四川省宜賓市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

Page20本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，依據(jù)實(shí)部和虛部的符號(hào)，求復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，∴，，∴復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于其次象限.故選：B.2.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件求得所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即，故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知直線的一般方程為.（1）與直線平行的直線的方程可設(shè)為；（2）與直線垂直的直線的方程可設(shè)為.3.已知向量與向量平行，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程，化簡(jiǎn)求得的值.詳解】由于，所以.故選：C4.在中，角的對(duì)邊分別是.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理即可求出.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，?故選：C.5.已知一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于球O的半徑，則該圓柱的表面積與球O的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)球的半徑為,分別求出球和圓柱的表面積即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為,則該圓柱的底面半徑為，高為所以圓柱的表面積為：,球的表面積為：則圓柱的表面積與球的表面積之比為故選：C6.如圖，四面體ABCD中，，AC=2，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，MN=1，則異面直線AC與BD所成的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則，，解三角形即可得解.【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，所以且，且，則或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，因?yàn)椋?，所以，即異面直線AC與BD所成的角是.

故選：D.7.若是等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且，，，分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】D【解析】【分析】由推斷A，由與垂直，證明線面垂直，再結(jié)合平行線推斷B，依據(jù)面面垂直的判定定理推斷C，依據(jù)正棱錐的性質(zhì)推斷D．【詳解】是等邊三角形所在平面外一點(diǎn)，且，，，分別是，，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，故正確；，是中點(diǎn)，，，，平面，平面，，平面，故B正確；平面，平面，平面平面，故C正確；設(shè)，連結(jié)，不是等邊三角形的重心，與平面不垂直，平面與平面不垂直，故D錯(cuò)誤．故選：D．8.在中，已知，，點(diǎn)滿意，則向量在向量方向上的投影為（）．A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件得到以及為的重心，再結(jié)合投影的定義求解結(jié)論即可．【詳解】解：在中，，，，即，點(diǎn)滿意，則為的重心，向量在向量方向上的投影為：，，向量在向量方向上的投影為：，故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖為某市2024年國(guó)慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量與成交量的折線圖，小明同學(xué)依據(jù)折線圖對(duì)這7天的認(rèn)購(gòu)量(單位：套)與成交量(單位：套)作出如下推斷，則推斷錯(cuò)誤的為（）A.日成交量的中位數(shù)是16B.日成交量超過日平均成交量的有2天C.10月7日認(rèn)購(gòu)量的增幅大于10月7日成交量的增幅D.日認(rèn)購(gòu)量的方差大于日成交量的方差【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合圖形及統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)學(xué)問逐一判定即可．【詳解】7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量為：91、100、105、107、112、223、276；成交量為：8、13、16、26、32、38、166．對(duì)于A，日成交量的中位數(shù)是26，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槿掌骄山涣繛?，日成交量超過日平均成交量的只有10月7日1天，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，10月7日認(rèn)購(gòu)量的增幅為，10月7日成交量的增幅為，即10月7日認(rèn)購(gòu)量的增幅小于10月7日成交量的增幅，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槿照J(rèn)購(gòu)量的數(shù)據(jù)分布較分散些，方差大些，故D正確.故選：ABC10.已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事務(wù)和事務(wù)，滿意，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.與互斥 D.與相互獨(dú)立【答案】AD【解析】【分析】計(jì)算出事務(wù)A和事務(wù)B，以及，的概率，即可推斷A，B；由于，可推斷C；分別計(jì)算的值，看二者的關(guān)系，推斷D.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，，故A正確，錯(cuò)誤；與不互斥，故C錯(cuò)誤；事務(wù)A與相互獨(dú)立，故D正確.故選：AD.11.已知直線：，：（），則（）A.直線過定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，兩直線，之間的距離為3【答案】ABD【解析】【分析】將直線變形為，即可求解定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可推斷A，依據(jù)兩直線垂直和平行滿意的系數(shù)關(guān)系即可代入值求解BC,依據(jù)兩平行線間距離公式可推斷D.【詳解】：（）變形為，由則因此直線過定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)，：，：，所以，故兩直線平行，故B正確；當(dāng)時(shí)，：，：，因?yàn)椋蕛芍本€不垂直，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則滿意，解得，此時(shí)：，：，即，則兩直線間的距離為，故D正確．故選：ABD．12.在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝1，BD＝，三棱錐A－BCD的全部頂點(diǎn)均在球O的表面上，若點(diǎn)M、N分別為△BCD與△ABD的重心，直線MN與球O的表面相交于F、G兩點(diǎn)，則（）A.三棱錐A－BCD的外接球表面積為 B.點(diǎn)O到線段MN的距離為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)題意三棱錐A－BCD可放在邊長(zhǎng)為1的正方體中，三棱錐的外接球球心即為正方體的中心，由此即可計(jì)算出各邊的長(zhǎng)度，即可選出答案.【詳解】如圖所示，三棱錐A－BCD可放在正方體中，故三棱錐的外接球球心即為正方體的中心，所以．A正確.點(diǎn)M、N分別為線段BE、BO的2：1分點(diǎn)，故，又因，所以在中，點(diǎn)O到線段MN的距離為，B錯(cuò)誤.所以，C正確.．D正確.故選：ACD.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，5位學(xué)生的成果分別為：70，85，t，82，75，若他們的平均成果為81，則他們成果的分位數(shù)為________．【答案】85【解析】【分析】依據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可．【詳解】由題意知，解得，把這組數(shù)據(jù)按從小到大的依次記為：70，75，82，85，93，指數(shù)，這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大的依次的第四個(gè)數(shù)，因此，這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為85．故答案為：85．14.設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事務(wù)，若與互斥，與對(duì)立，且，，則_____________．【答案】【解析】【分析】由與對(duì)立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】與對(duì)立，，與互斥，.故答案為：.15.經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是______.【答案】或【解析】【分析】分類探討：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率，可得方程，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得a的方程，解方程可得a值，可得直線的方程，整理為一般式即可.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，故方程為，整理為一般式可得；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得，解得，故直線方程為，整理為一般式可得，綜上可得直線的方程為：或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線的截距式方程、一般式方程，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖所示，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，、、、、、、、、、、、分別為各棱的中點(diǎn)，則的不同值有______個(gè)．【答案】3【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后得到各點(diǎn)坐標(biāo)，算出和，利用數(shù)量積即可得到答案【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，，，，所以則有3個(gè)不同的值，故答案為：3四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(8，－6)，B(2，2).（1）求AB的中垂線方程；（2）求過點(diǎn)P(2，－3)且與直線AB平行的直線l的方程；（3）一束光線從B點(diǎn)射向（2）中的直線l，若反射光線過點(diǎn)A，求反射光線所在直線的方程.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩直線垂直其斜率間的關(guān)系求得AB的中垂線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求得答案；（2）依據(jù)平行得出斜率，從而由點(diǎn)斜式求出直線方程；（3）求得點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)，然后求出斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又所以AB的中垂線的斜率為，故AB的中垂線的方程為，即；【小問2詳解】解：由（1）得所以直線l的方程為，即4x+3y+1=0；【小問3詳解】解：設(shè)B（2，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'（m，n），∴，解得，∴；由點(diǎn)斜式可得反射光線所在直線的方程為，整理得11x+27y+74=0.18.某公司聘請(qǐng)考試分筆試與面試兩部分進(jìn)行，每部分成果只記“合格”與“不合格”，兩部分成果都合格者則被公司錄用.甲、乙、丙三人在筆試部分合格的概率分別為，，，在面試部分合格的概率分別為，，，全部考試是否合格相互之間沒有影響.（1）假設(shè)甲、乙、丙三人都同時(shí)參與了筆試和面試，誰被錄用的可能性最大?（2）當(dāng)甲、乙、丙三人都參與了筆試和面試之后，不考慮其它因素，求三人中至少有一人被錄用的概率.【答案】（1）丙（2）【解析】【分析】（1）記甲、乙、丙三人被錄用分別為事務(wù)A，B，C，且A，B，C相互獨(dú)立，甲、乙、丙三人被錄用即三人即通過筆試部分又通過面試部分，由獨(dú)立事務(wù)概率的乘法公式計(jì)算得出，，，比較概率的大小即可得出答案；（2）記三人中至少有一人被錄用為事務(wù)，則與互為對(duì)立事務(wù)，從而依據(jù)對(duì)立事務(wù)的計(jì)算公式與獨(dú)立事務(wù)概率的乘法公式計(jì)算得出答案.【小問1詳解】記甲、乙、丙三人被錄用分別為事務(wù)A，B，C，則A，B，C相互獨(dú)立，則，，，，丙被錄用的可能性最大.【小問2詳解】記三人中至少有一人被錄用為事務(wù)，則與互對(duì)立事務(wù)，.19.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再依據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)椋运倪呅蔚妊菪?，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；【小?詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.20.A藥店支配從甲，乙兩家藥廠選擇一家購(gòu)買100件某種中藥材，為此A藥店從這兩家藥廠供應(yīng)的100件該種中藥材中隨機(jī)各抽取10件，以抽取的10件中藥材的質(zhì)量（單位:克》作為樣本.樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.已知A藥店依據(jù)中藥材的質(zhì)量（單位:克）的往定性選擇藥廠（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，A藥店應(yīng)選擇哪家藥廠購(gòu)買中藥材?（2）若將抽取的樣本分布近似看作總體分布，藥店與所選藥廠商定中藥材的購(gòu)買價(jià)格如下表:每件中藥材的質(zhì)量（單位:克）購(gòu)買價(jià)格（單位:元/件）（i）估計(jì)藥店所購(gòu)買的件中藥材的總質(zhì)量;（ii）若藥店所購(gòu)買的件中藥材的總費(fèi)用不超過元.求的最大值.【答案】（1）見解析；（2）①1500克，②75【解析】【分析】（1）分別計(jì)算出甲、乙兩家藥廠抽樣數(shù)據(jù)均值和方差，由此選擇乙廠的中藥材.（2）①依據(jù)（1）中抽樣樣本的均值，作為的值，乘以得到總質(zhì)量.②計(jì)算出的概率，利用總價(jià)格列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）甲，甲，乙，所以選擇乙廠的中藥材.（2）①?gòu)囊宜帍S所抽取的每件中藥材的質(zhì)量的平均值為，故藥店所購(gòu)買的件中藥材的總質(zhì)量的估計(jì)值為克②乙藥廠所供應(yīng)的每件中藥材的質(zhì)量的概率為的概率為，的概率為則藥店所購(gòu)買的件中藥材的總費(fèi)用為依題意得解得；所以的最大值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)問.要選擇合適要藥廠，主要通過平均數(shù)和方差來確定，方差越小越穩(wěn)定.屬于中檔題.21.如圖，在長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得//平面,若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．（Ⅲ）若二面角的大小為，求的長(zhǎng).【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）存在點(diǎn)，使得//平面，此時(shí)AP＝（Ⅲ）AB=2【解析】【分析】（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算證明；（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)并設(shè)出坐標(biāo)，因?yàn)?/平面,則與平面的法向量垂直可求解；（Ⅲ）利用法向量的夾角公式求解.【詳解】（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AB＝，則A(0，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，.（Ⅱ）假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)，使得//平面B1AE.此時(shí)＝(0，－1，)．又設(shè)平面B1AE的法向量＝(x，y，z)．由⊥，⊥，得，取x＝1，得平面B1AE的一個(gè)法向量＝要使DP//平面B1AE，只要⊥，有－a＝0，解得＝.又DP平面B1AE，∴存在點(diǎn)P，滿意DP//平面B1AE，此時(shí)AP＝.（Ⅲ）連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D∵B1C//A1D，∴AD1⊥B1C.又由（Ⅰ）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1，∴