樣本相關(guān)系數(shù)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

樣本相關(guān)系數(shù)復(fù)習(xí)回顧：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.1.相關(guān)關(guān)系把成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.2.散點圖3.正相關(guān)與負相關(guān)一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)減小的趨勢.正相關(guān)：一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)增加的趨勢.負相關(guān)：4.線性相關(guān)非線性相關(guān)

通過觀察散點圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等.

散點圖雖然直觀，但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小.能否像引人均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行分析那樣，引入一個適當?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析呢?問題1.你能否判斷出那副圖的相關(guān)性更強呢？

如果變量x和變量y負相關(guān),那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)點將分布在第二、四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號居多.························

一般地,如果變量x和變量y正相關(guān),那么均值平移后的大多數(shù)點將分布在第一、三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號居多；問題3.根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)的數(shù)字特征嗎?

利用散點的橫、縱坐標是否同號，可以構(gòu)造一個量問題4.Lxy的大小是否一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎?因為Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量得有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.

樣本相關(guān)系數(shù)

對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),???,(xn,yn)，其中x1,x2,???,xn和y1,y2,???,yn的均值分別為和.我們稱

為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)r的正負和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征：①當r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；

當r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).②r的范圍：|r|≤1；特別地，當|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；但不排除它們有其他相關(guān)關(guān)系當|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.③當|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；

當|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；圖(1)中成對樣本數(shù)據(jù)的正線性相關(guān)程度很強.圖(2)中成對樣本數(shù)據(jù)的負線性相關(guān)程度比較強.圖(3)中對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度很弱.圖(4)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度極弱

兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過散點圖對成對樣本數(shù)據(jù)進行分析，而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度：r的符號反映相關(guān)關(guān)系的正負性，|r|的大小反映兩個變量線性相關(guān)的程度，即散點集中于一條直線的程度.例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強.編號1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.編號1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強.練習(xí)1.已知變量x和變量y的3對隨機觀測數(shù)據(jù)(2,2),(3,－1),(5,－7)，計算成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推斷這兩個變量線性相關(guān)嗎?為什么?解：由樣本數(shù)據(jù)可得雖然樣本相關(guān)系數(shù)為－1，三個樣本點在一條直線上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)并不可靠.練習(xí)2.畫出下列成對數(shù)據(jù)的散點圖，并計算樣本相關(guān)系數(shù).據(jù)此，請你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)在刻畫成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系上的特點.(1)(－2,－3),(－1,－1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；(3)(－2,－8),(－1,－1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27);(4)(2,0)

(1,),(0,2),(－1,),(－2,0).248x-4-320-213-16y-2??????515x2041310y?????20.51.5x-320-213-11y??????51020x-10-320-213-115y-5??????25例2.有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收人的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.解:第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點圖，推斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.

畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.從散點圖看，A商品銷售額與居民年收人的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系.由樣本數(shù)據(jù)計算得樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收入正線性相關(guān)，即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強.例3.在某校高一年級中隨機抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如下表所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?編號身高/cm體重/kg臂展/cm編號身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425166176176175169184169182171177173173666149604886585458615851161166165173162189164170164173165169解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點圖，分別如圖(1)和(2)所示，兩個散點圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征

練習(xí)3.隨機抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下:解：由樣本數(shù)據(jù)可得正線性相關(guān)，相關(guān)性較強，銷售額與廣告支出的變化趨勢相同.超市ABCDEFG廣告支出/萬元1246101420銷售額/萬元19324440525354請推斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢的特征.課堂小結(jié)：1.樣本相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當r