2023屆浙江省十校聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種2．盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，3．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對(duì)任意，，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．5．如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或07．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值8．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則下述四個(gè)結(jié)論：①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④9．在中，，，，若，則實(shí)數(shù)()A． B． C． D．10．已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．411．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．12．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，,則異面直線與所成的角為_(kāi)___.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點(diǎn)．若該三角形的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____．15．已知，滿足約束條件則的最小值為_(kāi)_________.16．已知命題：，，那么是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系.（1）設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，若直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A．B，求AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)M、N是曲線C上的兩點(diǎn)，若，求面積的最大值.18．（12分）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點(diǎn).?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.19．（12分）在中，，.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：（1）證明：平面平面（2）求平面與平面所成二面角的大小.20．（12分）某大學(xué)開(kāi)學(xué)期間，該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案規(guī)定每日底薪100元，外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元；方案規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務(wù)的前54單沒(méi)有提成，從第55單開(kāi)始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘，四人選擇日工資方案相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請(qǐng)你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說(shuō)明理由.（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）21．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)（異于），交曲線于點(diǎn)，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意，分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球，所以.表示取出一個(gè)黑球，，所以.表示取出兩個(gè)球，其中一黑一白，，表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?，，表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?，，所?所以，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱且在上為減函數(shù)，則不等式等價(jià)于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)閷?duì)任意，，都有，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.4、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識(shí)的考查．5、B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，即可由的周長(zhǎng)求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個(gè)曲線上，總是平行于軸，因而兩點(diǎn)不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長(zhǎng)為，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.6、C【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴的值是1或0.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.7、D【解析】

A．通過(guò)線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故正確；B．因?yàn)椋?，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因?yàn)闉槎ㄖ?，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)?，所以異面直線所成角為，且，當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計(jì)算，難度較難.注意求解異面直線所成角時(shí)，將直線平移至同一平面內(nèi).8、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對(duì)稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗(yàn)證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

將、用、表示，再代入中計(jì)算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.10、C【解析】

將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．11、B【解析】

設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式，即可得解；【詳解】解：設(shè)∵，∴，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，計(jì)算，，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過(guò)見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，找出邊的中點(diǎn)，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點(diǎn)E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，易算得∴在∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個(gè)典型的異面直線所成的角的問(wèn)題，解答時(shí)也是應(yīng)用典型的見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，注意求角的三個(gè)環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．14、3【解析】

設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0），聯(lián)立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標(biāo)（0，1），∴B的坐標(biāo)為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當(dāng)且僅當(dāng)，即t時(shí)，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時(shí)，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.15、【解析】

畫出可行域，通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知：可行域是由三點(diǎn)，，構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16、真命題【解析】

由冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】已知命題：，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，所以是真命題，故答案為：真命題【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷全稱命題的真假，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（2），，由（1）通過(guò)計(jì)算得到，即最大值為1.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為，即；再將，，代入上式，得，故曲線C的極坐標(biāo)方程為，顯然直線l與曲線C相交的兩點(diǎn)中，必有一個(gè)為原點(diǎn)O，不妨設(shè)O與A重合，即.（2）不妨設(shè)，，則面積為當(dāng)，即取時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，三角形面積的最值問(wèn)題，是一道容易題.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，證明平面，由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積．【詳解】解：（1）證明：取中點(diǎn)D，連接，.因?yàn)椋?，所以且，因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又平面，所以；（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，過(guò)N作于E，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，由于，所以所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．19、（1）證明見(jiàn)解析（2）45°【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，從而即為二面角的平面角，，推導(dǎo)出，從而平面，則，即，進(jìn)而平面，推導(dǎo)四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.（2）以B為原點(diǎn)，在平面中過(guò)B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】（1）∵是的中點(diǎn)，∴.設(shè)的中點(diǎn)為，連接.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.易證：，，∴即為二面角的平面角.∴，而為的中點(diǎn).易知，∴為等邊三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②由①②，，∴平面.∵分別為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，顯然平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，，，∴，∴.，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通常可采用幾何方法和向量方法兩種進(jìn)行求解.20、（1）0.4；（2）；（3）應(yīng)選擇方案，理由見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率，即可估算其概率；（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法，先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率，再由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率；（3）設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件，分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式，即可計(jì)算兩種計(jì)算方式下的數(shù)學(xué)期望，并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】（1）設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天，這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為，∵，∴估計(jì)為0.4.（2）設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”，設(shè)事件，為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”，則，所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.（3）設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件，方案的日工資，方案的日工資，所以隨機(jī)變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05；同理，隨機(jī)變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵，∴建議騎手應(yīng)選擇方案.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直