高中數學《函數的極值與導數》導學案

3.3.2函數的極值與導數

卜課前自主預習

品基礎導學

1.函數的極值定義

設函數人劃在點X0及其附近有定義，如果對X0附近的所有點，都有阪

則稱/Uo）是函數/U）的一個圓極大值,記作y極大值=/5））；如果對x（）

附近的所有點都有螞似濁應，則稱ZU。）是函數"）的一個例極小值,記作y極

小值=穴沏）.極大值與極小值統稱為極值.

極大值與極小值沒有必然的大小

關系，極大值不一定比極小值大.

2.函數極值的判定

當函數/U）在點均處連續(xù)時，判斷;Uo）是否存在極大（?。┲档姆椒ㄊ牵?/p>

⑴如果在向附近的左側因/'（x）＞0,右側的/'（x）＜0,那么.穴沏）是極大值;

（2）如果在xo附近的左側圓UKQ，右側闞/'3＞0,那么式xo）是極小值;

（3）如果/'（幻在點即的左右兩側符號不變，則/Uo）理丕是函數人x）的極值.

/'''..■'...

極小值極大值

左負（\）右正（/），極小值

左正（/）右負（\）,極大值

3.求可導函數極值的步驟

一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數y=/（x）的極值點：

⑴求出導數㈣63；

（2）解方程叵）尸（x）=0；

（3）對于方程/（x）=0的每一個解的，分析/'。）在刈左、右兩側的符號［即

*x）的單調性］,確定園極值:

①若/（九）在xo兩側的符號“左正右負”，則心為回極大值點;

②若/（%）在的兩側的符號“左負右正”，則心為回極小值點;

③若⑴在M）兩側的符號相同，則M）耳不是極值點.

導數為。的點不一定是極值點，但極

值點處的導數一定為0.導數為。的點

的兩側導數值異號時才是極值點.

H知識拓展

函數極值點的兩種情況

（1）若點的是可導函數7U）的極值點，則/'（的）=0,反過來不一定成立.

(2)函數的不可導點也可能是函數的極值點，如：>=國在x=0處不可導，但

x=0是函數的極小值點，因此，函數取極值點只可能為。)=0的根或不可導

點兩種情況.

自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)函數4%)=丁+0%2—x+1必有2個極值.()

(2)在可導函數的極值點處，切線與x軸平行或重合.()

(3)函數有極值.()

答案(1)V(2)V(3)X

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)函數?x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數/(x)在(a,份內的圖象如圖所

示，則函數/U)在開區(qū)間(a,與內極大值點的個數為.

(2)函數4尤)=/+》+1有極值的充要條件是.

(3)已知函數fix)=x2-2］nx,則fix)的極小值是

答案(1)2(2)a<0(3)1

卜課堂互動探究

探究1求已知函數的極值

例1求下列函數的極值.

(l)yU)=(+31nx；

(2次8)=/一3d—2在(a—1,a+1)內的極值(a>0).

［解］⑴函數/)=：+31nx的定義域為(0,+°°),f(%)=_1+：=3(尤/1)

令/'(x)=0得x=l.

當X變化時，/(x),凡r)的變化情況如下表：

X(0,1)1(1,+8)

f(X)—0+

XX)極小值3

因此當x=l時，/(X)有極小值，并且式1)=3.

(2)由/(%)=A:3—3d—2得/'(x)=3x(x—2),

令f(x)—0得尤=0或x—2,.

當X變化時，f(X),八X)的變化情況如下表:

X(一8,0)0(0,2)2(2,+8)

fw+0—0+

fix)極大值極小值

由此可得：

當0<。<1時，7U)在(a—1,a+1)內有極大值_A0)=—2,無極小值;

當a=l時，?r)在(a—1,a+1)內無極值；

當?3時,一X)在(a—1,a+1)內有極小值12)=—6,無極大值；

當時，凡r)在僅-1,a+1)內無極值.

綜上得，當0<。<1時，7U)有極大值-2,無極小值；當l<a<3時，火x)有極

小值-6,無極大值；當a=1或a23時，./(X)無極值.

［條件探究］若將例1(2)中a>Q改為aVO,結果會怎樣？

解由例1(2)中表可得：當一l<a<0時，/W在(。-1，。+1)內有極大值/。)

=—2,無極小值.

當—1時，/(x)在(a—1,a+1)內無極值.

綜上得，當一l<a<0時，火幻有極大值一2,無極小值.

當aW—1時，?x)無極值.

拓展提升

求函數極值的方法

一般地，求函數y=/u)的極值的方法是：解方程/'(x)=O,設解為XO,

(1)如果在劭附近的左側方a)>o,右側/a)<o,那么yuo)是極大值；

(2)如果在向附近的左側/'。)<0,右側/'(x)〉0,那么4項)是極小值.

注：如果在即附近的兩側，(x)符號相同，則刈不是函數7U)的極值點.例

如，對于函數/u)=d,我們有/'(x)=3d.雖然/'(0)=0,但由于無論是x〉0,

還是x<0,恒有/'(x)〉0,即函數寅x)=d是單調遞增的，所以*=0不是函數"x)

=/的極值點.一般地，函數y=?x)在一點的導數值為0是函數丁=凡￥)在這點取

極值的必要條件，而非充分條件.

【跟蹤訓練1】求下列函數的極值.

2x

(1的)=《+］—2；

(2阿=日7

解(1)函數的定義域為R.

、2(?+1)-4/2(x-l)(x+l)

fW=(x2+l)2=(x2+l)2-

令/'(x)=0,得x=-1或尤=1.

當X變化時，/(x),犬X)變化情況如下表:

X(—8,—J)-1(-U)1(1,+°°)

fW—0+0—

極小值極大值一

於)

-31

由上表可以看出，

當x=-1時，函數有極小值，且極小值為人-1)=—3；

當x=l時，函數有極大值，且極大值為犬1)=-1.

?0/、(x,2x-eA—x2e'x(2r)

??/=?)2=e'，

令f(x)—0,得x—0或x—2.

當x變化時，/'(尤)，/U)變化情況如下表：

X(—8,0)0(0,2)2(2,+°0)

fU)一0+0—

極小值極大值

麻)

04e-2

由上表可以看出，

當x=0時，函數有極小值，且10)=0；

4

當x=2時，函數有極大值，且式2)=/.

探究2已知函數的極值求參數

例2已知,*%)=/+3以2+為(；+"2在》=—1時有極值0,求常數a,匕的值.

［解］因為/(X)在》=-1時有極值0，

且/'W=3x2+6ax+b.

f'(-1)=0,[3—6a+/?=0,

所以〈即〈,

7(一1)=0,[—1+3。一b~\~a=0,

a=1,a=2,

解得或S當a=1,b=3時,

b=3,b=9.

f(X)=3?+6X+3=3(X+1)2>0,

所以大無)在R上為增函數，無極值，故舍去.

當a=2,b=9時，

f'(x)=3?+12x+9=3(x+1)(x+3).

當xe(—3,—1)時，八x)為減函數;

當(—8,一3］和［-1,+8)時，*》)為增函數.

所以?r)在尤=一1時取得極小值，因此a=2,0=9.

拓展提升

已知函數極值的情況，逆向應用確定函數的解析式，進而研究函數性質時,

注意兩點：

(1)常根據極值點處導數為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數法求解.

(2)因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求

解后還須驗證根的合理性.

【跟蹤訓練2】已知/0)=/+依2+笈+韻.*X)在點x=0處取得極值，并

且在單調區(qū)間［0,2］和［4,5］上具有相反的單調性.

(1)求實數。的值；

(2)求實數a的取值范圍.

解(1)因為/'a)=3d+2奴在點尤=0處取得極值，所以/'(0)=0,

解得6=0.

(2)令/'(x)=0,即3f+2ax=0,

解得x=0或無=—§a.

-2

依題意有一丞(>0.

又函數在單調區(qū)間［0,2］和［4,5］上具有相反的單調性，

2

所以必有2W—gaW4,解得一6WaW—3.

探究3利用極值判斷方程根的個數

例3已知曲線,*x)=-/+3/+9%+。與x軸只有一個交點，求實數a的取

值范圍.

［解］f'(x)=-3?+6x+9.

令/'(尤)=0，解得修=-1,無2=3.

列表：

X(―0°,—1)-1(-1,3)3(3,+8)

/(X)—0+0—

fix)極小值極大值

所以當x=—1時，/U)有極小值/(—l)=a—5；當尤=3時，7U)有極大值13)

=。+27.

畫出大致圖象，要使_/(x)的圖象與x軸只有一個交點，只需極大值小于0(如

圖1)或極小值大于0(如圖2).

所以5>0或。+27<0.解得a>5或a<—21.

故實數a的取值范圍為a>5或a<—27.

拓展提升

(1)研究方程根的問題可以轉化為研究相應函數的圖象問題.一般地，方程7U)

=0的根就是函數7U)的圖象與x軸交點的橫坐標，方程兀r)=g(x)的根就是函數

兀r)與g(?的圖象的交點的橫坐標.

(2)事實上利用導數可以判斷函數的單調性，研究函數的極值情況，并能在此

基礎上畫出函數的大致圖象，從直觀上判斷函數圖象與x軸的交點或兩個函數圖

象的交點的個數，從而為研究方程根的個數問題提供了方便.

【跟蹤訓練3】設函數/U)=d—6X+5,XGR.

(1)求函數4x)的單調區(qū)間和極值；

⑵若關于x的方程義x)=a有三個不同實根，求實數a的取值范圍.

解(l)f(X)=3X2-6,令/(X)=0,解得尤I=—6，尤2=啦.

因為當x>/或x<—正時，f'(x)>0；

當一啦6時，f(x)<0.

所以/U)的單調遞增區(qū)間為(一8,一亞和(巾,+8);單調減區(qū)間為(一&,

當X=一地時，_/（x）有極大值5+4也；當尤=也時，兀冷有極小值5-472.

（2）由（1）的分析知y=/（x）的圖象的大致形狀及走向如右圖所示，

當5—4/<0<5+4&時，直線y=a與y=y（x）的圖象有三個不同交點，即方

程/U）=a有三個不同的解.

（----------------------1踴提升1-----------------------）

1.在極值的定義中，取得極值的點的橫坐標稱為極值點，極值點指的是自變

量的值，極值指的是函數值.

2.函數的極值是函數的局部性質.可導函數人幻在點尤=的處取得極值的充要

條件是/'（M））=0且在x=M）兩側/'（x）符號相反.

3.利用函數的極值可以確定參數的值，解決一些方程的解和圖象的交點問題.

卜隨堂達標自測

1.函數_/（%）=。9+法在x=1處有極值-2,則a,Z?的值分別為（）

A.1,-3B.1,3

C.-1,3D.—1,-3

答案A

解析?"（x）=3一+。，⑴=3a+Z?=0.①

又當x=l時有極值-2,...a+b=-2.②

a=l,

聯立①②解得，.

S=-3.

2.設函數?r）=xe",則（）

A.x=l為犬x）的極大值點

B.x=l為於）的極小值點

C.》=-1為/W的極大值點

D.》=一1為八x）的極小值點

答案D

解析求導得/'（無）=6、+朧”=爐（無+1）,令/'a）=e"（x+l）=O,解得尤=一

1,易知尤=—1是函數y（x）的極小值點.

3.函數.*x)=*3—6f—15尤+2的極大值是,極小值是.

答案10-98

解析f(x)=37-12x-15=3(x-5)(x+l),在(一8,-1),(5,+°°)±

f'(x)>0,在(一1,5)上/'(x)<0,所以/U)極大值=x-1)=10,式幻核小值=<5)=—98.

4.函數y=xe，在其極值點處的切線方程為.

答案尸T

解析由題知y'=e"+無e"令>'=0,解得％=—1,代入函數解析式可得

極值點的坐標為(一1,一J,又極值點處的切線為平行于x軸的直線，故方程為y

e,

5.已知函數?r)=x3—3x+a(a為實數)，若方程.*%)=0有三個不同實根，求

實數。的取值范圍.

解令/'(-X)=3x2—3=3(x+l)(x—1)=0,

解得Xl=—1,%2=1.

當x<一1時，/'(x)>0；

當一1<%<1時，f(x)<0；

當x>l時，/'(x)>0.

所以當％=—1時，7U)有極大值五—l)=2+a；

當x=l時，段)有極小值丹1)=一2+以

因為方程?r)=0有三個不同實根，

所以y=/U)的圖象與x軸有三個交點，如圖.

所以極大值2+a>0,極小值-2+aVO,

解得一2VaV2,故實數a的取值范圍是(一2,2).

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一'選擇題

1.已知函數,*x)=a?+"2+c,其導函數圖象如圖所示，則函數人元)的極小

值是()

Ax

A.〃+〃+c

B.8a+4/?+c

C.3a+2b

D.c

答案D

解析由圖象可以看出，當XW(—8,0)時，/(x)<0,函數凡r)單調遞減；

當x@(0,2)時,f'(x)>0,函數貝x)單調遞增；當xW(2,+8)時，f(%)<0,函

數凡r)單調遞減.所以x=0時，函數取得極小值，/(0)=c.

2.函數負》)=*3—3/—%:(—2〃<2)有()

A.極大值為5,極小值為一27

B.極大值為5,極小值為一11

C.極大值為5,無極小值

D.極大值為一27,無極小值

答案C

解析f'(x)=3JC2—6x—9=3(x+l)(x—3).

令/'(x)=0,得修=-1,忿=3(舍去).

當一2〈尤<一1時，f(x)>0；當一1<%<2時，f(x)<0,

故當X=—1時，/(x)有極大值，./(x)極大僅=大-1)=5,無極小值.

3.設函數>=段)在R上可導，則/'(xo)=0是y=於)在x=x()處取得極值的

充分不必要條件必要不充分條件

充要條件既不充分也不必要條件

答案B

解析以/u)=d為例,｛工)=/在尤=0處導數為0,但不取得極值.故/(即)

=0是y=?x)在x=xo處取得極值的必要不充分條件.

4.若函數?r)=2x3—9J?+12X—a恰好有兩個不同的零點，則?？赡艿闹禐?/p>

()

A.4B.6C.7D.8

答案A

解析由題意得了'（》）=6*2-18x+12=6（x—l）（x—2）,由/'（x）>0得x<l或

x>2,由/'（x）<0得l<x<2,所以函數人x）在（一8,i）,（2,+8）上單調遞增，在

（1,2）上單調遞減，從而可知_/U）的極大值和極小值分別為11）,負2）,若欲使函數

式幻恰好有兩個不同的零點，則需使yu）=o或y（2）=o,解得。=5或。=4,而選

項中只給出了4.故選A.

5.設adR,若函數y=e、+ax（xeR）有大于零的極值點，則（）

A.a<—1B.a>-1

答案A

解析力=3+以，

'.y'=e*+a,令y'=e*+a=O,則e*=—a.

即x=ln（—a）,X'.'x>0,—a>l,即a<—1.

二'填空題

6.函數_/（x）=$3—3x—1的圖象與x軸的交點個數是.

答案3

解析。）=九2—2%一3=（尤+1）（無一3）,函數在（一8,—1）和（3,十8）上是

2

增函數，在（一1,3）上是減函數，由兀￥）板小值=*3）=-10<0,火x）梃大值=八-1）=亍>0

知函數/U）的圖象與x軸的交點個數為3.

2

7.函數_Ax）=1+lnx的極小值為.

答案l+ln2

221x~2

解析由於)=1+lnx知，f(x)=—p+-=-^2-,令/'(x)=0,得x=2.

X,(x),於)取值情況如下表:

X(0,2)2(2,+°0)

—0+

於）l+ln2

?\/U）極小徑=A2）=l+ln2.

8.如果函數y=/（x）的導函數的圖象如圖所示，給出下列判斷:

①函數y=/(x)在區(qū)間

(—3,一內單調遞增；

②函數y=?r)在區(qū)間

(T3)內單調遞減；

③函數y=/W在區(qū)間(4,5)內單調遞增；

④當x=2時，函數y=?r)有極小值；

⑤當尤=—3時，函數y=/a)有極大值.

其中正確的結論為.

答案③

解析由導函數的圖象知：

當(—8,一2)時,f(x)<0,.*X)單調遞減；

當％￡(—2,2)時,f(x)>0,/)單調遞增；

當x￡(2,4)時，f(x)<0,/)單調遞減；

當x￡(4,+8)時，f(x)>0,/)單調遞增;

在x=—2時，/U)取極小值；

在x=2時，/U)取極大值；

在x=4時，式x)取極小值.

所以只有③正確.

三'解答題

9.已知函數y=ar'+/?x2,當％=1時，有極大值3.

(1)求實數。，人的值；

(2)求函數y的極小值.

解⑴y'=3ax'+2bx.

=

川)=3，a+b=3,。，解得a-6,

由題意，知，即<L+2Q1

f(1)=0,，=9.

(2)由(1),知y=—6i+9小.

所以y'=-18x?+18%=-18x(x—1).

令y'=0,解得修=1,》2=0.

所以當x<0時，y'<0；當0令<1時，y'>0；

當x>l時，y'<0.

所以當x=0時，y有極小值，其極小值為0.

10.已知aWR,討論函數,/(x)=e*(x2+ax+a+1)的極值點的個數.

解f(x)=ev(x2+ax+a+1)+eA(2x+a)

=e'[x2+(a+2)x+(2a+1)].

令/'(x)=O所以f+(a+2)x+2a+1=0冰

①當J=(a+2)2—4(2a+l)=a2—4a>0,

即。<0或a>4時，設※有兩個不同的根為，x2,不妨設xi<X2,

x

所以/'(x)=e(x—xi)(x—x2).

，

X(一8，X|)X1（Xi，X2）X23+0°)

fW+0