中數(shù)學說課稿：等差數(shù)列》0。給出等差數(shù)列的首

項，公差d,由學生研究分組討論a4的通項公式。通過總結(jié)

a4的通項公式由學生猜想a40的通項公式，進而歸納an的

通項公式。整個過程由學生完成，通過互相討論的方式既培

養(yǎng)了學生的協(xié)作意識又化解了教學難點。

若一等差數(shù)列｛an｝的首項是al,公差是d,則據(jù)其定義可

得：

a2-al=d即：a2=al+d

a3-a2=d即：a3=a2+d=al+2d

a4-a3=d即：a4=a3+d=al+3d

猜想:a40=al+39d,進而歸納出等差數(shù)列的通項公式：

an=al+(n-l)d

此時指出：這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這

種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)

度，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法

------迭加法：

a2-al二d

a3-a2=d

a4-a3=d

an-an-l=d

將這(n-l)個等式左右兩邊分別相加，就可以得到an-

al=(n-l)d即an=al+(n-l)d(l)

當n=l時，(1)也成立，

所以對一切n￡N*,上面的公式都成立

因此它就是等差數(shù)列｛an｝的通項公式。

在迭加法的證明過程中，我采用啟發(fā)式教學方法。

利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學生寫出n-1個等式。

對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學生想出將n-l個等式相

加。證出通項公式。

在這里通過該知識點引入迭加法這一數(shù)學思想，逐步達

到“注重方法，凸現(xiàn)思想”的教學要求

接著舉例說明：若一個等差數(shù)列｛an｝的首項是1,公差

是2,得出這個數(shù)列的通項公式是：an=l+(n-l)X2,

即an=2n-l以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用

同時要求畫出該數(shù)列圖象，由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正

整數(shù)n一次函數(shù)，其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用

函數(shù)的思想來研究數(shù)列，使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。

(三)應用舉例

這一環(huán)節(jié)是使學生通過例題和練習，增強對通項公式含

義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的能

力。通過例1和例2向?qū)W生表明：要用運動變化的觀點看等

差數(shù)列通項公式中的al、d、n、an這4個量之間的關(guān)系。

當其中的部分量已知時，可根據(jù)該公式求出另一部分量。

例1⑴求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;第30項;第

40項

(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項?如果是,

是第幾項？

在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固

等差數(shù)列通項公式;第二問實際上是求正整數(shù)解的問題，而

關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an.

例2在等差數(shù)列數(shù)列中，已知a5=10,al2=31,求首項

al與公差d。

在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當作練習作為對通項公式的

鞏固

例3是一個實際建模問題

建造房屋時要設(shè)計樓梯，已知某大樓第2層的樓底離地

面的高度為3米，第三層離地面5.8米，若樓梯設(shè)計為等高

的16級臺階，問每級臺階高為多少米？

這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學方法。啟發(fā)

學生注意每級臺階“等高”使學生想到每級臺階離地面的高

度構(gòu)成等差數(shù)列，引導學生將該實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型

------等差數(shù)列：（學生討論分析，分別演板，教師評析問

題。問題可能出現(xiàn)在：項數(shù)學生認為是16項，應明確al為

第2層的樓底離地面的高度，a2表示第一級臺階離地面的高

度而第16級臺階離地面高度為al7,可用課件展示實際樓梯

圖以化解難點）。

設(shè)置此題的目的：1.加強同學們對應用題的綜合分析能

力，2.通過數(shù)學實際問題引出等差數(shù)列問題，激發(fā)了學生的

興趣;3.再者通過數(shù)學實例展示了“從實際問題出發(fā)經(jīng)抽象

概括建立數(shù)學模型，最后還原說明實際問題的“數(shù)學建模”

的數(shù)學思想方法

（四）反饋練習

1、小節(jié)后的練習中的第1題和第2題（要求學生在規(guī)定

時間內(nèi)完成）。目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基

本技能訓練。

2、書上例3）梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,

中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列。計算中間各級的

見度。

目的：對學生加強建模思想訓練。

3、若數(shù)例｛an｝是等差數(shù)列,若bn二kan,（k為常數(shù)）試證

明：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列

此題是對學生進行數(shù)列問題提高訓練，學習如何用定義

證明數(shù)列問題同時強化了等差數(shù)列的概念。

（五）歸納小結(jié)（由學生總結(jié)這節(jié)課的收獲）

1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學表達式.

強調(diào)關(guān)鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都

等于同一常數(shù)

2.等差數(shù)列的通項公式an=al+（n-l）d會知三求一

3.用“數(shù)學建?！彼枷敕椒ń鉀Q實際問題

（六）布置作業(yè)

必做題：課本P114習題3.2第2,6題

選做題：已知等差數(shù)列｛an｝的首項al二-24,從第10項

開始為正數(shù)，求公差d的取值范圍。

（目的：通過分層作業(yè)，提高同學們的求知欲和滿足不

同層次的學生需求）

五、板書設(shè)計

在板書中突出本節(jié)重點，將強調(diào)的地方如定義中，“從

第二項起”及“同一常數(shù)”等幾個字用紅色粉筆標注，同時

給學生留有作題的地方，整個板書充分體現(xiàn)了精講多練的教

學方法。

高中數(shù)學數(shù)列教案（篇2）

教學目標：明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項

公式，會解決知道an,al,d,n中的三個，求另外一個的問題;

培養(yǎng)學生觀察能力，進一步提高學生推理、歸納能力，培養(yǎng)

學生的'應用意識.

教學重點：1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握.2.等差數(shù)

列的通項公式的推導及應用.教學難點：等差數(shù)列“等差”

特點的理解、把握和應用.教學過程：

I.復習回顧上兩節(jié)課我們共同學習了數(shù)列的定義及給

出數(shù)列的兩種方法一一通項公式和遞推公式.這兩個公式從

不同的角度反映數(shù)列的特點，下面我們看這樣一些例子

II.講授新課新,8,6,4,2,…;21,21,22,22,23,

23,24,24,252,2,2,2,2,…首先,請同學們仔細觀

察這些數(shù)列有什么共同的'特點？是否可以寫出這些數(shù)列的

通項公式？（引導學生積極思考，努力尋求各數(shù)列通項公式，

并找出其共同特點）它們的共同特點是：從第2項起，每一

項與它的前一項的“差”都等于同一個常數(shù).也就是說，這

些數(shù)列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點.具有這種特點

的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列.

1.定義等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，

每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就

叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母

d表示.

2.等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰

兩項之間關(guān)系而得.若一等差數(shù)列｛an｝的首項是al,公差是

d,則據(jù)其定義可得：(nT)個等式若將這n-l個等式左右兩

邊分別相加，則可得:an-al=(n-l)d即：an=al+(n-l)d當

n二1時，等式兩邊均為al,即上述等式均成立，則對于一切

n￡N-時上述公式都成立，所以它可作為數(shù)列｛an｝的通項公

式.看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項al和

公差d,便可求得其通項.由通項公式可類推得：

am=al+(m-1)d,即：al=am-(m-1)d,則：

an=al+(n-l)d=am-(m-1)d+(n-l)d=am+(n-m)d.如：

a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d

請同學們來思考這樣一個問題.如果在a與b中間插入

一個數(shù)A,使a、A、b成等差數(shù)列，那么A應滿足什么條件?

由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得：A-a=b-A,即:

a二.反之，若A=,貝I］2A=a+b,A-a=b-A,即a^A、b成等差

數(shù)列.總之，A=a,A,b成等差數(shù)歹(J.如果a、A、b成等差數(shù)

列，那么a叫做a與b的等差中項.例題講解［

例1］在等差數(shù)列｛an｝中，已知a5=10,al5=25,求a25.

思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項，可求出al和d,然

后可得出該數(shù)列的通項公式，便可求出a25.

思路二：若注意到已知項為a5與al5,所求項為a25,

則可直接利用關(guān)系式an=am+(n-m)d.這樣可簡化運算.思路

三：若注意到在等差數(shù)列｛an｝中，a5,al5,a25也成等差數(shù)

列，則利用等差中項關(guān)系式，便可直接求出225的值.

[例2](1)求等差數(shù)列8,5,2…的第20項.分析:由給

出的三項先找到首項al,求出公差d,寫出通項公式，然后

求出所要項

答案：這個數(shù)列的第20項為-49.(2)-401是不是等差數(shù)

列-5,-9,T3…的項？如果是，是第幾項？分析：要想判斷

-401是否為這數(shù)列的一項，關(guān)鍵要求出通項公式，看是否存

在正整數(shù)n,可使得an=-401.，-401是這個數(shù)列的第100項.

III.課堂練習

1.⑴求等差數(shù)列3,7,11,……的’第4項與第10項.

(2)求等差數(shù)列10,8,6,……的第20項.(3)100是不

是等差數(shù)列2,9,16,……的項?如果是，是第幾項?如果不

是,說明理由.2.在等差數(shù)列數(shù)n｝中,

(1)已知a4=10,a7=19,求al與d;

⑵已知a3=9,a9=3,求al2.

IV.課時小結(jié)通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數(shù)

列的定義及數(shù)學表達式：a5211-1二(1(11三2).其次，要會推導

等差數(shù)列的通項公式：an=al+(n-l)d(n^l),并掌握其基本

應用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an=am+(n-m)d的理解

與應用以及等差中項。

V.課后作業(yè)課本P39習題1,2,3,4

高中數(shù)學數(shù)列教案(篇3)

一、課前檢測

1.在數(shù)列｛an｝中,an=ln+l+2n+l++nn+l,又bn=2anan+l,

求數(shù)列｛bn｝的前n項的和.

解：由已知得：an=ln+l(l+2+3++n)=n2,

bn=2n2n+12=8(ln-ln+1)數(shù)列｛bn｝的前n項和為

Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)++(ln-ln+l)]=8(l-ln+l)=8

nn+1.

2.已知在各項不為零的數(shù)列中，。

(1)求數(shù)列的通項；

(2)若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項的和為，求

解：(1)依題意，，故可將整理得：

所以即

,上式也成立，所以

(2)

二、知識梳理

(一)前n項和公式Sn的定義：Sn=al+a2+ano

(二)數(shù)列求和的方法(共8種)

5.錯位相減法：適用于差比數(shù)列(如果等差，等比，那

么叫做差比數(shù)列)即把每一項都乘以的公比，向后錯一項，

再對應同次項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

如：等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的.

解讀：

6.累加(乘)法

解讀：

7.并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求

解，則稱之為并項求和.

形如an=(T)nf(n)類型，可采用兩項合并求。

解讀：

8.其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等。

解讀：

三、典型例題分析

題型1錯位相減法

例1求數(shù)列前n項的和.

解：由題可知｛｝的通項是等差數(shù)列｛2n｝的通項與等比數(shù)

列。的通項之積

設(shè)①

②(設(shè)制錯位)

①-②得(錯位相減)

變式訓練1(20_昌平模擬)設(shè)數(shù)列｛an｝滿足

al+3a2+32a3++3n-lan=n3,nN_.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列｛bn｝的'前n項和Sn.

解：(1)Val+3a2+32a3++3n-lan=n3,①

當n2時，al+3a2+32a3++3n-2an-l=n-13.②

①-②得3nTan=13,an=13n.

在①中，令n=l,得al=13,適合an=13n,an=13n.

(2)*.*bn=nan,bn=n3n.

Sn-3+232+333++n3n,③

3Sn=32+233+334++n3n+l.④

④-③得2Sn=n3n+l-(3+32+33++3n),

即2Sn=n3n+l-3(l-3n)l-3,Sn=(2nT)3n+14+34.

小結(jié)與拓展：

題型2并項求和法

例2求=1002-992+982-972++22-12

解：

二1002-992+982-972++22-12=(100+99)+(98+97)++(2+1)=50

50.

變式訓練2數(shù)列｛(-l)nn｝的前20_項的和S2010為(D)

A.-20J.-1005C.20J).1005

解：S2010=-1+2-3+4-5++2008-2009+2010

=(2-1)+(4-3)+(6-5)++(2010-2009)=1005.

小結(jié)與拓展：

題型3累加(乘)法及其它方法：歸納、猜想、證明;周

期數(shù)列的求和等等

例3(1)求之和.

(2)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項的乘積等于

Tn=(nN_),

，則數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn中最大的一項是(D)

A.S6B.S5C.S4D.S3

解：(1)由于(找通項及特征)

二(分組求和)==

(2)D.

變式訓練3(1)(20_福州八中)已知數(shù)列則，。答案：

100.5000o

(2)數(shù)列中，，且，則前20_項的和等于(A)

A.1005B.20_C.1D.0

小結(jié)與拓展：

四、歸納與總結(jié)(以學生為主，師生共同完成)

以上一個8種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善

于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使

其能進行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求

和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，兀n=al-a2…

an,則有n2nT=(an)2nT,Ji2n+l=(an+1)2n+l

另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后

構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等

差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造幕Can,則是等比數(shù)列。在這個意

義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

高中數(shù)學數(shù)列教案(篇5)

2o2o1等差數(shù)列學案

一、預習問題：

1、等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從起，每

一項與它的前一項的差等于同一個，那么這個數(shù)列就叫等差

數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的，通常用字母表示。

2、等差中項：若三個數(shù)組成等差數(shù)列，那么A叫做與

的,

即或。

3、等差數(shù)列的.單調(diào)性：等差數(shù)列的公差時，數(shù)列為遞

增數(shù)列；時，數(shù)列為遞減數(shù)列；時，數(shù)列為常數(shù)列；等差數(shù)列

不可能是。

4、等差數(shù)列的通項公式：。

5、判斷正誤：

①1,2,3,4,5是等差數(shù)列；（）

②1,1,2,3,4,5是等差數(shù)列；（）

③數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列；（）

④數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；（）

⑤數(shù)列是等差數(shù)列；（）

⑥若，則成等差數(shù)列；（）

⑦若，則數(shù)列成等差數(shù)列；（）

⑧等差數(shù)列是相鄰兩項中后項與前項之差等于非零常

數(shù)的數(shù)列；（）

⑨等差數(shù)列的公差是該數(shù)列中任何相鄰兩項的差。（）

6、思考：如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列。

二、實戰(zhàn)操作：

例1、（1）求等差數(shù)列8,5,2,的第20項。

（2）是不是等差數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？

（3）已知數(shù)列的公差則

例2、已知數(shù)列的通項公式為，其中為常數(shù)，那么這個

數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

例3、已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和

為求這5個數(shù)。

高中數(shù)學數(shù)列教案（篇6）

一、教學目標

1.知識與能力目標

①使學生理解數(shù)列極限的概念和描述性定義。

②使學生會判斷一些簡單數(shù)列的極限，了解數(shù)列極限的

“e-N”定義，能利用逐步分析的方法證明一些數(shù)列的極限。

③通過觀察運動和變化的過程，歸納總結(jié)數(shù)列與其極限

的特定關(guān)系，提高學生的數(shù)學概括能力和抽象思維能力。

2.過程與方法目標

培養(yǎng)學生的極限的思想方法和獨立學習的能力。

3.情感、態(tài)度、價值觀目標

使學生初步認識有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變

的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點。

二、教學重點和難點

教學重點：數(shù)列極限的概念和定義。

教學難點：數(shù)列極限的“e-N”定義的理解。

三、教學對象分析

這節(jié)課是數(shù)列極限的第一節(jié)課，足學生學習極限的入門

課，對于學生來說是一個全新的內(nèi)容，學生的思維正處于由

經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡階段，在《立體幾何》

內(nèi)容求球的表面積和體積時對極限思想已有接觸，而學生在

以往的數(shù)學學習中主要接觸的是關(guān)于“有限”的問題，很少

涉及“無限”的問題。極限這一抽象概念能夠使他們做基于

直觀的理解，并引導他們作出描述性定義“當n無限增大時,

數(shù)列｛an｝中的項an無限趨近于常數(shù)A,也就是an與A的

差的絕對值無限趨近于0”，并能用這個定義判斷一些簡單數(shù)

列的極限。但要使他們在一節(jié)課內(nèi)掌握“￡-曠語言求極限

要求過高。因此不宜講得太難，能夠通過具體的幾個例子，

歸納研究一些簡單的數(shù)列的極限。使學生理解極限的基本概

念，認識什么叫做數(shù)列的極限以及數(shù)列極限的定義即可。

四、教學策略及教法設(shè)計

本課是采用啟發(fā)式講授教學法，通過多媒體課件演示及

學生討論的方法進行教學。通過學生比較熟悉的一個實際問

題入手，引起學生的注意，激發(fā)學生的學習興趣。然后通過

具體的兩個比較簡單的數(shù)列，運用多媒體課件演示向?qū)W生展

示了數(shù)列中的各項隨著項數(shù)的增大，無限地趨向于某個常數(shù)

的過程，讓學生在觀察的基礎(chǔ)上討論總結(jié)出這兩個數(shù)列的特

征，從而得出數(shù)列極限的一個描述性定義。再在教師的引導

下分析數(shù)列極限的各種不同情況。從而對數(shù)列極限有了直觀

上的認識，接著讓學生根據(jù)數(shù)列中各項的情況判斷一些簡單

的數(shù)列的極限。從而達到深化定義的效果。最后進行練習鞏

固，通過這樣的一個完整的教學過程，由觀察到分析、由定

量到定性，由直觀到抽象，并借助于多媒體課件的演示，使

得學生逐步地了解極限這個新的概念，為下節(jié)課的極限的運

算及應用做準備，為以后學習高等數(shù)學知識打下基礎(chǔ)。在整

個教學過程中注意突出重點，突破難點，達到教學目標的要

求。

五、教學過程

1.創(chuàng)設(shè)情境

課件展示創(chuàng)設(shè)情境動畫。

今天我們將要學習一個很重要的新的知識。

情境

1、我國古代數(shù)學家劉徽于公元263年創(chuàng)立“割圓術(shù)”,

“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周

合體而無所失矣”。

情境

2、我國古代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過

一句話：一尺之梗，日取其半，萬世不竭。也就是說拿一根

木棒，將它切成一半，拿其中一半來再切成一半，得到四分

之一，再切成一半，就得到了八分之,,,,？如此下去，無限次

地切，每次都切一半，問是否會切完？

大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，

木棒都比原來的少了一半，也就是說木棒的長度越來越短，

但永遠不會變成零。從而引出極限的概念。

2.定義探究

展示定義探索(一)動畫演示。

問題1：請觀察以下無窮數(shù)列，當n無限增大時，a,I

的變化趨勢有什么特點？

(1)1/2,2/3,3/4,?n/n-l(2)0.9,0.99,0,999,0.9999,

問題2：觀察課件演示，請分析以上兩個數(shù)列隨項數(shù)n

的增大項有那些特點？

師生一起歸納總結(jié)出以下結(jié)論：數(shù)列（1）項數(shù)n無限增

大時，項無限趨近于1;數(shù)列（2）項數(shù)n無限增大時，項無限

趨近于lo

那么就把1叫數(shù)列⑴的極限，1叫數(shù)列（2）的極限。這

兩個數(shù)列只是形式不同，它們都是隨項數(shù)n的無限增大，項

無限趨近于某一確定常數(shù)，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的極限。

那么，什么叫數(shù)列的極限呢?對于無窮數(shù)列an,如果當

n無限增大時，an無限趨向于某一個常數(shù)A,則稱A是數(shù)列

an的極限。

提出問題3：怎樣用數(shù)學語言來定量描述呢?怎樣用數(shù)學

語言來描述上述數(shù)列的變化趨勢？

展示定義探索（二）動畫演示，師生共同總結(jié)發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸

上兩點間距離越小，項與1越趨近，因此可以借助兩點間距

離無限小的方式來描述項無限趨近常數(shù)。無論預先指定多么

小的正數(shù)e,如取e=0T,總能在數(shù)列中找到一項am,使得

an項后面的所有項與1的差的絕對值都小于￡,若取￡=0。

0001,則第6項后面的所有項與1的差的絕對值都小于￡,

即1是數(shù)列⑴的極限。最后，師生共同總結(jié)出數(shù)列的極限

定義中應包含哪量（用這些量來描述數(shù)列1的極限）。

數(shù)列的極限為：對于任意的￡>0,如果總存在自然數(shù)N,

當n>N時,不等式Ian-AIn的極限。

定義探索動畫（一）：

課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應的數(shù)

列第n項的值，并且動畫演示數(shù)列的變化過程。如圖1所示

是課件運行時的一個畫面。

定義探索動畫(二)課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可

以計算出相應的數(shù)列第n項的值和Ian—II的值，并且動

畫演示出第an項和1之間的距離。如圖2所示是課件運行

時的一個畫面。

3.知識應用

這里舉了3道例題，與學生一塊思考，一起分析作答。

例1.已知數(shù)列：

1,-1/2,1/3,-1/4,1/5,??(-Dn+11/n,??

(1)計算Ian-01(2)第幾項后面的所有項與0的差的絕對

值都小于0.017都小于任意指定的正數(shù)。

(3)確定這個數(shù)列的極限。

例2.已知數(shù)列：

已知數(shù)列:3/2,9/4,15/8,,,,,2+(-l/2)n,??o

猜測這個數(shù)列有無極限，如果有，應該是什么數(shù)?并求

出從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.1,從第幾

項開始，各項與這個極限的差都小于0.017

例3.求常數(shù)數(shù)列一7,一7,一7,一7,,,,,的極限。

5.知識小結(jié)

這節(jié)課我們研究了數(shù)列極限的概念，對數(shù)列極限有了初

步的認識。數(shù)列極限研究的是無限變化的趨勢，而通過對數(shù)

列極限定義的探討，我們看到這一過程又是通過有限來把握

的，有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變之間的辯證關(guān)系

在這里得到了充分的體現(xiàn)。

課后練習：

(1)判斷下列數(shù)列是否有極限，如果有的話請求出它的

極限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(T)n/3n；

@aan=-2；⑤an=n；@an=(-1)no

(2)課本練習1,2o

6.探究性問題

設(shè)計研究性學習的思考題。

提出問題：

芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔

跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜，

因為當阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經(jīng)走在前面一

小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前

走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。假定

阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜

賽跑的路程是1公里。如果讓烏龜先跑0.1公里，當阿基里

斯追到0.1公里的地方，烏龜又向前跑了0.01公里。當阿

基里斯追到0.01公里的地方，烏龜又向前跑了0.001公里

,,,,這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎？

這里是研究性學習內(nèi)容，以學生感興趣的悖論作為課后

作業(yè)，鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，進一步提高了學生學習數(shù)列的極

限的興趣。同時也為學生創(chuàng)設(shè)了課下交流與討論的情境，逐

步培養(yǎng)學生相互合作、交流和討論的習慣，使學生感受到了

數(shù)學來源于生活，又服務于生活的實質(zhì)，逐步養(yǎng)成用數(shù)學的

知識去解決生活中遇到的實際問題的習慣。

高中數(shù)學數(shù)列教案(篇7)

教學目標

1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式，并

能運用公式解決簡單的問題。

(1)正確理解等比數(shù)列的定義，了解公比的概念，明確

一個數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列

是等比數(shù)列，了解等比中項的概念；

(2)正確認識使用等比數(shù)列的表示法，能靈活運用通項

公式求等比數(shù)列的首項、公比、項數(shù)及指定的項；

(3)通過通項公式認識等比數(shù)列的性質(zhì)，能解決某些實

際問題。

2.通過對等比數(shù)列的研究，逐步培養(yǎng)學生觀察、類比、

歸納、猜想等思維品質(zhì)。

3.通過對等比數(shù)列概念的歸納，進一步培養(yǎng)學生嚴密的

思維習慣，以及實事求是的科學態(tài)度。

教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

等比數(shù)列是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差

數(shù)列類比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導出通項公式，進

而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應

用.

(2)重點、難點分析

教學重點是等比數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應

用，教學難點在于等比數(shù)列通項公式的推導和運用.

①與等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，二者有

許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項公

式得出等比數(shù)列的特性，這些是教學的重點.

②雖然在等差數(shù)列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但

對學生來說仍然不熟悉;在推導過程中，需要學生有一定的

觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通

項公式的推導是難點.

③對等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合研究離不開通項公式，

因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.

教學建議

(1)建議本節(jié)課分兩課時，一節(jié)課為等比數(shù)列的概念，

一節(jié)課為等比數(shù)列通項公式的應用.

(2)等比數(shù)列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由

學生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義.

也可將幾個等差數(shù)列和幾個等比數(shù)列混在一起給出，由學生

將這些數(shù)列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此

對比地概括等比數(shù)列的定義.

(3)根據(jù)定義讓學生分析等比數(shù)列的公比不為0,以及每

一項均不為0的特性，加深對概念的理解.

(4)對比等差數(shù)列的表示法，由學生歸納等比數(shù)列的各

種表示法.啟發(fā)學生用函數(shù)觀點認識通項公式，由通項公式

的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.

(5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，等比數(shù)列的研究完

全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作

為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).

(6)可讓學生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學生的

主體作用.

教學設(shè)計示例

課題：等比數(shù)列的概念

教學目標

1.通過教學使學生理解等比數(shù)列的概念，推導并掌握通

項公式.

2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學生的觀

察、概括能力.

3.培養(yǎng)學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹?shù)目茖W

態(tài)度.

教學重點，難點

重點、難點是等比數(shù)列的定義的歸納及通項公式的推

導.

教學用具

投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

討論、談話法.

教學過程

一、提出問題

給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標準.(幻燈

片）

①-2,1,4,7,10,13,16,19,…

②8,16,32,64,128,256,…

③1,1,1,1,1,1,1,…

④243,81,27,9,3,1,,,…

⑤31,29,27,25,23,21,19,…

@1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…

⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…

⑧0,0,0,0,0,0,0,…

由學生發(fā)表意見（可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)

列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等

比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的

一類數(shù)列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察

③是否為等比數(shù)列）.

二、講解新課

請學生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際

生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題.假設(shè)每經(jīng)

過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設(shè)開

始有一個變形蟲，經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，

經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，

記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù)

這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性，這是我們

將要研究的另一類數(shù)列一一等比數(shù)列.（這里播放變形蟲分

裂的多媒體軟件的第一步）

等比數(shù)列（板書）

1.等比數(shù)列的定義（板書）

根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給

等比數(shù)列下定義.學生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下,

有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學生概括出來的.教師寫出等

比數(shù)列的定義，標注出重點詞語.

請學生指出等比數(shù)列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有

無數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.學生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)

③是這樣的數(shù)列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學

生再舉兩例.而后請學生概括這類數(shù)列的一般形式，學生可

能說形如的數(shù)列都滿足既是等差又是等比數(shù)列，讓學生討論

后得出結(jié)論：當時，數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列，當時，它

只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列.教師追問理由，引出對等

比數(shù)列的認識：

2.對定義的認識（板書）

（1）等比數(shù)列的首項不為0;

（2）等比數(shù)列的每一項都不為0,即

問題：一個數(shù)列各項均不為0是這個數(shù)列為等比數(shù)列的

什么條件？

⑶公比不為0.

用數(shù)學式子表示等比數(shù)列的定義.

是等比數(shù)列

①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成

,可讓學生研究行不行，好不好;接下來再問，能否改

寫為是等比數(shù)列?為什么不能?式子給出了數(shù)列第項與第

項的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個等比數(shù)列？（不能）確定

一個等比數(shù)列需要幾個條件？當給定了首項及公比后，如何

求任意一項的值?所以要研究通項公式.

3.等比數(shù)列的通項公式（板書）

問題：用和表示第項

①不完全歸納法

②疊乘法

，…一這個式子相乘得，所以

（板書）（1）等比數(shù)列的通項公式

得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式.

（板書）（2）對公式的認識

由學生來說，最后歸結(jié)：

①函數(shù)觀點；

②方程思想（因在等差數(shù)列中已有認識，此處再復習鞏

固而已）.

這里強調(diào)方程思想解決問題.方程中有四個量，知三求

一，這是公式最簡單的應用，請學生舉例（應能編出四類問

題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規(guī)范表述的

訓練）

如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更

高層次的應用，下節(jié)課再研究.同學可以試著編幾道題。

三、小結(jié)

1.本節(jié)課研究了等比數(shù)列的概念，得到了通項公式；

2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比；

3.用方程的思想認識通項公式，并加以應用。

探究活動

將一張很大的薄紙對折，對折30次后（如果可能的話）

有多厚?不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米。

參考答案：

30次后，厚度為，這個厚度超過了世界最高的山峰一一

珠穆朗瑪峰的高度。如果紙再薄一些，比如紙厚0.001毫米，

對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了.還記得國王的承諾嗎?

第31個格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了，后邊的格子中

的米就更多了，最后一個格子中的米應是粒，用計算器算一

下吧（對數(shù)算也行）。

小編推薦各科教學設(shè)計：

、、、、、、、、、、、、

高中數(shù)學數(shù)列教案（篇8）

本節(jié)課是《等比數(shù)列的前n項和》的第一課時，學生在

學習了等比數(shù)列的概念、等差與等比數(shù)列的通項公式及等差

數(shù)列的前n項和公式前提下學習的，對于本節(jié)課所需的知識

點和探究方法都有了一定的儲備。這節(jié)課我充分利用情境，

激發(fā)學生興趣，順利導入本節(jié)課的內(nèi)容。

本節(jié)課我用心準備、精心設(shè)計、潛心專研，是我上好這

節(jié)課的前提。在教學過程中，我充分體現(xiàn)了教學目標,抓住了

教學重點,解決了教學難點，更重要的是,全班學生心、神、

情、與我深度融合。這節(jié)課的.內(nèi)容是“等差數(shù)列的前n項

和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)，為學生后面學綜合數(shù)列的

求和做了鋪墊，重點是推導等比數(shù)列的前n項和的公式以及

公式的簡單應用，難點是用錯位相減法推導等比數(shù)列的前n

項和公式以及公式應用中對q與1的討論。本節(jié)課我注重從

“知識傳授”的傳統(tǒng)模式轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙詫W生為主體”的參與模

式，注重數(shù)學思想方法的滲透和良好的思維品質(zhì)的養(yǎng)成，注

重學生創(chuàng)造精神和實踐能力的培養(yǎng)，這在一定的程度上，激

活了學生的思維，但對教師的挑戰(zhàn)也是不言而喻的，不僅要

透徹理解教材的意圖，還要有寬厚的知識積累和深厚的自學

功底。

在等比數(shù)列求和的教學時，開始我給同學們說了一個故

事，“在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當

時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。

西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，

第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩

倍，直至第64格。國王令宮廷數(shù)學家計算，結(jié)果出來后，

國王大吃一驚?！睘槭裁茨兀客瑢W們很好奇，于是有計算器

的同學拿出了計算器，結(jié)果沒有計算完，計算器就算不出來

了。激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學習的積極性，于是引入主題，

等比數(shù)列求和。

首先讓學生回憶等差數(shù)列的求和公式的推導方法，結(jié)合

自己的預習談談自己對課本上等比數(shù)列求和公式推導過程

的理解，其本質(zhì)是什么？這樣做的目的是什么？此時教師根

據(jù)學生們的討論和展示，適時點撥，指出問題的關(guān)鍵。在用

錯位相減法推出等比數(shù)列前n項和公式過程中，做差后提醒

同學們，接下來要做什么工作，注意什么，學生們自然知道

分母不能為零，因而知道了等比數(shù)列前n項和公式是分情況

討論的，為什么會有公比為1和公比不為1兩種情況。此時

再提醒學生等差數(shù)列求和公式是一個公式的兩種形式，而等

比數(shù)列求和公式是兩種不同情況下的公式。然后是對求和公

式的簡單應用。所以讓學生經(jīng)歷等比數(shù)列前n項和公式的推

導過程成了本節(jié)課的重點與難點，在改善學生的學習方式

上，是讓學生提出問題并解決問題來進行自主學習、合作學

習與探究學習。

在教學環(huán)節(jié)上我利用小組合作學習、學生自主學習、小

組討論、學生展示、師生點評，教師總結(jié)升華，當堂檢測等

環(huán)節(jié)，有效地實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標。在教學評價上我關(guān)注

學生，不單純看學生是否會解題，關(guān)鍵是看學生是否動腦，

看學生的思維過程來肯定和鼓勵，如在解決情景問題的過程

中，學生躍躍欲試、情緒高漲、討論激烈，可能會探究出多

種解決方案，適時地鼓勵與評價，使學生的進取心得到增強,

是激發(fā)學生學習數(shù)學興趣的有效途徑。我通過對學生的評

價，將知識點和思想方法又得到強化。

總之，這節(jié)課也有不足，容量大，知識豐富，滲透歸納

與推理、錯位相減法、從特殊到一般、類比推理、分類討論

等數(shù)學思想，對學生要求高。但通過課堂反應，教學效果好,

這是我感到欣慰的地方。

高中數(shù)學數(shù)列教案（篇9）

數(shù)列的極限教學設(shè)計

西南位育中學肖添憶

一、教材分析

《數(shù)列的極限》為滬教版第七章第七節(jié)第一課時內(nèi)容，

是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學中最重要和最基本的概念之

一，因為極限理論是微積分學中的基礎(chǔ)理論，它的產(chǎn)生建立

了有限與無限、常量數(shù)學與變量數(shù)學之間的橋梁，從而彌補

和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后續(xù)內(nèi)容如：數(shù)列極

限的運算法則、無窮等比數(shù)列各項和的求解也要用到數(shù)列極

限的運算與性質(zhì)來推導，所以極限概念的掌握至關(guān)重要。

課本在內(nèi)容展開時，以觀察n時無窮等比數(shù)列an

列anqn,(|q|1)與an1的發(fā)展趨勢為出發(fā)點，結(jié)

合數(shù)n21的發(fā)展趨勢，從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述

性定義。在n由定義給出兩個常用極限。但引入部分的表述

如“無限趨近于0,但它永遠不會成為0"、“不管n取值有

多大，點(n,an)始終在橫軸的上方”可能會造成學生對

“無限趨近”的理解偏差。

二、學情分析

通過第七章前半部分的學習，學生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有

關(guān)概念，以及研究一些特殊數(shù)列的方法。但對于學生來說，

數(shù)列極限是一個全新的內(nèi)容，學生的思維正處于由經(jīng)驗型抽

象思維向理論型抽象思維過渡的階段。

由于已有的學習經(jīng)驗與不當?shù)耐评眍惐?，學生在理解

“極限”、“無限趨近”時可能產(chǎn)生偏差，比如認為極限代表

著一種無法逾越的程度，或是近似值。這與數(shù)學中“極限”

的含義相差甚遠。在學習數(shù)列極限之前，又曾多次利用“無

限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像特征,

這又與數(shù)列中“無限趨近”的含義有所差異，學生往往會因

為常數(shù)列能達到某一個常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實。

三、教學目標與重難點教學目標：

1、通過數(shù)列極限發(fā)展史的介紹，感受數(shù)學知識的形成

與發(fā)展，更好地把握極限概念的來龍去脈；

2、經(jīng)歷極限定義在漫長時期內(nèi)發(fā)展的過程，體會數(shù)學

家們從概念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力，從數(shù)列的變化趨勢，

正確理解數(shù)列極限的概念和描述性定義；

3、會根據(jù)數(shù)列極限的意義，由數(shù)列的通項公式來考察

數(shù)列的極限；掌握三個常用極限。教學重點：理解數(shù)列極限

的概念

教學難點：正確理解數(shù)列極限的描述性定義

四、教學策略分析

在問題引入時著重突出“萬世不竭”與“講臺可以走到”

在認知上的矛盾，激發(fā)學生的學習興趣與求知欲，并由此引

出本節(jié)課的學習內(nèi)容。在極限概念形成時，結(jié)合極限概念的

發(fā)展史展開教學，讓學生意識到數(shù)學理論不是一成不變的，

而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學的歷史發(fā)展過程與學生的認知過

程有著一定的相似性，學生在某些概念上的進展有時與數(shù)學

史上的概念進展平行。比如部分學生的想法與許多古希臘的

數(shù)學家一樣，認為無限擴大的正多邊形不會與圓周重合，它

的周長始終小于其外接圓的周長。教師通過梳理極限發(fā)展史

上的代表性觀點，介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對此的一系

列觀點，能幫助學生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一

些錯誤想法。對數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程以認知角度加以分析，有助

于學生學習數(shù)學家的思維方式，了解數(shù)學概念的發(fā)展，進而

建構(gòu)推理過程，使學生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習診斷部分,

不但要求回答問題，還需對選擇原因進行辨析，進而強化概

念的正確理解。

五、教學過程提綱與設(shè)計意圖1.問題引入

讓一名學生從距離講臺一米處朝講臺走動，每次都移動

距講臺距離的一半，在黑板上寫出表示學生到講臺距離的數(shù)

列。這名學生是否能走到講臺呢？類比“一尺之捶，日取其

半,萬世不竭”，莊子認為這樣的過程是永遠不會完結(jié)的，然

而“講臺永遠走不到”這一結(jié)果顯然與事實不同，要回答這

一矛盾，讓我們看看歷史上的數(shù)學家們是如何思考的。

改編自芝諾悖論的引入問題，與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)

生了認知沖突，激發(fā)學生的學習興趣與求知欲，并引出本節(jié)

課的學習內(nèi)容

2.極限概念的發(fā)展與完善

極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個階段：從早期以“割圓術(shù)”

“窮竭法”為代表的樸素極限思想，到極限概念被提出后因

“無窮小量是否為0”的爭論而引發(fā)的質(zhì)疑，再經(jīng)由柯西、

魏爾斯特拉斯等人的工作以及實數(shù)理論的形成，嚴格的極限

理論至此才真正建立。

教師引導學生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點，了解數(shù)

學家們提出觀點的時代背景，對照反思自己的想法，發(fā)現(xiàn)自

己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。教師在比較概

念發(fā)展史上被否定的觀點與現(xiàn)今數(shù)學界認可的觀點時，會使

學生產(chǎn)生認知沖突。從而可能使學生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變，拋棄不

正確的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在數(shù)學教

學中，結(jié)合數(shù)學史展開教學可以讓學生意識到數(shù)學理論不是

一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的，從而提升學生概念轉(zhuǎn)變

的動機。

3.數(shù)列極限的概念

極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國古代。極限理論的完

善出于社會實踐的需要，不是哪一名數(shù)學家苦思冥想得出，

而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴格定義經(jīng)歷了相當漫長的

時期才得以完善，它是人類智慧高度文明的體現(xiàn)，反映了數(shù)

學發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題，極限的定義，援引的便是

柯西對于極限的闡述。

定義：在n無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列｛an｝

中的an無限趨近于一個常數(shù)A,那么A叫做數(shù)列｛an｝的極限,

或叫做數(shù)列｛an｝收斂于A,記作limanA,讀作“n趨向于

n無窮大時，an的極限等于A”。

在數(shù)列極限的定義中，可用|an-A|無限趨近于0來描述

an無限趨近于A。

如前闡述，柯西版本的極限定義雖然不是最完美的，但

作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是歷史上一個較為成功的

版本，在歷史上的地位頗高。有時，我們也稱其為數(shù)列極限

的描述性定義。

通過比較歷史上不同觀點下的極限定義，教師呈現(xiàn)數(shù)列

極限的描述性定義，分析該定義的歷史意義，讓學生進一步

明確數(shù)列極限的含義。4.課堂練習診斷

由數(shù)列極限的定義得到三個常用數(shù)列的極限：(l)limC

C(C為常數(shù))；

n(2)1iml0(nN_)；nnnn(3)當|q|

判斷下列數(shù)列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在

請說明理由

20-20一(1)an；

nsinn；n(3)1,1,1,1,,1(2)an(4)an

4(1n1000)

4(n1001)11-,n為奇數(shù)(5)ann

1,n為偶數(shù)注：

(1)、(2)考察三個常用極限

(3)考查學生是否能清楚認識到數(shù)列極限概念是基于

無窮項數(shù)列的背景下探討的。當項數(shù)無限增大時，數(shù)列的項

若無限趨近于一個常數(shù)，則認為數(shù)列的極限存在。因此，數(shù)

列極限可以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)定的發(fā)展趨勢。有窮數(shù)

列的項數(shù)是有限的，因而并不存在極限這個概念。

(4)引用柯西的觀點，解釋此處無限趨近的含義，是

指隨著數(shù)列項數(shù)的增加，數(shù)列的項與某一常數(shù)要多接近就有

多接近，由此得出結(jié)論：數(shù)列極限與前有限項無關(guān)且無窮常

數(shù)數(shù)列存在極限的。

(5)擴充對三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A

趨近和擺動趨近。本題中的數(shù)列沒有呈現(xiàn)出以上三種方式的

任意一種。避免學生將趨近誤解為項數(shù)與常數(shù)間的差距不斷

縮小。練習若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...,則以下對A

的描述正確的是.A、A是小于1的最大正數(shù)

B、A的精確值為IC、A的近似值為1

選擇此選項的原因是①由于A的小數(shù)位都是

9,找不到比A大但比1小的數(shù)；

②A是由無限多個正數(shù)的和組成，它們可以一直不斷得

加下去，但總小于2；

③A表示的數(shù)是數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.9999,...

的極限；

④1與A的差等于0.00-Olo

注：此題是為考查學生對于無窮小量和極限概念的理

解。由極限概念的發(fā)展史可以看出，數(shù)學家們曾長時期陷入

對無窮小概念理解的誤區(qū)中，極大地阻礙了對極限概念的理

解。學生學習極限概念時可能也會遇到類似的誤區(qū)。

練習順次連接4ABC各邊中點AKBKC1,得到△A1B1C1。

1ZAA1B1C1各邊中點A2、B2、C2并順次連接又得到一個新

三角形4A2B2c2。再按上述方法一直進行下去，那么最終得

到的圖形是.A、一個點

B、一個三角形

C、不確定

選擇此選項的原因是.①

無限次操作后所得三角形的面積無限趨近于0但不可能

等于0。②

當操作一定次數(shù)后，三角形的三點會重合。

③

該項操作可以無限多次進行下去，因而總能作出類似的

三角形。

④

無限次操作后所得三角形的三個頂點會趨向于一點。

注：此題從無限觀的角度考察學生對極限概念的的理

解。學生容易忽視極限概念中的實無限，他們在視覺上采用

無窮疊加的形式，但是會受最后一項的慣性思維，導致采用

潛無限的思辨方式。所謂實無限是指把無限的整體本身作為

一個現(xiàn)成的單位，是可以自我完成的過程或無窮整體。相對

地，潛無限是指把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成

長著不斷產(chǎn)生出來的東西。它永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不

了，是潛在的，而不是實在的。持有潛無限觀點的學生在理

解極限概念時，會將極限理解為是一個漸進過程，或是一個

不可達到的極值。

通過習題，分析總結(jié)以下三個注意點：

(1)數(shù)列｛an｝有極限必須是一個無窮數(shù)列，但無窮數(shù)

列不一定有極限存在；

1｝可以說隨著n的無限增大，nl數(shù)列的項與-1會越來

越接近，但這種接近不是無限趨近，所以不能說lim1;

nn(2)“無限趨近”不能用“越來越接近”代替,

例如數(shù)列｛(3)數(shù)列｛an｝趨向極限A的過程可有多種呈現(xiàn)形

式。

通過例題與選項原因的分析，消除關(guān)于數(shù)列極限理解的

三類誤區(qū)：

第一類是將數(shù)列極限等同于如下的三種概念：漸近線、

最大限度或是近似值。第二類是學生對于數(shù)列趨向于極限方

式的錯誤認知。第三類是對于無限的錯誤認知。

5.課堂小結(jié)

極限的描述性定義與注意點三個常用的極限

6.作業(yè)布置

1＞任課老師布置的其他作業(yè)

2＞學習魏爾斯特拉斯的數(shù)列極限定義，并用該定義證明

習題的第一第二小問

通過與數(shù)列極限相關(guān)的延伸問題，完善極限概念的體

系，為學生創(chuàng)設(shè)課后自主探究平臺，感受靜態(tài)定義中凝結(jié)的

數(shù)學家的智慧。

高中數(shù)學數(shù)列教案(篇10)

依據(jù)如下：

(1)從認知領(lǐng)域上講,它在陳述性知識、程序性知識與策

略性知識的分類中，屬于學生最高需求層次的掌握策略與方

法的策略性知識。

(2)從學科知識上講，推導屬于學科邏輯中的“瓶頸”，

突破這一“瓶頸”則后面的問題迎刃而解。

(3)從心理學上講,學生對這項學習內(nèi)容的“熟悉度”不

IWJ,原有知識薄弱，不易理解。

突破難點方法：

(1)明確難點、分解難點，采用層層推導延伸法，利用

學生已有的知識切入，淺化知識內(nèi)容。比如可以先求麥粒的

總數(shù)，通過設(shè)問使學生得到麥粒的總數(shù)為，然后引導學生觀

察上式的特點，發(fā)現(xiàn)上式中，每一項乘以2后都得它的后一

項，即有，發(fā)現(xiàn)兩式右邊有62項相同，啟發(fā)同學們找到解

決問題的關(guān)鍵是等式左右同時乘以2,相減得和。從而得知

求等比數(shù)列前n項和……+的關(guān)鍵也應是等式左右各項乘以

公比q,兩式相減去掉相同項，得求和公式，也掌握了這種

常用的數(shù)列求和方法一一錯位相減法，說明這種方法的用

途。

(2)值得一提的是公式的證明還有兩種方法：

后兩種方法可以啟發(fā)引導學生自行完成。這樣學生從各

種途徑，用多種方法推導公式，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

等比數(shù)列前n項和公式及應用是本節(jié)課的重點內(nèi)容。

依據(jù)如下：

(1)新大綱中有較高層次的要求。

(2)教學地位重要，是教學中全部學習任務中必須優(yōu)先

完成的任務。

(3)這項知識內(nèi)容有廣泛的實際應用，很多問題都要轉(zhuǎn)

化為等比數(shù)列的求和上來。

突出重點方法：

(1)明確重點。利用高一學生求知積極性和初步具有的

數(shù)學思維能力，運用比較法來突出公式的內(nèi)容(彩色粉筆板

書)：，強調(diào)公式的應用范圍：中可知三求二。

(2)運用糾錯法對公式中學生容易出錯的地方，即公式

的條件，以精練的語言給予強調(diào)，并指出q二1時，。再有就

是有些數(shù)列求和的項數(shù)易錯，例如的項數(shù)是n+1而不是no

(3)創(chuàng)設(shè)條件、充分保證。設(shè)置低、中、高三個層次的

例題，即公式的直接應用、公式的變形應用和實際應用來突

出這一重點。對應用題師生要共同分析討論，從問題中抽象

出等比數(shù)列，然后用公式求和。

2.實際應用題.

這樣設(shè)置主要依據(jù)：

(1)練習題與大綱中規(guī)定的教學目標與任務及本節(jié)課的

重點、難點有相對應的匹配關(guān)系。

(2)遵循鞏固性原則和傳授一一反饋一一再傳授的教學

系統(tǒng)的思想確立這樣的習題。

(3)應用題比較切合對智力技能進行檢測，有利于數(shù)學

能力的提高。同時，它可以使學生在后半程學習中保持興趣

的持續(xù)性和學習的主動性，。

根據(jù)高一學生心理特點、教材內(nèi)容、遵循因材施教原則

和啟發(fā)性教學思想，本節(jié)課的教學策略與方法我采用規(guī)則學

習和問題解決策略，即“案例一公式一應用”，簡稱“例一

規(guī)”法。

案例為淺層次要求，使學生有概括印象。

公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，

便于突破。

應用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學，反

饋驗證本節(jié)教學目標的落實。

其中，案例是基礎(chǔ)，是學生感知教材；公式為關(guān)鍵，是

學生理解教材；練習為應用，是學生鞏固知識，舉一反三。

在這三步教學中，以啟發(fā)性強的小設(shè)問層層推導