概率論課本習(xí)題答案

2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：〔1〕X的分布律；〔2〕X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P〔2〕當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=0當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=P(X=0)=當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=1故X的分布函數(shù)(3)7.有一繁忙的汽車(chē)站，每天有大量汽車(chē)通過(guò)，設(shè)每輛車(chē)在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車(chē)通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少〔利用泊松定理〕？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，那么X~b〔1000，0.0001〕8.在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，那么故所以.9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，〔1〕進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；〔2〕進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】〔1〕設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，那么X~6〔5，0.3〕(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，那么Y~b〔7，0.3〕10.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為〔1/2〕t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)〔時(shí)間以小時(shí)計(jì)〕.〔1〕求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率；〔2〕求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】〔1〕(2)12.某教科書(shū)出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書(shū)中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，那么X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算,得14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：〔1〕保險(xiǎn)公司虧本的概率;〔2〕保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來(lái)考慮.〔1〕在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，那么X~b(2500,0.002)，那么所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P〔保險(xiǎn)公司獲利不少于20000〕即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：〔1〕在開(kāi)始150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；〔2〕在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；〔3〕F〔x〕.【解】〔1〕(2)(3)當(dāng)x<100時(shí)F〔x〕=0當(dāng)x≥100時(shí)故18.設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待效勞的時(shí)間X〔以分鐘計(jì)〕服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待效勞，假設(shè)超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到效勞而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到效勞而離開(kāi)的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車(chē)去火車(chē)站乘火車(chē)，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N〔40，102〕；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N〔50，42〕.〔1〕假設(shè)動(dòng)身時(shí)離火車(chē)開(kāi)車(chē)只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車(chē)的把握大些？〔2〕又假設(shè)離火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車(chē)把握大些？【解】〔1〕假設(shè)走第一條路，X~N〔40，102〕，那么假設(shè)走第二條路，X~N〔50，42〕，那么++故走第二條路乘上火車(chē)的把握大些.〔2〕假設(shè)X~N〔40，102〕，那么假設(shè)X~N〔50，42〕，那么故走第一條路乘上火車(chē)的把握大些.21.設(shè)X~N〔3，22〕，〔1〕求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};〔2〕確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】〔1〕(2)c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度〔cm〕X~N〔10.05,0.062〕,規(guī)定長(zhǎng)度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】28.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3049.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間〔1，2〕上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).【解】因?yàn)镻〔1<X<2〕=1,故P〔e2<Y<e4〕=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY〔y〕=P(Y≤y)=0.當(dāng)e2<y<e4時(shí)，當(dāng)y≥e4時(shí)，即故8.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的概率密度為f〔x，y〕=求邊緣概率密度.【解】題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的概率密度為f〔x，y〕=求邊緣概率密度.【解】題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的概率密度為f〔x，y〕=〔1〕試確定常數(shù)c；〔2〕求邊緣概率密度.【解】〔1〕得.(2)13.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03〔1〕求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；〔2〕X與Y是否相互獨(dú)立？【解】〔1〕X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X與Y不獨(dú)立.22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量〔X，Y〕聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的局部數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立，故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX11.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E〔X〕，E〔X2〕，E〔2X+3〕.【解】(1)(2)(3)5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f〔x〕=求E〔X〕，D〔X〕.【解】故6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E〔X〕=5，E〔Y〕=11，E〔Z〕=8，求以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.〔1〕U=2X+3Y+1；〔2〕V=YZ4X.【解】(1)(2)7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E〔X〕=E〔Y〕=3，D〔X〕=12，D〔Y〕=16，求E〔3X2Y〕，D〔2X3Y〕.【解】(1)(2)9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX〔x〕=fY〔y〕=求E〔XY〕.【解】方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨(dú)立性，得方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為于是34.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YYX101010.070.180.150.080.320.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ.【解】由知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX101P0.080.720.2所以E〔XY〕=0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY)E(X)·E(Y)=0.120.6×0.2=0從而=01.一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X.估計(jì)P{10<X<18}.【解】設(shè)表每次擲的點(diǎn)數(shù)，那么從而又X1,X2,X3,X4獨(dú)立同分布.從而所以14.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P{|X-Y|≥6}的估計(jì).〔2001研考〕【解】令Z=X-Y，有所以5.有一批建筑房屋用的木柱