第三章：函數(shù)的概念與性質重點題型復習-【題型分類歸納】2022-2023學年高一數(shù)學上學期同步講與練(人教A版2019必修第一冊)（解析版）

第三章：函數(shù)的概念與性質重點題型復習

重點題型

'至題型精析

題型一函數(shù)的概念辨析

［例1］下列關于函數(shù)與區(qū)間的說法正確的是（）

A.函數(shù)定義域必不是空集，但值域可以是空集

B.函數(shù)定義域和值域確定后，其對應法則也就確定了

C.數(shù)集都能用區(qū)間表示

D.函數(shù)中一個函數(shù)值可以有多個自變量值與之對應

【答案】D

【解析】對于A,函數(shù)的定義域和值域均為非空數(shù)集，A錯誤；

對于B,若函數(shù)的定義域和值域均為R,

對應法則可以是',也可以是,B錯誤；

對于C,自然數(shù)集無法用區(qū)間表示，C錯誤；

對于D,由函數(shù)定義可知，一個函數(shù)值可以有多個自變量值與之對應,

D正確.

【變式MJ下列對應關系或關系式中是從A到B的函數(shù)的是（）

A.AcR,BqR,x2+y2=1

B.A={-1,0,1},5={1,2},=N+l

C.A=R,8=R,/：x^y=—!—

X—2

D.A=Z,B=Z,F：x7y=，2x-l

【答案】B

【解析】對于A,M+y2=i可化為y=±7f,

顯然對任意xeA（x=±l除外），y值不唯一，故不符合函數(shù)的定義；

對于B,符合函數(shù)的定義；

對于C,當x=2時，對應關系無意義，故不符合函數(shù)的定義；

對于D,當*為非正整數(shù)時，對應關系無意義，故不符合函數(shù)的定義.

故選：B

【變式1-2】已知集合人={0,1,2},8={-1,1,3},下列對應關系中，從A到B的函

數(shù)為（）

AJ：xfy=xB./：Xfy=fC./：x—y=2xD./：

x—>y=2x—1

【答案】D

【解析】對A:當x=0,l,2時，對應的丫=犬為0,1,2,所以選項A不能構成函數(shù)；

對B：當x=0,l,2時，對應的y=x?為0,1,4,所以選項8不能構成函數(shù)；

對C：當x=0,1,2時，對應的y=2x為0,2,4,所以選項C不能構成函數(shù)；

對。:當x=0,l,2時，對應的尸2》-1為-1,1,3，所以選項。能構成函數(shù)；

故選：D.

【變式1-3］如圖所示,下列對應法則，其中是函數(shù)的個數(shù)為（）

②③④⑤⑥

B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】①②③這三個圖所示的對應法則都符合函數(shù)的定義,

即A中每一個元素在對應法則下，在B中都有唯一的元素與之對應，

對于④⑤/的每一個元素在B中有2個元素與之對應，，不是A到B的

函數(shù)，

對于⑥，A中的元素出、“4在8中沒有元素與之對應，，不是A至Ijb的

函數(shù)，

綜上可知，是函數(shù)的個數(shù)為3.故選：A.

【變式1-4］下列關系中是函數(shù)關系的是()

A.等邊三角形的邊長和周長關系B.電腦的銷售額和利潤的關系

C.玉米的產(chǎn)量和施肥量的關系D.日光燈的產(chǎn)量和單位生產(chǎn)成本

關系

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)關系的定義可得，

選項A中，當?shù)冗吶切蔚倪呴L取一定的值時，周長有唯一且確定的

值與其對應，

所以等邊三角形的邊長和周長符合函數(shù)關系；

其他選項中，兩個量之間沒有明確的對應關系，所以不是函數(shù)關系故選：

A

【變式1-5］若函數(shù)y=f(x)的定義域”=3-22。2},值域為N={y|0?”2},

則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是()

【答案】B

【解析】A中定義域是⑶-2g0},不是M={x|-2人2},故錯誤；

C中圖象不表示函數(shù)關系，因為存在一個x對應兩個V,不滿足函數(shù)定

義；

D中值域不是N={y［(區(qū)爛2}.

只有B中的定義域和值域滿足題意，且表示函數(shù)關系，符合題意.故選：

題型二判斷是否為同一個函數(shù)

［例2］下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=￥"(x)=x+lB./(x)=G*,g(x)=(?「

C./(x)=|乩g(x)=V?D.f(x)=Jx+l?Jx-l,g(x)=-1

【答案】C

【解析】A.函數(shù)=的定義域為{xlx/1},g(x)=x+l的定義域為R,故

不是同一函數(shù)；

B.”耳=在的定義域為R,8(必=(4『的定義域為2,+<?)，故不是同

一函數(shù)；

c.不)=|琲g(x)=V7=w的定義域都是R,且解析式相同故是同一函數(shù)；

D./(x)=G-Q的定義域為任以訓，1的定義域為

{x|x2l或X4-1},

故不是同一函數(shù)，故選：C

【變式2-1］下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.〃x)=x。，g(x)=2B./(x)=^—,g(x)=x+l

C./(%)=>/7^Tx/7+T,g(x)=_］D./(x)=x,g(x)=(4『

【答案】A

【解析】A中，〃x)=x°,g(x)=；定義域都為{xIxxO},

對應關系以及值域相同，故為同一函數(shù)；

B中，=,定義域為,g(x)=x+l定義域為R,故不是

X-1

同一函數(shù)；

C中，=，定義域為{X|X21},g(x)=ET定義域為3x21

或XW-I},

故不是同一函數(shù)；

D中，〃x)=x，定義域為R,8(力=(五『定義域為國》20},故不是同

一函數(shù)；

故選：A

【變式2-2］下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

A.f(x)=x.g(x)=(x+l)2B./。)=0與8。)=*^^

C./(x)J與g(x)=4D.f(x)=向3?仄與與g(x)=岳三

XX

【答案】C

【解析】對于A,7(x)=x2,g(x)=(x+l)2,對應關系不同，即不是同一函數(shù)，

故A不正確；

對于B，/⑴二匚/二-4/耳定義域為㈠0，。］,g(x)=x>/二=定義域為(-8,0］,

定義域相同，對應關系不同，函數(shù)不是同一函數(shù)，故B不正確；

對于C,=f=1,定義域為(f0)U(0,+oo),g(x)$=l,定義域為

(-oo,0)U(0,+oo),

定義域、對應關系相同，故為同一函數(shù)，故C正確;

對于D,/。)=?7^.&與定義域為［3,+<?),g(x)=J/-9定義域為

(f-3］q［3，+8),

定義域不同，函數(shù)不是同一函數(shù)，故D不正確；故選：C

【變式2-3］下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

A.y=4^與"了B.y=±與y=x

r+1X

C.y=￥與y=lD.y=J(x-l)2與.V=x-1

【答案】A

【解析】對于A,y=*=x的定義域為R,V=x的定義域為R,

X+1

則兩個函數(shù)的定義域和對應關系都相同，是同一函數(shù)；

對于B,y=J=x的定義域為{x|xx。},丁=》的定義域為R,

則兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

對于c,尸斗的定義域為{小工0},的定義域為R,

則兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

對于D,y=J(x-1)2小-1|和y=x-l的對應關系不同,故不是同一函數(shù).

故選：A.

題型三求函數(shù)的定義域

【例3】函數(shù)“力二反二+3的定義域為()

72

A.{x|x>§且xwl}B.{x|x<］或x>D

22

C.{x|-<x<l}D.{x|xN§且"1}

【答案】D

f3x—2>()o

【解析】由題得*_］為且X".

2

所以函數(shù)的定義域為3x2；且XH1}故選：D

【變式3-1】函數(shù)），=蔣M+（2x-l）”的定義域為（）

5/3-%

A.FTB.忤+8）c.EM別

>.（，（H別

【答案】c

【解析】要使函數(shù)丫=富+（2、-1）'>有意義，

則有]:::，解得》<3且"；，

[NX-1聲U乙

所以其定義域為（7，；卜仁，3）.故選：C.

【變式3-2】已知函數(shù)〃x+l）的定義域為U，2],則/（-2x+3）的定義域為（）

A.[1,21B.[0i]C.[-U1D.[pl]

【答案】B

【解析】因為函數(shù)/（x+l）的定義域為U，2],

所以1MXW2,貝！J24X+1W3,

所以24-2X+343,解得，

所以八-2x+3）的定義域為[0,g],故選：B

【變式3-3]已知函數(shù).v=/（x）的定義域為1-2,3],則函數(shù)了=*』的定義域為

x+1

A.[--3]C.[-3,7]

D.[-3,T)5T,7]

【答案】B

【解析】由題意得：-2<2x+l<3,解得：V<x<l,

由x+lwO,解得：x^-l,

故函數(shù)的定義域是卜,故選：B.

【變式3-4】函數(shù)八）=而五71的定義域為??則實數(shù)〃?的取值范圍是；）

A.（0,1）B.（-oo,-1]C.[1,+oo）D.（…，

-1）

【答案】B

【解析】〃龍）的定義域是R,則-萩-2X+1Z0恒成立，

即〃蘇+2X-140頡立,則優(yōu);，解得〃叱！

所以實數(shù)，”的取值范圍為（—].故選：B.

2r-3

【變式3-5]若函數(shù)/"）=/,?的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍是

7ax4-ax+l

【答案】。4）

【解析】/（X）的定義域是R,則加+以+1>0恒成立，

4=0時，加+辦+]=1>0恒成立，

"0時，則4a<0,解得。<"4,

綜上,0<a<4.

故答案為:[0，4）.

題型四求函數(shù)的解析式

【例4】已知函數(shù)“X）是一次函數(shù)，且/[/⑺-旬=5恒成立，則/（2）=（）

A.1B.3C.7D.9

【答案】D

【解析】因為函數(shù)“X）是一次函數(shù)，且.f[f（x）-4x]=5恒成立，

令/(x)-4x=f,蛆]"r)=4x+/,

所以/?)=4，+r=5,解得f=l,

所以/@)=4x+l,/⑵=2x4+l=9,故選：D

【變式4-1】已知二次函數(shù)〃x)滿足〃2x+l)=4x2-6x+5,求〃x)的解析式；

【答案】f(x)=x2—5x+9

【解析】設二次函數(shù)/(x)=a^+bx+c(a，O),

貝f(2x+l)=a(2x+l)2+8(2x+l)+c

=4加+(4a+2Z?)x+(a+b+c)=4%2-6X+5F

故4々=4,4〃+28=-6,a+Z?+c=5,解彳導a=l,b=—5,c=9,

故/(x)=f-5x+9.

【變式4-2]若函數(shù)/[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+l,則/(力等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3x

【答案】D

【解析】令g(x)=2x+l=J則x=-

.-./(Z)=6x^+3=3r,即〃x)=3x故選:D.

【變式4-3】設函數(shù)/(l+』=2x+l,則的表達式為()

A.一)B.苦(用)C.E(x.)

D.音(…)

【答案】B

【解析】令"1+4個1),則可得x=/7a?1)

所以")=義+1=/訓，所以"Ng)，故選：B

【變式4-4］若對任意實數(shù)x,均有/(x)-2/(r)=9x+2,求/(x).

【答案】3x-2.

【解析】利用方程組法求解即可；

/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

.\/(-x)-2/(x)=9(-x)+2(2)

由⑴+2x(2)得-3/(x)=-9x+6,

/(x)=3x-2(xe/?).

故答案為：3x-2.

【變式4-5】設函數(shù)“X)是R-R的函數(shù)，滿足對一切xeR,都有

/(x)+V(2-x)=2,貝！J/(x)的解析式為〃x)=.

【答案】1一產(chǎn)1

l,x=1

【解析】由/(x)+V(2-x)=2，得“2-x)+(2-x)"x)=2,

將/(x)和“2-X)看成兩個未知數(shù),可解得了(x)=F(*l),

1-X

當x=l時，〃2-1)+(2-1)〃1)=2,解得/(1)=1,

綜上,/(x)=jl-x,'

1=1.

.2-,xw1

故答案為：,1-工.

l,x=l

題型五定義法證明函數(shù)的單調性

【例5】已知函數(shù)/(力=底，判斷并證明“力在區(qū)間［-2,2］上的單調性.

X+o

【答案】單調遞增，證明見解析

【解析】/(X)在區(qū)間［-2,2］上單調遞增，理由如下：

任取4,&e［-2,2］,且占，

X|-1x?-1_（3-1乂x；+8）-（々-1乂x；+8）_（a-々）（3+*2+8-占々）

/（Xl）-/（^2）=

x；+8x；+8（x；+8）（x；+8）（X；+8）（X；+8）

因為-24%＜々42,

所以…＜。，-4＜%1+%2＜4,-4＜x1x2＜4,

所以玉+七一玉工2＞-8

所以不4-x24-8-x1x2＞0,

所以“百）-〃可＜0,即/（%）＜“吃），

所以函數(shù)“X）在區(qū)間［-2,2］上單調遞增.

【變式5-1】已知函數(shù)小）=4口，試判斷“X）在區(qū)間J收）上的單調性，并證

明你的結論.

【答案】增函數(shù)，證明見解析

【解析】“X）在區(qū)間［1收）上是增函數(shù).證明如下：

設",天41,田），且不＜當，

則/⑷-/（%）=67i-直二I“一々

-1+J%2""I'

因為w［i,+oo）,所以再,北二INO,

又4＜三，所以占-々＜。，且6^與嘉二i不可能同時為0,

所以g+Qi＞o,故〃3）-/仇）＜0,

故“X）在區(qū)間口，內）上是增函數(shù).

【變式5-2】證明：函數(shù)〃x）=2d」在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù).

X

【答案】證明見解析.

【解析】設為，々￡（0，+8）,且不＜%,

而/（X）-f（x2）=（2%：--一=（2x：-2石）+；—-

=2（X）-%2）儲+中2+%2）+~~~~

|大|3-X?＜X；+%/+芍＞0,---＞0，則（西-W+Xj%2+考）--<-0-

卒2.

所以/6）-/（々）＜0,即/（芭）＜/。2）,

所以函數(shù)fM=2/」在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù).

X

【變式5-3］已知函數(shù)“X）對任意的。，都有/（。+匕）=〃。）+/。）-1,且

當x＞0時，”力1,判斷并證明了（力的單調性；

【答案】函數(shù)〃x）在R上為增函數(shù)；（2），"€（-10.

【解析】設芭，&是R上任意兩個不等的實數(shù)，且占＜當，則心=々-玉＞0,

八）'=/（工2）-，（玉）=，［（馬一玉）+芭］一/（玉）=/（々一天）+/（%）一1一/（玉）=/（?）-1

f

由已知條件當x＞0時，/（力＞1,

所以“以）＞1,即約＞0,

所以函數(shù)“X）在R上為增函數(shù)；

題型六利用函數(shù)的單調性求參數(shù)

【例6】若函數(shù)小）=疝不在區(qū)間內單調遞減，則實數(shù)”的取值范圍是

【答案】［T0）

【解析】由題意知，第一步函數(shù)單調遞減，由復合函數(shù)同增異減可知“＜。，

第二步考慮函數(shù)定義域，ax+l＞0在恒成立，

。fa⑴＜0對得,,到一行＜。

故答案為：T?"0.

【變式6-1］若/。）=竺斗在區(qū)間（1次）上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是______

X—1

【答案】?<-'

【解析】函數(shù)/（x）W=g）：+Ja+總,

x-1x-1x-1

由復合函數(shù)的增減性可知，若g（x）=Wj在（1,3）為增函數(shù),

X—I

「.a+lvOta<-lf

【變式6-2］（多選）函數(shù)〃幻=1+（2.-1）工+3在（-2,2）上為單調函數(shù),則實數(shù)a

的取值范圍可以是（）

A.18，-|］B.1曲C.卜耨D?加

【答案】AD

【解析】二次函數(shù)/。）=爐+（2”1口+3圖象對稱軸為：x=,

因函數(shù)/⑴在（-2,2）上為單調函數(shù)，于是有：

當函數(shù)/⑴在（-2⑵上遞減時，-智士2,解得,

當函數(shù)/⑶在（-2,2）上遞增時，-寫4-2,解得心|,

35

所以實數(shù)。的取值范圍是：。或丘（故選：AD

12c

—X—mx,x>2

【變式6-3］已知函數(shù)/。）=對于V%，ww[l,+oo）且％手x?,都有

m,C

---,1<x<2

x

（占-々）"（占）-/（々）］>0,則"，的取值范圍為.

【答案】（嗚

【解析】由題意可知，/（X）在U，包）上為單調增函數(shù),

117

要使尸-一在口，2）上單調遞增,則-%<0,即”。,

X

要使/⑸二去②-如在⑵+⑹上單調遞增，則mW2,

同時;x22-2〃?N-gm,解得：m<^,

4

綜上可知：0<m<~.

題型七求函數(shù)的最值或值域

【例7】求函數(shù)產(chǎn)出，（"可的最大值與最小值.

【答案】最大值9,最小值4

【解析】函數(shù)kx+：,根據(jù)對勾函數(shù)的性質可得：

產(chǎn)出在圖上單調遞減，［2,4］上單調遞增.

當乂=2時取到最小值4.

1117

又當”;時,J=-+8=y，當x=4時，"4+1=5

所以當時1取到最大值—1色7，

所以函數(shù)y=x+3的最大值?，最小值4

x2

【變式7-1】y=3+x-Q7的值域是（）

A.1-8,（B.（-8,gC.D.|,+℃）

【答案】A

【解析】因為丁=3+x-Jl-2x,

所以1-2壯0,.”<3,又y=3+x-Q7在時單調遞增，

所以當時，函數(shù)取得最大值為g,所以值域是,故選：A.

【變式7-2］函數(shù)/。）=三百的值域（）

【答案】D

.2112..八11

【解析】依題意，2x+§-J§m+1)-石=211]

3x+l3A-+13X+1333x4-1

其中y=*,*j的值域為(fo)u(oz),

故函數(shù)/a)的值域為卜,mi，+,,故選D.

【變式7-3］若函數(shù)〃x）的值域是［白］,則函數(shù)％）=?。?前的值域是）

1〃「「〈-

AA?FWJBn.-101C.5101nD.卜5，5_

【答案】B

【解析】令/（x）=Jy=，+；,則，e［；，3.

當UJ時，y=，+；單調遞減，

當問1,3］時，y=f+；單調遞增，

又當時，y=|,當r=l時，尸2,當f=3時，y=y,

所以函數(shù)尸（X）的值域為［吟］，故選：B.

【變式7-4】已知min{a,b}={：：：：,設/（x）=min{x—2,-Y+4X—2}，則函數(shù)小）的

最大值是（）

A.-2B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】當x—24—/+4x—2,即xw［0,3］時，/（x）=x-2在xe［0,3］上單調遞增，

所以/（X）M=/（3）=3-2=1,

當X-2>—V+4X-2,即xe（9,0）U（3,y）時，

〃犬）=-/+4》_2=-（》-2）2+2在0）上單調遞增,在（3,+<?）上單調

遞減，

因為〃0)=-2，八3)=1,所以〃x)<〃3)=l;

綜上：函數(shù)/⑴的最大值為1,故選：B

題型八函數(shù)奇偶性的判斷

【例8］判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)小)=八|；(2)f(x)=(x-l)廬；

AV1-X

—2%,x<—1

(3)小)=>/^7+7^；(4)/(%)=-2,-1<X<I.

2%,x>1

【答案】(1)奇函數(shù)；(2)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)偶函數(shù)

【解析】(?)/(x)的定義域是(一，()2(0,小)，關于原點對稱，

又〃-)=(-力匚4=-，3-口=-/。)，所以“X)是奇函數(shù).

—X\X)

(2)因為/(引的定義域為［TI),不關于原點對稱，

所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(3)因為/(x)的定義域為卜石,劣｝,所以/(x)=0,

則〃x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(4)方法一(定義法)因為函數(shù)〃x)的定義域為R,

所以函數(shù)的定義域關于原點對稱.

①當x>1時，T<—1,所以=2)x(r)=2x="x);

②當一14x5時，〃力=2;

③當x<T時，-x>l,所以f(-x)=2x(_x)=-2x=.f(x).

綜上，可知函數(shù)/")為偶函數(shù).

方法二(圖象法)作出函數(shù)“X)的圖象，如圖所示，易知函數(shù)

為偶函數(shù),

【變式8-1】函數(shù)〃力=篇三的圖象關于________對稱.

【答案】原點

【解析】要使函數(shù)有意義，則鼠3…。，得J。叫I，

解得-2C<0或0<x?2,則定義域關于原點對稱.

此時|x+3|=x+3,貝！J函數(shù)==約

仔十q—JX+JX

??,/(一力=_=_〃x),

二函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱

故答案為：原點

［變式8-2］判斷/(x)=1x+aI-1x-aI(aeR)的奇偶性.

【答案】當"0時，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當"0時，/(X)是奇函數(shù)

【解析】因為xeR,所以定義域關于原點對稱,

當。=0時,則/(-=lx|-|x|=0,所以f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

當440時，^^f(-x)=\-x+a\-\-x-a\4x-a\-\x+a\=-f{x}(

所以/⑸是奇函數(shù).

綜上所述，當4=0時，/⑴既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當“H0時，/(X)

是奇函數(shù).

?

【變式8-3］設函數(shù)，。)=后2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x)+lB./(X+I)c.fW-iD./U-l)

【答案】D

【解析】因為〃x)=后.

選項A：〃X)+1=^7T+1,定義域為(e，-1)5-1，+8)，定義域不對稱，

故A錯.

77

選項B：/(x+1)^-，定義域為S，-2)U(-2,+8)，定義域不對

X4-14-1X+2

稱，故B錯.

選項c：/(x)-i=FR-i,定義域為(9,-1)5-1，+8)，定義域不對稱，

故C錯.

77

選項D：/(x-l)=——,定義域為(F,O)U(O,+8),

X—1~rIX

定義域對稱，為奇函數(shù).故D正確.故選：D.

【變式8-4］設“X)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

A.是奇函數(shù)B./(X)|/(T)|是奇函數(shù)

C.人力-/(-X)是奇函數(shù)D.f(x)+〃T)是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】A選項:設尸(x)=/(x)/(-x),F(-x)=/(-x)/(x)=F(x),

則x)為偶函數(shù)，A錯誤；

B選項：設G(x)=f(x)|〃-x)|,則G(-x)=〃-x)|/(x)|,G⑺與G(-x)關

系不定，

即不確定/(x)|f(r)|的奇偶性，B錯誤；

C選項：設M(X)=C(X)T(T),則M(T)=〃T)-〃X)=-M(X),

則/(力-/(-x)為奇函數(shù)，C正確；

D選項：設N(X)="X)+”T),則N(T)"(-X)+“X)=N(X),

則〃x)+/(r)為偶函數(shù),D錯誤.故選:C.

題型九利用函數(shù)的奇偶性求值或求參

【例9】若函數(shù)〃X)=x3-加+以在國,2+口上為奇函數(shù)，則”+6=.

【答案】-J

【解析】因為函數(shù)/(幻=--瓜2+如在［342+0上為奇函數(shù)，

所以3a+2+a=0，得a=-g,

又/(r)=—/(x),BP(-x)3-b(-x)2-1(-x)=+te2+|x,即26/=0恒成

立，

所以b=0,所以。+匕=-；.

故答案為：4-

【變式9-1］若函數(shù)〃x)=3+；),-a)為奇函數(shù)，則”()

A.71B.2［C.3-D.1

234

【答案】B

【解析】根據(jù)題意得〃-力=(3+2］(--。)=(-3》+；)(》+。),

-5x5x

因為函數(shù)因x)=°x+；?x-")為奇函數(shù),

所以〃-x)=_/(x),即㈠x+?(.+a)=_(3x+?(i),整理得：

JXJX

(6(i-4)x=0,

2

所以&-4=0,解彳導。=:.故選：B

【變式9-2］已知函數(shù)/(x)=(af/+2x2-1是偶函數(shù)，則”

【答案】1

【解析】函數(shù)/(x)=(。-1)丁+2/一1是偶函數(shù)，

貝11/(一1)=/(1),即一(。一1)+2—1=。一1+2—1,解之得.=1

經(jīng)檢驗符合題意.

故答案為：1

【變式9-3］已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當》>。時，〃x)=x(x+D,

那么/(T)等于()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】因為犬>0時，/(x)=x(x+D,可得〃l)=lx2=2,

又因為函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得/(-1)=-〃1)=-2.故選：

A.

【變式9-4】設〃x)是定義域為(-2,2)的奇函數(shù)，當0〃<2時，/(x)=—^+2x+w

(加為常數(shù))，則/(-)=()

A--23B,-3Cc,2UD,—2

【答案】c

【解析】因為是定義域為(-2,2)的奇函數(shù)，

所以“0)=0,因為當04x<2時,"x)=\+2x+〃？,

x—Z.

所以〃。)=-；+"，=0,解得“=；/

所以當04x<2時，f(x)=l^+2x+；,

X—ZZ

所以6T)=_/0)=_(T+2+卜］故選：C.

【變式9-5］設函數(shù)“x)=g?匚在區(qū)間［-2,2］上的最大值為例，最小值為N,

則(M+N-lL的值為.

【答案】1

【解析】由題意知，小)=?詈+1(xe［-2,2］),

設g(x)=^^,貝1」八幻=8。)+1,

X+1

因為8(-》)=長三=招("，所以g(x)為奇函數(shù),

g(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值的和為0,

故〃+N=2,所以(M+N-DMEZ-I)2022：1.

題型十利用函數(shù)的奇偶性求解析式

【例1。】設“X)為奇函數(shù)，且當'NO時J(x)=x2+x則當x<0時,/W=()

A.x2+xB.-x2+xC.x2-xD.-x2-x

【答案】B

【解析】設X<0,則T>0,所以”-X)=x2-X,

又/(x)為奇函數(shù)，所以“X)=-/(-X)=-(x2-X)=-x2+x,

所以當x<0時，"x)=r2+x.故選：B.

【變式10-1】函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，當彳€(。，問時，/(X)=2X2-7X，則當X?9,0)

時，/(》)=()

A./(X)=-2X2+7XB./(X)=-2X2-7XC./(x)=2x2-7x

D./(X)=2X2+7X

【答案】D

【解析】設xe(y，0),貝U—xw(O,M),貝(J/(-X)=2(-X)2-7(-X)=2/+7X,

因為函數(shù)為偶函數(shù)，

則當xw(FO)時，〃x)=〃-x)=2x-7x故選：D.

2

【變式10-2］已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當X20時lf^=x+ax+a+},

則當x<0時，”》)=()

A.x2-xB.x2+xC.-x2+xD.-x2-x

【答案】D

【解析】因為〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以"0)=0,

即〃0)=a+l=0,解得q=-i,

當xNO時，/(%)=x2-x,當x<0時，-x>0,

貝11/(-X)=(-X)2+X=x2+X,

因為/W是奇函數(shù)，

所以“x)=-〃-力=-/-》.故選：D.

【變式10-3］若定義在R上的偶函數(shù)“X)和奇函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=e'(e

為無理數(shù)，e=2.71828…)，貝！］g(x)=()

A.e'-e-B*(e'+ey)c.；(e-e,)D彳.-r)

【答案】D

【解析】由〃x)+g(x)=e,可得/(-x)+g(-?=鏟，

根據(jù)/3與8(》)的奇偶性可得/(司+8(-力=/(力一(力=b，

故-g(x)-(x)+g(x)］=b-e*.

整理得-2g(x)=eT-e',即g(x)=；(e-ef).故選：D.

題型十一利用單調性奇偶性解不等式

【例11］定義在［-2,2］上的偶函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上單調遞減若八1一間間，

則實數(shù)機的取值范圍是()

Am<--Btn>—CD—<m<2

222,2

【答案】C

【解析】；是偶函數(shù),

?■-/W=/(-x)=/(W),

故/(1-m)</(m)可變形為/(|1-4</(H),

???/（X）在區(qū)間［0,2］上單調遞減，

-2<1-/H<2-1</n<3

故,-2<m<2=><-2<m<2^>-］<m<g.故選：C.

【變式11-1】若偶函數(shù)“X)在似+⑹上單調遞減，且/⑴=0,則不等式

/(丁-3x+3)20的解集是_________.

【答案】[1，2]

【解析】因為偶函數(shù)“X)在[0,+動上單調遞減，所以/(X)在(y,o)上單調遞增，

又〃1)=0,所以1)=〃1)=。，所以當-I。。時〃6對,

則不等式/任-3?3)20等價于_14￡_3X+341,解得1W2,

所以原不等式的解集為口，2].

故答案為：[,2]

【變式11-2】函數(shù)/(X)是定義在㈠』)上的奇函數(shù)目單調遞減，若

〃2_4)+/(4_42)<0,則〃的取值范圍是()

A.(75,3)B.(-8,石)52,+oo)C.(G,2)D.(-3,2)

【答案】c

【解析】函數(shù)/㈤是定義在(T，l)上的奇函數(shù)且單調遞減，

/(2-a)+/(4-a2)<0可化為f(2-a)<f(a2-4)

-1<2-a<1

則一,解之得G<"2故選：C

2-。>/-4

【變式11-3】奇函數(shù)/(x+2)是定義在(-3,-1)上的減函數(shù)，若/(祖_1)+“3-2〃?)<0,

則實數(shù)用的取值范圍為.

【答案】(1，2)

【解析】由題意知，函數(shù)〃x+2)的定義域為(-3,-1),

所以函數(shù)f(x)的定義域為(Tl),

f_]<機_]<1

所以解得

又奇函數(shù)〃x+2)是(T-1)上的減函數(shù)，

所以."x)是㈠」)上的奇函數(shù)，且在(T1)上單調遞減.

由〃川—1)+〃3—2間<(),得〃加一1)<—/(3-2向，

所以/(〃1)</(2加-3),

所以“一1>2〃?一3,解得加<2.綜上,\<m<2.

故答案為：(L2).

【變式11-4】已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)若“產(chǎn)閆0收)目占f,

都有二'伉)<0成立,則不等式時㈣-(2吁1)/(2加-1)>0的解集為

Xx2

()

A.(-oo,-l)B.(fl)C.(1，+°°)D.(-!.+<?)

【答案】c

【解析】令g(x)=4(x),因為函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以g(-x)=-"(-X)=-xf(%)=-g(x),即g(x)是定義在R上奇函

數(shù).

又“，x2e[0,-^),且，都有“&)--㈤=乳止乳X)<。成

X]-Xy玉一占

立，

所以g(x)在[0，+8)上單調遞減，

又g(x)是定義在R上奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調遞減,

所以時(加)-(2加-1)/(2加-l)=g(m)-g(2〃Ll)>(),即g(m)>g(2/nT),

所以m<2m-1,解得心「故A,B,D錯誤.故選：C.

題型十二利用單調性奇偶性比較大小

【例12]定義在R上的偶函數(shù)/。)在(。,+⑹上是減函數(shù)，則下列判斷正確的是

（）

A./圖B.也）<《-樂/（|）

c.噌卜噌WW）D-（90卜尼）

【答案】A

【解析】因為/（X）為偶函數(shù)，所以/（［）=嗎，〃-|）=嗎），

113

又W<5<5,且fa）在（0，內）上是減函數(shù)，

所以嗚》故選：A

【變式12-1］已知定義在R上的函數(shù)J。）的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條

件：①VxeR,/（-x）=/（x）:②”,々G（0,E），當x產(chǎn)々時,***）*/（上）>0記

%-X2

?=/0）,。=竽，。=平，則（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD,b<c<a

【答案】B

【解析】依題意，Vxpx2e（0,+oo）,玉片電，**'）*?。?gt;0,

X1—x2

fM/（X2）,zx

即%x2,所以函數(shù)△^在（0，x）上單調遞增.