高中數(shù)學(xué)：常用邏輯用語

常用邏輯用語

一、知識框架

1.命題定義：用語言、符號或式子表達(dá)的、可以判斷正誤的陳述語句，叫做命題。其中，判斷

為真的即為真命題，為假的即為假命題。

2.命題的判斷以及命題真假的判斷

(1)命題的判斷：①判斷該語句是否是陳述句；②能否判斷真假。

(2)命題真假的判斷：首先，分清條件與結(jié)論，其次，再判斷命題真假。

3.一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用rP和rq表示P與q的否定，即如下:

命題表述形式

原命題若P則q

逆命題若q則P

否命題若rp則rq

逆否命題若「q則rp

(四種命題的關(guān)系)

4.充分條件和必要條件

(1)充分條件：

如果A成立，那么B成立，則條件A是B成立的充分條件。

(2)必要條件：

如果A成立，那么B成立，這時B是A的必然結(jié)果，則條件B是A成立的必要條件。

(3)充要條件：

如果A既是B成立的充分條件，又是B成立的必要條件，則A是B成立的充要條件，與此

同時，B也一定是A成立的重要條件，所以此時，A、B互為充要條件。

【注意】充分條件與必要條件是完全等價的，是同一邏輯關(guān)系“A=>B”的不同表達(dá)方法。

5.邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題，由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”構(gòu)成的命

題是復(fù)合命題，它們有以下幾種形式：p或q(pVq);p且q(pAq);非p"p)。

(2)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義的理解

在集合中學(xué)習(xí)的“并集”“交集”“補(bǔ)集”與邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”“且”“非”關(guān)系十分密切。

6.量詞與命題

(1)全稱量詞和存在量詞表示

量詞名稱常見量詞表示符號

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個、任給等V

存在量詞存在一個、至少有一個、某個、有些、某些等3

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(2)全稱命題與特稱命題

命題全稱命題特稱命題“加￡MP(X())”

短語“存在一個”“至少有一個”

短語“對所有的”“對任意一個”等，

等，在邏輯中通常叫做存在量詞，用

定義在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“V”

符號“m”表示。含有存在量詞的命

表示。含有全稱量詞的命題叫做全稱命題

題，叫做特稱命題

存在性命題就是陳述某集合中

全稱命題就是陳述某集合所有元素

實(shí)質(zhì)有(存在)一些元素具有某種性質(zhì)的

都具有某種性質(zhì)的命題

命題

①所有的XeM,p(x)成立；①存在玉)￡用,使〃(而)成立；

②對一切成立；②至少有一個與￡”,使〃(%)成立；

表述方

③對每一個xep(x)成立；③對有些而￡昧使〃(?％)成立；

法

④任選一個xeM,p(x)成立；④對某個不)￡加,使成立；

⑤凡xeM,p(x)成立。⑤有一個殉￡用,使〃(%)成立。

7.命題的否定：其與否命題不是同一概念，否命題與原命題無真假關(guān)系

(1)含一個量詞的命題(全稱命題與

命題命題的否定

特稱命題)的否定

全稱命題的否定為特稱命題VxeM,p(x)3x0eM,-ip(xo)

特稱命題的否定為全稱命題

3x0eM,p(x0)VxGMl,—/?(x)

(2)復(fù)合命題的否定

①Jp"的否定是“p”；

②“p\/q”的否定是“rpArq”；

③“pAq”的否定是“rpV-q”

二、高考常見題型及解題方法

1.命題類題型考法與思路

(1)命題及命題真假的判斷方法

①一般地，陳述句、反義疑問句是命題，而感嘆句、祈使句、疑問句都不是命題，含有變量

的語句叫開語句，不能判斷真假的開語句也不是命題；

②判斷命題是否為真，也可先寫出命題，分清條件和結(jié)論，然后直接判斷；也可從其與逆否

命題等價角度判斷；

(2)判斷四種命題之間的關(guān)系時，要注意分清命題的條件和結(jié)論，再比較p、q之間的關(guān)系；

(3)當(dāng)一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保留大前提；對于有并列條件組成的

命題時，要將其中一個(或n個)作為大前提。

(4)一些詞語及其否定如下表所示：

至少有至多有至少有至多有

詞語是都是都不是等于大于小于

一個一個n個n個

至少一一個都至少有至多有至少有

否定不是不都是不等于不大于不小于

個是沒有兩個n-1個n+1個

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2.命題四種形式判斷的考法與解法

(1)命題判斷法

①設(shè)”若P,則q”為原命題，那么:

原命題為真原命題為假

逆命題為真P為q的充要條件必要不充分條件

逆命題為假充分不必要條件既不充分也不必要條件

②命題判斷(定義法)

a.分清條件與結(jié)論(p與q)；b.找推式：即判斷p=〉q及q=>p的真假；c.下結(jié)論：根據(jù)上表。

(2)集合判斷法

從集合的觀點(diǎn)看，建立命題p,q相應(yīng)的集合p：A={x|p(x)成立},q：B={x|q(x)成立}那么:

①若B則p是q的充分條件；若AGB,則p是q的充分不必要條件；

②若BqA則p是q的必要條件；若BCA,則p是q的必要不充分條件；

③若且8=即人=8,則p是q的充要條件。

(3)充分必要條件的判斷應(yīng)注意問題的設(shè)問方式

①“A是B的充分不必要條件”是指：A=>B且Br>A；

②“A的充分不必要條件是B”是指：B=>A且AW>B；

3.復(fù)合命題真假的判斷

Pqp八q-p

真真

真假

假真

假假

4.全(特)稱命題真假的判斷及其應(yīng)用

命題名稱真假判斷方法1判斷方法2

真所有對象命題真否定為假

全稱命題

假存在一個對象命題假否定為真

真存在一個對象命題真否定為假

特稱命題

假所有對象命題假否定為真

5.全稱命題與特稱命題的否定形式、真假判斷及求參數(shù)范圍

三、針對訓(xùn)練

1.給出以下四個命題：①“若x+y=O,則x,y互為相反數(shù)''的逆命題；②“全等三角形的

面積相等”的否命題；③''若［4-1,則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三

內(nèi)角相等”的逆否命題。其中真命題是()

A.①②B.②③C.①

③D.③④

2.直線y=辰+1的傾斜角為鈍角的一個必要非充分條件是()

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A.k<0B.k<-lC.k<

1D.k>-2

3.給出4個命題：①若X2_3X+2=0,貝(|X=1或X=2；②若-24X<3,則々+21乂-3)40；③若

x=y=O,則/+/=0；④若x,)，eN+,x+y是奇數(shù)，則x,y中一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)。那么()

A.①的逆命題為真B.②的否命題為真

C.③的逆否命題為假D.④的逆命

題為假

4,“AABC中，若/C=90°,則/A、/B都是銳角”的否命題為()

A.ZXABC中，若NCW90°,則NA、/B都不是銳角

B.Z\ABC中，若NC#90°,則NA、/B不都是銳角

C.AABC中，若NCH90°,則NA、NB都不一定是銳角

D.以上都不對

5.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是''甲降落在指定范圍”，q是“乙

降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為()

A."p)V(-q)B.pV"q)C."p)A"q)D.pVq

6.已知a>0,則x0滿足關(guān)于x的方程ax二b的充要條件是()

12121212

A.G/?,—ax~-bx>-ax^~-bx^B.3xGR,-ax-<—ax^一人與

12121212

C.VxG/?,—ax-bx>-^ax^-bx()D.VxG/?,—?%-bx<-^ax()"-bx()

7.命題“對任意xWR,都有/NO”的否定為()

A.對任意xGR,都有一<0B.不存在xGR,都有rVO

C.存在x°CR,使得X°2N0D.存在X°GR,使得X02<0

8.設(shè)XGZ,集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集。若命題〃：VxeA,2xeB,則()

A.—p:VxeA,2x^BB.f:A,2x史3C.D.A,2xw8

j>x-l

9.設(shè)p:(x-l)2+(y-l)2W2,(x,ywR)；q>>>l-x,(x,yG7?),則p是q的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.命題p:|x+2]>2,命題—>1,則r7是r成立的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.給定兩個命題p,q,p：若x+y<4或xyW4,則xW2或yW2；q：有一個偶數(shù)是質(zhì)數(shù)，則“pW

為命題(填“真”或"假”)。

12.已知命題p：方程f+2奴+1=0有兩個大于-1的實(shí)數(shù)根，命題q：關(guān)于x的不等式

以2—以+1>。的解集為R。若“pvq”與“2”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍：o

13.已知命題:Vxw一〃之o,命題：三元oe凡沏？+2。而+2—々=0,若命題是真

命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍o

14.已知命題〃:“龍￡/?3“￡凡4"-2"+1+〃7=0"，且命題r?是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

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為o

15.若xe[-2,2],不等式—+ox+3Na恒成立，求a得取值范圍。

四、高考真題訓(xùn)練

1.已知命題p:X/xcR,2"v3工；命題q:大￡R,/=]_4-2,則下列命題中為真命題的是（）

A.p/\qB.-p/\qC.p八fD.—p/\—q

2.不等式組卜+'，21的解集記為D.有下面四個命題：

[x-2y<4

Pi:V（x,D,x+2y>-2；p2:O,x+2y22；

p3:V（x,y）eD,x+2y<3;以：Jx,y）eO,x+2y4-1.其中真命題的是（）

A,P2，P3B.PT，P2c.PI?4D.P"3

3.函數(shù)/（x）在x=Xo處導(dǎo)數(shù)存在，若p:,[Go）=。應(yīng)"=冗0是/（x）的極值點(diǎn)，則（）

A.p是q的充分必要條件

B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

D.p既不是q的充分條件