2024成都中考數(shù)學二輪微專題 利用隱形圓解決最值問題專項訓練 (含答案)

2024成都中考數(shù)學二輪微專題利用隱形圓解決最值問題專項訓練模型一定點定長作圓模型分析如圖，在平面內(nèi)，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則動點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓或圓弧的一部分．推廣：在折疊或旋轉(zhuǎn)問題中，有時會利用“定點定長作圓”模型確定動點的運動軌跡．模型應用1.如圖，已知△ABC，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，請你在圖中畫出點B′的運動軌跡．第1題圖2.如圖，在矩形ABCD中，點E是邊AB的中點，點F是邊AD上一動點，將△AEF沿EF所在直線折疊得到△A′EF，請你在圖中畫出點A′的運動軌跡．(保留作圖痕跡不寫作法)第2題圖模型二直角對直徑模型分析(1)半圓(直徑)所對的圓周角是90°.如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AB為⊙O的直徑；(2)90°的圓周角所對的弦是直徑(定弦對定角的特殊形式)．如圖②，在△ABC中，∠C＝90°，C為動點，則點C的軌跡是以AB為直徑的⊙O(不包含A、B兩點)．模型應用3.如圖，已知線段AB.請在圖中畫出使∠APB＝90°的所有點P.第3題圖4.如圖，已知矩形ABCD，請在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝90°的所有點P.第4題圖模型三定弦對定角(非90°)模型分析固定的線段只要對應固定的角度(可以不是90°)也叫定弦對定角，且這個角的頂點軌跡為圓上的一段?。?1)如圖①，在⊙O中，若弦AB長度固定，則弦AB所對的圓周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運用)；(2)如圖②，若有一固定線段AB及線段AB所對的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識可知，點C在⊙O的eq\o(ACB,\s\up8(︵))上均可(至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則點C在優(yōu)弧上運動；等于90°，則點C在半圓上運動；大于90°，則點C在劣弧上運動)模型應用5.如圖，已知線段AB.(1)請在圖①畫出線段AB上方使∠APB＝60°的所有點P；(2)請在圖②中畫出線段AB上方使∠APB＝45°的所有點P.第5題圖6.如圖，已知四邊形ABCD.(1)如圖①，在矩形ABCD中，請在矩形ABCD的邊上畫出使∠APB＝30°的所有點P；(2)如圖②，在矩形ABCD中，請在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝60°的所有點P；(3)如圖③，在正方形ABCD中，請在正方形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝45°的所有點P；(4)如圖④，在矩形ABCD中，請在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝45°的所有點P.第6題圖模型四四點共圓模型分析如圖①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，取AB中點O，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四點共圓．1．共斜邊的兩個直角三角形，同側(cè)或異側(cè)，都會得到四點共圓；2．四點共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關系的轉(zhuǎn)化，是證明角度相等的重要途徑之一．模型應用7.在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過點B，C作∠BAC平分線的垂線，垂足分別為點D，E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME，則下列結(jié)論錯誤的是()A.CD＝2MEB.ME∥ABC.BD＝CDD.ME＝MD8.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，求CQ的最大值．第8題圖模型五點圓最值模型分析已知，在平面內(nèi)一定點D和⊙O上動點E的所有連線中，當連線過圓心O時，線段DE有最大(小)值，具體分以下三種情況討論(設點O與點D之間的距離為d，⊙O的半徑為r)：位置關系點D在⊙O內(nèi)點D在⊙O上點D在⊙O外圖示DE的最大值________________________此時點E的位置連接DO并延長交⊙O于點EDE的最小值________________________此時點E的位置連接OD并延長交⊙O于點E點E與點D重合連接OD交⊙O于點E模型應用9.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半徑為1，若圓心O在矩形ABCD的邊上運動，則點C到⊙O上的點的距離的最大值為________．第9題圖10.如圖，在墻角放置一個“T”型鋼尺，已知鋼尺的一邊AB＝10，M是AB的中點，CM＝8，AB沿墻壁邊向下滑動，在運動過程中，點C到點O的最大距離為________．第10題圖模型六線圓最值模型分析1．如圖，AB為⊙O的一條定弦，點C為AB一側(cè)弧上一動點．(1)如圖①，點C在優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，當CH⊥AB且CH過圓心O時，線段CH即為點C到弦AB的最大距離，此時S△ABC最大；(2)如圖②，點C在劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，當CH⊥AB且圓心O在CH的延長線上時，線段CH即為點C到弦AB的最大距離，此時S△ABC最大．2．如圖，⊙O與直線l相離，點P是⊙O上的一個動點，設圓心O到直線l的距離為d，⊙O的半徑為r，則點P到直線l的最小距離是d－r(如圖③)，點P到直線l的最大距離是d＋r(如圖④)．推廣：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動點到定邊的最大(小)距離，從而利用面積公式求解．模型應用11.如圖，AB是⊙O的弦，C是優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點，連接AC、BC，若⊙O的半徑為4，∠ACB＝60°，求△ABC面積的最大值．第11題圖12.如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M為AB的中點，E為BC上的動點，將△MBE沿ME折疊，點B的對應點為F，求△CDF面積的最小值．第12題圖參考答案1.解：如解圖所示：第1題解圖2.解：如解圖所示：第2題解圖3.解：如解圖，⊙O即為所求P點的軌跡，不含A、B兩點．第3題解圖4.解：如解圖，點P1、P2即為所求點．第4題解圖5.解：(1)如解圖①，點P在所作圓弧上(A、B兩點除外)；(2)如解圖②，點P在所作圓弧上(A、B兩點除外)．第5題解圖6.解：(1)如解圖①所示，點P1、P2即為所求；(2)如解圖②所示，點P1、P2、P3、P4即為所求；(3)如解圖③所示，點P1、P2即為所求；(4)如解圖④所示，點P1、P2即為所求．圖①圖②圖③圖④第6題解圖7.A【解析】如解圖，延長EM交BD于點F，延長DM交AB于點N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過點B，C作∠BAC平分線的垂線，垂足分別為點D，E，由此可得點A、C、D、B四點共圓，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(選項C正確)，∵點M是BC的中點，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴點N是線段AB的中點，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵點M是BC的中點，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(選項D正確)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(選項B正確)．假設CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵無法確定∠DCM的大小，故選項A錯誤．第7題解圖8.解：如解圖，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，∴A、P、B、C四點共圓，∵AB為⊙O直徑，圓心為AB的中點O，∴點P在⊙O上運動，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠A＝∠CPB，∴△ABC∽△PQC，∴eq\f(QC,PC)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,4)，∴CQ＝eq\f(3,4)PC，要使得CQ最大，只需PC最大，當PC為⊙O的直徑時，PC取得最大值，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最大值為5，∴CQ的最大值為eq\f(15,4).第8題解圖【模型分析】d＋r，2r，d＋r，r－d，0，d－r9.6【解析】如解圖，在⊙O上任取一點E，連接OE、CE，則CE≤CO＋OE，當C、O、E三點共線時，CE取得最大值，即要求CE的最大值，則求CO的最大值．連接AC，∵CO≤AC，∴當點O與點C重合時，CO取得最大值時．在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴點C到⊙O上的點的距離的最大值為6.第9題解圖10.13【解析】如解圖，連接OC，OM，∵∠AOB＝90°，AB＝10是定值，M是AB的中點，∴A、O、B三點一直在以點M為圓心，AB長為直徑的圓上，∵在△OMC中，OM＋CM≥OC，∴當O、M、C三點共線時，即OC過圓心M時，OC的長度最大．∵AB＝10，∴OM＝eq\f(1,2)AB＝5，又∵CM＝8，∴當OC＝CM＋OM＝8＋5＝13時，OC取得最大值，即點C到點O的最大距離為13.第10題解圖11.解：如解圖，連接OA，過點O作OD⊥AB，垂足為D，延長DO交⊙O于點E，連接AE、BE，則AE＝BE，設點C到邊AB的距離為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·h，易得當C與E重合時，h取得最大值，即DE的長，此時△ABC的面積也取得最大值，即△ABE的面積．∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴△ABE為等邊三角形．∴∠EAB＝∠AEB＝60°.∴∠OAD＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)OA＝2，AD＝2eq\r(3)，∴AB＝2AD＝4eq\r(3)，∴DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.此時S△ABE＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3).第11題解圖12.解：由折疊的性質(zhì)可知，MF＝BM，∵點M是AB的中點，AB＝10，∴B