高中數(shù)學(xué)典型例題-組合

典型例題一

例1計算：（1）（。制+G%）+A*；（2）C；+《+…+G]

分析：本題如果直接計算組合數(shù)，運(yùn)算比較繁.本題應(yīng)努力在式子中創(chuàng)造條件使用組合

數(shù)的性質(zhì)，第（1）題中，G%=C盆，經(jīng)此變形后，可繼續(xù)使用組合數(shù)性質(zhì).第（2）題有

兩個考慮途徑，一方面可以抓住項的變形c；=c,L-c3求和；另一方面，變形c；=c：,

接著c：+C=c；,c；+c；=c：…，反復(fù)使用公式.

解：（1）原式=（Goo+G.oo）+Aoi=Goi+Aoi

=1+4；=L

6

（2）原式=c；+c；_c：+c；Y+…

==330.

另一方法是：原式=C：+c+C：+…+C]

=c；+c；+…+G%=c：+c；+…+G%

=...——=330.

說明：利用第（2）小題的手段，我們可以得到組合數(shù)的一個常用的結(jié)論:

c；；+c：n,??+《：=/；

左邊=/+C；%-C：；：：；+-C；%+…+c鬻一C；+I=C：;；=右邊.

典型例題二

例2從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數(shù)有多少種？

（1）4、B必須當(dāng)選；（2）4、8都不當(dāng)選；（3）A、8不全當(dāng)選；（4）至少有2

名女生當(dāng)選；（5）選出5名同學(xué)，讓他們分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但

體育委員由男生擔(dān)任，文娛委員由女生擔(dān)任.

分析:本題是組合應(yīng)用題中典型的選代表問題，通過一些明確的條件對結(jié)果進(jìn)行限制.問

題（1）A.8必須當(dāng)選，它們就不必再考慮，只要再選出余下的代表.問題（2）A、8

必須不當(dāng)選，實際上就是去掉這幾個元素不予考慮.問題（3）A、8不全當(dāng)選可以從正反

兩方面考慮.從正面考慮可以按A、8全不選和A、8選一個分類，從反而考慮可用間接

法，去掉A、8全選的情況.問題（4）可以按女生選2人、3人…進(jìn)行分類，當(dāng)然也可以

從反面考慮用間接法.問題（5）可以先處理特殊位置的體育班委與文娛班委.

解：（1）除4、8選出外，從其它10個人中再選3人,共有的選法種數(shù)為=120

（種）.

（2）去掠A、B,從其它10人中任選5人，共有的選法種數(shù)為：=252（種）.

（3）按4、3的選取情況進(jìn)行分類：A、8全不選的方法數(shù)為A、8選1人

的方法數(shù)為C；C1，共有選法C*+C；Gl）=672（種）.

本小題的另一解法：從12人中選5人的選法中去掉A、B全選的情況，所有選法只有

Gi=672（種）.

方法一：按女同學(xué)的選取情況分類：

選2名女同學(xué)、3名男同學(xué)；選3名女同學(xué)2名男同學(xué)；選4名女同學(xué)1名男同學(xué)；選

5名女同學(xué).所有選法數(shù)為：

+C；C；+C：C；+C；=596（種）.

方法二：從反面考慮，用間接方法，去掉女同學(xué)不選或選1人的情況，所有方法總數(shù)為：

=596（種）.

（5）選出一個男生擔(dān)任體育班委，再選出1名女生擔(dān)任文娛班委，剩下的10人中任取

3人擔(dān)任其它3個班委.用分步計數(shù)原理可得到所有方法總數(shù)為：C；??4%=25200（種）.

說明：對于本題第（4）小題，“至少有2名女生當(dāng)選"，我們可能還有另外一種考慮，

先從5名女生中選出2人，然后在剩下的10人中任選3人，得到的方法數(shù)為=1200

（種），與上述答案比較，結(jié)果明顯增多了，為什么會出現(xiàn)以上情況？上述步驟得到的選取

結(jié)果雖然符合了有.2名女生的要求，但在計數(shù)時出現(xiàn)了重復(fù)，比如先選兩女生為4、b,剩

下的10人中如果又選出了女生c,與先選兩名女生為a、c后又選出了女生6,出現(xiàn)了同

樣的結(jié)果，因為選取問題僅考慮選出了哪些元素，至于先選后選并不考慮.這里需要我們引

起注意的是以后遇到“至少”類型的問題，?般采用分類法或間接法解決，在選取問題中盡

可能避免出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)，我們還可以進(jìn)一步從下一個例子加深理解.

典型例題三

例3空間10個點，其中有5點在同一個平面內(nèi)，其余無三點共線，四點共面，問以這

些點為頂點，共可構(gòu)成多少個四面體？

分析：本題如果從正面考慮可以按5個共面的點的選用情況進(jìn)行分類.如果從反面考慮

用間接法，只要去掉從5個共面的點中任取四個點的情況，因為共面的四個點不能構(gòu)成四面

體的四個頂點.

解：方法一：可以按共面的點取0個、1個、2個、3個進(jìn)行分類，得到所有的取法總

數(shù)為：+C5C5++C5C5=205個.

方法二：從10個點中任取4個點的方法數(shù)中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況,

得到所有構(gòu)成四面體的方法數(shù)為：G：—。；=205（個）.

說明：以幾何為背景的此類應(yīng)用題中，間接方法用得比較多，在考慮去掉不符合要求的

選法時，既不能多去，也不能少去，此外有時還需去掉一些重復(fù)計數(shù)的情況.比如：四面體

的頂點和各條棱的中點共10個點，任取其中的4個點，其中不共面的取法有多少種？我們

可以從10個點中任取4點.共有種取法，然后去掉下面幾種情況，4個點取在四面體的

同一個面上，有4C：種取法；四個中點連成平行四邊形的情形，有3種取法，還有3點在

四面體的一條棱上，另一點是其它點，不考慮已計算的四點在四面體同一面上的情況，共有

6種取法.用間接法可得不同的取法共有：^-4^-3-6=141（種）.

典型例題四

例4在1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，在0,2,4,6,8中任取兩個數(shù)字，可組成

多少個不同的五位偶數(shù).

分析：因為零不能作首位數(shù)，所以是特殊元素，因此可以根據(jù)選零不選零為分類標(biāo)準(zhǔn)。

解：第一類：五位數(shù)中不含數(shù)字零。

第一步：選出5個數(shù)字，共有種選法.

第二步：排成偶數(shù)一先排末位數(shù)，有8種排法，再排其它四位數(shù)字，有匕種排法.

二Ni=C；C,P；.P：（個）

第二類：五位數(shù)中含有數(shù)字零.

第一步：選出5個數(shù)字，共有種選法。

第二步：排順序又可分為兩小類；

（1）末位排零，有丹?匕種排列方法；

（2）末位不排零.這時本位數(shù)有C；種選法，而因為零不能排在首位，所以首位有

P；種排法，其余3個數(shù)字則有片種排法.

???+

符合條件的偶數(shù)個數(shù)為

N=乂+M=C；C：P；P：++H8）

=4560（個）

說明：本題也可以用間接法（即排除法）來解.請自行完成.

典型例題五

例5有12名劃船運(yùn)動員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，其余5人既會劃左

舷也會劃右舷?，F(xiàn)在要從這12名運(yùn)動員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，有多

少種不同的選法？

分析：設(shè)集合A=｛只會劃左舷的3個人｝,B=｛只會劃右舷的4個人｝,C=｛既會劃左舷又

會劃右舷的5個人｝

先分類，以集合A為基準(zhǔn)，劃左舷的3個人中，有以下幾類情況：①A中有3人；②A

中有2人；C中有F人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。

第①類，劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在5UC中選3人，即有種選法。因

是分步問題，所以有G'C；種選法。第②類，劃左舷的人在A中選2人，有《種選法，在

C中選1人，有C；種選法，劃右舷的在8UC中剩下的8個人中選3人，有種選法。因

是分步問題，所以有種選法。類似地，第③類，有種選法。第④類

有種選法。

因為是分類，所以一共有+C；?6.種選法。

解：C+C；C；+C；

,9x8x7\.8x7x6、7x6x5,,?6x5x4

=1-------+3x5x------+3xl10Ax------+lxlOx-------

1x2x31x2x31x2x31x2x3

=84+840+1050+200=2174種

答:一共有2174種不同選法.

說明：這種比較復(fù)雜的在若干個集合中選取元素的問題，只要能運(yùn)用分類思想正確對所

求選法分類，又能正確地根據(jù)題目要求合理地考察步驟，就可以順利地求得解.在分類時，

要注意做到既不重復(fù)也不遺漏.

這里是以集合A為基準(zhǔn)進(jìn)行分類，也可以集合B或集合C為基準(zhǔn)進(jìn)行分類，其結(jié)果是相

同的，但一般都選擇元素個數(shù)較少的集合作為基準(zhǔn)來分類，這樣可以減少分類，方便運(yùn)算.

典型例題六

例6甲、乙兩隊各出7名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方由1號

隊員出賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊員比賽，…，直到?方隊員全被淘汰為止，另

一方獲勝，形成一種比賽過程，試求所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種類.

分析與解：若甲隊取勝，比賽結(jié)果可能是7:0,7:1,7:2,7:3,7:4,7:5,7:6.

7:0只有一個過程；

7:1共8場，乙隊在前7場中勝一場，有C；種不同的過程；

7:2共9場，乙隊在前8場中勝二場，有C；種不同的過程；

7:3共10場，乙隊在前9場中勝三場，有C；種不同的過程;

，甲隊取勝的過程種數(shù)是：1+C；+C；+C；+G1)+G；+G；=1716.

類似乙隊取勝也有同樣的過程種數(shù)

，共有1716x2=3432種不同的比賽過程.

說明：一個排列與另一個排列的區(qū)別有兩點，一點是元素不同，另一點是順序不同(在

元素相同時)；而一個組合與另一個組合不同點僅是元素不同，由此可知，排列是有順序問

題，組合是無順序問題.本題是一應(yīng)用問題，根據(jù)實際確定是組合問題.

典型例題七

例7從1到9的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù)，試問：

(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？

(2)上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個？

(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個？

(4)(1)中任意兩偶然都不相鄰的七位數(shù)有幾個？

分析與解：(1)分步完成：第一步在4個偶數(shù)中取3個，可有種情況；第二步在5

個奇數(shù)中取4個，可有種情況；第三步3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進(jìn)行排列，可有外種情況，

所以符合題意的七位數(shù)有CiC；.耳=100800個.

(2)上述七位數(shù)中，三個偶數(shù)排在一起的有?6/3=14400個.

(3)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起，4個奇數(shù)也排在?起的有

P：P；=P：=5760個.

(4)上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個奇數(shù)排好，再將3個偶數(shù)分別插入5

個空檔，共有4￡3=28800個.

說明：對于有限制條件的排列問題，?？煞植竭M(jìn)行，先組合再排列，這是乘法原理的典

型應(yīng)用.

典型例題八

例86本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

(1)一?堆一本，一■堆兩本，一堆三本；

(2)甲得一本，乙得兩本，丙得三本；

(3)一人得一本，一人得二本，一人得三本；

(4)平均分給甲、乙、丙三人：

(5)平均分成三堆.

分析與解：(1)先在6本書中任取一本.作為一本一堆，有C：種取法，再從余下的五

本書中任取兩本，作為兩本一堆，有《種取法，再后從余下三本取三本作為一堆，有種

取法，故共有分法C^CjCl=60種.

(2)由(1)知.分成三堆的方法有種，而每種分組方法僅對應(yīng)一種分配方法,

故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦為C：C；C；=60種.

(3)由(1)知，分成三堆的方法有種，但每一種分組方法又有廳不同的分

配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得三本的分法有C；C；C；8=360(種).

(4)3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書本中任取出2本的方法有C：種，甲

不論用哪一種方法取得2本書后，已再從余下的4本書中取書有種方法，而甲、乙不論

用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本中取兩本書，有C；種方法，所以一共有

C；C：C；=90種方法.

(5)把6本不同的書分成三堆，每推二本與把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每

人二本的區(qū)別在于，后者相當(dāng)于把六本不同的書，平均分成三難后，再把每次分得的三堆書

分給甲、乙、丙三個人.因此，設(shè)把六本不同的書，平均分成三堆的方法有x種，那么把六

本不同的書分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)x-用種，由知，把六本不同的

書分給甲、乙、丙三人，每人2本的方法有種.

則，普5(種)

所以叫3=C；C：C；,

說明：本問題中的每一個小題都提出了一種類型問題，搞清類型的歸屬對今后解題大有

補(bǔ)益，其中

(1)屬非均勻分組問題.(2)屬非均勻定向分配問題.

(3)屬非均勻不定向分配問題.(4)屬均勻不定向分配問題.

(5)屬均勻分組問題.

典型例題九

例9有6本不同的書，分給甲、乙、丙三個人.

（1）如果每人得兩本，有多少種不同的分法：

（2）如果一個人得一本，一個人得2本，一個人得3本有多少種不同的分法；

（3）如果把這6本書分成三堆，每堆兩本有多少種不同分法.

分析與解：（1）假設(shè)甲先拿，則甲從6本不同的書中選取2本有C；=15種方法，不論

甲取走的是哪兩本書，乙再去取書時只能有=6種，此時剩下的兩本書自然給丙，就只

有=1種方法，由乘法原理得一共有C〉C：.C；=90種不同分法.

（2）先假設(shè)甲得1本，乙得2本，丙得3本則有種法，一共有

港=6x10x6=360種不同的分法.

（3）把6本書分成三堆，每堆2本，與次序無關(guān).

所以一共有管

=15種不同分法.

說明：本題的三個問題要注意區(qū)別和聯(lián)系，不要混淆.

6本書分給甲、乙、丙三人每人兩本和分成3堆每堆兩本是有區(qū)別的，前者雖然也屬均

分問題，但要甲、乙、丙三個人一個人一個人的去拿，而后者屬均分問題又是無序問題，所

以必須除以耳.一般地，〃個元素中有々個元素（々W〃）均分成卬堆一定要除以P：：.

例如：有17個桃，分成8堆，其中一堆一個，一堆4個，另外6堆每堆都是2個，有

多少種不同的分法.

一共有L的蛆55中—種不同分法.

典型例題十

例5（1）從4名醫(yī)生中選2名，7名護(hù)士中選4名，分成兩隊，每隊1名醫(yī)生2名護(hù)士,

到甲、乙兩地巡回醫(yī)療，求安排方案有多少種？

（2）從一組共7名學(xué)生中選男生2人，女生2人，參加三種不同的活動，要求每人參加一

種且每種活動都有人參加的選法有648種，問該組學(xué)生中男、女生各有多少人？

分析：（1）可以把甲、乙兩地看成兩個有順序的“空”，然后選取獲和護(hù)士填好，即分步

完成；也可采取先選取、分堆、再排列的辦法.（2）先分堆再排列.

解法一⑴：按照匣1瓦］進(jìn)行填入.第一步，先取2名醫(yī)生填入兩空，有種填法；第

二步，再取4名護(hù)士填入兩空，每空2人，有種填法，故共有安排方案

=2520種.

解法二(1)：第一步，選人，有種選法；第二步，平均分成2堆，有/A；

種分法：第三步，將兩隊分別安排到甲、乙兩地，有種方法，故共有安排方案：

C：C；=2520種.

解⑵：設(shè)男生x人，女生7—x人，則有C>C，C[A；=648,

/.x(x-1)(7-x)(6-x)=72,XGN且24xW5.

,x=3或x=4.

.??男生有3人，女生4人或男生4人，女生3人.

說明：本題是排列與組合的綜合題.涉及到分堆、再全排列的問題.方法呆以是選人一

分堆一排列，也可以直接用分步法解.第(2)小題中在解未知數(shù)x時，應(yīng)注意到x是正整數(shù)

且24x45范圍限制，可以使用還個驗證的辦法驗證出來.

典型例題H^一

例11四個不同的小球，全部放入編號為1、2、3、4的四個盒子中.

(1)隨便放(可以有空盒，但球必須都放入盒中)有多少種放法？

(2)四個盒都不空的放法有多少種？

(3)恰有一個空盒的放法有多少種？

(4)恰有兩個空盒的放法有多少種？

(5)甲球所放盒的編號總小于乙球所放盒的編號的放法有多少種？

分析：(1)注意合理的分類；(2)可以用前面例題中先分堆再排列的方法.

解：(1)由于可以隨便放，故每個小球都有4種放法，所以放法總數(shù)是

4x4x4x4=44=256種.

(2)將四個小球全排列后放入四個盒子即可，所以放法總數(shù)是=24種.

(3)由題意，必然四個小球放入三個盒子中.分三步完成：選出三個盒子：將四個小球

分成三堆；將三堆小球全排列后放入三個盒子.所以放法總數(shù)是：C：414：=144種.

(4)由題意，必然四個小球放入2個盒子中.

解法一：分三步完成：選出兩個盒子；將四個小球分成兩堆；將兩堆小球全排列放入兩

個盒子.所以放法總數(shù)是：

C<.f+c：.c；?否=84種.

I&J

解法一：分兩步完成：選出兩個盒子；將四個球隨便放入兩個盒子(可以有空盒子)，

然后剔除四個球只放入一個盒子的情形.因此，放法總數(shù)是

.(24-2)=84種.

(5)分三類放法.

第一類：甲球放入1號盒子，即座亡3HL則乙球有3種放法(可放入2,3,4號盒子),

其余兩球可以隨便放入四個盒子，有42種放法.故此類放法的種數(shù)是3x4?；

第二類：甲球放入2號盒子，即門中II1,則乙球有2種放法(可放入3,4號盒子),

其余兩球隨便放，有42種放法.故此類放法的種數(shù)是2x42；

.1.2.3.4.

第三類：甲球放入3號盒子，即「II申II,則乙球只有1種放法(放入4號盒子)，其

余兩球隨便放，有42種放法.故此類放法的種數(shù)是1x42.

綜上，所有放法的總數(shù)是：(3+2+1)x42=96種.

本題也可這樣理解：先選出兩個盒子放入甲、乙兩球，有。：xl種放法：另外兩球隨便

放，有42種放法，由乘法原理，所有放法的總數(shù)是C：xlx42=96種.

說明：“小球放入盒子”是一種常見的、基本的數(shù)學(xué)模型，很多問題實際上都可以化歸

到這種模型去解決，雖然表面上看來可能相距很遠(yuǎn)。當(dāng)然，小球放入盒子會有各種限制條件,

應(yīng)注意恰當(dāng)?shù)胤诸惢蚍植?下面的例2即是采用這種思想.

典型例題十二

例12/是集合P={a,匕，c,d,e}到集合0={0,1,2}的映射，滿足

f(a)+f(b)+/(c)+/(</)+/(e)=5的映射有多少個?

分析：根據(jù)映射的定義，P中的每一個元素在。中都有唯一的一個像，可以把

a,b,c,d,e五個元素想象成五個“小球”，把0,1,2三個元素想象成三個盒子，只要把五

個小球全部放入盒子中(隨便放)，便可得到一個映射，因為每一個“小球”都對應(yīng)著唯一

的一個盒子.

解：將0,1,2三個元素設(shè)想為0號盒、1號盒和2號盒三個盒子,只要5個元素

a,b,c,d,e全部放入盒子(允許有空盒)便可得到1個映射.設(shè)放入1號盒的元素個數(shù)為x,

放入2號盒的元素個數(shù)為y,則放入0號盒的元素個數(shù)為5-x-y個，04x,yW5.則有

f(a)+f(b)+f(c)+f(d)+f(e)=0-(5-x-y)+l-x+2-y=x+2y,

由條件x+2y=5,考慮到x,ywN且0Kx,y45,

==

故上述方程的解是《x\x=3,x5,

7=2,[y=l,[y=0.

因此滿足條件的元素的放法有三類.

第一類：放入1號盒1個元素，放入2號盒2個元素，其余元素放入0號盒，放法種數(shù)

是：

■30種.

第二類：放入1號盒3個元素，放入2號盒1個元素，其余元素放入0號盒，放法種數(shù)

是：

=20種.

第三類：全部5個元素都放入1號盒，放法種數(shù)為1種.

所以放法總數(shù)為30+20+1=51種.

故符合條件的映射有51個.

說明：該題把映射問題巧妙地抽象為“小球放入盒子”問題，使問題更加形象且易于把

握.事實上排列組合中的不少問題可進(jìn)行類似的抽象，把一個陌生的問題轉(zhuǎn)化為一個熟悉的

問題去解決.另外，應(yīng)注意排列組合中不定方程的整數(shù)解的解法，在中學(xué)階段大多采用逐個

驗證的方法求其解.

典型例題十三

例13如圖所示，4、B、C、D、E為5個區(qū)域，現(xiàn)備有5種顏色為5個區(qū)域涂色,

涂色要求：每相鄰兩個區(qū)域不同色，每個區(qū)域只涂一色.共有多少種不同的涂色方法？

分析：顯然4處于中央，與其他區(qū)域都相接，因此它的地位比較特殊，應(yīng)優(yōu)先考慮.本

題可分解為三類涂法：用5顏色涂；用4種顏色涂；用3種顏色涂.顯然用2種顏色涂不可

能.

解：本題有三類涂法.

第一類：用5種顏色涂，顯然有￡=120種涂法.

第二類：用4種顏色涂，顯然有2類涂法：8與。涂同一色，其余三區(qū)各涂一色；C與

E涂同--色，其余三區(qū)各涂一色，故涂法種數(shù)是

C〉C：C，2=240（C；是指先選出4種顏色）.

第三類：用3種顏色涂，那么B與。、。與E、A三部分區(qū)域各涂一色，故有

=60種涂法（C1是指先選出3種顏色）.

綜上，涂法總數(shù)是：120+240+60=420種.

說明：給圖形涂色問題與具體的圖形開關(guān)有關(guān)，需要仔細(xì)分析圖形特征.另外，對有些

題目，一眼看去好像很繁雜，無從下手；這時我們可以從最簡單的研究起，然后逐次研究其

他的問題.比如本題最簡單的情況是5種顏色5個區(qū)域；復(fù)雜的情況是4種顏色、3種顏色

涂5個區(qū)域.復(fù)雜的問題分解之后往往就會變得簡單，然后先從最簡單的情況研究起——這

是一種常用的解題策略.

典型例題十四

例14填空：+-+=

解法1：原式=C；&+C港+…+C益&

=（C；+4+《+《+…+C盆-煤）?

=（C；+C；+…

=（。土—C）.九

=2。百—2

=333298

解法2：由C*=C：+C：T.

?in—1_c”「m?z^?2_^?3

C

,?/?=L”+l_，??c3=c4-c3.

z^2廠3廠3廠2廠3廠3「2「3

—-

C4=5C4,C5=c6—C5>...........,5Go=CI0IV|00

以上各式都加得：（C；+c；+c：+c；+…+c*=G\-c；

，A；+A：+痣+…+A髭=（C；+C：+…+Gio）?A；

（C-C^）-A；

（*一1）?&=333298

A"'

說明：本題解答過程中應(yīng)用了公式即A："=C：-A：要熟悉此公式，注意在

相關(guān)問題中的應(yīng)用.

典型例題十五

例15證明下列各等式：

（1）C=-C^';⑵/=瞥制;⑶小―…+C篇T=?

mn+l

、一e一上〃（〃-1）!

證明：（1）右邊=----------------------------

m（加-1）一（加—1）］!

_n!

［m-（m-l）!］（〃一〃［）!

幾?

=--——=c：=左邊，，原式成立.

m!（n-m）!

⑵右邊=3.---------史皿---------

〃+1（m+1）!［（n+l）-（m+1）］!

（）

=-m--+--1-------n-+--l--!-----

〃+1（m+1）!（〃一帆）！

Y\I

=--——=c：=左邊

m!（〃一〃?）！

，原式成立.

（3）左邊=（C,+C：M）+%+比+3+…+C*

=（4+%）+以3+…+CL

=（c3+c3）+,??+C；：L

=c"+c：+4+???+/：*

=c：;3+cMi=c：：：=右邊

二原式成立.

說明：⑴對于（3）關(guān)鍵一步C：變成C%有C：=C\=1,再反復(fù)運(yùn)用利用定理2,逐步

化簡式子即可得證.

(2)也可利用C：+i=C；：'+C『將等式右邊C：二一項拆成二項，反復(fù)使用此公式即可得

證.請自己證明.

⑶此題中③式的變形為：c；+c：+1+c；；+2+…+.

典型例題十六

例16完成下列各填空題：

(1)平面內(nèi)有9個點，其中4個點在一條直線上，此外沒有3個點在一條直線上，過這9

個點可以作個三角形.

(2)空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，這12個點可決定多少個不

同的平面.

解：(1)把9個點分為兩類：

第一類為共線的4個點；

第二類為其余的5個點；

從第二類中任意選取三個點，可作個三角形；

從第一類中任意選取一個點，從第二類中任意選取2個點，可作個三角形；

從第一類中任意選取2個點，從第二類中任意選取1個點，可作個三角形.

利用分類計數(shù)原理，可得總共可作三角形個數(shù)為C；+C：+C：=80(個).

注意：本題也可解為C；—C：=80(個)，請你加以解釋.

,應(yīng)填：80.

(2)這個問題可分四類加以考慮.

①5個共面點決定1個平面；

②5個共面點中任何2個點和其余7個點中任意一點決定7C；個平面；

③5個共面點中任一點和其余7個點中任意2個點決定5C；個平面；

④7個點中任何3個點決定個平面.

總共決定平面的個數(shù)為1+7C：+5C；+=211(個)

,應(yīng)填：211

說明：這題是利用組合知識解決與幾何有關(guān)的問題，要注意將已知條件中的元素分成幾

類.而在解決此問題時，又使用的分類方法，至于怎樣確定分類標(biāo)準(zhǔn)，這是一難點，比如，

①中確定三角形，必確定不共線的三點.這三點可全部來源于不共線5點，也可其一來源于

不共線5點，還可其二來源于那5點，這樣分成三類.

典型例題十七

例17車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既

能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理?臺機(jī)床，問

有多少種選派方法.

解法1：設(shè)A、B代表2位老師傅.

A,8都不在內(nèi)的選法有：C，C：=5種；

A,8都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選法有：=種；

A,6都在內(nèi)且當(dāng)車工的選法有：C；C；C：=30種；

4,8都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選法有：用C：C；=80種；

A,8有一人在內(nèi)當(dāng)鉗工的選派方法有：C；C；C：=20種；

A,8有一人在內(nèi)當(dāng)車工的選派方法有：C；C；C：=40種；

，共有C；?C：+-C：+C2C5C4+C；A；C；C：+C2C5C4+C2C5C4=185（種）.

解法2：5名鉗工有4名選上的派出方法是：C；C：+C；C；C；+C；C：C；=75種；

5名鉗工有3名被選上的方法是：C/C4C2+C5CM2=I。。；

5名鉗工有2名被選上的方法是：C；C；C：=10種.

一共有75+100+10=185（種）

解法3：4名女車工都在的選派方法：C：C；+C4C5C2+C：C；A；=35種；

4名女車工有3人在內(nèi)的派選方法：C：C；C；+=120種；

4名女車工有2名在內(nèi)的派選方法：C：C；C；=30種；

一共有35+120+30=185（種）.

說明：解法1是以老師傅為主考慮的；解法2是以鉗工為主考慮的；解法3是以車工為

主考慮的.

典型例題十八

例18有11名翻譯人員，其中5名會英語，4名會口語，另外兩名英語、日語都會，

從中選出8人，組成兩個翻譯小組，4人譯英語，另4人譯日語，同一個人不能參加兩個小

組，有多少種不同的選派方法？

分析：本題是排列組合應(yīng)用題中典型的選派問題，本題的困難主要在于對兩個語種都會

的兩個人的處理，由于1個人不能同時參加兩個小組，所以1個人不能既充當(dāng)英語、又充當(dāng)

日語翻譯，也就是說本題不能按從7名英語翻譯中選4人，從6名日語翻譯中取4人來處理,

正確解決問題的方法是先就兩個語種都會的兩個人（特殊元素）的選用情況進(jìn)行分類.

解：按兩個語種都會的兩個人的選用情況分類：

兩個人都不參加，這時有種用法.

兩個人參加1人，這時還有該人參加英語或日語翻譯兩種情況，這時有

種用法.

兩個人都參加，這時有3種情況，都參加英語、都參加日語、或者分別參加一種.

這時有CjC：+?C：?A；種用法.

用分類計數(shù)原理，共有不同的選派方法總數(shù)為：

C"C：+C；CC+C；C；C+C；C+C；C+C；C.A；=185（種）.

說明：本題處理起來看似雜亂，分類的情況較多，實際上整個過程都是圍繞兩名英日語

都會的“多血手”的選用進(jìn)行的，這種抓特殊對象處理的手段在我們組合類應(yīng)用題中隨處可

見.

典型例題十九

例19有6個人住進(jìn)5個房間，分別按照下列要求，有多少種不同住法？

（1）每個房間至少一個人；

（2）5個房間恰好空出一間不住人.

分析：每個房間至少一個人，則正好一個房間兩個人，其它房間各1人，可以先安排兩

個人進(jìn)此房間.5個房間空出一間，則有兩種可能的結(jié)果，一種是一間3個人，3間各1人,

另一間空著，還有一種可能結(jié)果是有兩間各住兩人，另兩間各住1人，另一間空著.

解：（1）先從6人中選出兩人進(jìn)某一房間，其余4人每人進(jìn)一間，不同的進(jìn)房方法共有:

C；C-A：=1800（種）.

（2）按條件不同的住房方法有兩類：

第一類:3個人住一間房，3個人各住一間，另一間空，不同的方法共有：C；-Cl-Al-Cl

（種）.

第二類：兩間房各進(jìn)兩人，另兩間各1人，另一間空，不同的進(jìn)房方法共有：

.（:；.￡（種）.

用分類計數(shù)原理，所有滿足要求的住房方法共有：

C；.C；.A；.C：+C]C；.C〉C；.A；=7800（種）.

說明：對于每個房間至少1人的情況，也可能這樣考慮，先從6個人中任選5人住進(jìn)5

個房間，最后一人任進(jìn)一個房間，這樣得到的結(jié)