高中數(shù)學(xué)-曲邊梯形的面積教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

曲邊梯形的面積課標(biāo)分析

一、本課數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位與作用

本節(jié)課選自人教A版選修2-2第一章第五節(jié)定積分概念的第一課時(shí)，是新課程增加內(nèi)容之一,

課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們通過(guò)實(shí)例（如曲邊梯形的面積、變力做功等），從問(wèn)題情境中了解定積分

的實(shí)際背景，借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想。作為定積分的前奏曲，它將為后面學(xué)習(xí)

定積分概念及其幾何意義奠定基礎(chǔ)。

二、本課內(nèi)容的承前啟后、與其它知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系

前面，已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，并且用導(dǎo)數(shù)解決了一些實(shí)際問(wèn)題，如已知位移求速

度，曲線的切線問(wèn)題，函數(shù)的最大或最小值問(wèn)題。然而，同時(shí)還存在一些問(wèn)題尚未解決，如

已知速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，如何求路程，及如何求常見(jiàn)平面圖形的面積、體積等問(wèn)題。這些

問(wèn)題，正是定積分誕生的重要原因。學(xué)生在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念之后，對(duì)于“以直代曲”的思

想也已有了淺顯的認(rèn)識(shí)，對(duì)于將曲線的微小片段看成線段，從而將曲線近似地看成折線，用

研究直線的方法來(lái)研究曲線，這樣的研究方法也是學(xué)生比較容易接受的。并且學(xué)生對(duì)更有實(shí)

際意義的曲邊梯形面積有著積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和強(qiáng)烈的求知欲。

教材借助于求曲邊梯形的面積這一直觀具體的實(shí)例來(lái)引入到定積分的學(xué)習(xí)中，使學(xué)生了

解定積分的實(shí)際背景，為定積分概念構(gòu)建認(rèn)知基礎(chǔ)，為理解定積分概念及幾何意義起到了拋

磚引玉的鋪墊作用。求曲邊梯形面積的過(guò)程中蘊(yùn)涵、滲透定積分的基本思想方法，貫穿于整

個(gè)定積分學(xué)習(xí)的始終。能夠讓學(xué)生充分感受用極限的思想方法思考與處理問(wèn)題。

三、本課內(nèi)容與其它學(xué)科的聯(lián)系及應(yīng)用

本課內(nèi)容與其它學(xué)科的聯(lián)系及應(yīng)用主要體現(xiàn)在物理學(xué)中，如求變速運(yùn)動(dòng)的位移或路程問(wèn)

題。如果建立了速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，就可以在坐標(biāo)系中做出v-t圖象，在圖象上截取一

個(gè)時(shí)間段，這樣就把求路程或位移問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)求曲邊圖形的面積問(wèn)題。事實(shí)上，在研

究運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度的時(shí)候，所采取的用平均速度代替瞬時(shí)速度的做法，也正是求曲邊梯

形的面積中的“無(wú)限分割、近似代替”思想的具體體現(xiàn)。

教材分析

一、【教材的地位和作用】

曲邊梯形面積的求解方法“以直代曲”是微積分中重要的思想方法,貫穿整個(gè)微積分的始終。

求曲邊梯形面積是定積分概念的引例和重要鋪墊，借助這一實(shí)例讓學(xué)生初步感受定積分的定

義，了解定積分的實(shí)際背景，為理解其概念及幾何意義奠定基礎(chǔ)。

二、【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能目標(biāo)：

(1)了解定積分概念的實(shí)際背景。

(2)初步掌握求曲邊梯形面積的一般步驟。

過(guò)程與方法目標(biāo)：

(1)通過(guò)將曲線微小片段中的“曲”看作“直”，體會(huì)以直代曲的思想。

(2)通過(guò)類比求圓面積的過(guò)程，體會(huì)有限代無(wú)限及無(wú)限逼近的極限思想。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

(1)通過(guò)復(fù)習(xí)劉徽的割圓術(shù)，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。

(2)通過(guò)探索求曲邊梯形面積的過(guò)程，體會(huì)“以直代曲”，“逼近”的思想，體驗(yàn)和認(rèn)同“有

限和無(wú)限對(duì)立統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn)，理解用極限的思想方法思考與處理問(wèn)題。

三、【教學(xué)重、難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：

了解定積分的基本思想方法一一“以直代曲”、“逼近”的思想。初步掌握求曲邊梯形

面積的“四步曲”一一“分割、以直代曲、求和、取極限”。

教學(xué)難點(diǎn)：

“以直代曲"、逼近”思想的形成過(guò)程。

學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念之后，對(duì)于“以直代曲”的思想也已有了淺顯的認(rèn)識(shí)，對(duì)于將

曲線的微小片段看成線段，從而將曲線近似地看成折線，用研究直線的方法來(lái)研究曲線，這

樣的研究方法也是學(xué)生比較容易接受的。并且學(xué)生對(duì)更有實(shí)際意義的曲邊梯形面積有著積極

的學(xué)習(xí)態(tài)度和強(qiáng)烈的求知欲。

曲邊梯形的面積教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)課題曲邊梯形的面積

一、知識(shí)與技能：

1.了解曲邊梯形的概念并弄清研究曲邊梯形的必要性

2.理解“以直代曲”的思想，并掌握曲邊梯形的面積的求法

3.理解求曲邊圖形面積的過(guò)程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過(guò)程中滲透的思想

方法.

二、過(guò)程與方法：

課標(biāo)要求1.在求曲邊梯形面積的過(guò)程中，通過(guò)“分割一一近似代替一一求和一一取極限”的方

法轉(zhuǎn)化為求小矩形的面積的和

2.通過(guò)問(wèn)題的探究體會(huì)以直代曲、以不變代變及無(wú)限逼近的思想。通過(guò)類比體會(huì)從具

體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化的思想方法和以直代曲的思想方法；體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無(wú)限對(duì)立統(tǒng)

一”的辯證觀點(diǎn)，接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極態(tài)度。

知層次

知識(shí),

識(shí)記理解應(yīng)用綜合

知識(shí)點(diǎn)1

曲邊梯形的V

概念

知識(shí)點(diǎn)2

“以直代曲”V

的意義

知識(shí)點(diǎn)3

求曲面梯形的V

一般步驟

1.經(jīng)歷求曲面梯形面積的形成過(guò)程，了解定積分概念的實(shí)際背景。

目標(biāo)設(shè)計(jì)2.理解''以直代曲”的意義

3.理解求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟；

4.了解“近似代替”時(shí)取點(diǎn)的任意性。

情境一：我們?cè)谛W(xué)、初中就學(xué)習(xí)過(guò)求平面圖形面積的問(wèn)題。多數(shù)是規(guī)則的平面圖形，但現(xiàn)

實(shí)生活中更多的需要我們關(guān)注的是一些曲邊圖形。例如：這樣的圖形的面積該怎樣計(jì)算？

情境二.對(duì)我們來(lái)說(shuō)，最基本最奇妙的曲邊圖形是什么？（師問(wèn)）意圖：①引出案例，②激

發(fā)學(xué)生興趣

早在三國(guó)時(shí)代我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽就已經(jīng)提出了著名的割圓術(shù)，以直代曲把圓的面積用其內(nèi)接正

n邊形的面積來(lái)計(jì)算，提出以直代曲無(wú)限逼近的思想。

割圓術(shù)介紹：劉徽在《九章算術(shù)》注中講到

“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”一一劉

徽

當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，正n邊形面積無(wú)限逼近圓的面積

這節(jié)課我們就通過(guò)求曲邊圖形的面積來(lái)體會(huì)曲直轉(zhuǎn)化的思想。（同時(shí)課件展示曲邊圖形并給

出定義）

可以發(fā)現(xiàn)，它的形狀類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線廣/⑴的一段。那它叫什么圖形呢？

教師引導(dǎo)揭示曲邊梯形的概念：把由直線％=4"=仇"例,尸0和曲線產(chǎn)網(wǎng)所圍成的圖形稱

為曲邊梯形.

小范圍觀察曲邊上一點(diǎn)及其附近圖示、------/

我們可以用這條直線工來(lái)代替點(diǎn)尸附近的曲線，也就是說(shuō)：在點(diǎn)尸附近，曲線可以看作直

線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）.

例1：對(duì)于由y=d與x軸及x=l所圍成的面積該怎樣求？（該圖形為曲邊三角形，是曲邊梯

形的特殊情況）

問(wèn)題1：能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題？

思路:為了計(jì)算曲邊三角形的面積S,將它分割成許多小曲邊梯形.

（把區(qū)間［0,1］分成許多個(gè)小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯

形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的

近似值，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值.）

學(xué)生探究：以上所提思路的具體操作步驟是怎樣的？能給出實(shí)施方案嗎？

對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下幾種

方案“以直代曲”.（教師引導(dǎo)學(xué)生分組討論并回答）

確定出三種方案。用方案一解決本題。

問(wèn)題2：怎樣分割？分割成多少個(gè)？分成怎樣的形狀？還需要對(duì)每個(gè)小曲邊梯形做怎樣的處

理？

特別幫助：產(chǎn)+22+32+….+〃2〃(〃+1)(2〃+1)

6

問(wèn)題1：分割區(qū)間時(shí)是不是隨便怎么分都行？（不是，為了便于處理，采取等分的方式）

問(wèn)題2：用分割好的每個(gè)小區(qū)間的哪個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高較好？即用哪個(gè)小矩形

,,y

近似代替比較好？如果不是在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)取，而是在每一個(gè)區(qū)間中間取任意一點(diǎn)作I為高,

會(huì)

有怎樣的結(jié)果?

問(wèn)題3：是不是分割越細(xì)，面積的近似值就越精確？

情境三：以方案二求例1曲邊梯形面積（學(xué)生完成）提問(wèn)

可以想象方案三的同樣結(jié)果。

總結(jié)：求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟:

第一步：分割.在區(qū)間［。，句中任意插入1各分點(diǎn)，將它們等分成〃個(gè)小區(qū)間［西_］,%］

（z=l,2,???,?）,區(qū)間［%_［,玉］的長(zhǎng)度Ax,.=七一七_(dá)］；

第二步：近似代替，“以直代取用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個(gè)小

曲邊梯形面積的近似值；

第三步：求和；

第四步：取極限.

變式：求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x?所圍成的曲邊梯形的面積。

(意圖：鞏固強(qiáng)化曲邊梯形的面積的基本求法四步，便于解決拓展)

拓展提高：求由曲線y=%2(%之0)與直線y=4、y車由所圍成的圖形的面積。

(用變式結(jié)論解決)

課堂練習(xí)

1.當(dāng)〃很大時(shí)，函數(shù)/'(X)—在區(qū)間「匕上的值可以用近似代替。

_nn_

A/d)C./(-)D./(0)

nnn

2.在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間二的近似值等于()

A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值

B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值

C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值

D.以上答案均不正確

小結(jié):求由曲線尸/tv)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法

學(xué)生回答①求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟；

②以直代曲、無(wú)限逼近思想

曲邊梯形的面積

【課程標(biāo)準(zhǔn)】

?了解求曲邊梯形的面積，了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

?了解求曲邊梯形的面積的方法.

?了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.

【自主學(xué)習(xí)】

?1.什么是連續(xù)函數(shù)？

?2.如圖1,給出曲邊梯形的定義

?：?3.如圖2,求曲邊梯形的面積的方法是什么？分為哪幾步？

?4.求和時(shí)常用的結(jié)論

(1)12+22+32+…+〃2=_L(+1)(2〃+1)

6

(2))+23+33+…/=幾“及+1)2

4

【典型例題】

例.求直線40、％=1、y=0及曲線y=/所圍成的圖形(曲邊三角形)面

積s。

【拓展提高】：

求由曲線y=>0)與直線y=4、y軸所圍成的圖形的面積。

【課堂練習(xí)】

1.當(dāng)〃很大時(shí)，函數(shù)/'(x)=f在區(qū)間3’上的值可以用近似代替。

nn_

A/d)B.f&C./(-)a/(0)

nnn

2.在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[%，%+]]h的近似值等于()

A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值

B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值

C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值

D.以上答案均不正確

我的收獲：___________________________________________________________

我的困惑：___________________________________________________________

教學(xué)效果分析

本節(jié)課通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)、割圓術(shù)的動(dòng)態(tài)演示以及三種方案的動(dòng)態(tài)演示，已經(jīng)充分激起了學(xué)

生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，定能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率；通

過(guò)分組探究，合作交流，使每個(gè)學(xué)生都能夠變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。

但是由于采用的分組探究，合作交流，把任務(wù)交給了學(xué)習(xí)小組，可能會(huì)有部分基礎(chǔ)差的

同學(xué)跟不上節(jié)奏，所以需要每個(gè)小組課下落實(shí)到個(gè)人。

觀評(píng)課記錄

為了貫徹執(zhí)行新課改，本節(jié)課教學(xué)時(shí)大膽嘗試新的、高效的教學(xué)模式。本節(jié)課的教學(xué)主

要特點(diǎn)如下：

一、數(shù)學(xué)課堂生活化

通過(guò)問(wèn)題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活的學(xué)科魅力，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)就在我

們身邊。

二、分組探究，創(chuàng)建高效課堂

通過(guò)分組探究，上臺(tái)展示，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的

主人。

三、適當(dāng)利用信息技術(shù)，使學(xué)生“看”到數(shù)學(xué)的本質(zhì)

對(duì)本節(jié)內(nèi)容中比較抽象的幾個(gè)問(wèn)題，借助信息技術(shù)進(jìn)行演示，使學(xué)生親眼“看”到了無(wú)

限逼近的過(guò)程，使學(xué)生“看”到了“刨光磨平”的逼近思想。

教學(xué)反思

本節(jié)課的核心是求曲邊梯形的面積，而本節(jié)課的重點(diǎn)卻不是求解曲邊梯形面積的具體過(guò)

程，而是解決該問(wèn)題的思想方法，這也正是本節(jié)課的難點(diǎn)所在。

在教學(xué)過(guò)程中，以下幾個(gè)方面可能會(huì)成為學(xué)習(xí)本節(jié)課的障礙以及處理方法：

定義曲邊梯形的圖形與例題中的圖形差別比較大，學(xué)生不易接受

教材中的兩個(gè)圖形：

教學(xué)中設(shè)計(jì)的圖形:

這樣處理，可能更有利于學(xué)生接受，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧之美。

2.“以直代曲”和“無(wú)限逼近”思想的形成過(guò)程

為了使學(xué)生重新感知這兩種思想，教學(xué)中借助多媒體動(dòng)態(tài)演示割圓術(shù)，激活學(xué)生的思維。

3.求和符號(hào)的使用

在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，教材中是先出現(xiàn)了求和符號(hào)，然后又展開(kāi)計(jì)算的，而易于學(xué)生接受的方

法是先列出式子，然后利用求和符號(hào)簡(jiǎn)記。教材中是這樣的：

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