高中數(shù)學(xué)【空間中的距離】教學(xué)設(shè)計(jì)

空間中的距離

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解圖形與圖形之間的距離的概念.1.數(shù)學(xué)抽象：空間距離的概念

B.理解并掌握兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到2.邏輯推理：空間距離的算法

平面、相互平行的直線與平面、相互平行3.直觀想象：空間距離模型

的平面與平面之間的距離的概念及它們之4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用空間向量計(jì)算空間距離

間的相互轉(zhuǎn)化，會(huì)用法向量求距離.

教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：理解空間中距離的概念

2.教學(xué)難點(diǎn)：掌握空間距離的計(jì)算方法

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

“距離”在生活中隨處可見(jiàn)，例如，我們常說(shuō)某兩地之間的距離

是多少，汽車的剎車距離是多少，等等。數(shù)學(xué)中的“距離”的概念是

從生活中的具體問(wèn)題中抽象出來(lái)的，要求具有準(zhǔn)確的定義，以避免歧通過(guò)來(lái)自生活的

義，到目前為止，你學(xué)過(guò)哪些平面內(nèi)的“距離”，這些“距離”的定義問(wèn)題情境，幫助學(xué)生

有什么共同點(diǎn)？由此你能得到空間中任意兩個(gè)圖形之間的距離具有回顧距離的概念，并

什么性質(zhì)嗎？引出空間距離問(wèn)題。

提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，

邏輯推理和數(shù)學(xué)建

模的核心素養(yǎng)。

個(gè)法向量，則點(diǎn)A到平面a的距離"=胃.通過(guò)空間點(diǎn)與

點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、平

3判.斷

行線及面與面的距

平面?外一點(diǎn)A到平面?的距離，就是點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B所成向量

離概念的建立，讓學(xué)

荏的長(zhǎng)度.（）

生感受，各種距離間

答案:X

的關(guān)系，掌握用空間

4.己知平面a的一個(gè)法向量n=（-2,21）,點(diǎn)4-1,3,0）在a內(nèi)，則P（-2,l,4）

向量計(jì)算距離問(wèn)

到a的距離為（）

題。?發(fā)展學(xué)生邏輯

A.10B.3C.|D*

推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

解析:而=（-1,一2,4）,4=警=?答案:D

\n\3學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

（1）如果直線/與平面?平行,n是平面a的一個(gè)法向量,A,8分別是1

上和a內(nèi)的點(diǎn)，

則直線/與平面a之間的距離為

（2）如果平面a與平面p平行,n是平面p的一個(gè)法向量（當(dāng)然也是平面

a的一個(gè)法向量）M和B分別是平面a與平面夕內(nèi)的點(diǎn)，則平面a與平

面￡之間的距離為d=誓.

4.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離

酗

|n|,

點(diǎn)睛：解決立體幾何問(wèn)題的三種方法

1.綜合方法:以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題.

2.向量方法:利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題.

3.坐標(biāo)方法:建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示幾何對(duì)象或向量，通過(guò)運(yùn)算

解決幾何問(wèn)題.

5判.斷

（1）直線/〃平面a,則直線/到平面a的距離就是直線/上的點(diǎn)到平面

a的距離.（）

（2）若平面a〃平面以則兩平面a,p的距離可轉(zhuǎn)化為平面a內(nèi)某條直線

到平面0的距離，也可轉(zhuǎn)化為平面a內(nèi)某點(diǎn)到平面廳的距離.（）

答案：aW（2）q

6.已知平面a〃平面△直線/ua,a與尸之間的距離為d,有下列四個(gè)命

題：

①0內(nèi)有且僅有一條直線與/的距離為d;

②0內(nèi)所有的直線與/的距離都等于優(yōu)

③B內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與1的距離為d-

?p內(nèi)所有直線與a的距離都等于d.

其中真命題是（）

A.①B.②C.@@D.③④

解析:在直線/上任取一點(diǎn)。，過(guò)。作OA_Lp于A,在平面￡內(nèi)，與/不平

行的所有直線與/距離都是"，否則不一定是d,所以①②錯(cuò)誤，故選D.

答案:D

二、典例解析

例1已知在矩形48co中48=4,40=3,沿對(duì)角線AC折疊,使平面ABC

與平面AOC垂直，

求點(diǎn)民。之間的距離.

分析：本題既可利用向量模求解，也可建立坐標(biāo)系利用距離公式求解.

解法一過(guò)點(diǎn)/）和點(diǎn)H分別作OELAC于點(diǎn)E,BFLAC于點(diǎn)F,

則由已知條件可知AC=5,

.cl3x412”廠3x412

.?DE=——=—,BF=——=一.

5555

AD29Q7

\'AE=—=-=CF,.\￡F=5-2x-=

AC555

?麗=屁+麗+麗，

Z.|DBF=（屁+而+而產(chǎn)=屁2+而2+而2+2屁.而+2麗.

FB+2EF-FB.

,：平面AOC_L平面ABC,DE±AC,

.?.QE_L平面ABC,；.O￡_LBF,即而1而，故B,D間距離是空.

通過(guò)典例解析

想，讓學(xué)生掌握空間

距離的算法，體會(huì)空

解法二過(guò)點(diǎn)D作DE_LAC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BFrAC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)E間向量在計(jì)算距離

作FB的平行線EP,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EP,EC,所在直線為x軸,y軸,z問(wèn)題中的基本步驟，

軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.感受用代數(shù)方法解

由解法一知DE=FB.EF=g問(wèn)題決立體幾何問(wèn)

題。發(fā)展學(xué)生邏輯推

?W。，嗯）喉，”），

理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

.??加—

運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

??廊T⑶+（丁+（豆=等

故BQ間距離是等.

延伸探究若將例1中條件“使平面48c與平面AOC垂直”變?yōu)椤笆蛊?/p>

面ABC與平面ADC重疊”，則結(jié)論又如何？

解:當(dāng)改變條件后，就變?yōu)榱似矫鎯汉螁?wèn)題，如圖所示,8。=研,又由例1

中結(jié)論可知BD=AC-2AE=^

用向量法求兩點(diǎn)間距離的方法主要是坐標(biāo)法和基向量法，

22

設(shè)4xi,yi,zi),8(X2,)%Z2),則^B=|A8|=J(x2-x1)+(y2-Vi)+⑵2產(chǎn),

或利用|a|二V^H求解.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，正三棱柱ABCABC的各棱長(zhǎng)都是2￡F分別是

111

C的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（）

i1

A.2B.V3C.V5D.V7

解析:方法一:建立如圖所示直角坐標(biāo)系,

則E(y,-i,0),F(0,0,2).WjEF=(-y,j,2),|FF|=J|+J+4=V5.

方法二:設(shè)AC中點(diǎn)為G,連接GE,GF,

在RtAFG￡中,|E尸|2=尸6|2+|6用2=4+1=5,二￡：尸=代.

答案:C

例2如圖,在空間直角坐標(biāo)系中，有長(zhǎng)方體

ABCD-A'B'C'D'AB=1,BC=2/4=3,

求點(diǎn)B到直線AC的距離.

解:因?yàn)?B=1,BC=2A4，=3,所以A'(0,0,3),C(1,2,0),8(1,0,0).

通過(guò)典型例題

所以宜線4C的方向向量而=(1,2,-3).

的分析和解決，讓學(xué)

又近=(0,2,0),所以玩在上的投影長(zhǎng)為生也=

生感受空間向量坐

國(guó)|

標(biāo)運(yùn)算在解決空間

所以點(diǎn)B到直線4C的距離d=|前門(mén)生任一=心^=等.

{IAT|'幾何中的應(yīng)用。發(fā)展

求點(diǎn)到直線的距離在特定的幾何結(jié)構(gòu)中還可以直接根據(jù)定義學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯

用平面幾何知識(shí)解決或用體積法解決，但這兩類解法技巧性強(qiáng).用向量推理的核心素養(yǎng)。

法就避免了這一構(gòu)造技巧,但要注意在選取方向向量時(shí)要用上幾何體

中的已知點(diǎn),然后用向量計(jì)算公式解決.

跟蹤訓(xùn)練2已知正方體ABCD-ABCD棱長(zhǎng)為2,E,F分別是

1111

CC,DA的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到EF的距離.

1I1

解:以D點(diǎn)為原點(diǎn),DAQCQR所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(2,0,0),￡(0,2,1),F(1,0,2),則齊=(1,21),兩=(1,0,-2).

I而l=J12+(-2產(chǎn)+J=V6,

|FA|=J12+02+(-2)2=V5,

F??FF=1x1+0x(-2)+(-2)x|=-1,

瓦?在前上的投影為恒功=專

\EF\

所以點(diǎn)A到EF的距離d=|lR2-(^)2=Jf=竽.

例3如圖，已知正方形428的邊長(zhǎng)為1,P￡>_L平面A8CD且P￡>=1,E,F

分別為A8,BC的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；

(2)求直線AC到平面PEF的距離.

AEB

解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

Jw5

ZEB

則￡>(0,0,0),尸(0,(),1),41,0,0),C(0,l,0),￡(1,1,0),F(pl,0)，DF=(1i,0),

而=G1,0師=(0,0,1).

設(shè)平面PEF,垂足為“，則

麗=*屁+y而+z而=(.嗎*%+),工),(x+y+z=l)

PF=(l,p-l),PF=(|,l,-l)，

所以麗-PE=x+|y+i(9+)>z與+y-z=0.同理，麗.麗=x+/-z=0,

22

又x+y+z=l,所以解得尸產(chǎn)》z=。.所以而二5(2,2,3),所以

1麗號(hào)g

因此，點(diǎn)D到平面PEF的距離為*“7.

⑵連接AC,則AC〃EF,直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面

PEF的距離，

平面PEF的一個(gè)法向量為11=(2,2,3),荏=(010),所求距離為*=

1_717

V17―17°

反思：用向量法求點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵還是建系，其次是法向量的求解.

本例中還要注意P,旦尸，，共面這一條件,因此有x+y+z=l這一隱含條

件.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，正三棱柱ABC-ABC的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC

1111

的中點(diǎn).

(1)求證:AB±AD;

11

(2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.

1

A41】

°B,

⑴證明:如圖，取BC的中點(diǎn)O,連接A0.

'：/XABC為等邊三角形,，AO_LBC.

在正三棱柱ABC-ABC中，平面A8C_L平面BCCB,

11111

???AO_L平面5CC5.

?1

取B|C|的中點(diǎn)。，以O(shè)為原點(diǎn)方瓦E，雨的方向?yàn)閄軸,y軸,Z軸的

正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則5(1,0,0),0(-1,1,0)A(0,2,V3)^4(0,0,V3),B?(1,2,0),

*-*ABi=(1,2,-V3),i4^D=(-11V3).

???福?碩"2+3=0,

???福1碩,???A8iJ_AiD

(2)解:設(shè)平面Ag的法向量n=(x,y,z).

初=(-11療)，麗=(-2,1,0).

.(n-A^D=0,.(-x-y-y/3z=(),.?=2K,

"lnBD=0,"l-2x+y=0,,(Z=-A/3X.

令x=1,得n=(12-g).：C(-1,0,0),BC=(-2,0,0),

.?.點(diǎn)C到平面AiBD的距離4=喀=粵=?.

|n|2V22

金題典例已知邊長(zhǎng)為4的正三角形A8C,E,尸分別為BC和AC的中

點(diǎn).尸4=2,且PAL平面ABC,設(shè)。是CE的中點(diǎn).

(1)求證4E〃平面PFQ;

(2)求AE與平面PFQ間的距離.

(1)證明:如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面A8C內(nèi)垂直于AC邊的直線

為x軸,AC所在直線為y軸/P所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

：AP=2,A8=3C=AC=4,又E,尸分另U是BCAC的中點(diǎn)，

二40,0,0),8(2H，2,0),C(0,4,0),

F(0,2,0),E(V3,3.0)，e(y,1,0),P(0,0,2).

'：FQ=(y,|,0),4F=(V3,3,0),AAE=2FQ.

?荏與而無(wú)交點(diǎn)，

〃尸。.又尸Qu平面夕尸。4EC平面PFQ,

.?.AE〃平面PFQ.

/

B

(2)解:由(1)知HE〃平面PFQ,

.??點(diǎn)A至1」平面PFQ的距離就是AE與平面PF。間的距離.

設(shè)平面/，F(xiàn)Q的法向量為n=(x,y,z),

貝ijn±P'i?,n±FQ,B|JnPF=0,n-FQ=0.

又丙=(C>,2,-2),.,.mPF=2y-2z=0,即y=z.

又而=(y,|,0),.,.nFQ=爭(zhēng)+1y=0,即x=-V3y

令產(chǎn)15IJx=-V5,z=l,平面PFQ的一個(gè)法向量為n=(-V3,l,D.

又M=(-立,[,0),所求距離仁西=,

22/|H|5

1.本題(1)通過(guò)向量運(yùn)算證明線面平行,(2)中利用線面距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面

距，選擇「句量運(yùn)算來(lái)解.合理選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，有利于提升

學(xué)生的贊攵學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.此類問(wèn)題綜合體現(xiàn)了用向量解決距離問(wèn)題的便捷性.雖然有些計(jì)算

較復(fù)雜，彳旦思路很簡(jiǎn)捷，省去了很多輔助線的構(gòu)造.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，成=(1,1,-2),赤=(3,2,8),沅=(0,1,0),則線段AB的通過(guò)練習(xí)鞏固本

中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為()節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)

A.等B.2V14C.V53D號(hào)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)

生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

解析:由題意得加=l(OA+而)=(2,|,3).

推理、數(shù)學(xué)建模的核

麗=沆-麗=92,微,-3)廁國(guó)|=14+：+9=苧故選D.

心素養(yǎng)。

答案:D

2.若三棱錐尸-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA=PB=PC=1,則點(diǎn)尸

到平面ABC的距離是()

A.些B.亞C.更D.9

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