遼河油田第一2022年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.橢圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略

不計(jì))，在玻璃杯傾斜的過(guò)程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()

JT3

2.在直角AABC中，NC=E，AB=4,AC=2,若=則函.函=()

A.-18B.-673C.18D.60

3.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖，個(gè)位

數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則%+丁=()

用C

$B?

82工fl2y9

769I37

A.170B.10C.172D.12

4.設(shè)。,瓦尸分別為AA8C的三邊BCCA,AB的中點(diǎn)，則麗+%=()

uua

A.-ADB?ADC.BCD.-BC

22

24-loJg.1x,—Q<x<\

5.已知函數(shù)/(x)=<2"，若/(a)=/S)(a<。)，則曲的最小值為()

2\l<x<2

參考數(shù)據(jù)：In2?0.69,In22?0.48

1R垃D,包

A.-B.----C.log2V3

242

6.把函數(shù)/（%）=45?》-奈卜"0）的圖象向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)

g（x-，〃）（〃，>（））是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃?的最小值是（）

571g54八兀.冗

A.—B.—C.-D.—

126612

7.若（l+ax）（l+x）5的展開(kāi)式中產(chǎn),》3的系數(shù)之和為一]0,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.—3

22

8.己知雙曲線C:「-A=l（a>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸，若雙曲線。的一條漸近線的傾斜角為且點(diǎn)尸到該漸近線

arb~3

的距離為G，則雙曲線C的實(shí)軸的長(zhǎng)為

8行

9.過(guò)圓Y+y2=4外一點(diǎn)M（4,-1）引圓的兩條切線，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x—y+4=0

10.數(shù)列｛a“｝滿足a“+a“+2=2a“+|（〃eN*）,且4+4+/=9,4=8,貝!|為=（）

11.已知直線4：x=my（加。（））與拋物線C：y2=4x交于o（坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，直線心％=/取+加與拋

物線。交于3,。兩點(diǎn).若|8。|=3|。4],則實(shí)數(shù)加的值為（）

1111

A.—B?—C?一D.一

4538

12.五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五

類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素，則2

類元素相生的概率為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.平面向量方=(1,2),5=(4,2),c=ma+b(〃?eR)，且^與方的夾角等于乙與石的夾角，貝！1a=—.

14.經(jīng)過(guò)橢圓與+>2=1中心的直線與橢圓相交于加、N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在第一象限)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為

點(diǎn)E.設(shè)直線NE與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P.則cosZNMP的值是.

15.在平面五邊形A3CZJE中，ZA=60°,AB=AE=6y/3,BC1CD,且BC=￡>E=6.將五邊形A8CDE沿對(duì)

角線仍折起，使平面4m與平面BCDE所成的二面角為120。，則沿對(duì)角線仍折起后所得幾何體的外接球的表面積

是.

16.如圖，為測(cè)量出高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得用點(diǎn)的仰角NMAN=6()°,C

點(diǎn)的仰角NC48=45°以及月C=75°;從C點(diǎn)測(cè)得N"C4=60°.已知山高3c=1()0/九，則山高

MN=m.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓r:J+/=13>6>0)過(guò)點(diǎn)(加,乎)，設(shè)橢圓r的上頂點(diǎn)為B,右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A,產(chǎn)，

571

J@LZAFB=—.

6

(1)求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線/：)，=丘+交橢圓「于P,。兩點(diǎn)，設(shè)直線8P與直線8。的斜率分別為原.，kBQ,若

%"+即°=T,試判斷直線/是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

/、fx=Jicos。

18.(12分)過(guò)點(diǎn)P(—1,0)作傾斜角為a的直線與曲線廣(。為參數(shù))相交于〃、N兩點(diǎn).

y=V2sin0

(1)寫(xiě)出曲線C的一般方程；

(2)求|加上仍川的最小值.

19.(12分)已知a>0,b>。,函數(shù)/(x)=k+a|+|2x-Z?|的最小值為1.

(1)證明：2a+h=2.

(2)若。+2/?之口"恒成立，求實(shí)數(shù)f的最大值.

20.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)的新生開(kāi)始，不分文理科；2020年開(kāi)始，高

考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外3門(mén)統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門(mén)選考科目構(gòu)成.將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為

A、B+、B、C+、C、。+、D、E共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、

16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依

照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到［91,100］、［81,90］、［71,80］,［61,70］,［51,60］,［41,50］,［31,40］、［21,30］八個(gè)

分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)

試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布N(60,169).

(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(47,86)的人數(shù)；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間［61,80］的人數(shù)，求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

(附：若隨機(jī)變量4?N(〃,b2),則P(〃—b<q<〃+b)=0.682,P(〃—2b<《<〃+2b)=0.954,

P(R-3b<〃+3cr)=0.997)

21.(12分)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。中，E是AO的中點(diǎn)，尸是CO的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形。瓦'沿瓦翻

折成如圖2所示的五棱錐P-ABCFE.

(1)求證：AC〃平面尸￡尸；

(2)若平面PEb,平面ABCFE,求直線PB與平面Q4E所成角的正弦值.

22.(10分)設(shè)數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和S,=—3〃2,又也｝單調(diào)遞增的等比數(shù)列，結(jié)2^=512,q+4=%+4.

(1)求數(shù)列｛為｝,｛，｝的通項(xiàng)公式；

h2

(11)若?！?e_2沁-1)'求數(shù)列｛%｝的前11項(xiàng)和并求證：

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定

此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為）12?+6?=&、萬(wàn)，短軸長(zhǎng)為6,

'2^5

所以ee0,---.

I5.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了楣圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

Ar1

在直角三角形ABC中，求得=—上=一,再由向量的加減運(yùn)算，運(yùn)用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量

AB2

積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值.

JT

在直角AABC中，NC=—,A8=4,AC=2,,

2

AC1

cos/CAB-——9

AB2

___3___

若4方與，則①?而=（而一女）（通一近）=而?而一而京一蔗?福+而2

3—23—————2351

=-AB--ABAC-ACAB+AC=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

3.D

【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

【詳解】

由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為80+x=86,故尤=6；

78+82+80+y+89+91+93+97

乙的平均數(shù)為=88

7

解得y=6,所以x+y=12.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.

4.B

【解析】

根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形，根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示：

1——1——

=—AB+—4C=AD

22

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

首先/(x)的單調(diào)性，由此判斷出由/⑷=/S)求得a,。的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得log?必的最小值，由

l<b<2

此求得a匕的最小值.

【詳解】

2+log,x,-<x<\,、r1A

由于函數(shù)/(x)=J58,所以/(x)在g,l上遞減，在［1,2］上遞增.由于/(a)=/S)(a<0),

2\l<x<2L,

/R］=2+log，=5,〃2)=22=4,令2+log］尤=4,解得》=1,所以.且2+log〃=2",化簡(jiǎn)

2

⑻/241</,<2

bh

得log2a=2-2,所以log?ab=log2a+log2b=2-2+log2b,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2-2"+log2x(l<x<2),

11—r2'11?2

g(x)=—2'ln2+.構(gòu)造函數(shù)〃(x)=l-x?2*-ln22(l<xK2),

xln2xln2

/z(x)=-(l+xln2)-2A-ln22<0,所以〃(x)在區(qū)間(1,2］上遞減，而〃⑴=l-21n22al-2x0.48=0.04〉。，

/i(2)=l-81n22?1-8x0.48=-2.84<0,所以存在尤o?l,2),使〃(%)=0.所以g(x)在(1,飛)上大于零，在

(知2)上小于零.所以g(x)在區(qū)間(1,%)上遞增，在區(qū)間(如2)上遞減.而g⑴=0,g(2)=2-22+log22=-l,所

以g(x)在區(qū)間0,2］上的最小值為—1,也即log?她的最小值為-1,所以時(shí)的最小值為2T=上

乙

故選：A

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

6.A

【解析】

先求出g（x）的解析式，再求出（加>0）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性可求實(shí)數(shù)加滿足的等式，從

而可求其最小值.

【詳解】

/'(X)-Asin12x-^（A豐0）的圖象向右平移四個(gè)單位長(zhǎng)度,

4

（冗冗、Asinf2x-—Y

所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g（x）=Asin2x----

\267I3)

(2萬(wàn)、

故=Asin2x-2m----.

\37

令2x—26----=kjrH—%￡Z,解得x=ITL-\-----1---9keZ.

329122

因?yàn)閥=g（X-m）為偶函數(shù)，故直線X=o為其圖象的對(duì)稱軸,

令團(tuán)+導(dǎo)券=0,SZ,故,“=W,1,

5萬(wàn)

因?yàn)閙>0,故％<—2,當(dāng)人=一2時(shí)，〃%1in=—

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，注意平移變換是對(duì)自變量X做加減，比如把y=/(2x)的圖

象向右平移1個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=/[2(x-l)]=/(2x-2),另外，如果X=m為正弦型函數(shù)

〃x)=Asin3x+e)圖象的對(duì)稱軸，則有八m)=±A,本題屬于中檔題.

【解析】

由(1+^)(1+%)5=(1+%)5+公(1+x)5,進(jìn)而分別求出展開(kāi)式中A-2的系數(shù)及展開(kāi)式中x3的系數(shù)，令二者之和等于

-10,可求出實(shí)數(shù)〃的值.

【詳解】

由(1+0x)(1+x)5=(1+x)5+0x(1+x)5,

23

則展開(kāi)式中x的系數(shù)為c；+?C5'=10+5a,展開(kāi)式中X的系數(shù)為c；+aC^=10+10a,

二者的系數(shù)之和為(10+5a)+(10a+10)=15a+20=—10,得。=一2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

雙曲線C的漸近線方程為丫=±2%,由題可知2=tan工=6.

aa3

|辰|

設(shè)點(diǎn)F(C,0),則點(diǎn)f到直線y=?的距離為=6解得。=2,

J(后+(-1)2

所以02=〃+加=4+3/=442=4,解得4=1,所以雙曲線C的實(shí)軸的長(zhǎng)為2。=2,故選B.

9.A

【解析】

過(guò)圓x2+y2=r2外一點(diǎn)(m,n),

引圓的兩條切線，貝!J經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為加1+期-尸=0,故選A.

10.A

【解析】

先由題意可得數(shù)列伍“｝為等差數(shù)列，再根據(jù)4+g+/=9,%=8,可求出公差，即可求出生.

【詳解】

數(shù)列｛an]滿足4+*=2%(〃￡”),則數(shù)列｛an]為等差數(shù)列，

???4+/+/=9,%=8,

/.3q+3d=9,q+3d=8,

d=—,

2

,521

4=勾+d=o8+—=——,

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

設(shè)8(%,必)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去X、列出韋達(dá)定理，再由直線％=陽(yáng)與拋物線的交點(diǎn)求出A

點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)得到方程，即可求出參數(shù)的值；

【詳解】

解：設(shè)3(M，y),。仇,%)，由＜2/，得y-4/2-4m=0,

[y=4x

2

VA=16m+16m＞0，解得加＜一1或加＞0,%=4m，y,y2=-4m.

[x=my_/x

又由，2—4，Wy-4my=0,...〉=()或y=4根，9,

'：\BD\=3\OA\,

22

二(l+m)(^1-y2)"=9(16m4+16機(jī)),

又：(x—%)2=(y+%y_4yly2=16m2+16加，

???代入解得/〃=).

8

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.A

【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種，其中2類元素相生的結(jié)果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式

可得結(jié)果.

【詳解】

金、木、水、火、土任取兩類，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，

其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，

所以2類元素相生的概率為2=,，故選A.

102

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；（2）樹(shù)狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出：先（A，g）,（4,鳥(niǎo)）….（4,紇），

再（人,即,（4也）.....（4,耳）依次（4,⑷⑷,紇）…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

試題分析：c=mJ+^=m（l,2）+（4,2）=（m+4,2m+2）,不與。的夾角等于^與5的夾角，所以

a-cb-c7/z+4+4m+44m+16+4m+4

nr=I_i?./=2

同同W向小V20

考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量夾角

14.0

【解析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)/由,%）,則N（—x。，—%）、石（％,0），設(shè)點(diǎn)P（%,y），利用點(diǎn)差法得出利用斜

率公式得出進(jìn)而可得出女MMMP=T，可得出MN，MP,由此可求得cosNWP的值.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)>0,%>0）,則、E（/,0）,設(shè)點(diǎn)P（玉，x）,

y2.

,十X）一

則:,兩式相減得五二三+（才—%）=0,即華為=一1，

X,22"'%一片2

—+V.=

即%%=0??=44=4，

%,-x0%+/0xx-x02

由斜率公式得％=&￡=*=3?=5L，?..4=L%NP=L,K%N]=9MNL，?.?爆v%=T，故

乙"o乙"0乙，IZ，，

MN1MP,

因此，cosZ.NMP=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

15.252〃

【解析】

設(shè)AABE的中心為。-矩形BCDE的中心為。2,過(guò)。作垂直于平面ABE的直線4,過(guò)。?作垂直于平面BCDE的

直線4,得到直線4與/?的交點(diǎn)。為幾何體43CDE外接球的球心，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公

式，即可求解.

【詳解】

設(shè)AA5E的中心為。?,矩形BCDE的中心為02,

過(guò)0｝作垂直于平面ABE的直線4,過(guò)。2作垂直于平面BCDE的直線/,,

則由球的性質(zhì)可知，直線《與4的交點(diǎn)。為幾何體A6CDE外接球的球心,

取BE的中點(diǎn)E,連接。|P，02F,

由條件得。尸=。2/=3,ZO,FO2=120°,連接。尸，

因?yàn)椤鱋FQ三\OFO2,從而00、=373,

連接。4,則Q4為所得幾何體外接球的半徑，

12

在直角AAOQ中，由QA=6,OO[=373,0A=00;+0}A=27+36=63,

即外接球的半徑為R=OA=底,

故所得幾何體外接球的表面積為S=4兀R2=252萬(wàn).

故答案為：252〃.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及多面體的外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特

征，求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔試題.

16.1

【解析】

試題分析：在A/WC中，?.?/84。=45。,/48。=90。,8。=100,;.4。=-^-=100底，在AAMC中，

sin45°

vZMAC=75°,ZMCA=60°,/.ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即AM=100^,解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

得AM=100百，在放44M/V中，MN=AM-sinZMAN=100>/3xsin60°

=150(m).

故答案為L(zhǎng)

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

r2

17.(1)—+/=1(2)直線/過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1).

4

【解析】

621

(1)因?yàn)闄E圓「過(guò)點(diǎn)(0,拳)，所以/+壽=1①，

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)橐?用=學(xué)，所以=又|8尸|=^/?壽=〃，所以人=』。②,

662

a=2Y2

將①②聯(lián)立解得，,(負(fù)值舍去)，所以橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+V=1.

b=\4'

⑵由⑴可知8(0,1),設(shè)P(X1,yJ,。(馬,/2).

V,

將〉=京+〃代入一+y2=1,消去)，可得(l+4-)f+8切X+4/_4=0,

4

則/=(8%)2-4(1+必2)(4〃2-4)=16(必2-〃2+1)>0,西+%=一-"X電=4〃二,

1+4K\+4k2

y-1?y-1x，kxi+〃)一/+x(kx+n)-x2kxix2-1)(石+x)

所以卜祝+kpQ--1----+2--------------------------x-----2------------x—112

中2

~~8kn

+(〃-1)?

1+4-1+4公8%(〃-1)

4〃2-44(〃+1)(〃-1)n+1

1+4〃

所以〃=—2A—1,此時(shí)4=16[4公-(-2%-1)2+1]=-64左>0,所以k<0,

此時(shí)直線/的方程為y=kx-2k-l,即y=%(x-2)-l,

令x=2,可得.丫=一1,所以直線/過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1).

224

18.(1)一r+2-=1；(2)

323

【解析】

(1)將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；

22

(2)寫(xiě)出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程工+二=1,并將其化為一個(gè)關(guān)于，的一元二次方程，根

32

據(jù)伊河卜|產(chǎn)川=,「修，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出|PMHPN|的最小值.

【詳解】

x=\J3cos0

(1)由曲線C的參數(shù)方程「(。是參數(shù))，

y=y/2sin0

2222

可得工+匕=cos2e+sin2e=l,即曲線C的一般方程為工+二=1.

3232

x=-1+/?cosa

(2)直線MN的參數(shù)方程為^。為參數(shù))，

y=t-sma

22

將直線MN的參數(shù)方程代入曲線土+匕=1,

32

得2(-l+fcosa)~+3(/sina『=6,整理得(3-cos%)?r-4cosai-4=0,

設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為4，t2,則1PMM=a4.,

當(dāng)cosc=0時(shí)，歸例卜|「'|取得最小值為g.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)

單題目.

9

19.(1)2；(2)-

2

【解析】

分析：(1)將/(%)=|%+。|+|2%-。|轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值

(2)分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可.

詳解：(I)證明：2

2

-3%—Q+〃,X<—Q

b

~x+a+4—a<x<］，顯然f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

2

..h

3x+a一仇犬〉一

2

b=。+"1=1,即2a+b=2.

所以/(x)的最小值為了

.1

(n)因?yàn)椤?力2sb恒成立，所以幺丁之，恒成立,

ab

a+2〃121

----2—I———

abba2

7n+?hQ

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=；時(shí)，幺f取得最小值;，

3ab2

99

所以即實(shí)數(shù)，的最大值為7.

22

點(diǎn)睛：本題主要考查含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問(wèn)恒成立問(wèn)題分離參數(shù)，利用基本不等式求解

很關(guān)鍵，屬于中檔題.

20.（I）1636人；（II）見(jiàn)解析.

【解析】

（I）根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可將區(qū)間（47,86）分為（47,60）和（60,86）兩種情況，然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出

成績(jī)?cè)趨^(qū)間（47,86）內(nèi)的概率，進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù)；（H）由題意得成績(jī)?cè)趨^(qū)間［61,80］的概率為w，且

X~8（3,|1,由此可得X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

（I）因?yàn)槲锢碓汲煽?jī)J?N（6O,132）,

所以P（47<專<86）=P（47<J<60）+P（60V。<86）

=1P（60-13<^<60+13）+1P（60-2X13<^<60+2x13）

0.6820.954

=-------+--------

22

=0.818.

所以物理原始成績(jī)?cè)冢?7,86）的人數(shù)為2000x0.818=1636（人）.

2

（H）由題意得，隨機(jī)抽取1人，其成績(jī)?cè)趨^(qū)間［61,80］內(nèi)的概率為二.

所以隨機(jī)抽取三人，則X的所有可能取值為0,1,2,3,且X~,

所以P（X=0）=

P（X=2）=C；.

5125

（2丫8

尸(X=3)=

$125

所以X的分布列為

X0123

2754368

P

Y25125125125

所以數(shù)學(xué)期望E（X）=3x|=1.

【點(diǎn)睛】

（D解答第一問(wèn)的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間，再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解，解題時(shí)

注意結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性.

（2）解答第二問(wèn)的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大

時(shí)，抽樣可認(rèn)為是等可能的，進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.

21.（